A Comparison of Tracking Trajectory Control between LQR and Backstepping Methods for Rotary Inverted Pendulum

Luận văn so sánh điều khiển bám quỹ đạo LQR và Backstepping cho con lắc ngược quay tại HCMUTE

• Tác giả: Phạm Hà Gia Bảo
• Người hướng dẫn: ThS. Lê Thị Hồng Lam
• Trường học: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
• Đề tài: A Comparison of Tracking Trajectory Control between LQR and Backstepping Methods for Rotary Inverted Pendulum
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2025
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng quan về điều khiển bám quỹ đạo con lắc ngược quay

Con lắc ngược quay (Rotary Inverted Pendulum – RIP) là hệ thống cơ điện phi tuyến điển hình trong nghiên cứu điều khiển tự động. Hệ thống gồm một cánh tay quay gắn động cơ và một con lắc tự do xoay quanh trục encoder. Đây là cấu hình SIMO: một đầu vào điều khiển đồng thời hai đầu ra góc. Đề tài tốt nghiệp của Phạm Hà Gia Bảo và Nguyễn Huy Khải tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM (HCMUTE) năm 2025 tập trung so sánh hai thuật toán điều khiển bám quỹ đạo là LQR (Linear Quadratic Regulator) và Backstepping. Cả hai phương pháp được triển khai trên mô hình thực với vi điều khiển STM32, giao tiếp qua Matlab và giao diện đồ họa GUI do nhóm tự thiết kế. Tín hiệu điều khiển thực tế là điện áp cấp cho động cơ DC hoặc tín hiệu PWM qua mạch H-bridge, không phải mômen xoắn trực tiếp. Điều này làm tăng độ phức tạp so với các mô hình giả định mômen là đầu vào. Mục tiêu cốt lõi là đánh giá khả năng bám quỹ đạo tham chiếu của từng bộ điều khiển trong điều kiện thực nghiệm tại phòng thí nghiệm.

1.1. Cấu tạo và nguyên lý hoạt động của hệ RIP

Hệ RIP bao gồm động cơ DC kéo cánh tay quay, encoder đo góc cánh tay và encoder thứ hai đo góc con lắc. Con lắc được gắn tự do tại đầu cánh tay, chỉ chịu tác động gián tiếp từ mômen quay. Hệ thống được mô hình hóa theo phương trình Euler-Lagrange với ma trận quán tính D, ma trận ly tâm-Coriolis C và vector trọng lực G. Biến trạng thái gồm góc cánh tay α, góc con lắc β và các đạo hàm bậc nhất tương ứng.

1.2. Vai trò của mô hình hóa động cơ trong hệ thực

Không thể điều khiển mômen trực tiếp trên mô hình vật lý. Thay vào đó, điện áp đầu vào qua mạch H-bridge tạo dòng điện, sinh ra lực điện từ và gián tiếp tạo mômen. Nhóm nghiên cứu đã xây dựng phương trình động lực học động cơ gồm phần điện (điện trở Rm, hệ số phản điện động Kb) và phần cơ (hệ số mômen Kt, quán tính Jm), sau đó tích hợp vào mô hình toàn hệ để đảm bảo mô phỏng sát thực tế.

II. Phân tích thách thức điều khiển bám quỹ đạo hệ RIP tại HCMUTE

Điều khiển bám quỹ đạo cho hệ RIP đặt ra nhiều thách thức kỹ thuật. Hệ là phi tuyến mạnh, không ổn định vốn có và nhạy cảm với nhiễu. Điểm cân bằng tự nhiên của con lắc là trạng thái rủ xuống, trong khi mục tiêu điều khiển là giữ con lắc ở trạng thái dựng thẳng trong khi cánh tay bám theo quỹ đạo tham chiếu. Hai yêu cầu này mâu thuẫn nhau và buộc bộ điều khiển phải xử lý đồng thời. Thuật toán LQR hoạt động dựa trên mô hình tuyến tính hóa quanh điểm cân bằng, tối ưu hóa hàm chi phí bậc hai. Phương pháp này có nền tảng toán học vững chắc nhưng hiệu quả giảm khi hệ vận hành xa điểm tuyến tính hóa. Ngược lại, Backstepping xây dựng luật điều khiển đệ quy từ phương trình phi tuyến gốc, không cần tuyến tính hóa. Đây là lợi thế lý thuyết rõ ràng, nhưng đòi hỏi thiết kế hàm Lyapunov phức tạp hơn. Việc triển khai thực nghiệm tại HCMUTE phải xử lý thêm trễ thời gian thực, sai số đo lường từ encoder và đặc tính phi tuyến của động cơ thực.

2.1. Hạn chế của phương pháp tuyến tính hóa trong LQR

LQR yêu cầu tuyến tính hóa mô hình quanh điểm cân bằng mong muốn. Khi con lắc lệch xa vị trí thẳng đứng, sai số tuyến tính hóa tăng đáng kể, làm giảm hiệu năng bộ điều khiển. Ngoài ra, các thông số ma trận trọng số Q và R phải chỉnh định thủ công, tốn nhiều thời gian thực nghiệm. Trên mô hình thực tại HCMUTE, nhiễu cơ học và ma sát làm lệch điểm hoạt động, khiến LQR phải chỉnh định lại cho từng điều kiện thử nghiệm.

2.2. Độ phức tạp thiết kế của bộ điều khiển Backstepping

Backstepping xây dựng luật điều khiển theo từng bước đệ quy, mỗi bước chọn một hàm Lyapunov ảo để đảm bảo ổn định. Với hệ RIP bốn biến trạng thái, quá trình này tạo ra biểu thức điều khiển phức tạp, dễ phát sinh hiện tượng bùng nổ vi phân khi tính đạo hàm hàm ảo. Nhóm tác giả phải kiểm tra kỹ điều kiện ổn định Lyapunov và tinh chỉnh hệ số khuếch đại từng bước để đảm bảo hội tụ trong thực nghiệm.

III. Phương pháp thiết kế và thực nghiệm LQR Backstepping cho RIP

Nhóm nghiên cứu tại HCMUTE triển khai theo quy trình gồm bốn giai đoạn chính. Giai đoạn một xây dựng phương trình động lực học đầy đủ theo phương pháp Euler-Lagrange kết hợp mô hình động cơ DC. Giai đoạn hai mô phỏng cả hai thuật toán trên Matlab/Simulink để kiểm chứng lý thuyết. Giai đoạn ba nhúng thuật toán vào vi điều khiển STM32 và kết nối với Matlab qua giao tiếp nối tiếp. Giai đoạn bốn chạy thực nghiệm bám quỹ đạo và thu thập dữ liệu. Đối với LQR, ma trận K được tính từ nghiệm phương trình Riccati sau khi tuyến tính hóa hệ tại gốc tọa độ. Đối với Backstepping, luật điều khiển được suy ra trực tiếp từ phương trình phi tuyến gốc, đảm bảo ổn định toàn cục theo định lý Lyapunov. Hệ thống phần cứng gồm động cơ DC 12V, mạch H-bridge, hai encoder quang học và khung cơ khí chế tạo riêng. Giao diện GUI trực quan giúp quan sát đáp ứng thời gian thực và điều chỉnh thông số online.

3.1. Thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ RIP thực nghiệm

Hệ phi tuyến RIP được tuyến tính hóa quanh điểm cân bằng (α=0, β=0, dα/dt=0, dβ/dt=0). Ma trận hệ thống A và B được xác định từ Jacobian. Sau đó giải phương trình Riccati để tìm ma trận hồi tiếp tối ưu K. Hàm chi phí J tích hợp sai số trạng thái Q và năng lượng điều khiển R. Thông số Q và R được tinh chỉnh qua nhiều lần thực nghiệm để đạt sai số bám nhỏ và đáp ứng ổn định không dao động quá mức.

3.2. Thiết kế bộ điều khiển Backstepping phi tuyến cho RIP

Backstepping định nghĩa biến sai số e1 = α – αd và e2 = β – βd, sau đó xây dựng hàm ảo ổn định từng bước. Hàm Lyapunov tổng hợp V = (1/2)(e1² + e2² + ...) được chứng minh có đạo hàm âm xác định. Luật điều khiển cuối cùng biểu diễn điện áp u theo sai số trạng thái và đạo hàm quỹ đạo tham chiếu. Phương pháp này không cần tuyến tính hóa, hoạt động tốt hơn khi con lắc lệch lớn khỏi vị trí cân bằng.

IV. Kết quả so sánh và ứng dụng thực tiễn tại HCMUTE

Kết quả thực nghiệm tại HCMUTE cho thấy sự khác biệt rõ rệt giữa LQR và Backstepping trong bài toán bám quỹ đạo. LQR cho đáp ứng nhanh, ít dao động khi con lắc hoạt động gần điểm cân bằng và quỹ đạo tham chiếu thay đổi chậm. Bộ điều khiển Backstepping thể hiện khả năng bám tốt hơn khi biên độ quỹ đạo lớn hoặc tốc độ thay đổi tham chiếu cao, do không bị ràng buộc bởi giả thiết tuyến tính. Tuy nhiên, Backstepping đòi hỏi tính toán nhiều hơn và nhạy hơn với sai số đo lường từ encoder. Hai thuật toán đều đáp ứng yêu cầu ổn định con lắc trong khi bám quỹ đạo cánh tay, chứng minh tính khả thi của cả hai trên phần cứng thực. Nghiên cứu có giá trị tham khảo cao cho các đề tài về robot, UAV và hệ thống cân bằng tự động. Hướng phát triển tiếp theo gồm tích hợp bộ quan sát trạng thái, áp dụng điều khiển thích nghi hoặc kết hợp học máy để cải thiện hiệu năng bám trong điều kiện bất định.

4.1. Đánh giá định lượng sai số bám quỹ đạo hai bộ điều khiển

Chỉ số đánh giá gồm sai số bình phương trung bình (RMSE) góc cánh tay, RMSE góc con lắc và năng lượng tín hiệu điều khiển. LQR cho RMSE nhỏ hơn ở quỹ đạo biên độ thấp nhờ thiết kế tối ưu bậc hai. Backstepping cho RMSE thấp hơn ở quỹ đạo biên độ cao và tần số lớn. Năng lượng điều khiển của Backstepping cao hơn LQR do luật phi tuyến phức tạp hơn, cần cân nhắc khi ứng dụng vào hệ thống pin.

4.2. Ứng dụng thực tiễn và hướng phát triển tiếp theo

Mô hình RIP thực nghiệm tại HCMUTE là nền tảng cho nhiều nghiên cứu tiếp theo. Thuật toán LQR phù hợp ứng dụng trong robot cân bằng hai bánh, xe tự lái ở tốc độ thấp. Backstepping phù hợp hơn cho UAV, cánh tay robot phi tuyến mạnh. Hướng phát triển bao gồm tích hợp bộ lọc Kalman để cải thiện ước lượng trạng thái, áp dụng Adaptive Backstepping hoặc kết hợp mạng nơ-ron để tự chỉnh thông số điều khiển theo điều kiện vận hành thực tế.

Nội dung chính

Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Trong bối cảnh tự động hóa công nghiệp và kỹ thuật điều khiển hiện đại, nhu cầu vận hành chính xác các hệ thống cơ điện tử phức tạp ngày càng gia tăng. Hệ con lắc ngược quay (Rotary Inverted Pendulum - RIP) là một đối tượng nghiên cứu kinh điển, đóng vai trò chuẩn kiểm thử (benchmark) quan trọng trong lý thuyết điều khiển tự động. Hệ thống này mang bản chất phi tuyến mạnh, bất ổn định tự nhiên và thuộc nhóm đối tượng thiếu cơ cấu chấp hành (underactuated system) với một đầu vào điều khiển duy nhất nhưng phải đồng thời tác động lên hai bậc tự do. Do đó, các kỹ thuật điều khiển tuyến tính cổ điển bộc lộ nhiều hạn chế khi cần duy trì cân bằng và bám quỹ đạo chuyển động biến thiên. Việc nghiên cứu so sánh giải thuật điều khiển tuyến tính tối ưu và giải thuật phi tuyến tiên tiến trên hệ con lắc ngược quay là yêu cầu kỹ thuật cần thiết để đánh giá tính thích nghi và độ bền vững của từng phương pháp khi triển khai trên phần cứng thực nghiệm.

Khóa luận tốt nghiệp "A Comparison of Tracking Trajectory Control between LQR and Backstepping Methods for Rotary Inverted Pendulum" do sinh viên Phạm Hà Gia Bảo và Nguyễn Huy Khải thực hiện dưới sự hướng dẫn của ThS. Lê Thị Hồng Lam tại Khoa Điện - Điện tử, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh (tháng 01/2025), đặt ra 8 nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể được đánh số theo văn bản:

1. Tính toán phương trình động lực học của hệ con lắc ngược quay (RIP).
2. Mô phỏng hệ thống RIP trên môi trường phần mềm MATLAB.
3. Xác định phương trình động lực học của động cơ chấp hành để triển khai trên mô hình thực tế.
4. Xây dựng mô hình phần cứng: lựa chọn phần cứng, động cơ, mạch cầu H, bộ nguồn 12V DC.
5. Triển khai thuật toán LQR: tính toán giải thuật LQR và thực nghiệm bám quỹ đạo.
6. Triển khai thuật toán Backstepping: tính toán giải thuật Backstepping và thực nghiệm bám quỹ đạo.
7. So sánh hiệu năng bám quỹ đạo giữa hai bộ điều khiển LQR và Backstepping.
8. Thiết kế giao diện đồ họa người dùng (GUI) để giám sát và điều khiển hệ thống.

Đối tượng nghiên cứu trọng tâm là mô hình con lắc ngược quay cấu hình thanh đơn (single-link RIP) cùng hai thuật toán điều khiển: Linear Quadratic Regulator (LQR) và Backstepping. Phạm vi không gian nghiên cứu được tiến hành tại phòng thí nghiệm chuyên ngành thuộc Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh; phạm vi thời gian thực hiện đề tài diễn ra từ ngày 01/08/2024 đến ngày 01/01/2025. Nghiên cứu tập trung vào bài toán giữ cân bằng và bám hai dạng quỹ đạo mẫu (sóng sin và sóng vuông), kết hợp giải thuật kích lắc (swing-up) từ trạng thái buông thõng ban đầu.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khung lý thuyết của đề tài dựa trên lý thuyết điều khiển tự động hiện đại dành cho hệ thống một đầu vào - nhiều đầu ra (Single-Input Multiple-Output - SIMO). Cơ sở mô hình hóa hệ thống sử dụng phương trình Euler-Lagrange, phân tích cân bằng động năng và thế năng của hệ thanh quay và con lắc trong hệ tọa độ Descartes. Về phương diện điều khiển, đề tài áp dụng hai nền tảng giải thuật chính:

• Bộ điều khiển LQR (Linear Quadratic Regulator): Thuộc trường phái điều khiển tối ưu hóa trạng thái tuyến tính, hoạt động dựa trên mô hình không gian trạng thái đã được tuyến tính hóa quanh điểm cân bằng thẳng đứng. Bộ điều khiển cực tiểu hóa hàm mục tiêu chất lượng dạng bậc hai $J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt$ thông qua việc giải phương trình đại số Riccati (Algebraic Riccati Equation - ARE) để xác định ma trận độ lợi hồi tiếp $K = R^{-1} B^T P$. Ma trận trọng số $Q$ và $R$ được tối ưu hóa bằng giải thuật di truyền (Genetic Algorithm - GA) dựa trên các cơ chế tiến hóa sinh học như chọn lọc, lai ghép và đột biến.
• Bộ điều khiển Backstepping: Kỹ thuật điều khiển phi tuyến xây dựng luật điều khiển đệ quy từng bước theo cấu trúc từng lớp của hệ thống. Quá trình thiết kế sử dụng các biến điều khiển ảo và bảo đảm tính ổn định tiệm cận toàn cục thông qua tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, bảo đảm đạo hàm của hàm Lyapunov xác định dương luôn âm hoặc bằng không ($\dot{V} \le 0$).
• Thuật toán kích lắc (Swing-up algorithm): Dựa trên nguyên lý bơm năng lượng để đưa con lắc từ vị trí cân bằng bền phía dưới lên vùng lân cận điểm cân bằng không bền phía trên trước khi chuyển giao quyền kiểm soát cho bộ điều khiển cân bằng.
• Tiêu chí đánh giá chất lượng điều khiển: Đề tài sử dụng 4 chỉ số đo lường định lượng bao gồm sai số xác lập ($e_{xl}$), độ vọt lố ($POT$), thời gian xác lập ($t_{xl}$) theo chuẩn dung sai 2% hoặc 5%, và thời gian tăng trưởng ($t_r$) từ 10% đến 90% giá trị đặt.

Phương pháp nghiên cứu thực tế bao gồm phương pháp giải tích để thiết lập phương trình vi phân chuyển động phi tuyến kết hợp động học động cơ DC; phương pháp mô phỏng số trên phần mềm MATLAB/Simulink; và phương pháp thực nghiệm trên phần cứng vật lý. Nguồn dữ liệu sử dụng trong nghiên cứu bao gồm các thông số cơ - điện của động cơ DC do nhà sản xuất cung cấp kết hợp nhận dạng thực nghiệm, dữ liệu tín hiệu góc quay thu thập từ các encoder quang học, cùng tài liệu tham khảo học thuật từ các cơ sở dữ liệu quốc tế và trong nước.

Thiết kế và triển khai hệ thống kỹ thuật

Đồ án xây dựng một hệ thống cơ điện tử hoàn chỉnh bao gồm phần cứng cơ khí, mạch điện tử công suất, vi điều khiển nhúng và phần mềm điều khiển.

Về cấu trúc phần cứng, hệ thống bao gồm:

• Khối xử lý trung tâm: Kit vi điều khiển STM32F407-DISC1 trang bị vi xử lý ARM Cortex-M4, chịu trách nhiệm thực thi thuật toán điều khiển thời gian thực và xử lý tín hiệu ngoại vi.
• Khối chấp hành: Động cơ DC Servo được cấp nguồn từ bộ nguồn 12V DC, điều khiển thông qua mạch công suất cầu H (H-bridge) tiếp nhận tín hiệu điều chế độ rộng xung (PWM) từ vi điều khiển để thay đổi chiều quay và điện áp đặt lên rotor.
• Khối cảm biến: Sử dụng 02 cảm biến góc quay quang học (Rotary Encoder). Encoder LPD3806-600BM (độ phân giải 600 xung/vòng) được gắn tại trục động cơ để xác định góc quay và vận tốc góc của cánh tay nằm ngang ($\beta, \dot{\beta}$). Encoder E40S6-2000-6-L-5 (độ phân giải 2000 xung/vòng) gắn tại khớp xoay con lắc để đo góc lệch và vận tốc góc của thanh con lắc so với phương thẳng đứng ($\alpha, \dot{\alpha}$).
• Khối truyền thông: Module chuyển đổi USB-to-UART CP2102 làm cầu nối truyền dữ liệu nối tiếp hai chiều giữa kit STM32F407 và máy tính.

Về thiết kế phần mềm và mô hình nhúng, nhóm nghiên cứu sử dụng gói thư viện Waijung Blockset tích hợp trong MATLAB/Simulink để sinh mã tự động và nạp trực tiếp xuống vi điều khiển STM32F407. Mô hình Simulink được cấu thành từ các khối chức năng chuyên biệt: khối đọc encoder phần cứng (Encoder Read Block), khối chuyển đổi độ phân giải xung sang đơn vị radian (Convert_encoder block và covert_2 block), khối vi phân rời rạc (Discrete Derivative Block) kèm khối giữ mẫu bậc không (Zero-Order Hold Block) để tính vận tốc góc, khối cấu hình UART (UART Setup Block, UART Tx Block), khối tạo xung PWM (Basic PWM Block) và khối xuất mức logic số (Digital Output Block). Thuật toán kích lắc được đóng gói thành khối Swing-Up Algorithm Block, tự động kích hoạt bộ điều khiển cân bằng (LQR hoặc Backstepping) khi góc con lắc đi vào vùng kiểm soát lân cận vị trí thẳng đứng.

Hệ thống giao diện đồ họa người dùng (GUI) được lập trình trên nền tảng MATLAB. Giao diện này cho phép thiết lập giá trị đặt mục tiêu (Target Setup Block), lựa chọn tín hiệu quỹ đạo kiểm thử (sóng sin hoặc sóng vuông), hiệu chỉnh trực tiếp các tham số điều khiển và thu thập dữ liệu phản hồi thời gian thực phục vụ đánh giá động học.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Giới thiệu (Introduction)

Chương 1 trình bày bối cảnh nghiên cứu, tính cấp thiết của việc áp dụng điều khiển hiện đại cho hệ thống thiếu cơ cấu chấp hành phi tuyến như con lắc ngược quay. Tác giả tổng thuật các công trình nghiên cứu tiêu biểu trên thế giới (áp dụng thuật toán bầy đàn ACO, PSO, logic mờ Mamdani, điều khiển trượt SMC, mạng nơ-ron FNN, ANN, điều khiển Backstepping không mô hình MFBS) và tại Việt Nam (các nghiên cứu của nhóm tác giả Đại học Bách khoa TP.HCM, Đại học Cần Thơ, Đại học Thủ Dầu Một và Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM). Chương này xác định rõ mục tiêu, phương pháp tiếp cận, đối tượng, nội dung và các giới hạn phạm vi của đề tài.

Chương 2: Cơ sở lý thuyết (Theoretical Basic)

Chương 2 hệ thống hóa lý thuyết hệ thống điều khiển tự động, định nghĩa cấu trúc vòng điều khiển hồi tiếp kín với các biến tín hiệu vào, tín hiệu sai số và tín hiệu phản hồi. Tác giả mô tả chi tiết mô hình vật lý hệ con lắc ngược quay (RIP), con lắc hai liên kết (Two-Link Pendubot), con lắc trên xe con (Cart-Inverted Pendulum). Tiếp đó, chương trình bày cơ sở toán học của bộ điều khiển LQR, phương trình đại số Riccati, nguyên lý thuật toán di truyền GA (khởi tạo, chọn lọc, lai ghép, đột biến, hàm thích nghi), nguyên lý điều khiển Backstepping dựa trên hàm Lyapunov, tổng quan quá trình phát triển của thuật toán kích lắc Swing-Up, cùng các công thức tính toán tiêu chí đánh giá chất lượng hệ thống ($e_{xl}$, $POT$, $t_{xl}$, $t_r$).

Chương 3: Tính toán và thiết kế (Computation and Design)

Chương 3 tập trung xây dựng mô hình toán học giải tích của hệ RIP. Dựa trên phương pháp Euler-Lagrange, phương trình động năng và thế năng của toàn hệ thống được thiết lập chi tiết. Hệ phương trình chuyển động ban đầu nhận mô-men xoắn động cơ làm đầu vào được chuyển đổi tương đương sang đầu vào điện áp cấp cho động cơ DC nhằm phù hợp với phần cứng thực tế. Tác giả phân tích hai phần điện và cơ của động cơ DC, bỏ qua điện cảm cuộn dây $L_m$ do hằng số thời gian điện nhỏ hơn nhiều so với cơ, từ đó đưa ra hệ phương trình vi phân phi tuyến gắn liền với điện áp $e(t)$ thông qua các hệ số gộp $K_1, K_2, K_3$. Tiếp theo, chương trình bày các bước thiết kế bộ điều khiển LQR rời rạc, kiểm tra tính điều khiển được của hệ thống, thiết kế luật điều khiển phi tuyến Backstepping, chứng minh tính ổn định theo Lyapunov và thiết kế thuật toán kích lắc Swing-Up.

Chương 4: Xây dựng hệ thống (System Construction)

Chương 4 mô tả toàn diện quá trình hiện thực hóa mô hình thực nghiệm. Nội dung bao gồm thiết kế kết cấu cơ khí của cánh tay đòn và thanh con lắc; lựa chọn và kết nối các linh kiện điện tử (STM32F407-DISC1, động cơ DC Servo, mạch cầu H, encoder 600 xung, encoder 2000 xung, module CP2102); xây dựng lưu đồ thuật toán chương trình điều khiển chính, chương trình đọc xử lý encoder và chương trình ngắt UART; triển khai các khối mô phỏng và khối nhúng trong thư viện Waijung Blockset của MATLAB/Simulink; và thiết kế giao diện đồ họa giám sát điều khiển (GUI).

Chương 5: Kết quả thực hiện (Results of Implementation)

Chương 5 công bố toàn bộ dữ liệu kiểm nghiệm từ mô phỏng đến mô hình thực tế. Kết quả bao gồm: đáp ứng của thuật toán kích lắc Swing-Up đưa con lắc lên vị trí thẳng đứng; đáp ứng ổn định giữ cân bằng quanh điểm làm việc tĩnh; kết quả mô phỏng bám quỹ đạo hình sin và sóng vuông của LQR và Backstepping; kết quả thực nghiệm bám quỹ đạo hình sin và sóng vuông trên phần cứng thật của hai bộ điều khiển; và các đánh giá so sánh tổng hợp về độ chính xác, tốc độ đáp ứng và tính ổn định.

Chương 6: Kết luận và hướng phát triển (Conclusion and Future Directions)

Chương 6 đúc kết các kết quả đã hoàn thành của đồ án tốt nghiệp, chỉ ra các mặt hạn chế còn tồn tại và đề xuất các định hướng mở rộng nghiên cứu trong tương lai, đặc biệt là việc nâng cấp lên hệ con lắc ngược quay hai liên kết (Two-Link Rotary Inverted Pendulum).

Kết quả và đóng góp

Nghiên cứu đã xây dựng thành công mô hình toán học tích hợp giữa hệ cơ khí con lắc ngược quay và động học điện - cơ của động cơ DC Servo. Bảng thông số kỹ thuật của động cơ DC sử dụng trong tính toán và nhận dạng được ghi nhận trong văn bản như sau:

Thông số động cơ	Ký hiệu	Giá trị định lượng	Đơn vị
Điện trở phần ứng	$R_m$	11,944421124154792	$\Omega$
Hằng số sức phản điện động	$K_b$	0,08616450063616	$\text{V}/(\text{rad}/\text{s})$
Hằng số mô-men xoắn	$K_t$	Bằng $K_b$ (trong hệ MKS)	$\text{N}\cdot\text{m}/\text{A}$
Mô-men quán tính rotor	$J_m$	0,000059833861116	$\text{kg}\cdot\text{m}^2$
Hệ số ma sát nhớt	$C_m$	0,000067435629646	$\text{N}\cdot\text{m}/(\text{rad}/\text{s})$

Kết quả so sánh hiệu năng bám quỹ đạo giữa hai phương pháp LQR và Backstepping trên mô phỏng và thực nghiệm được tổng hợp trong bảng đối chuẩn sau:

Tiêu chí so sánh	Bộ điều khiển LQR	Bộ điều khiển Backstepping
Cơ chế điều khiển	Hồi tiếp trạng thái tối ưu tuyến tính quanh điểm cân bằng	Điều khiển phi tuyến hồi quy theo hàm Lyapunov
Ổn định điểm tĩnh	Tối ưu, giữ cân bằng tốt ở lân cận điểm làm việc đã tuyến tính hóa	Ổn định tiệm cận tốt, hội tụ về điểm cân bằng
Bám quỹ đạo sóng sin	Bám tốt tín hiệu trơn; sai số tăng khi góc lệch lớn	Khả năng bám mượt mà, triệt tiêu sai số phi tuyến vượt trội
Bám quỹ đạo sóng vuông	Xuất hiện dao động và thời gian xác lập kéo dài khi đổi trạng thái đột ngột	Thích ứng nhanh với độ dốc biên độ lớn, độ vọt lố được hạn chế tốt
Độ bền vững phi tuyến	Suy giảm khi góc con lắc lệch xa điểm cân bằng tuyến tính hóa	Duy trì độ bền vững cao trước các đặc tính phi tuyến của mô hình

Các giải pháp kỹ thuật do nhóm tác giả đề xuất gồm có:

• Chuyển đổi phương trình toán học từ đầu vào mô-men xoắn sang đầu vào điện áp động cơ để điều khiển trực tiếp qua tín hiệu PWM và mạch cầu H trên mô hình vật lý.
• Ứng dụng giải thuật di truyền (GA) để tối ưu hóa ma trận trọng số $Q$ và $R$ của bộ điều khiển LQR.
• Ứng dụng thư viện Waijung Blockset để nhúng mã trực tiếp từ môi trường MATLAB/Simulink xuống vi điều khiển STM32F407, rút ngắn thời gian lập trình nhúng phần cứng.

Đóng góp của đồ án so với các nghiên cứu trước được tác giả tự xác định: Đề tài đã hoàn thiện một quy trình khép kín từ mô hình hóa giải tích, mô phỏng số, tối ưu hóa thông số đến thi công chế tạo phần cứng thực nghiệm với chi phí hợp lý. Nghiên cứu cung cấp dữ liệu kiểm chứng và so sánh đối đầu trực tiếp giữa giải thuật tối ưu tuyến tính LQR và giải thuật phi tuyến Backstepping trong bài toán bám quỹ đạo động, đóng góp tài liệu kỹ thuật hữu ích cho công tác đào tạo và nghiên cứu trong lĩnh vực kỹ thuật điều khiển tự động.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của đề tài được tác giả ghi nhận trực tiếp trong văn bản:

• Mô hình nghiên cứu chỉ giới hạn trên hệ con lắc ngược quay cấu hình thanh đơn (single-link RIP), chưa mở rộng kiểm nghiệm trên các cấu hình đa bậc tự do phức tạp hơn như hệ hai liên kết (two-link pendubot) hoặc ba liên kết.
• Nghiên cứu chỉ tập trung khảo sát hai giải thuật điều khiển là LQR và Backstepping cho bài toán cân bằng và bám quỹ đạo; các thuật toán điều khiển phi tuyến và thích nghi khác chưa được đánh giá đối chứng.
• Thuật toán kích lắc Swing-Up có thời gian đáp ứng tương đối chậm khi đưa con lắc từ vị trí tự nhiên phía dưới lên vị trí thẳng đứng trước khi chuyển sang giai đoạn giữ cân bằng.

Hướng nghiên cứu tiếp theo được đề xuất:

• Mở rộng mô hình toán học và cấu trúc điều khiển cho hệ con lắc ngược quay hai bậc tự do (Two-Link Rotary Inverted Pendulum System).
• Tối ưu hóa thuật toán kích lắc Swing-Up nhằm rút ngắn thời gian đáp ứng và giảm xung lực dao động cơ học.
• Nghiên cứu kết hợp các giải thuật điều khiển thông minh hoặc điều khiển thích nghi để nâng cao độ bền vững của hệ thống khi có nhiễu tác động từ môi trường.

Giá trị tham khảo

Báo cáo khóa luận là tài liệu tham khảo chuyên ngành hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và các nhóm nghiên cứu thuộc các ngành Công nghệ Kỹ thuật Điều khiển và Tự động hóa, Kỹ thuật Cơ điện tử, Kỹ thuật Điện - Điện tử và Robot học.

Các nội dung có giá trị tham khảo ứng dụng thực tiễn cao bao gồm:

• Quy trình thiết lập phương trình vi phân chuyển động bằng phương pháp Euler-Lagrange và kỹ thuật quy đổi mô hình động học sang đầu vào điện áp động cơ thực tế.
• Kỹ thuật thiết kế luật điều khiển phi tuyến Backstepping và phân tích tính ổn định dựa trên tiêu chuẩn hàm Lyapunov cho hệ thống thiếu cơ cấu chấp hành.
• Phương pháp triển khai hệ thống nhúng từ sơ đồ khối Simulink sang vi điều khiển STM32F407 thông qua thư viện Waijung Blockset, bao gồm cấu hình đọc encoder tốc độ cao, băm xung PWM và truyền thông UART.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao nghiên cứu cần quy đổi mô hình động lực học từ đầu vào mô-men xoắn sang đầu vào điện áp?
Trong các mô hình lý thuyết thuần túy, đầu vào thường được giả định là mô-men xoắn của động cơ để đơn giản hóa phương trình. Tuy nhiên, trên mô hình vật lý thực tế, đại lượng điều khiển tác động trực tiếp từ bộ vi điều khiển thông qua mạch cầu H là điện áp (thể hiện qua chu kỳ nhiệm vụ PWM). Do động cơ DC có đặc tính phi tuyến và mô-men xoắn chỉ là hệ quả gián tiếp sinh ra từ dòng điện và điện áp, việc quy đổi sang phương trình điện áp là điều kiện bắt buộc để luật điều khiển có thể nạp và vận hành trực tiếp trên phần cứng thật.

2. Động lực học điện của cuộn dây động cơ ($L_m$) được xử lý như thế nào trong mô hình toán học?
Do hằng số thời gian điện của động cơ DC diễn ra rất nhanh so với động học cơ học của cánh tay và con lắc, thành phần điện cảm cuộn dây ($L_m \frac{di}{dt}$) được tác giả giả định xấp xỉ bằng 0. Giả định này cho phép tính toán dòng điện phần ứng tức thời theo công thức đại số $i = \frac{e - K_b \dot{\beta}}{R_m}$, từ đó tích hợp gọn gàng vào phương trình vi phân chuyển động cơ học mà không làm tăng bậc của hệ phương trình trạng thái.

3. Phần cứng thực nghiệm của hệ thống sử dụng những linh kiện chính nào?
Hệ thống sử dụng kit vi điều khiển STM32F407-DISC1 (ARM Cortex-M4), động cơ DC Servo kèm bộ nguồn 12V DC, mạch công suất cầu H nhận tín hiệu PWM, cảm biến góc quay quang học LPD3806-600BM (600 xung/vòng) gắn tại trục cánh tay đòn, cảm biến góc quay quang học E40S6-2000-6-L-5 (2000 xung/vòng) gắn tại trục con lắc, và module chuyển đổi USB-UART CP2102.

4. Sự khác biệt cốt lõi về hiệu năng bám quỹ đạo giữa LQR và Backstepping trong đề tài là gì?
Bộ điều khiển LQR đạt chất lượng điều khiển tối ưu khi hệ thống hoạt động ở lân cận điểm cân bằng thẳng đứng (nơi các giả định tuyến tính hóa có độ chính xác cao), nhưng suy giảm chất lượng và dễ mất ổn định khi bám các quỹ đạo có góc lệch lớn hoặc biến đổi đột ngột như sóng vuông. Ngược lại, bộ điều khiển Backstepping giữ vững tính ổn định tiệm cận và độ bền vững trên toàn dải hoạt động nhờ cấu trúc điều khiển phi tuyến xử lý triệt để các thành phần bất định của hệ thống.

5. Giải thuật di truyền (GA) đóng vai trò gì trong cấu trúc điều khiển của đồ án?
Giải thuật di truyền (GA) được nhóm tác giả ứng dụng nhằm tự động hóa quá trình tìm kiếm và tối ưu hóa ma trận trọng số trạng thái $Q$ và ma trận trọng số điều khiển $R$ của bộ điều khiển LQR, thay thế cho phương pháp thử sai truyền thống nhằm cực tiểu hóa hàm mục tiêu chất lượng và sai số bám quỹ đạo.

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp của sinh viên Phạm Hà Gia Bảo và Nguyễn Huy Khải đã giải quyết trọn vẹn bài toán điều khiển giữ cân bằng và bám quỹ đạo cho hệ con lắc ngược quay thông qua hai phương pháp LQR và Backstepping. Công trình nổi bật ở tính ứng dụng thực nghiệm cao khi chuyển đổi thành công mô hình toán học sang đầu vào điện áp thực tế và triển khai nhúng trực tiếp trên phần cứng vi điều khiển STM32F407 kết hợp giao diện giám sát MATLAB GUI. Các kết quả mô phỏng và thực nghiệm thu được khẳng định rõ nét ưu thế tối ưu tuyến tính của LQR quanh điểm làm việc tĩnh cùng tính bền vững phi tuyến vượt trội của Backstepping trong bài toán bám quỹ đạo động, tạo tiền đề khoa học vững chắc cho việc phát triển các cấu hình con lắc đa liên kết tiếp theo.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF TECHNOLOGY AND EDUCATION GRADUATION THESIS MAJOR: AUTOMATION AND CONTROL ENGINEERING TECHNOLOGY A COMPARISON OF TRACKING TRAJECTORY CONTROL BETWEEN LQR AND BACKSTEPPING METHODS FOR ROTARY INVERTED PENDULUM INSTRUCTOR: LE THI HONG LAM STUDENT: PHAM HA GIA BAO NGUYEN HUY KHAI Ho Chi Minh city, January 2025 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF TECHNOLOGY AND EDUCATION FACULTY OF ELECTRICAL AND ELECTRONIC ENGINEERING AUTOMATION AND CONTROL ENGINEERING TECHNOLOGY -----------------⸙∆⸙----------------- Graduation Thesis TOPIC: A Comparison of Tracking Trajectory Control between LQR and Backstepping Methods for Rotary Inverted Pendulum Advisor: Le Thi Hong Lam, M. Students: Pham Ha Gia Bao 20151087 Nguyen Huy Khai 20151381 Ho Chi Minh city, January , 2025 i SOCIALIST REPUBLIC OF VIETNAM Independence-Freedom-Happiness ****** Ho Chi Minh City, January , 2025 ----o0o---- SUBJECT PROJECT ASSIGNMENT Student name: Phạm Hà Gia Bảo Student ID: 20151087 Student name: Nguyễn Huy Khải Student ID: 20151381 Major: Automation and Control Engineering Technology Class: 2015CL3A Advisor: M. Le Thi Hong Lam Date of assignment: Date of submission: 1. Project title: A Comparison of Tracking Trajectory Control between LQR and Backstepping Methods for Rotary Inverted Pendulum 2.

Initial materials: They are supplied by the advisor. Content of the project:  Calculation of the dynamical equation of Rotary Inverted Pendulum ( RIP) system.  Simulating the RIP system on Matlab.  Determining the dynamic equation of the engine to implement in the real model.

 Model building: Select hardware, select motor, H-bridge, 12V DC Power.  Run the LQR algorithm: Computational Algorithm of LQR and Experimental Trajectory Tracking. i  Run the Backstepping algorithm: Computational Algorithm of Backstepping and Experimental Trajectory Tracking.  Comparison of Trajectory Tracking between LQR and Backstepping Controllers.

 Designing a System Control Graphical User Interface (GUI). Final product:  Inverted Pendulum Rotational Experimental Model.  Graduation report book.  The simulation file includes the program and the control interface.

ADVISOR CHAIR OF THE PROGRAM ii SOCIALIST REPUBLIC OF VIETNAM Independence-Freedom-Happiness ****** Ho Chi Minh City, January , 2025 ----o0o---- Graduation Project Implementation Schedule Student name: Phạm Hà Gia Bảo Student ID: 20151087 Student name: Nguyễn Huy Khải Student ID: 20151381 Major: Automation and Control Engineering Technology Advisor: M. Le Thi Hong Lam  Project title: A Comparison of Tracking Trajectory Control between LQR and Backstepping Methods for Rotary Inverted Pendulum  Project Implementation Plan: Confirmation of mm/dd/yy Workload Advisor 8/1/2024 – 8/20/2024 Research the topic, receive the hardware, and develop the mathematical equations of the system. 8/21/2024 – 9/30/2024 Research, design, and simulate the LQR controller, implement the software, embed STM32 into Matlab, test, and read signals from the Encoder 10/1/2024 – 10/15/2024 Debug the hardware, design, and simulate the LQR and Backstepping controllers. 10/16/2024 – 11/15/2024 Apply the LQR and Backstepping controllers to the iii experimental model, and compare the model's response with the simulation.

11/16/2024 – 12/3/2024 Continue adjusting the parameters to match the experimental results with the simulation. Start controlling the simulation and experimental trajectory tracking. Compare the LQR and Backstepping algorithms in trajectory tracking control. Write a scientific paper 12/4/2024 – 1/1/2024 Write the graduation thesis.

Ho Chi Minh City, January , 2025 ADVISOR iv SOCIALIST REPUBLIC OF VIETNAM Independence-Freedom-Happiness ****** Ho Chi Minh City, January , 2025 ----o0o---- Declaration of Commitment We, the members of this group, solemnly affirm that this graduation project was executed with the utmost integrity and dedication throughout its development. We attest that the findings presented in this project represent the culmination of individual effort and diligence from each team member. We commit to upholding these principles through to the project defense. Furthermore, we confirm that all content and ideas presented in this project are the product of our team’s research and collaborative efforts.

We have provided comprehensive citations for all consulted sources, maintaining high standards of accuracy, and we have adhered to all regulations regarding information integrity. We affirm that no material has been plagiarized or used without proper attribution. In addition, we pledge that all analysis and assessments within this project were conducted with honesty and transparency. We have neither concealed nor manipulated any data that might compromise the integrity of this project.

Finally, our group is committed to adhering to all guidelines, procedures, and instructions provided by our faculty advisor. We will continue to maintain our dedication and integrity in all endeavors related to this project, and we willingly accept full responsibility for any issues that may arise concerning this work. Ho Chi Minh City, January , 2025 STUDENTS v Acknowledgements The author wishes to express sincere gratitude to all individuals who have contributed to the completion of this research. First and foremost, the author acknowledges M.

Le Thi Hong Lam and Dr. Nguyen Van Dong Hai, whose unwavering support, insightful guidance, and dedicated mentorship were instrumental throughout the development and completion of this thesis. Hai's expertise and encouragement were invaluable in navigating research challenges and facilitating academic advancement. The author is also deeply grateful to the faculty members of Ho Chi Minh City University of Technology and Education, especially those in the Faculty of Electrical and Electronics Engineering.

Their valuable knowledge, presented through inspiring lectures, provided a strong foundation and motivation for this academic endeavor. Furthermore, the author extends sincere thanks to M.Eng student Nguyen Duc Anh Quan, currently pursuing studies at Ho Chi Minh City University of Technology - Vietnam National University Ho Chi Minh City, for his insightful contributions, invaluable assistance, and encouragement during the research process. His support was greatly appreciated and played a role in the successful completion of this thesis. Finally, the author is sincerely indebted to their family, particularly their parents, whose continuous support and encouragement provided essential strength, enabling the author to overcome obstacles and achieve their academic goals.

vi Table of Contents SUBJECT PROJECT ASSIGNMENT. i Graduation Project Implementation Schedule. iii Declaration of Commitment. vi Table of Contents.

vii List of Figures .x List of Tables.1 THEORY OF AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS .2 DECRIPTION RIP SYSTEM .6 THE SWING-UP ALGORITHM .7 CONTROLLER PERFORMANCE EVALUATION CRITERIA. COMPUTATION AND DESIGN .2 LQR CONTROLLER DESIGN .1 Examination of System Controllability.2 Computation of the Discrete LQR Algorithm .3 BACKSTEPPING CONTROLLER DESIGN .1 Design of a Nonlinear Backstepping Control Law .2 Stability Analysis based on Lyapunov Stability Criterion: .4 SWING-UP ALGORITHM .47 CHAPTER 4: SYSTEM CONSTRUCTION .2 Mechanical Design Of The RIP System .2 SOFTWARE DESIGN OF THE RIP SYSTEM .1 Main Control Program .2 General Introduction to the Waijung Blockset Library .3 Modeling of the RIP System.5 Simulink-Based Design for Embedded Implementation on STM32F407 78 4.6 User Interface Design .89 CHAPTER 5: RESULTS OF IMPLEMENTATION .3 Swing-up Algorithm .3 Swing-up Algorithm .3 COMPARISON OF TRAJECTORY TRACKING: .1 Comparison of trajectory tracking performance during sinusoidal simulation: .2 Comparison of trajectory tracking performance during a square-wave simulation: .3 Comparison of experimental sinusoidal trajectory tracking: .4 Comparison of experimental square wave trajectory.5 Concluding comparative evaluation of the LQR and Backstepping controllers:. CONCLUSION AND FUTURE DIRECTIONS .128 ix List of Figures Fig 1.1 RIP hardware model .1 The basic structure of a control system .2 Rotary Inverted Pendulum Model .3 Two-Link Inverted Pendulum Model .4 Cart-Inverted Pendulum Model .5 Structure of the LQR Controller .6 Illustrating the Genetic Algorithm (GA) .1 Structure of the RIP System .2 Structure of a DC Motor .3 Simulate LQR controller for RIP system.4 Simulate the RIP system .5 Flowchart of the Swing-Up Control Algorithm.1 STM32F407-DISC1 kit.4 Encoder LPD3806-600BM .8 RIP system hardware model .9 Diagram of the RIP System Connections .10 Hardware Interconnection Diagram .11 Flowchart of the Main Control Program of the System .12 Flowchart of the Encoder Signal Reading and Processing Program .13 Flowchart of the UART Signal Reading and Processing Program from Computer .14 Pendubot System Simulation Block .15 Inside the Subsystem block representing the Pendubot system .16 Inside Block Parameters .17 Data Acquisition Blocks for Identification .18 Data Acquisition Blocks from the Microcontroller .19 Construction of a Mathematical Model for Motor Dynamics Based on Identifiable Parameters.20 Internal Components of the DC Block .21 Input Equation within the "i_d" Block .22 Input Equation within the “theta_2d” Block .23 Control Signal Processing and Generation Block .24 Target Setup Block .25 UART Setup Block .26 Encoder Read Block .27 UART Tx Block.28 Basic PWM Block .29 Digital Output Block .30 Zero-Order Hold Block .32 Discrete Derivative Block .35 Convert_encoder block .36 Inside the 'convert_encoder' Block .37 Inside the 'covert_2' Block .38 Swing-Up Algorithm Block .40 Main System Control Interface .41 Description of Blocks within the Main System Control Interface .42 Flowchart of the Genetic Algorithm (GA) .43 Structure of the Optimal Control System Optimized by GA .1 Simulation results of LQR control around the equilibrium point .2 LQR simulation for sinusoidal trajectory tracking .3 Arm output signal tracking a sinusoidal reference compared to the desired signal .4 LQR simulation of square-wave trajectory tracking .5 Arm response to a square-wave reference compared with the input signal .6 Simulation results of Backstepping control around the equilibrium point .7 Backstepping simulation for sinusoidal trajectory tracking .8 Arm output signal tracking a sinusoidal reference compared to the desired signal .9 Backstepping simulation of square-wave trajectory tracking .10 Arm response to a square-wave reference compared with the input signal .11 Simulation output signal of swing-up .12 Swing-up arm angle signal .13 Experimental LQR control for sinusoidal trajectory tracking .14 Experimental results of LQR controller performance during square-wave trajectory tracking .15 Experimental Backstepping control for sinusoidal trajectory tracking .16 Experimental results of Backstepping controller performance during square-wave trajectory tracking .17 Experimental swing-up with LQR control for equilibrium point tracking .18 Experimental swing-up with LQR control for sinusoidal trajectory tracking .19 Experimental swing-up with LQR control for square-wave trajectory tracking: .20 LQR simulation for sinusoidal trajectory tracking .21 Backstepping simulation for sinusoidal trajectory tracking .22 LQR simulation of square-wave trajectory tracking .23 Backstepping simulation of square-wave trajectory tracking.24 Experimental LQR control for sinusoidal trajectory tracking .25 Experimental Backstepping control for sinusoidal trajectory tracking .26 Experimental results of LQR controller performance during square-wave trajectory tracking .27 Experimental results of Backstepping controller performance during square-wave trajectory tracking .1 Two-Link Rotary Inverted Pendulum System .127 xii List of Tables Table 3.1 Motor Technical Specifications .1 Technical Specifications of the STM32F07 .2 H-Bridge Pin Functions .3 Technical Specifications of the Rotary Encoder 600bm .4 Technical Specifications of the Rotary Encoder E40S6-2000-6-L-5 .5 Technical Specifications of the CP2102 Module .7 Blocks in Pendubot System Simulation .8 Definitions of Components within the Subsystem Block .9 Definitions of Data Acquisition Blocks for System Identification .74 xiii ABBREVIATIONS Symbols Meaning RIP Rotary inverted pendulum LQR Linear Quadratic Regulator GA Genetic Algorithm HCMUTE Ho Chi Minh city University of Technology and Education SMC Sliding mode control SISO Single Input – Single Output PWM Pulse Width Modulation ISE Integrated-Squared-Error GPIO General Purpose Input Output GUI Graphical User Interface UART Universal Asynchronous Receiver-Transmitter xiv ABSTRACT This study presents a comparative analysis of trajectory tracking control performance between the Linear Quadratic Regulator (LQR) and Backstepping control methods applied to a rotary inverted pendulum system. As a highly nonlinear and inherently unstable system, the rotary inverted pendulum poses significant challenges for control design, making it an ideal testbed for evaluating advanced control strategies.

The research emphasizes the design, simulation, and performance evaluation of both methods using MATLAB/Simulink. Key performance metrics, including trajectory tracking error, response time, and stability, are analyzed to assess the effectiveness of each method. Simulation results demonstrate that while the LQR method excels in providing optimal control under linearized conditions, the Backstepping method offers superior robustness in handling system nonlinearities. These findings provide valuable insights into the practical applications of LQR and Backstepping in nonlinear control systems and establish a foundation for further experimental validation on physical hardware.

Keywords: Inverted pendulum; LQR controller; Backstepping controller; Pendulum position exponentiation; Balance control; Stability control. xv Graduation Thesis CHAPTER 1.