Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học "Phương trình khuếch tán không cổ điển" được NCS. Nguyễn Dương Toàn thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Cung Thế Anh tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội (chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân, mã số 62 46 01 03, bảo vệ năm 2015).

Phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến là mô hình toán học cho nhiều quá trình trong vật lý, cơ học, hóa học và sinh học như truyền nhiệt, khuếch tán, truyền sóng trong cơ học chất lỏng và mô hình quần thể sinh học. Lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có dạng tổng quát:

$$u_t - \varepsilon \Delta u_t - \Delta u + f(x, u) + \lambda u = g(x, t), \quad \varepsilon \in (0, 1]$$

Khi $\varepsilon = 0$, phương trình trở thành phương trình phản ứng - khuếch tán cổ điển. Về mặt vật lý, phương trình phản ứng - khuếch tán cổ điển bỏ qua tính nhớt, sự đàn hồi và áp suất của môi trường trong quá trình khuếch tán chất rắn. Mô hình khuếch tán không cổ điển do E. Aifantis đề xuất đã khắc phục khiếm khuyết này để mô tả các hiện tượng như dòng chảy không Newton, cơ học chất rắn, chất lỏng và tỏa nhiệt.

Về mặt toán học, sự xuất hiện của số hạng đạo hàm cấp cao theo thời gian $-\varepsilon \Delta u_t$ làm mất đi hiệu ứng làm trơn (smoothing effect) vốn có của phương trình parabolic; nghiệm của phương trình chỉ có độ trơn tối đa bằng độ trơn của dữ kiện ban đầu (tính chất tương tự phương trình hyperbolic). Khi ngoại lực $g(x, t)$ phụ thuộc vào thời gian (hệ không ôtônôm), toán tử sinh bởi bài toán là một quá trình hai tham số $U(t, \tau)$. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời điểm cuối $t \to +\infty$ (động lực học tiến - forward dynamics) trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$ và khi thời điểm ban đầu $\tau \to -\infty$ (động lực học lùi - pullback dynamics) trên miền không trụ biến thiên theo thời gian $\Omega_t$ là những vấn đề mở phức tạp do các định lý nhúng Sobolev mất tính compact hoặc miền xác định thay đổi theo thời gian.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định qua 3 nội dung cụ thể:

  1. Nghiên cứu tính đặt đúng (sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu) và dáng điệu tiệm cận của nghiệm thông qua sự tồn tại của tập hút đều trong không gian $H^1(\mathbb{R}^N)$ và $H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N)$ đối với phương trình khuếch tán không cổ điển không ôtônôm trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$, ứng với hai lớp số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev hoặc kiểu đa thức bậc tùy ý; khảo sát tính nửa liên tục trên của tập hút đều tại $\varepsilon = 0$ để so sánh với phương trình phản ứng - khuếch tán cổ điển.
  2. Nghiên cứu tính bị chặn đều và tính nửa liên tục trên của họ các tập hút đều đối với phương trình khuếch tán không cổ điển trên $\mathbb{R}^N$ khi chịu tác động của ngoại lực dao động kì dị dạng $g_0(x, t) + \varepsilon^{-\gamma} g_1(x, t/\varepsilon)$ với $\gamma \in [0, 1)$.
  3. Nghiên cứu tính đặt đúng (sự tồn tại, duy nhất nghiệm biến phân) và dáng điệu tiệm cận của nghiệm thông qua sự tồn tại của tập $\mathcal{D}$-hút lùi trong họ không gian ${L^2(\Omega_t)}{t \in \mathbb{R}}$ đối với phương trình khuếch tán không cổ điển không ôtônôm trong miền không trụ biến thiên $\bigcup{t>\tau} \Omega_t \times {t}$, với số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng: Nghiệm yếu, nghiệm biến phân và các cấu trúc tập hút (tập hút đều, tập hút lùi) của phương trình khuếch tán không cổ điển.
  • Phạm vi không gian: Toàn không gian Euclid $\mathbb{R}^N$ (miền không bị chặn) và họ các miền mở bị chặn không giảm theo thời gian ${\Omega_t}{t \in \mathbb{R}} \subset \mathbb{R}^N$ ($s < t \implies \Omega_s \subset \Omega_t$) tạo nên miền không trụ $Q\tau = \bigcup_{t>\tau} \Omega_t \times {t}$.
  • Phạm vi thời gian: $t \in [\tau, +\infty)$ với thời điểm ban đầu $\tau \in \mathbb{R}$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã tổng hợp các hướng nghiên cứu nền tảng và cập nhật liên quan đến phương trình khuếch tán không cổ điển và hệ động lực vô hạn chiều:

  • Nguồn gốc mô hình vật lý và phương trình: E. Aifantis (1980, 1987, 1988, 2011) thiết lập mô hình khuếch tán không cổ điển trong chất rắn có tính đến đàn hồi, độ nhớt và áp suất trung bình; T.W. Ting (1963), C. Truesdell & W. Noll (1995) ứng dụng cho dòng chảy không Newton cấp hai; M.E. Gurtin & A.C. Pipkin (1968) ứng dụng trong lý thuyết dẫn nhiệt hai nhiệt độ.
  • Lý thuyết tập hút cho hệ động lực không ôtônôm: V.V. Chepyzhov & M.I. Vishik (1994, 2002, 2013) xây dựng lý thuyết tập hút đều cho hệ động lực tiến; H. Crauel, A. Debussche, F. Flandoli (1997), T. Caraballo, G. Lukaszewicz, J. Real (2006), P.E. Kloeden & M. Rasmussen (2011), A.N. Carvalho, J.A. Langa, J.C. Robinson (2013) phát triển lý thuyết tập hút lùi (pullback attractors); M. Conti, V. Pata, R. Temam (2013) đề xuất khái niệm tập hút phụ thuộc thời gian (time-dependent attractors).
  • Các kết quả trên miền bị chặn: Y. Xiao (2002), C. Sun & C. Zhong (2007), X. Yang (2009), M. Conti & V. Pata (2014) khảo sát tập hút toàn cục và tập hút mũ trong trường hợp ôtônôm; C. Sun & M. Yang (2009), C. Bao (2010), F. Di Plinio, G.S. Duane, R. Temam (2013) nghiên cứu trường hợp không ôtônôm trên miền bị chặn.
  • Các kết quả trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$: Q. Ma & C. Zhong (2009), C. Zhang, Y. Wang, Q. Ma (2012) chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục cho trường hợp ôtônôm; C. Bao (2012), F. Liu (2014) khảo sát tập hút lùi cho trường hợp không ôtônôm.
  • Nghiên cứu trong miền không trụ: P. Marin-Rubio & J. Real (2008), J. Sun, M. Yang, C. Zhong (2009) nghiên cứu tập hút lùi cho phương trình phản ứng - khuếch tán cổ điển; G. Savaré & G. Schimperna (2001) nghiên cứu phương trình kiểu Schrödinger; C. Bao, C. Sun, D. Toan (2012) nghiên cứu tập hút lùi cho phương trình khuếch tán không cổ điển với phi tuyến đa thức.
  • Nghiên cứu phương trình với ngoại lực dao động kì dị: M.I. Vishik et al. (2009) đưa ra phương pháp lấy trung bình cho phương trình Navier-Stokes 2D.

Khoảng trống nghiên cứu luận án lựa chọn giải quyết:

  • Động lực học tiến (tập hút đều) của phương trình khuếch tán không cổ điển không ôtônôm trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$ khi số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Sobolev tới hạn hoặc đa thức bậc tùy ý.
  • Tính ổn định tiệm cận của tập hút đều khi tham số $\varepsilon \to 0^+$ (chuyển từ phương trình không cổ điển sang phương trình cổ điển) trên $\mathbb{R}^N$.
  • Sự tồn tại, tính bị chặn đều và sự hội tụ của tập hút đều khi ngoại lực chứa dao động tần số cao kì dị $\varepsilon^{-\gamma} g_1(x, t/\varepsilon)$ trên $\mathbb{R}^N$.
  • Động lực học lùi (tập hút lùi) của phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ biến thiên theo thời gian đối với hàm phi tuyến có tốc độ tăng trưởng kiểu Sobolev.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các khung lý thuyết và phương pháp toán học giải tích hiện đại:

Khung lý thuyết và khái niệm cốt lõi

  • Hệ động lực không ôtônôm và Quá trình hai tham số: Họ ánh xạ ${U_\sigma(t, \tau): t \ge \tau, \tau \in \mathbb{R}}$ thỏa mãn $U_\sigma(t, s)U_\sigma(s, \tau) = U_\sigma(t, \tau)$ và $U_\sigma(\tau, \tau) = \text{Id}$, với tham số $\sigma \in \Sigma$ thuộc không gian biểu trưng $\Sigma = \mathcal{H}_w(g)$ (bao đóng của tập các hàm dịch chuyển ${g(\cdot + h) \mid h \in \mathbb{R}}$ trong không gian $L^2_b(\mathbb{R}; L^2(\mathbb{R}^N))$ theo tôpô yếu).
  • Tập hút đều (Uniform attractor): Tập compact $\mathcal{A}\Sigma \subset Y$ hút đều các tập bị chặn $B \subset X$ theo nửa khoảng cách Hausdorff khi $t \to +\infty$: $$\lim{t \to +\infty} \sup_{\sigma \in \Sigma} \text{dist}Y(U\sigma(t, \tau)B, \mathcal{A}\Sigma) = 0$$ Cấu trúc tập hút đều được xác định qua vết của nhân: $\mathcal{A}\Sigma = \bigcup_{\sigma \in \Sigma} \mathcal{K}_\sigma(s), \forall s \in \mathbb{R}$.
  • Tập $\mathcal{D}$-hút lùi (Pullback attractor): Họ các tập compact $\hat{\mathcal{A}} = {\mathcal{A}(t)}{t \in \mathbb{R}}$ hút các họ tập $\hat{D} \in \mathcal{D}$ khi thời điểm ban đầu lùi về quá khứ $\tau \to -\infty$: $$\lim{\tau \to -\infty} \text{dist}_{X_t}(U(t, \tau)D(\tau), \mathcal{A}(t)) = 0, \quad \forall t \in \mathbb{R}$$

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact: Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ trên các không gian hữu hạn chiều, thiết lập các đánh giá tiên nghiệm trong các chuẩn năng lượng, sử dụng tính phản xạ của không gian Banach và các bổ đề compact Aubin-Lions, bổ đề Simon để chuyển qua giới hạn tìm nghiệm yếu.
  • Phương pháp Penalty của J.L. Lions: Áp dụng cho miền không trụ $\bigcup_{t>\tau} \Omega_t \times {t}$. Chuyển bài toán trên miền biến thiên về bài toán trên miền trụ cố định $\Omega_T \times (\tau, T)$ bằng cách thêm toán tử phạt chính quy hóa $A_k(t) = -\Delta + k J P_k(t)$ (với $P_k(t)$ là xấp xỉ trơn của phép chiếu trực giao lên không gian trực giao $V_t^\perp = (H_0^1(\Omega_t))^\perp \subset H_0^1(\Omega_T)$), sau đó cho tham số phạt $k \to \infty$.
  • Phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm (Tail estimates): Sử dụng hàm cắt trơn $\theta(|x|^2/k^2)$ để ước lượng năng lượng của nghiệm bên ngoài các hình cầu bán kính lớn $|x| \ge k$, khắc phục việc mất tính compact của phép nhúng Sobolev trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$.
  • Phương pháp phân rã nghiệm và Điều kiện (C) đều: Phân tách không gian qua phép chiếu Schauder $u = P_m u + (I - P_m)u$ để chứng minh tính compact tiệm cận đều trong các chuẩn Sobolev và Lebesgue.
  • Kỹ thuật ước lượng vi tích phân: Bất đẳng thức Gronwall vi phân, tích phân và Gronwall dạng đều (Uniform Gronwall inequality), bất đẳng thức nội suy $L^p$, bất đẳng thức Young với $\varepsilon$.

Không gian hàm và nguồn dữ liệu giải tích

  • Không gian Sobolev $H^1(\mathbb{R}^N)$, $H_0^1(\Omega_t)$, $H^{-1}(\mathbb{R}^N)$.
  • Không gian Lebesgue $L^p(\mathbb{R}^N)$, $L^2(\Omega_t)$, $L^p(0, T; X)$, $C([0, T]; X)$.
  • Không gian các hàm bị chặn tịnh tiến: $$L^2_b(\mathbb{R}; L^2(\mathbb{R}^N)) = \left{ \phi \in L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}; L^2(\mathbb{R}^N)) ;\middle|; |\phi|b^2 = \sup{t \in \mathbb{R}} \int_t^{t+1} |\phi(s)|_{L^2(\mathbb{R}^N)}^2 ds < \infty \right}$$

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương này trình bày hệ thống các định nghĩa, khái niệm và công cụ bổ trợ làm nền tảng cho toàn bộ luận án:

  • Định nghĩa họ quá trình ${U_\sigma(t, \tau)}$, tập hấp thụ đều, tính compact tiệm cận đều và định lý về sự tồn tại, cấu trúc nhân của tập hút đều $\mathcal{A}_\Sigma$.
  • Khái niệm hệ không gian metric biến thiên theo thời gian ${(X_t, d_t): t \in \mathbb{R}}$, quá trình trên họ metric, lớp tập $\mathcal{D}$, tập $\mathcal{D}$-hấp thụ lùi, tính $\mathcal{D}$-compact tiệm cận lùi và định lý tồn tại tập $\mathcal{D}$-hút lùi tối tiểu $\hat{\mathcal{A}} = {\mathcal{A}(t)}_{t \in \mathbb{R}}$.
  • Tính chất của không gian hàm bị chặn tịnh tiến $L^2_b(\mathbb{R}; E)$ và tính compact yếu của bao đóng dịch chuyển $\mathcal{H}_w(g)$.
  • Các bất đẳng thức giải tích kinh điển: Cauchy, Cauchy với $\varepsilon$, Young với $\varepsilon$, Hölder, nội suy chuẩn $L^p$, bất đẳng thức Gronwall tích phân, vi phân và bổ đề Gronwall đều.
  • Các định lý compact: Bổ đề Aubin-Lions đối với không gian $W = {u \in L^p(0, T; X_0) \mid \partial_t u \in L^q(0, T; X_1)}$, định lý compact J. Simon (1987), dạng yếu của định lý hội tụ bị chặn Lebesgue trên tập đo được.

Chương 2: Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev

Chương 2 xét bài toán Cauchy đối với phương trình khuếch tán không cổ điển không ôtônôm trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$:

$$u_t - \varepsilon \Delta u_t - \Delta u + f(x, u) + \lambda u = g(x, t), \quad x \in \mathbb{R}^N, ; t > \tau, \quad u|{t=\tau} = u\tau \in H^1(\mathbb{R}^N)$$

với $\varepsilon \in (0, 1]$, $\lambda > 0$, ngoại lực $g \in L^2_b(\mathbb{R}; L^2(\mathbb{R}^N))$ thỏa mãn điều kiện đuôi tiệm cận đều, và hàm phi tuyến $f(x, u)$ thỏa mãn giả thiết (F1):

  • Tăng trưởng kiểu Sobolev: $|f(x, u)| \le \phi_2(x) + C|u|^\rho$ với $1 < \rho \le \frac{N+2}{N-2}$ (khi $N \ge 3$) nếu $\varepsilon > 0$, và $\phi_2 \in L^{\frac{2N}{N+2}}(\mathbb{R}^N)$.
  • Tiêu hao kiểu Sobolev: $f(x, u)u \ge -\mu u^2 - \phi_1(x)$ với $0 < \mu < \lambda$, $\phi_1 \in L^1(\mathbb{R}^N)$.
  • Điều kiện năng lượng: $\liminf_{|u|\to\infty} \frac{uf(x, u) - \kappa F(x, u)}{u^2} \ge 0$ ($\kappa > 0$, $F(x, u) = \int_0^u f(x, s)ds$) và $f_u'(x, u) \ge -\ell$.

Các kết quả chính đạt được trong chương:

  1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu: Bằng phương pháp Galerkin và phương pháp compact, chứng minh bài toán có duy nhất nghiệm yếu $u \in C([\tau, T]; H^1(\mathbb{R}^N))$ với $\partial_t u \in L^2(\tau, T; H^1(\mathbb{R}^N))$. Nghiệm thỏa mãn đánh giá tiên nghiệm: $$|u(t)|^2 + \varepsilon|\nabla u(t)|^2 \le C e^{-\delta(t-\tau)}(|u_\tau|^2 + \varepsilon|\nabla u_\tau|^2) + 1 + \frac{C}{1 - e^{-\delta}}|g|_b^2$$ với $\delta < \min{2, 2(\lambda - \mu)}$.
  2. Sự tồn tại của tập hút đều:
    • Chứng minh sự tồn tại tập $(H^1(\mathbb{R}^N), H^1(\mathbb{R}^N))$-hấp thụ đều $B_0$ độc lập với tham số $\varepsilon$.
    • Sử dụng phương pháp hàm cắt $\theta(|x|^2/k^2)$ chứng minh tính compact tiệm cận đều trong $L^2(\mathbb{R}^N)$, suy ra tồn tại tập $(H^1(\mathbb{R}^N), L^2(\mathbb{R}^N))$-hút đều $\mathcal{A}_2$.
    • Chứng minh sự tồn tại tập hút đều trong không gian $L^{\frac{2N}{N-2}}(\mathbb{R}^N)$.
    • Sử dụng phép chiếu Schauder $P_m$ và Điều kiện (C) đều để chứng minh tính $(H^1(\mathbb{R}^N), H^1(\mathbb{R}^N))$-compact tiệm cận đều, từ đó khẳng định sự tồn tại của tập $(H^1(\mathbb{R}^N), H^1(\mathbb{R}^N))$-hút đều $\mathcal{A}_{\mathcal{H}_w(g)}^\varepsilon$.
  3. Tính nửa liên tục trên tại $\varepsilon = 0$: Chứng minh tập hút đều $\mathcal{A}^\varepsilon$ của phương trình khuếch tán không cổ điển hội tụ về tập hút đều $\mathcal{A}^0$ của phương trình phản ứng - khuếch tán cổ điển theo nửa khoảng cách Hausdorff trong không gian $H^1(\mathbb{R}^N)$: $$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \text{dist}_{H^1(\mathbb{R}^N)}(\mathcal{A}^\varepsilon, \mathcal{A}^0) = 0$$
  4. Ngoại lực dao động kì dị: Xét phương trình với ngoại lực $g_\varepsilon(x, t) = g_0(x, t) + \varepsilon^{-\gamma} g_1(x, t/\varepsilon)$ ($\gamma \in [0, 1)$). Luận án chứng minh họ tập hút đều $\mathcal{A}^\varepsilon$ bị chặn đều trong $H^1(\mathbb{R}^N)$ theo $\varepsilon$ ($\sup_{\varepsilon \in (0, 1]} |\mathcal{A}^\varepsilon|{H^1(\mathbb{R}^N)} < \infty$) và hội tụ về tập hút đều $\mathcal{A}^0$ của phương trình giới hạn với ngoại lực không dao động $g_0(x, t)$ khi $\varepsilon \to 0^+$: $$\lim{\varepsilon \to 0^+} \text{dist}_{H^1(\mathbb{R}^N)}(\mathcal{A}^\varepsilon, \mathcal{A}^0) = 0$$

Chương 3: Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức

Chương 3 mở rộng nghiên cứu bài toán Cauchy trên $\mathbb{R}^N$ khi số hạng phi tuyến $f(x, u)$ thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức bậc $p-1$ bất kì ($p \ge 2$, không bị giới hạn bởi số mũ Sobolev tới hạn):

  • $C_1 |u|^p - k_1 \le f(x, u)u \le C_2 |u|^p + k_2$ ($C_1, C_2 > 0$).
  • $f_u'(x, u) \ge -\ell$.

Các kết quả chính đạt được:

  1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu: Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu trong không gian pha tự nhiên $H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N)$ bằng phương pháp Galerkin và bổ đề compact.
  2. Sự tồn tại của tập hút đều:
    • Thiết lập sự tồn tại của tập hấp thụ đều trong $H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N)$.
    • Chứng minh sự tồn tại của tập $(H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N), L^2(\mathbb{R}^N))$-hút đều và tập $(H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N), L^p(\mathbb{R}^N))$-hút đều.
    • Kết hợp phương pháp đánh giá đuôi nghiệm và phép chiếu hữu hạn chiều để chứng minh tính compact tiệm cận đều, dẫn đến sự tồn tại của tập $(H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N), H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N))$-hút đều $\mathcal{A}^\varepsilon$.
  3. Tính nửa liên tục trên tại $\varepsilon = 0$: Chứng minh họ các tập hút đều $\mathcal{A}^\varepsilon$ nửa liên tục trên trong không gian $L^2(\mathbb{R}^N)$ khi $\varepsilon \to 0^+$: $$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \text{dist}_{L^2(\mathbb{R}^N)}(\mathcal{A}^\varepsilon, \mathcal{A}^0) = 0$$

Chương 4: Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev

Chương 4 xét bài toán biên - ban đầu đối với phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ $Q_\tau = \bigcup_{t>\tau} \Omega_t \times {t}$ với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất trên $\Sigma_\tau = \bigcup_{t>\tau} \partial\Omega_t \times {t}$:

$$\begin{cases} u_t - \Delta u_t - \Delta u + f(u) = g(t, x) & \text{trong } Q_\tau \ u = 0 & \text{trên } \Sigma_\tau \ u|{t=\tau} = u\tau(x), & x \in \Omega_\tau \end{cases}$$

với họ các thiết diện ${\Omega_t}{t \in \mathbb{R}}$ là các tập mở bị chặn trong $\mathbb{R}^N$ thỏa mãn tính chất không giảm $s < t \implies \Omega_s \subset \Omega_t$, hàm phi tuyến $f(u)$ có độ tăng trưởng kiểu Sobolev $|f(u)| \le C(1 + |u|^\rho)$ ($0 < \rho \le \frac{N+2}{N-2}$) và điều kiện tiêu hao $\liminf{|u|\to\infty} \frac{uf(u) - \kappa F(u)}{u^2} \ge 0$, ngoại lực $g \in L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^{N+1})$.

Các kết quả đạt được:

  1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm biến phân:
    • Đặt không gian $H_t = L^2(\Omega_t)$ và $V_t = H_0^1(\Omega_t)$.
    • Áp dụng phương pháp penalty của J.L. Lions: xét bài toán phụ trên miền trụ $Q_{\tau, T} = \Omega_T \times (\tau, T)$ với toán tử $A_k(t) = -\Delta + k J P_k(t)$. Giải bài toán phạt bằng phương pháp Galerkin thu được dãy $u_k$, sau đó cho $k \to \infty$ kết hợp bổ đề Aubin-Lions chứng minh $u_k$ hội tụ yếu đến nghiệm biến phân $u$ của bài toán ban đầu.
    • Chứng minh nghiệm biến phân $u$ thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng và phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu, khẳng định tính duy nhất nghiệm.
  2. Sự tồn tại của tập $\mathcal{D}$-hút lùi:
    • Thiết lập đánh giá tiên nghiệm tiệm cận lùi: $$|u(t)|_T^2 \le C \left( e^{-\sigma_T(t-\tau)} |u(\tau)|T^{\frac{2N}{N-2}} + 1 \right) + \frac{C}{1 - e^{-\sigma_T}} C{g, T}, \quad \forall t \in [\tau+1, T]$$
    • Xây dựng họ tập $\hat{\mathcal{B}} = {B(t)}{t \in \mathbb{R}}$ với $B(t) = {v \in V_t \mid |v|{V_t} \le r_0(t)}$ là tập $\mathcal{D}$-hấp thụ lùi trong $V_t$.
    • Dựa trên tính nhúng compact $V_t = H_0^1(\Omega_t) \hookrightarrow H_t = L^2(\Omega_t)$, chứng minh tính $\mathcal{D}$-compact tiệm cận lùi của quá trình $U(t, \tau)$, từ đó chứng minh sự tồn tại duy nhất của tập $\mathcal{D}$-hút lùi $\hat{\mathcal{A}} = {\mathcal{A}(t)}{t \in \mathbb{R}}$ trong họ không gian ${L^2(\Omega_t)}{t \in \mathbb{R}}$.

Bảng tổng hợp so sánh các bài toán chính trong luận án:

Đặc trưng nghiên cứu Chương 2 Chương 3 Chương 4
Miền không gian $\mathbb{R}^N$ (không bị chặn) $\mathbb{R}^N$ (không bị chặn) $Q_\tau = \bigcup_{t>\tau} \Omega_t \times {t}$ (miền không trụ)
Loại số hạng phi tuyến Tăng trưởng & tiêu hao kiểu Sobolev ($1 < \rho \le \frac{N+2}{N-2}$) Tăng trưởng & tiêu hao kiểu đa thức ($p \ge 2$ tùy ý) Tăng trưởng & tiêu hao kiểu Sobolev ($0 < \rho \le \frac{N+2}{N-2}$)
Không gian pha $H^1(\mathbb{R}^N)$ $H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N)$ Họ không gian ${L^2(\Omega_t)}_{t \in \mathbb{R}}$
Phương pháp nghiệm Galerkin + Compact Galerkin + Compact Penalty J.L. Lions + Galerkin
Loại tập hút Tập hút đều $(H^1, H^1)$ Tập hút đều $(H^1\cap L^p, H^1\cap L^p)$ Tập $\mathcal{D}$-hút lùi trong ${L^2(\Omega_t)}$
Tính tiệm cận kì dị Nửa liên tục trên khi $\varepsilon \to 0^+$; Dao động kì dị $g_\varepsilon$ Nửa liên tục trên trong $L^2(\mathbb{R}^N)$ khi $\varepsilon \to 0^+$ —

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các đóng góp mới về mặt lý thuyết giải tích và phương trình đạo hàm riêng:

  1. Chứng minh hoàn chỉnh tính đặt đúng (sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu) và sự tồn tại của tập hút đều trong các không gian năng lượng tương ứng ($H^1(\mathbb{R}^N)$ và $H^1(\mathbb{R}^N) \cap L^p(\mathbb{R}^N)$) đối với phương trình khuếch tán không cổ điển không ôtônôm trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$ cho cả hai lớp hàm phi tuyến kiểu Sobolev và kiểu đa thức bậc tùy ý.
  2. Thiết lập tính nửa liên tục trên của họ các tập hút đều $\mathcal{A}^\varepsilon$ khi $\varepsilon \to 0^+$, cung cấp một minh chứng toán học chặt chẽ về sự hội tụ của động lực học phương trình khuếch tán không cổ điển về phương trình phản ứng - khuếch tán cổ điển trên miền không bị chặn.
  3. Chứng minh tính bị chặn đều và sự hội tụ của tập hút đều của bài toán khuếch tán không cổ điển khi chịu tác động của ngoại lực dao động kì dị $g_0(x, t) + \varepsilon^{-\gamma}g_1(x, t/\varepsilon)$, mở rộng phương pháp trung bình hóa của Vishik cho lớp phương trình có đạo hàm hỗn hợp thời gian - không gian.
  4. Phát triển thành công phương pháp penalty của J.L. Lions để giải quyết tính đặt đúng của nghiệm biến phân và chứng minh sự tồn tại của tập $\mathcal{D}$-hút lùi cho phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ biến thiên theo thời gian với phi tuyến tăng trưởng Sobolev.

Kết quả của luận án được công bố trong 04 công trình khoa học trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành:

  • Annales Polonici Mathematici (2014)
  • Applied Mathematics Letters (2014)
  • Bulletin of the Korean Mathematical Society (2014)
  • Acta Mathematica Vietnamica (2015)

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Văn bản luận án nêu rõ các vấn đề mở và hướng nghiên cứu cần tiếp tục giải quyết:

  • Nghiên cứu tính trơn chính quy cao hơn và đánh giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff của tập hút đều và tập hút lùi đã nhận được trong luận án.
  • Nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có chứa số hạng nhớ (memory) trong miền không bị chặn.
  • Nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài toán đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có trễ vô hạn (infinite delay).

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân, Giải tích hàm và Hệ động lực vô hạn chiều.
  • Cung cấp kỹ thuật chi tiết về phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm (tail estimates) để xử lý tính không compact của nhúng Sobolev trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$.
  • Cung cấp quy trình áp dụng phương pháp penalty để giải quyết các bài toán đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến trên các miền không trụ biến thiên theo thời gian.
  • Các nhà nghiên cứu cơ học chất lỏng, truyền nhiệt và vật lý chất rắn quan tâm đến tính chất định tính dài hạn của các mô hình khuếch tán trong môi trường đàn dẻo, có nhớ hoặc môi trường không Newton.

Câu hỏi thường gặp

1. Sự khác biệt căn bản về mặt toán học giữa phương trình khuếch tán không cổ điển và phương trình phản ứng - khuếch tán cổ điển là gì?
Sự khác biệt cốt lõi nằm ở sự xuất hiện của số hạng $-\varepsilon \Delta u_t$ ($\varepsilon > 0$). Số hạng này làm mất đi hiệu ứng làm trơn (smoothing effect) của phương trình parabolic chuẩn. Nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển tại thời điểm $t > \tau$ chỉ có độ trơn tối đa bằng độ trơn của dữ kiện ban đầu $u_\tau$ (tính chất tương tự phương trình kiểu hyperbolic), đòi hỏi các kỹ thuật ước lượng năng lượng riêng biệt mà không thể sử dụng trực tiếp tính trơn parabolic.

2. Tại sao trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$ việc chứng minh sự tồn tại của tập hút lại gặp trở ngại và tác giả khắc phục bằng phương pháp nào?
Trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$, các phép nhúng Sobolev $H^1(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^N)$ không còn mang tính chất compact, dẫn đến việc không thể áp dụng trực tiếp các định lý compact thông thường để chỉ ra tính compact tiệm cận của họ quá trình. Tác giả đã khắc phục bằng cách sử dụng phương pháp đánh giá phần đuôi của nghiệm (dùng hàm cắt trơn $\theta(|x|^2/k^2)$ để triệt tiêu năng lượng ngoài hình cầu lớn $|x| \ge k$) kết hợp với phép chiếu hữu hạn chiều Schauder $P_m$ và Điều kiện (C) đều.

3. Phương pháp penalty của J.L. Lions được triển khai như thế nào trong Chương 4 đối với miền không trụ?
Do miền không trụ $Q_\tau = \bigcup_{t>\tau} \Omega_t \times {t}$ có thiết diện $\Omega_t$ thay đổi theo thời gian, không gian hàm chứa nghiệm $V_t = H_0^1(\Omega_t)$ cũng phụ thuộc vào $t$. Phương pháp penalty nhúng bài toán vào miền trụ lớn cố định $Q_{\tau, T} = \Omega_T \times (\tau, T)$ bằng cách thêm số hạng phạt $k J P_k(t)$ (với $P_k(t)$ là xấp xỉ trơn của toán tử chiếu trực giao lên $(H_0^1(\Omega_t))^\perp \subset H_0^1(\Omega_T)$). Sau khi giải bài toán phạt bằng Galerkin trên miền trụ, tác giả cho tham số $k \to \infty$ để thu được nghiệm biến phân trên miền không trụ ban đầu.

4. Dáng điệu của tập hút đều thay đổi như thế nào khi tham số $\varepsilon \to 0^+$?
Luận án chứng minh rằng khi $\varepsilon \to 0^+$, họ các tập hút đều $\mathcal{A}^\varepsilon$ của phương trình khuếch tán không cổ điển là nửa liên tục trên và hội tụ về tập hút đều $\mathcal{A}^0$ của phương trình phản ứng - khuếch tán cổ điển theo nửa khoảng cách Hausdorff trong không gian $H^1(\mathbb{R}^N)$ (với phi tuyến Sobolev) và trong $L^2(\mathbb{R}^N)$ (với phi tuyến đa thức), xác lập mối liên hệ tiệm cận vững chắc giữa hai lớp phương trình.

5. Tập hút đều của phương trình phản ứng thế nào khi ngoại lực có dao động tần số cao $\varepsilon^{-\gamma} g_1(x, t/\varepsilon)$?
Khi $\gamma \in [0, 1)$ và $\varepsilon \to 0^+$, luận án chứng minh họ các tập hút đều $\mathcal{A}^\varepsilon$ vẫn bị chặn đều trong $H^1(\mathbb{R}^N)$ theo tham số $\varepsilon$ và hội tụ theo nửa khoảng cách Hausdorff về tập hút đều $\mathcal{A}^0$ của phương trình thuần nhất với ngoại lực trung bình không dao động $g_0(x, t)$.

Kết luận

Luận án của NCS. Nguyễn Dương Toàn là một công trình nghiên cứu giải tích toán học hệ thống về tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của phương trình khuếch tán không cổ điển không ôtônôm. Bằng việc phối hợp chặt chẽ giữa phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp compact, phương pháp penalty J.L. Lions, kỹ thuật đánh giá phần đuôi nghiệm và lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, luận án đã giải quyết trọn vẹn sự tồn tại và tính liên tục của tập hút đều trên miền không bị chặn $\mathbb{R}^N$ cũng như tập hút lùi trên miền không trụ. Các kết quả đạt được đã giải quyết nhiều vấn đề mở của chuyên ngành, đóng góp vào lý thuyết định tính phương trình đạo hàm riêng tiến hóa và tạo cơ sở phương pháp luận cho việc nghiên cứu các lớp mô hình phi tuyến mở rộng trong vật lý toán.