Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ "Một số vi phân suy rộng và ứng dụng trong tối ưu không trơn" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Võ Đức Thịnh, thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng (mã số: 62460112), dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Thái Doãn Chương và PGS. Nguyễn Lê Hoàng Anh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (năm 2022).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong thực tế và lý thuyết tối ưu, nhiều bài toán phát sinh từ các mô hình kinh tế, kỹ thuật, y học (như tối ưu đa mục tiêu giảm rủi ro tài chính, kiểm soát xạ trị ung thư) hoặc bài toán tối ưu vững (như việc xác định vị trí bệ hạ cánh trực thăng cứu hộ tại khu trượt tuyết trong điều kiện thời tiết bất định để tối thiểu hóa thời gian bay trong kịch bản xấu nhất). Các mô hình này thường chứa hàm mục tiêu hoặc hệ thống ràng buộc không khả vi theo nghĩa Fréchet, thậm chí chứa dữ liệu dạng tập hợp. Khi đó, các công cụ của giải tích cổ điển không thể áp dụng trực tiếp, đòi hỏi sự phát triển của giải tích biến phân và lý thuyết vi phân suy rộng.

Khoảng trống nghiên cứu mà tác giả nhận diện bao gồm:

  • Các lý thuyết vi phân suy rộng cấp một theo hướng tương ứng với tập (theo nghĩa Ginchev) và vi phân suy rộng theo hướng (theo nghĩa Gfrerer) còn thiếu hệ thống quy tắc tính giải tích (calculus rules) và chưa được áp dụng đầy đủ để thiết lập điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị.
  • Các lý thuyết vi phân suy rộng cấp hai hiện hành (như Hessian suy rộng của Hiriart-Urruty, dưới vi phân cấp hai của Outrata và Rockafellar) chủ yếu đòi hỏi dữ liệu khả vi liên tục cấp một với gradient Lipschitz ($C^{1,1}$), hoặc cấu trúc tập hợp phải là tập lồi đa diện, hình cầu, nón bậc hai. Công thức tính toán đạo hàm epi cấp hai cho hàm chỉ của các hệ ràng buộc phức tạp hơn—chẳng hạn như hệ ràng buộc bất định (không chắc chắn) và hệ ràng buộc hợp hữu hạn—vẫn chưa có biểu diễn tường minh hoàn chỉnh.

Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm 4 nội dung:

  1. Thiết lập một số quy tắc tính, các công thức ước lượng cho các nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến (theo hướng), các tập tiếp tuyến cấp hai cho tập nghiệm của một số hệ ràng buộc.
  2. Phát biểu và chứng minh một số quy tắc tính, công thức ước lượng cho một số vi phân suy rộng, vi phân suy rộng cấp cao và vi phân suy rộng theo hướng.
  3. Thiết lập các công thức tính tường minh cho một số vi phân suy rộng cấp hai của hàm chỉ của một số hệ ràng buộc.
  4. Áp dụng các kết quả đạt được vào việc nghiên cứu điều kiện cần, điều kiện đủ cho nghiệm của bài toán tối ưu và vào khảo sát tính ổn định cho ánh xạ nghiệm của một số bài toán tối ưu không trơn.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Tính chất, công thức tính và quy tắc ước lượng của một số vi phân suy rộng cấp một và cấp hai của các ánh xạ đơn trị và đa trị; các điều kiện tối ưu (cần và đủ) bậc một, bậc hai và tính ổn định nghiệm cho bài toán tối ưu không trơn.
  • Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm vi phân suy rộng, vi phân suy rộng theo hướng cấp một và cấp hai trên không gian Banach, không gian Asplund và không gian Euclid hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$; các cấu trúc hình học biến phân như nón tiếp tuyến contingent, nón pháp tuyến Fréchet, nón pháp tuyến qua giới hạn Mordukhovich, nón pháp tuyến theo hướng, tập tiếp xúc cấp hai; khảo sát tính chất chính quy metric, dưới chính quy metric (MSQC, DMSQC), tính ổn định cô lập của ánh xạ đa trị; bài toán tối ưu không trơn, bài toán tối ưu đa trị, bài toán tối ưu vững với dữ liệu không chắc chắn và bài toán tối ưu với ràng buộc hợp hữu hạn.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án hệ thống hóa quá trình phát triển của giải tích biến phân và vi phân suy rộng qua hai hướng tiếp cận chính trên không gian nền và không gian đối ngẫu:

Hướng tiếp cận Tác giả & Công trình mốc Khái niệm & Đặc điểm chính Hạn chế ghi nhận
Không gian nền (Primal space) Bouligand (1930), Severi (1930)
Aubin (1970-1980)
Ioffe (1981)
Rockafellar & Wets (1998)
Clarke (1973)		 Nón tiếp tuyến contingent $T(x; \Omega)$.
Nửa đạo hàm dưới (lower semiderivative), đạo hàm Dini dưới, dưới đạo hàm (subderivative) $\varphi'_-(x; v)$.
Đạo hàm suy rộng Clarke $\varphi^\circ(x; v)$ lồi theo mọi hướng.		 Dưới đạo hàm $\varphi'_-(x; v)$ thường không lồi, gây khó khăn khi lập quy tắc tính.
Đạo hàm Clarke có sai số xấp xỉ lớn nếu thiếu tính chính quy Clarke.
Không gian đối ngẫu (Dual space) Rockafellar (1969)
Clarke (1973, 1983)
Mordukhovich (1976), Kruger & Mordukhovich (1978)
Ioffe (1981)
Ginchev (2011)
Gfrerer (2013)		 Nón pháp tuyến lồi, dưới vi phân qua đối ngẫu.
Nón pháp tuyến qua giới hạn $N(x; \Omega)$, dưới vi phân qua giới hạn $\partial \varphi(x)$ (loại bỏ tính lồi).
Dưới vi phân gần đúng.
Vi phân suy rộng tương ứng với tập $N_Q(x; \Omega), \partial_Q \varphi(x)$ và theo hướng $N(x; \Omega; u)$.		 Dưới vi phân Clarke quá lớn trong bài toán không trơn (ví dụ $\varphi(x) = -|x|$ tại $0$).
Dưới vi phân theo hướng của Ginchev và Gfrerer chưa có hệ thống quy tắc giải tích đầy đủ cho ánh xạ đa trị.
Vi phân suy rộng cấp hai Hiriart-Urruty và cs (1984)
Outrata (1999), Rockafellar (2018)
Ben-Tal (1980)
Rockafellar (1988), Rockafellar & Wets (1998)
Mohammadi và cs (2020)		 Hessian suy rộng, dưới vi phân cấp hai qua đối đạo hàm $D^*\partial f$.
Dưới đạo hàm cấp hai dùng hội tụ điểm.
Đạo hàm epi cấp hai $d^2 f(x, \bar{y})(v)$, liên hệ với tập tiếp xúc cấp hai ngoài $T_C^2(x; d)$.
Đạo hàm epi cấp hai cho tập chính quy và dẫn xuất cấp hai $d^2 \delta_\Gamma$.		 Kết quả của Outrata và Rockafellar chủ yếu áp dụng cho dữ liệu trơn $C^{1,1}$.
Dưới đạo hàm Ben-Tal không tồn tại cho nhiều lớp hàm.
Công thức của Mohammadi còn chứa số hạng chưa xác định $d^2 \delta_\Omega$.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án tập trung giải quyết ba vấn đề học thuật cốt lõi:

  • Thiết lập các quy tắc giải tích hoàn chỉnh (tính đóng, tính chất của hàm tuyến tính, hàm Lipschitz địa phương, quy tắc tính tổng) cho dưới vi phân tương ứng với tập của Ginchev và đối đạo hàm theo hướng của Gfrerer đối với ánh xạ đa trị, từ đó đưa ra điều kiện tối ưu bậc một.
  • Xây dựng công thức tường minh tính đạo hàm epi cấp hai $d^2 \delta_{S_\Omega}(\bar{x}, \bar{y})(v)$ cho hàm chỉ của tập nghiệm hệ ràng buộc không chắc chắn $S_\Omega := {x \in \mathbb{R}^n \mid a^T \varphi(x) - b \le 0, \forall (a,b) \in \Omega}$ và hệ hợp hữu hạn $K := \bigcup_{i=1}^m K_i$, khắc phục hạn chế phụ thuộc vào các số hạng ẩn trong các công trình trước.
  • Thiết lập công thức tính đạo hàm graphical cho ánh xạ nón pháp tuyến $D(N_{S_\Omega})(\bar{x}, \bar{y})$, ứng dụng vào việc thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính ổn định cô lập (isolated calmness) của nghiệm phương trình tổng quát và nghiệm tối ưu vững.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết, khái niệm và khung phân tích

Luận án vận dụng hệ thống các cấu trúc giải tích biến phân trên không gian Banach $X$, không gian Asplund và không gian $\mathbb{R}^n$:

  • Cấu trúc không gian: Không gian Banach $X$, không gian đối ngẫu $X^$, hình cầu đóng đơn vị $B_X$, tích vô hướng và cặp ghép đối ngẫu $\langle x^, x \rangle$. Không gian Asplund là không gian Banach mà mọi không gian con khả ly đều có không gian đối ngẫu khả ly, tương đương với việc mọi tập bị chặn trong $X^*$ đều compắc yếu theo dãy.
  • Nón tiếp tuyến và pháp tuyến:
    • Nón contingent (Bouligand): $T(x; \Omega) := {v \in X \mid \exists t_k \downarrow 0, v_k \to v \text{ sao cho } x + t_k v_k \in \Omega}$.
    • Tập $\varepsilon$-pháp tuyến Fréchet: $\widehat{N}\varepsilon(x; \Omega) := \left{x^* \in X^* \mid \limsup{u \xrightarrow{\Omega} x} \frac{\langle x^*, u - x \rangle}{|u - x|} \le \varepsilon\right}$.
    • Nón pháp tuyến qua giới hạn (Mordukhovich): $N(x; \Omega) := \operatorname{Limsup}{u \xrightarrow{\Omega} x, \varepsilon \downarrow 0} \widehat{N}\varepsilon(u; \Omega)$.
  • Khái niệm theo hướng và theo tập:
    • Nón pháp tuyến qua giới hạn tương ứng với tập $Q \subset X$ (Ginchev): $N_Q(x; \Omega) := \operatorname{Limsup}{u \xrightarrow{\Omega \cap (x + C{Q,\delta})} x, \varepsilon \downarrow 0, \delta \to 0^+} \widehat{N}{\varepsilon, Q\delta}(u; \Omega)$.
    • Dưới vi phân tương ứng với tập $Q$: $\partial_Q \varphi(x) := {x^* \in X^* \mid (x^*, -1) \in N_{Q \times \mathbb{R}}((x, \varphi(x)); \operatorname{epi} \varphi)}$.
    • Đạo hàm dưới và đạo hàm trên chặt tương ứng với tập $Q$: $\varphi'-(x, Q)$, $\varphi^\circ+(x, Q)$.
  • Đối đạo hàm và đạo hàm Graphical của ánh xạ đa trị $F: X \rightrightarrows Y$:
    • Ánh xạ đạo hàm graphical: $DF(\bar{x}, \bar{y})(u) := {v \in Y \mid (u, v) \in T((\bar{x}, \bar{y}); \operatorname{gph} F)}$.
    • Ánh xạ đối đạo hàm Fréchet $\widehat{D}^* F$, đối đạo hàm qua giới hạn chuẩn $D_N^* F$, đối đạo hàm qua giới hạn hỗn hợp $D_M^* F$, đối đạo hàm theo hướng $D_N^* F(\bar{z}; u)$, $D_M^* F(\bar{z}; u)$.
  • Cấu trúc biến phân cấp hai:
    • Tập tiếp tuyến ngoài cấp hai $T_C^2(x; d)$ và trong cấp hai $T_C^{2\prime}(x; d)$.
    • Dưới đạo hàm epi cấp hai $d^2 f(x, \bar{y})(v) := \operatorname{e-liminf}_{t \downarrow 0} \Delta_t^2 f(x, \bar{y})(v)$, với sai phân cấp hai: $$\Delta_t^2 f(x, \bar{y})(v) := \frac{f(x + tv) - f(x) - t\langle \bar{y}, v \rangle}{\frac{1}{2}t^2}$$
    • Tính chính quy cấp hai (parabolically regular), tính dẫn xuất cấp hai (parabolically derivable), và tính chính quy kề (prox-regular).

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp giải tích biến phân: Sử dụng các kỹ thuật xấp xỉ epi-giới hạn, giải tích nón tiếp xúc, giải tích đối ngẫu trên không gian Banach và Asplund.
  • Phương pháp tương tự hóa và mở rộng: Mở rộng các kết quả từ điểm sang hướng, từ hướng đơn lẻ sang tập $Q$, và từ hệ ràng buộc đơn trị sang hệ ràng buộc đa trị, hệ không chắc chắn và hệ ràng buộc hợp hữu hạn.
  • Kỹ thuật tính vi phân: Xây dựng mối liên hệ giải tích giữa đạo hàm graphical của ánh xạ nón pháp tuyến với dưới đạo hàm của đạo hàm epi cấp hai thông qua công thức liên kết Rockafellar: $$DF(N_\Omega)(\bar{x}, \bar{y})(v) = \partial \left(\frac{1}{2} d^2 \delta_\Omega(\bar{x}, \bar{y})\right)(v)$$

Nguồn tư liệu và dữ liệu

Nguồn tư liệu của luận án là hệ thống các công trình toán học chuyên khảo và bài báo khoa học quốc tế trong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu của các tác giả: R. T. Rockafellar, B. S. Mordukhovich, F. H. Clarke, A. D. Ioffe, J. Ginchev, H. Gfrerer, A. Mohammadi, J. Y. Outrata, A. Ben-Tal. Luận án không sử dụng dữ liệu thống kê thực nghiệm do tính chất là công trình toán học lý thuyết thuần túy.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Mở đầu

Chương 1 trình bày tính cấp thiết của đề tài, đặt bài toán tối ưu không trơn trong bối cảnh các mô hình thực tế có dữ liệu không khả vi và chứa tham số không chắc chắn (như bài toán đặt vị trí cứu hộ tuyết, tối ưu đa mục tiêu trong y học và tài chính). Tác giả xác định đối tượng nghiên cứu là các vi phân suy rộng cấp một, cấp hai của ánh xạ đơn trị và đa trị; phạm vi nghiên cứu bao gồm không gian Banach/Asplund, các bài toán tối ưu đa trị, tối ưu vững và tối ưu với ràng buộc hợp hữu hạn. Chương này đồng thời nêu rõ phương pháp nghiên cứu và ý nghĩa khoa học của đề tài.

Chương 2: Tổng quan về vi phân suy rộng và áp dụng

Chương 2 tổng thuật chi tiết lịch sử phát triển của lý thuyết vi phân từ Fermat, Newton, Leibniz đến các cấu trúc suy rộng hiện đại. Tác giả phân tích cấu trúc của các nón tiếp tuyến (contingent, Clarke), các loại dưới vi phân (Clarke, Mordukhovich, Ioffe), các khái niệm theo hướng của Ginchev và Gfrerer, cũng như các mở rộng vi phân cấp hai (Ben-Tal, Outrata, Rockafellar, Mohammadi). Từ việc chỉ ra các giới hạn của các công cụ trước đó, tác giả cụ thể hóa 4 mục tiêu nghiên cứu và cấu trúc 5 chương của luận án.

Chương 3: Kiến thức cơ sở

Chương 3 thiết lập hệ thống khái niệm, ký hiệu và kết quả cơ bản trên không gian Banach và không gian Asplund:

  • Trình bày định nghĩa chuẩn, nón trực giao $M^\perp$, nón đối cực $M^\circ$, hàm chỉ $\delta_M$, hàm khoảng cách $d_M$, các loại hội tụ (mạnh, yếu, yếu*).
  • Trình bày định lý tách tập lồi compắc và đóng, nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus.
  • Trình bày các định nghĩa về nón tiếp tuyến contingent, tập $\varepsilon$-pháp tuyến Fréchet, nón pháp tuyến qua giới hạn Mordukhovich, đối đạo hàm Fréchet và Mordukhovich, đạo hàm graphical.
  • Định nghĩa tập tiếp tuyến cấp hai trong $T_C^{2\prime}(x; d)$ và ngoài $T_C^2(x; d)$, đạo hàm Dini cấp hai dưới/trên, dưới đạo hàm epi cấp hai $d^2 f(x, \bar{y})(v)$, tính chính quy cấp hai và tính dẫn xuất cấp hai của tập hợp.

Chương 4: Vi phân suy rộng cấp một và áp dụng

Chương 4 tập trung vào hai nội dung chính:

1. Vi phân suy rộng tương ứng với tập của Ginchev

  • Định nghĩa tập $\varepsilon$-pháp tuyến tương ứng với tập $Q$: $\widehat{N}_{\varepsilon, Q}(x; \Omega)$ và nón pháp tuyến qua giới hạn $N_Q(x; \Omega)$.
  • Chứng minh tính chất hình học: Nếu $Q$ là tập compắc và $Q \cap T(x; \Omega) = \emptyset$ thì $N_Q(x; \Omega) = X^*$.
  • Thiết lập tính đóng: Chứng minh tập $\partial_Q \varphi(x)$ là tập đóng trong $\mathbb{R}^n$; đồng thời chỉ ra phản ví dụ trên không gian vô hạn chiều $\ell_2$ cho thấy $\partial_Q \delta_\Omega(x)$ có thể không đóng nếu thiếu giả thiết hữu hạn chiều.
  • Thiết lập bất đẳng thức liên hệ giữa dưới vi phân qua giới hạn và đạo hàm trên chặt: $$\langle x^, q \rangle \le \varphi^\circ_+(x, Q), \quad \forall x^ \in \partial_Q \varphi(x), \forall q \in Q$$
  • Chứng minh công thức cho hàm tuyến tính $\varphi(x) = \langle \xi, x \rangle$: $$\partial_Q \varphi(x) = {x^* \in X^* \mid \langle x^*, u \rangle \le \langle \xi, u \rangle, \forall u \in Q}$$
  • Khảo sát hàm Lipschitz địa phương và khả vi chặt tương ứng với tập $Q$: Nếu $\varphi$ khả vi chặt tương ứng với tập $Q$ bị chặn tại $x$ thì $\partial_Q \varphi(x) = {\xi}$.

2. Vi phân suy rộng theo hướng của Gfrerer và bài toán tối ưu đa trị

  • Thiết lập quy tắc tính toán cho dưới vi phân theo hướng $\partial f(x; u)$ và đối đạo hàm theo hướng $D_N^* F(z; u), D_M^* F(z; u)$ cho ánh xạ đa trị $F$.
  • Ứng dụng thiết lập điều kiện cần và điều kiện đủ cấp một theo hướng cho nghiệm hữu hiệu, nghiệm Pareto địa phương của bài toán tối ưu đa trị có ràng buộc.

Chương 5: Vi phân suy rộng cấp hai và áp dụng

Chương 5 phân tích cấp hai cho hai cấu trúc ràng buộc phức tạp:

1. Phân tích cấp hai cho hệ không chắc chắn và bài toán tối ưu vững

  • Xét tập nghiệm vững $S_\Omega := {x \in \mathbb{R}^n \mid a^T \varphi(x) - b \le 0, \forall (a, b) \in \Omega}$, với $\Omega \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}$ là tập tham số không chắc chắn.
  • Thiết lập công thức tường minh cho đạo hàm epi cấp hai $d^2 \delta_{S_\Omega}(\bar{x}, \bar{y})(v)$ thông qua hàm xác định $f_\Omega(x) := \max_{(a,b) \in \Omega} (a^T \varphi(x) - b)$ dưới điều kiện chính quy metric (MSQC).
  • Thiết lập công thức giải tích cho đạo hàm graphical $D(N_{S_\Omega})(\bar{x}, \bar{y})(v)$.
  • Áp dụng chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính ổn định cô lập (isolated calmness) của ánh xạ nghiệm phương trình tổng quát và ánh xạ tập điểm yên ngựa của bài toán tối ưu vững: Ánh xạ $F$ đạt tính ổn định cô lập tại $(\bar{x}, \bar{y})$ khi và chỉ khi $DF(\bar{x}, \bar{y})(0) = {0}$.

2. Phân tích cấp hai cho hệ hợp hữu hạn và bài toán tối ưu ràng buộc hợp

  • Xét tập ràng buộc hợp hữu hạn $K := \bigcup_{i=1}^m K_i$, trong đó mỗi $K_i$ là tập chính quy pháp tuyến, chính quy cấp hai và dẫn xuất cấp hai.
  • Thiết lập công thức biểu diễn nón tiếp tuyến $T(x; K)$, nón pháp tuyến $N(x; K)$ và tập tiếp tuyến cấp hai cho hợp hữu hạn.
  • Chứng minh tính khả vi epi cấp hai và thiết lập công thức tường minh tính dưới đạo hàm epi cấp hai $d^2 \delta_K(x, \bar{y})(v)$ dưới điều kiện chuẩn hóa dưới chính quy metric hợp hữu hạn (DMSQC).
  • Ứng dụng thiết lập điều kiện cần và điều kiện đủ cấp hai cho cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu có ràng buộc dạng hợp hữu hạn (disjunctive programming).

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Lý thuyết vi phân cấp một theo hướng và theo tập: Xây dựng hệ thống tính chất giải tích, tính đóng, quan hệ bao hàm và các quy tắc tính giải tích cho dưới vi phân tương ứng với tập $\partial_Q \varphi(x)$ (Ginchev) và đối đạo hàm theo hướng (Gfrerer) trên không gian Banach và Asplund.
  2. Công thức đạo hàm epi cấp hai tường minh: Thiết lập công thức giải tích tường minh tính đạo hàm epi cấp hai của hàm chỉ cho hai cấu trúc ràng buộc: hệ bất đẳng thức không chắc chắn $S_\Omega$ và hệ hợp hữu hạn $K = \bigcup_{i=1}^m K_i$. Kết quả này giải quyết hạn chế của các nghiên cứu trước (vốn đòi hỏi giả thiết dữ liệu $C^{1,1}$ hoặc chứa số hạng ẩn khó xác định).
  3. Đặc trưng giải tích cho tính ổn định cô lập: Cung cấp công thức tính đạo hàm graphical cho ánh xạ nón pháp tuyến $N_{S_\Omega}$, từ đó thiết lập tiêu chuẩn cần và đủ cho tính ổn định cô lập của nghiệm phương trình tổng quát và tập điểm yên ngựa dưới dữ liệu bất định.
  4. Hệ thống điều kiện tối ưu bậc một và bậc hai: Thiết lập các định lý điều kiện cần và điều kiện đủ bậc nhất theo hướng cho bài toán tối ưu đa trị, và điều kiện tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu vững và bài toán tối ưu với ràng buộc hợp hữu hạn.

Kiến nghị và khả năng ứng dụng

  • Các quy tắc vi phân suy rộng và điều kiện tối ưu được thiết lập trong luận án cung cấp công cụ toán học cơ bản phục vụ tính toán, phân tích định tính và phát triển thuật toán số cho các bài toán tối ưu không trơn thực tế.
  • Khung tiếp cận biến phân của luận án được đề xuất tiếp tục mở rộng cho các bài toán tối ưu nhiều cấp (multi-level programming), bài toán bù nón tròn (circular cone complementarity problems), và các bài toán điều khiển tối ưu không trơn (optimal control problems).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế

  • Các kết quả giải tích biến phân cấp hai (đạo hàm epi cấp hai, đạo hàm graphical) và tính ổn định cô lập chủ yếu được thiết lập và chứng minh trên không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$ để đảm bảo tính compắc và hội tụ của các dãy xấp xỉ.
  • Luận án tập trung thuần túy vào lý thuyết toán học giải tích biến phân, chưa xây dựng các thuật toán số cụ thể hoặc phần mềm giải số cho các mô hình ứng dụng thực tế.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Mở rộng các công thức vi phân suy rộng cấp hai và đạo hàm graphical của ánh xạ nón pháp tuyến sang không gian Banach vô hạn chiều tổng quát.
  • Nghiên cứu ứng dụng các công cụ vi phân cấp hai vào bài toán quy hoạch nhiều cấp (bilevel / multi-level optimization) và bài toán điều khiển tối ưu với các ràng buộc bất định.
  • Phát triển các thuật toán số tính toán nghiệm tối ưu dựa trên điều kiện tối ưu cấp hai và kiểm tra tính ổn định cô lập trong các mô hình kinh tế - kỹ thuật.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong lĩnh vực Toán giải tích và Tối ưu hóa:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán ứng dụng, Giải tích: Có thể sử dụng Chương 3 và Chương 4 để nghiên cứu phương pháp vi phân suy rộng trên không gian Banach/Asplund, kỹ thuật xây dựng đối đạo hàm và dưới vi phân theo hướng.
  • Các nhà nghiên cứu về Tối ưu hóa và Điều khiển học: Có thể tham khảo Chương 5 để áp dụng các công thức đạo hàm epi cấp hai và đạo hàm graphical trong việc phân tích độ ổn định nghiệm, kiểm tra tính dừng và xây dựng thuật toán giải cho bài toán tối ưu vững và bài toán ràng buộc rời rạc/hợp hữu hạn.
  • Nội dung đáng tham khảo nhất:
    • Kỹ thuật tính toán vi phân tương ứng với tập trong Mục 4.1.
    • Công thức tính đạo hàm epi cấp hai cho hệ không chắc chắn trong Mục 5.1 và hệ hợp hữu hạn trong Mục 5.2.

Câu hỏi thường gặp

1. Dưới vi phân tương ứng với tập $\partial_Q \varphi(x)$ của Ginchev khác gì so với dưới vi phân Mordukhovich thông thường?

Dưới vi phân Mordukhovich thông thường $\partial \varphi(x)$ lấy giới hạn trên toàn bộ các dãy điểm lân cận điểm $x$, trong khi dưới vi phân tương ứng với tập $\partial_Q \varphi(x)$ hạn chế hướng tiệm cận của các dãy điểm trong nón sinh bởi tập $Q$ dịch chuyển, tức là thông qua tập lân cận dạng $D_Q(x, r, \delta) := (x + C_{Q,\delta}) \cap B(x, r)$. Khi tập $Q$ bao quanh gốc tọa độ (tồn tại $r > 0$ sao cho $B(0, r) \subset C_Q$), dưới vi phân $\partial_Q \varphi(x)$ trùng với dưới vi phân Mordukhovich $\partial \varphi(x)$. Ngược lại, $\partial_Q \varphi(x)$ có thể khác rỗng ngay cả khi dưới vi phân Mordukhovich bằng rỗng (như ví dụ $\varphi(x) = x^{1/3}$ tại $x = 0$).

2. Tính đóng của tập $\partial_Q \varphi(x)$ có được bảo toàn trên mọi không gian Banach không?

Không. Luận án đã chứng minh rằng $\partial_Q \varphi(x)$ là tập đóng trong không gian Euclid hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$ (Mệnh đề 4.8). Tuy nhiên, trên không gian Banach vô hạn chiều $\ell_2$, tác giả đưa ra phản ví dụ cụ thể (Ví dụ 4.9) chứng minh rằng tồn tại tập $\Omega \subset \ell_2$ sao cho nón pháp tuyến $\partial_Q \delta_\Omega(0) = N(0; \Omega)$ không phải là tập đóng trong không gian đối ngẫu $\ell_2$.

3. Đạo hàm epi cấp hai đóng vai trò gì trong việc liên kết giải tích không gian nền và không gian đối ngẫu?

Đạo hàm epi cấp hai $d^2 f(x, \bar{y})(v)$ được định nghĩa trên không gian nền thông qua sự epi-hội tụ của sai phân cấp hai. Cầu nối giữa không gian nền và không gian đối ngẫu được biểu diễn qua công thức liên kết Rockafellar: $$DF(N_\Omega)(\bar{x}, \bar{y})(v) = \partial \left(\frac{1}{2} d^2 \delta_\Omega(\bar{x}, \bar{y})\right)(v)$$ Công thức này cho phép chuyển đổi việc tính đạo hàm graphical của ánh xạ nón pháp tuyến đa trị $N_\Omega$ (trên không gian đối ngẫu) thành việc tính dưới vi phân của một hàm số lồi/chính quy bậc hai trên không gian nền.

4. Điều kiện chuẩn hóa nào được sử dụng để thiết lập đạo hàm epi cấp hai cho hệ hợp hữu hạn $K = \bigcup_{i=1}^m K_i$?

Luận án sử dụng điều kiện chuẩn hóa dưới chính quy metric hợp hữu hạn (Disjunctive Metric Subregularity Qualification Condition - DMSQC). Điều kiện này đảm bảo mối quan hệ giữa hàm khoảng cách tới tập hợp và cấu trúc hình học của từng tập thành phần $K_i$, cho phép biểu diễn chính xác nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến và tập tiếp tuyến cấp hai của tập hợp mà không làm mất thông tin tại các điểm giao cắt.

5. Tiêu chuẩn nào trong luận án xác định tính ổn định cô lập của ánh xạ đa trị $F$?

Theo Định lý 3.25 của luận án, một ánh xạ đa trị $F: \mathbb{R}^n \rightrightarrows \mathbb{R}^m$ đạt tính ổn định cô lập (isolated calmness) tại điểm đồ thị $(\bar{x}, \bar{y}) \in \operatorname{gph} F$ khi và chỉ khi ánh xạ đạo hàm graphical của nó tại điểm đó triệt tiêu tại gốc, tức là: $$DF(\bar{x}, \bar{y})(0) = {0}$$ Tiêu chuẩn này được áp dụng xuyên suốt để kiểm tra tính ổn định cô lập của nghiệm phương trình tổng quát và ánh xạ điểm yên ngựa trong bài toán tối ưu vững.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Võ Đức Thịnh đã phát triển các công cụ giải tích biến phân cấp một và cấp hai, bao gồm dưới vi phân tương ứng với tập theo nghĩa Ginchev, đối đạo hàm theo hướng theo nghĩa Gfrerer, đạo hàm epi cấp hai và đạo hàm graphical của ánh xạ nón pháp tuyến. Các kết quả lý thuyết này được áp dụng để thiết lập các công thức giải tích tường minh cho hệ ràng buộc không chắc chắn và hệ ràng buộc hợp hữu hạn, đồng thời cung cấp hệ thống điều kiện tối ưu bậc một, bậc hai và tiêu chuẩn ổn định cô lập cho bài toán tối ưu đa trị và tối ưu vững. Công trình đóng góp cơ sở lý thuyết toán học cho lĩnh vực giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu không trơn.