Luận văn thạc sĩ: Ứng dụng số phức của phép nghịch đảo trong giải toán hình học phẳng

• Tác giả: Vũ Đức Trọng
• Người hướng dẫn: TS. Trần Việt Cường
• Trường học: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: Một số kiến thức chuẩn bị
• 1.1. Phép biến hình trong mặt phẳng
• 1.2. Tích vô hướng và tích lệch
• 1.2.1. Tích vô hướng
• 1.2.2. Tích lệch
• 1.3. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phức
• 1.3.1. Phương trình chính tắc của đường thẳng
• 1.3.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
• 1.3.3. Phép chiếu vuông góc xuống đường thẳng
• 1.3.4. Phép đối xứng qua đường thẳng
• 1.4. Phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức
• 1.4.1. Đường tròn đơn vị |z| = 1
• 1.4.2. Phương trình của đường tròn tâm J, bán kính r > 0
• 1.4.3. Phương trình az z̄ + (β̄z + β z̄) + P = 0, a ∈ R, P ∈ R, β ∈ C, |a| + |β| ≠ 0
• 1.4.4. Hai đường tròn trực giao
• 1.4.5. Hai đường tròn tiếp xúc
• 1.5. Phép nghịch đảo
• 1.5.1. Định nghĩa
• 1.5.2. Tính chất
• 1.5.2.1. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp
• 1.5.2.2. Quỹ đạo các điểm kép của phép nghịch đảo f (J, k) với k > 0 là đường tròn tâm J, bán kính k
• 1.5.2.3. Ảnh của đường thẳng, đường tròn qua phép nghịch đảo f tâm J, hệ số k trong mặt phẳng
• 1.5.2.4. Phép vị tự bảo toàn góc giữa đường thẳng, đường tròn
• 1.5.2.5. Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa các đường thẳng, đường tròn
• 1.5.2.6. Phép nghịch đảo bảo tồn sự tiếp xúc của các đường thẳng, đường tròn nếu tiếp điểm không trùng với tâm nghịch đảo
• 1.5.2.7. M, N là hai điểm tuỳ ý của mặt phẳng không trùng với tâm J của phép nghịch đảo J với hệ số k thì hai điểm M0 = f(M), N0 = f(N) cũng không trùng với tâm J và độ dài đoạn thẳng M0N0 = M N . JN / |k|
• 2. CHƯƠNG 2: Ứng dụng dạng số phức của phép nghịch đảo để giải một số dạng toán hình học phẳng
• 2.1. Bài toán xác định phép nghịch đảo
• 2.2. Bài toán quỹ tích
• 2.3. Bài toán dựng hình
• 2.3.1. Dựng đường tròn tiếp xúc với các đường tròn, đường thẳng cho trước
• 2.3.2. Dựng đường tròn trực giao với các đường thẳng, đường tròn cho trước
• 2.3.3. Dựng đường tròn vừa tiếp xúc vừa trực giao với các đường thẳng, đường tròn cho trước
• 2.3.4. Các bài toán tổng hợp
• 2.4. Một số định lý nổi tiếng trong mặt phẳng
• 2.4.1. Công thức Euler
• 2.4.2. Bất đẳng thức Ptolemy
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Tổng Quan Số Phức Phép Nghịch Đảo Hình Học Phẳng

Bài viết này khám phá mối liên hệ sâu sắc giữa số phức, phép nghịch đảo và ứng dụng của chúng trong việc giải các bài toán hình học phẳng. Chúng ta sẽ đi từ những kiến thức cơ bản, chuẩn bị cần thiết về số phức, sau đó đi sâu vào bản chất của phép nghịch đảo trong mặt phẳng phức. Điểm đặc biệt là cách tiếp cận này mang đến một cái nhìn mới, hiệu quả, giúp giải quyết nhiều bài toán hình học một cách sáng tạo và đôi khi, đơn giản hơn so với các phương pháp truyền thống. Luận văn của Vũ Đức Trọng (2015) đã nhấn mạnh: "Dạng số phức của phép nghịch đảo là cách tiếp cận tạo nên cách nhìn mới về các bài toán giải quyết bằng phép nghịch đảo". Việc nắm vững kiến thức về biểu diễn hình học của số phức, các phép toán trên số phức và đặc biệt là tính chất của phép nghịch đảo là chìa khóa để mở ra những ứng dụng thú vị trong hình học phẳng. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá những ứng dụng này một cách chi tiết và có hệ thống.

1.1. Giới Thiệu Về Số Phức và Biểu Diễn Hình Học

Số phức, mở rộng từ số thực, không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong đại số mà còn có một biểu diễn hình học trực quan. Mỗi số phức có thể được biểu diễn như một điểm trên mặt phẳng phức, với trục hoành đại diện cho phần thực và trục tung đại diện cho phần ảo. Các phép toán trên số phức, như cộng, trừ, nhân, chia, đều có những tương ứng hình học thú vị. Chẳng hạn, phép cộng số phức tương ứng với phép cộng vector. Sự kết hợp giữa đại số và hình học này tạo ra một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng. Việc nắm vững module và argument của số phức là vô cùng quan trọng.

1.2. Phép Nghịch Đảo Định Nghĩa và Tính Chất Cơ Bản

Phép nghịch đảo là một phép biến hình đặc biệt trong hình học. Cho một điểm J (tâm nghịch đảo) và một số k (hệ số nghịch đảo), phép nghịch đảo biến một điểm M thành một điểm M' sao cho J, M, M' thẳng hàng và JM JM' = k. Phép nghịch đảo có nhiều tính chất quan trọng, chẳng hạn như biến đường thẳng thành đường tròn (hoặc đường thẳng) và ngược lại. Nó cũng bảo toàn góc giữa các đường thẳng và đường tròn. Theo Vũ Đức Trọng (2015): "Phép nghịch đảo là phép biến hình thuộc loại khác, nó cũng bảo toàn lớp các đường thẳng và đường tròn nhưng có thể biến một đường thẳng thành đường tròn và ngược lại."

II. Thách Thức Giải Toán Hình Học Phẳng Bằng Phương Pháp Cổ Điển

Trong hình học phẳng, nhiều bài toán có thể trở nên phức tạp và khó giải quyết bằng các phương pháp truyền thống như sử dụng định lý Pythagoras, các tính chất của tam giác đồng dạng, hoặc các định lý về góc và đường tròn. Các bài toán dựng hình phức tạp, các bài toán về quỹ tích khó xác định, hoặc các bài toán chứng minh các tính chất hình học phức tạp thường đòi hỏi những kỹ năng và kinh nghiệm nhất định. Hơn nữa, việc tìm ra lời giải cho những bài toán này có thể tốn nhiều thời gian và công sức. Do đó, việc tìm kiếm các phương pháp mới, hiệu quả hơn để giải quyết các bài toán hình học phẳng là một nhu cầu thiết thực. Việc ứng dụng số phức và phép nghịch đảo mở ra một hướng đi mới, giúp đơn giản hóa nhiều bài toán hóc búa, mang lại những lời giải ngắn gọn và thanh lịch.

2.1. Khó Khăn Khi Dựng Hình Bằng Thước và Compa

Bài toán dựng hình, một phần quan trọng của hình học, thường gặp khó khăn khi chỉ sử dụng thước và compa. Một số bài toán dựng hình, như dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước (bài toán Apollonius), có thể trở nên cực kỳ phức tạp khi giải bằng phương pháp truyền thống. Việc sử dụng phép nghịch đảo có thể giúp đơn giản hóa bài toán, biến bài toán phức tạp thành một bài toán đơn giản hơn, từ đó tìm ra lời giải một cách dễ dàng hơn. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi các đối tượng hình học có tính đối xứng hoặc liên quan đến đường tròn.

2.2. Vấn Đề Quỹ Tích và Chứng Minh Các Tính Chất Hình Học

Xác định quỹ tích của một điểm hoặc chứng minh các tính chất hình học phức tạp thường là những thách thức lớn trong hình học phẳng. Các phương pháp truyền thống thường đòi hỏi việc thiết lập các phương trình phức tạp và thực hiện các phép biến đổi đại số rườm rà. Việc sử dụng số phức và phép nghịch đảo có thể giúp đơn giản hóa các phép toán, biến đổi các đối tượng hình học một cách hiệu quả, và từ đó tìm ra quỹ tích hoặc chứng minh các tính chất một cách dễ dàng hơn. Đặc biệt, các tính chất bảo toàn của phép nghịch đảo, như bảo toàn góc, có thể được sử dụng để đơn giản hóa quá trình chứng minh.

III. Phương Pháp Ứng Dụng Số Phức Biểu Diễn Phép Nghịch Đảo

Một trong những phương pháp hiệu quả nhất để giải các bài toán hình học phẳng là sử dụng số phức để biểu diễn phép nghịch đảo. Bằng cách gán một số phức cho mỗi điểm trên mặt phẳng, ta có thể biểu diễn phép nghịch đảo bằng một công thức đơn giản. Điều này cho phép chúng ta thực hiện các phép toán hình học bằng các phép toán đại số, giúp đơn giản hóa quá trình giải toán. Công thức z' = k / liên hợp(z) (với z là số phức biểu diễn điểm gốc, z' là số phức biểu diễn ảnh qua phép nghịch đảo, và k là hệ số nghịch đảo) là công cụ cơ bản để thực hiện việc này.

3.1. Biểu Diễn Điểm Đường Thẳng và Đường Tròn Bằng Số Phức

Trước khi áp dụng phép nghịch đảo, chúng ta cần biểu diễn các đối tượng hình học bằng số phức. Một điểm được biểu diễn bằng một số phức duy nhất. Đường thẳng và đường tròn có thể được biểu diễn bằng các phương trình sử dụng số phức. Ví dụ, phương trình đường thẳng có thể được viết dưới dạng *a*z + liên hợp(a)liên hợp(z) + b = 0, và phương trình đường tròn có thể được viết dưới dạng *azliên hợp(z) + b*z + liên hợp(b)liên hợp(z) + c = 0, với a, b, c là các số phức thích hợp. Khả năng chuyển đổi linh hoạt giữa biểu diễn hình học và biểu diễn bằng số phức là chìa khóa để sử dụng hiệu quả phương pháp này.

3.2. Tìm Ảnh Của Điểm Đường Thẳng Đường Tròn Qua Phép Nghịch Đảo

Sau khi biểu diễn các đối tượng hình học bằng số phức, chúng ta có thể áp dụng công thức nghịch đảo z' = k / liên hợp(z) để tìm ảnh của chúng qua phép nghịch đảo. Ảnh của một điểm là một điểm khác. Ảnh của một đường thẳng là một đường tròn (hoặc một đường thẳng nếu đường thẳng gốc đi qua tâm nghịch đảo). Ảnh của một đường tròn là một đường tròn (hoặc một đường thẳng nếu đường tròn gốc đi qua tâm nghịch đảo). Việc tính toán ảnh của các đối tượng hình học này có thể được thực hiện bằng các phép toán đại số đơn giản trên số phức.

IV. Giải Pháp Ứng Dụng Số Phức và Phép Nghịch Đảo Giải Toán

Với công cụ là số phức và phép nghịch đảo, chúng ta có thể giải quyết nhiều bài toán hình học phẳng một cách hiệu quả. Quá trình giải toán thường bao gồm các bước sau: (1) Chọn tâm nghịch đảo và hệ số nghịch đảo thích hợp. (2) Biểu diễn các đối tượng hình học bằng số phức. (3) Áp dụng phép nghịch đảo để biến đổi bài toán thành một bài toán tương đương đơn giản hơn. (4) Giải bài toán đơn giản hơn. (5) Áp dụng phép nghịch đảo ngược để đưa lời giải về bài toán gốc. Việc lựa chọn tâm và hệ số nghịch đảo một cách khéo léo là yếu tố quan trọng quyết định sự thành công của phương pháp.

4.1. Giải Bài Toán Dựng Hình Bằng Phép Nghịch Đảo Số Phức

Trong bài toán dựng hình, phép nghịch đảo có thể được sử dụng để biến đổi các đường thẳng và đường tròn thành các đối tượng đơn giản hơn, giúp đơn giản hóa quá trình dựng hình. Ví dụ, bài toán dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước (bài toán Apollonius) có thể được giải bằng cách chọn tâm nghịch đảo là một trong các điểm tiếp xúc và áp dụng phép nghịch đảo để biến bài toán thành bài toán dựng đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng và hai đường tròn, một bài toán đơn giản hơn nhiều. Sau khi dựng được đường tròn trong bài toán đơn giản hơn, ta có thể áp dụng phép nghịch đảo ngược để tìm đường tròn cần dựng trong bài toán gốc.

4.2. Tìm Quỹ Tích Điểm và Chứng Minh Bằng Số Phức

Trong bài toán tìm quỹ tích, phép nghịch đảo có thể được sử dụng để biến đổi quỹ tích phức tạp thành một quỹ tích đơn giản hơn, dễ xác định hơn. Bằng cách biểu diễn các điểm và đường bằng số phức và áp dụng phép nghịch đảo, ta có thể tìm ra mối liên hệ giữa các số phức biểu diễn các điểm trên quỹ tích, từ đó suy ra phương trình của quỹ tích. Tương tự, trong bài toán chứng minh, phép nghịch đảo có thể được sử dụng để biến đổi các tính chất hình học phức tạp thành các tính chất đơn giản hơn, dễ chứng minh hơn. Việc sử dụng các tính chất bảo toàn của phép nghịch đảo, như bảo toàn góc, có thể giúp đơn giản hóa quá trình chứng minh.

V. Ví Dụ Ứng Dụng Giải Toán Hình Học Phẳng Cụ Thể

Để minh họa cho sức mạnh của phương pháp này, chúng ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể về việc giải các bài toán hình học phẳng bằng số phức và phép nghịch đảo. Các ví dụ này sẽ bao gồm các bài toán dựng hình, các bài toán về quỹ tích, và các bài toán chứng minh các tính chất hình học phức tạp. Mục tiêu là cho thấy rằng phương pháp này có thể được áp dụng một cách hiệu quả để giải quyết nhiều loại bài toán khác nhau, và nó có thể mang lại những lời giải ngắn gọn và thanh lịch hơn so với các phương pháp truyền thống.

5.1. Ví Dụ 1 Dựng Đường Tròn Tiếp Xúc Ba Đường Tròn Cho Trước

Xét bài toán dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước (bài toán Apollonius). Chọn tâm nghịch đảo là một trong các điểm tiếp xúc (nếu biết) hoặc một điểm đặc biệt khác (ví dụ, giao điểm của các trục đẳng phương). Áp dụng phép nghịch đảo để biến bài toán thành bài toán dựng đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng và hai đường tròn. Giải bài toán đơn giản hơn này bằng các phương pháp hình học thông thường. Áp dụng phép nghịch đảo ngược để tìm đường tròn cần dựng trong bài toán gốc.

5.2. Ví Dụ 2 Chứng Minh Định Lý Ptolemy Bằng Số Phức

Xét định lý Ptolemy: Cho tứ giác nội tiếp ABCD, ta có AB CD + AD BC = AC BD. Chọn một đỉnh của tứ giác làm tâm nghịch đảo. Áp dụng phép nghịch đảo để biến tứ giác nội tiếp thành một tứ giác khác, trong đó ba đỉnh nằm trên một đường thẳng. Chứng minh định lý Ptolemy cho tứ giác mới này. Áp dụng phép nghịch đảo ngược để suy ra định lý Ptolemy cho tứ giác gốc.

VI. Kết Luận Tiềm Năng và Hướng Phát Triển Của Phương Pháp

Việc ứng dụng số phức và phép nghịch đảo để giải các bài toán hình học phẳng là một phương pháp hiệu quả và đầy tiềm năng. Nó không chỉ giúp đơn giản hóa nhiều bài toán hóc búa, mà còn mang lại những lời giải ngắn gọn và thanh lịch. Phương pháp này đặc biệt hữu ích trong các bài toán dựng hình, các bài toán về quỹ tích, và các bài toán chứng minh các tính chất hình học phức tạp. Trong tương lai, phương pháp này có thể được phát triển và mở rộng để giải quyết các bài toán hình học không gian, hoặc các bài toán hình học liên quan đến các đối tượng hình học phức tạp hơn.

6.1. Tổng Kết Ưu Điểm và Hạn Chế của Phương Pháp

Ưu điểm chính của phương pháp này là khả năng đơn giản hóa các bài toán phức tạp, mang lại những lời giải ngắn gọn và thanh lịch. Hạn chế của phương pháp là đòi hỏi người giải toán phải có kiến thức vững chắc về số phức và phép nghịch đảo, cũng như khả năng lựa chọn tâm và hệ số nghịch đảo một cách khéo léo. Việc lựa chọn tâm nghịch đảo không phù hợp có thể làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn.

6.2. Hướng Nghiên Cứu và Phát Triển Trong Tương Lai

Trong tương lai, phương pháp này có thể được phát triển và mở rộng để giải quyết các bài toán hình học không gian. Việc nghiên cứu các tính chất của phép nghịch đảo trong không gian và việc biểu diễn các đối tượng hình học không gian bằng số phức (hoặc các đối tượng toán học tương tự) có thể mở ra những hướng đi mới trong việc giải các bài toán hình học không gian. Ngoài ra, việc phát triển các phần mềm hỗ trợ giải toán hình học bằng số phức và phép nghịch đảo có thể giúp phổ biến phương pháp này đến đông đảo người học và người làm toán.