Chương 1: Một số khái niệm cơ bản về số phức. - Chương 2: Biểu diễn một số kết quả hình học bằng ngôn ngữ số phức. - Chương 3: Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10. Phần tài liệu tham khảo và phụ lục.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức Ta biết rằng trường số thực nhận được bằng cách làm “đầy” trường số hữu tỉ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên. Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ.
Tuy nhiên trường vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản x2 1 0 (1) cũng không có nghiệm trong. Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong , người ta 1 không thể giải thích được tại sao hàm f x không thể khai triển được thành 1 x2 chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng. Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói là trường con của K nếu các phép toán trên được cảm sinh bởi các phép toán trên K.
Xây dựng trường số phức Giả sử trường chứa như một trường con mà phương trình x 2 1 0 có nghiệm trong nó, khi đó phải có một phần tử để i 2 1. Vì nên chứa tất cả các phần tử dạng. Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập các cặp số thực : { } Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng trở thành một trường chứa như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó). Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường với chú ý i 2 1.
i) Quan hệ bằng nhau: ii) Phép cộng: iii) Phép nhân: Tập hợp với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau: 1) chứa trong như một trường con (qua đồng nhất với ) 2) Tồn tại nghiệm của phương trình x 2 1 0 trong 3 1. Định nghĩa Số phức là số có dạng: trong đó. Phép biểu diễn số phức dưới dạng gọi là dạng đại số của số phức. Trong đó số được gọi là phần thực của số phức , kí hiệu Re được gọi là Số phức có dạng yi , y * phần ảo của số phức kí hiệu Im được gọi là số thuần ảo, số phức i gọi là số đơn vị ảo.
Tập tất cả số phức kí hiệu là. Các phép toán trên tập số phức Từ các hệ thức trên ta dễ dàng có các kết quả sau: i) z1 z2 khi và chỉ khi Re z1 Re z2 và Im z1 Im z2 ; ii) z khi và chỉ khi Im z 0 ; iii) z \ khi và chỉ khi Im z 0. Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần thực, có phần ảo là tổng các phần ảo: Re z1 z2 Re z1 Re z2 Im z1 z2 Im z1 Im z2 . Phép trừ z1 z2 x1 y1i x2 y2i x1 x2 y1 y2 i Ta có: Re z1 z2 Re z1 Re z2 Im z1 z2 Im z1 Im z2 .
4 Mỗi số thực , số phức z x yi , z x yi x yi là tích của một số thực với một số phức. Ta có các tính chất sau: i) z1 z2 z1 z2 ; ii) 1 2 z 12 z ; iii) 1 2 z 1 z 2 z. Số phức liên hợp Mỗi số phức z x yi đều có số phức z x yi , số phức đó được gọi là số phức liên hợp của số phức z. 1) Hệ thức z z đúng khi và chỉ khi z ; 2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z z ; 3) Mỗi số phức z ta luôn có z.z là một số thực không âm; 4) z1 z2 z1 z2 (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp); 5) z1.z2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp); khác 0 đẳng thức sau luôn đúng z z ; 1 1 6) Mỗi số phức z z 7) 1 1 , z2 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp); z2 z2 8) Công thức Re z z z và Im z z z , đúng với mọi số phức z .
2 2i Ghi chú: i) Phần tử nghịch đảo của số phức z * có thể được tính như sau: 1 z x yi x y 2 2 2 i z z.z x y 2 x y x y2 2 ii) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức như sau: z1 z1.z2 x22 y22 x22 y22 x22 y22 Môđun của số phức Số z x2 y 2 được gọi là môđun của số phức z x yi. 1) z Re z z và z Im z z ; 2) z 0 , z , ngoài ra z 0 khi và chỉ khi z 0 ; 3) z z z ; 4) ̅ | |; 5) z1. Dạng lượng giác của số phức Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vuông góc, sự biễu y diễn số phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phép toán trên số phức: cho hai số Z phức dạng đại số z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2. Đó là hai điểm Z1 , Z 2 trong hệ tọa độ vuông góc ứng với số trên.
O x Điểm O là tọa độ gốc. Ta nối điểm Z1 , Z 2 với gốc O và xác định vector OZ1 , OZ 2. Sau đó dựng hình bình hành OZ1ZZ 2. Như vậy đỉnh thứ tư biểu diễn tọa độ của số phức z1 z2 như tổng của hai số phức đã cho.
Do đó tổng hai số phức có thể biễu diễn hình học như cộng hai vector trong mặt phẳng. Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơ OZ và ta thấy ngay OZ1 OZ 2 OZ , ta có nhận xét là khi xem số phức như những điểm trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc O thì có thể xem số phức như là những vectơ trên mặt phẳng này, 6 chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải những bài toán trong hình học phẳng. Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trước. Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z x iy 0 thì số phức này ứng với một vectơ OZ , ta ký hiệu là độ dài bán kính vectơ này, còn là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại).
Rõ ràng là một số thực không âm. Nếu điểm nằm trên trục hoành thì số chính là môđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức ta cũng định nghĩa là môđun của và kí hiệu là z. Góc được gọi là argument của số phức và kí hiệu là arg z. Giá trị của có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào hướng quay của trục hoành đến nó.
Có thể xác định bằng: √ và √ argument của số phức z 0 có vô số giá trị. Nếu một giá trị đã xác định thì argument được xác định theo công thức: arg z k 2 , k là số nguyên. Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argument trong tập 0, 2 . Những số và biểu diễn một tọa độ cực của Nếu cho một điểm , thì mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc như sau.
Khi đó số phức có thể viết z r cos ir sin r cos i sin . Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức. Cho hai số phức dưới dạng lượng giác z1 r1 cos 1 i sin 1 và 7 z2 r2 cos 2 i sin 2 . Ta có tính chất sau: y 1) Nếu z1 trùng với z 2 , thì môđun của chúng bằng nhau và argument của chúng 1 , 2 khác nhau một số nguyên lần 2.
0 x 2) Tích của hai số phức z z1 z2 r1 cos 1 i sin 1 .r2 cos 2 i sin 2 r1r2 cos 1.cos 2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2 Như vậy, tích của hai số phức viết dưới dạng lượng giác z r cos i sin , ở đó r là tích của r1r2 hai môđun của hai thừa số. Còn argument là tổng 1 2 của hai argument thừa số, hay nói cách khác arg z1 z2 arg z1 arg z2. Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2 . rn cos n i sin n r1r2 .