Ứng Dụng Mô Hình Dự Đoán Xác Định Vị Trí Đỗ Cho Hệ AGV Nhằm Giảm Thiểu Thời Gian Hoàn Thành Nhiệm Vụ

Tài liệu nghiên cứu Ứng dụng mô hình dự đoán xác định vị trí đỗ cho hệ agv nhằm giảm thiểu thời gian hoàn thành nhiệm vụ, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức

• Tác giả: Ngô Trường Tín
• Người hướng dẫn: PGS. Ngô Hà Quang Thịnh
• Trường học: Đại học Bách Khoa - ĐHQG HCM
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Cơ điện tử
• Đề tài: Ứng Dụng Mô Hình Dự Đoán Xác Định Vị Trí Đỗ Cho Hệ AGV Nhằm Giảm Thiểu Thời Gian Hoàn Thành Nhiệm Vụ
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: TP. Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng quan ứng dụng mô hình dự đoán cho hệ thống AGV

Bài viết này tập trung vào ứng dụng mô hình dự đoán để tối ưu hóa hoạt động của hệ thống AGV, một lĩnh vực đang ngày càng phát triển trong bối cảnh tự động hóa và công nghiệp 4.0. AGV (Automated Guided Vehicle) là phương tiện vận chuyển hàng hóa tự động, không người lái, đóng vai trò quan trọng trong các nhà máy thông minh, kho hàng thông minh và hệ thống logistics. Việc tối ưu hóa vị trí đỗ của AGV có ý nghĩa quan trọng trong việc giảm thiểu thời gian hoàn thành nhiệm vụ, tăng năng suất và hiệu quả hoạt động. Nghiên cứu của Ngô Trường Tín tại Đại học Bách Khoa TP.HCM năm 2024 đã đề xuất một thuật toán mới áp dụng mô hình dự đoán vào quá trình phân phối nhiệm vụ cho AGV, mang lại tiềm năng lớn trong việc cải thiện hiệu suất hệ thống. Theo báo cáo của Grand View Research [3], thị trường AGV toàn cầu dự kiến sẽ đạt tốc độ tăng trưởng kép hàng năm (CAGR) là 9,7% từ năm 2023 đến 2030, cho thấy tiềm năng phát triển mạnh mẽ của lĩnh vực này.

1.1. Giới thiệu chung về hệ thống AGV và vai trò

AGV là viết tắt của Automated Guided Vehicle, một loại xe tự hành được sử dụng để vận chuyển vật liệu trong môi trường công nghiệp. AGV hoạt động dựa trên các hệ thống dẫn đường, chẳng hạn như dây dẫn từ tính, laser, hoặc tầm nhìn máy tính. Hệ thống AGV giúp tăng năng suất, giảm chi phí nhân công, và cải thiện độ an toàn. AGV ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp. Hệ thống AGV đóng vai trò then chốt trong các hệ thống kho thông minh, nhà máy thông minh, và các ứng dụng logistics.

1.2. Tầm quan trọng của tối ưu vị trí đỗ cho AGV

Tối ưu vị trí đỗ cho AGV là yếu tố then chốt để giảm thiểu thời gian hoàn thành nhiệm vụ. Khi AGV đỗ ở vị trí tối ưu, thời gian di chuyển đến điểm lấy hàng sẽ được rút ngắn. Điều này đặc biệt quan trọng trong các hệ thống có nhiều AGV và tần suất công việc cao. Việc xác định vị trí đỗ hợp lý giúp giảm thiểu thời gian chết của AGV, tăng hiệu suất hoạt động tổng thể. Tối ưu vị trí đỗ còn giúp cân bằng tải công việc giữa các AGV, tránh tình trạng một số AGV quá tải trong khi những AGV khác nhàn rỗi.

II. Bài toán xác định vị trí đỗ tối ưu cho hệ thống AGV

Việc xác định vị trí đỗ tối ưu cho AGV là một bài toán phức tạp, đặc biệt trong các hệ thống lớn với nhiều AGV và nhiều điểm đến. Các yếu tố cần xem xét bao gồm: bố trí nhà máy, vị trí các trạm làm việc, tần suất yêu cầu dịch vụ tại mỗi trạm, tốc độ di chuyển của AGV, và số lượng AGV trong hệ thống. Các phương pháp truyền thống thường dựa trên các quy tắc đơn giản hoặc thống kê, và có thể không hiệu quả trong các môi trường phức tạp và thay đổi liên tục. Mô hình dự đoán có thể giúp giải quyết bài toán này bằng cách dự đoán nhu cầu dịch vụ trong tương lai và tối ưu hóa vị trí đỗ của AGV dựa trên dự đoán đó. Theo Egbelu (1993), một trong những hướng tiếp cận quan trọng là giảm thiểu thời gian phản hồi trung bình của hệ thống AGV.

2.1. Các yếu tố ảnh hưởng đến vị trí đỗ của AGV

Bố trí nhà máy và mạng lưới giao thông có ảnh hưởng lớn đến vị trí đỗ của AGV. Vị trí các trạm làm việc và tần suất yêu cầu dịch vụ cũng là những yếu tố quan trọng. Số lượng AGV trong hệ thống và tốc độ di chuyển của chúng cần được cân nhắc. Các ràng buộc về không gian và an toàn cũng cần được xem xét khi xác định vị trí đỗ.

2.2. Hạn chế của phương pháp truyền thống trong xác định vị trí

Các phương pháp truyền thống thường dựa trên các quy tắc đơn giản hoặc thống kê. Các phương pháp này có thể không hiệu quả trong các môi trường phức tạp và thay đổi liên tục. Việc tối ưu hóa vị trí đỗ bằng phương pháp truyền thống thường tốn nhiều thời gian và công sức. Các phương pháp truyền thống khó thích ứng với sự thay đổi của nhu cầu dịch vụ.

2.3. Tại sao cần ứng dụng mô hình dự đoán trong bài toán này

Mô hình dự đoán có thể dự đoán nhu cầu dịch vụ trong tương lai, nâng cao hiệu quả. Mô hình dự đoán có thể tối ưu hóa vị trí đỗ của AGV dựa trên dự đoán đó. Việc ứng dụng mô hình dự đoán giúp giảm thời gian phản hồi và tăng năng suất. Mô hình dự đoán có khả năng thích ứng với sự thay đổi của nhu cầu dịch vụ. Mô hình dự đoán khắc phục được hạn chế của phương pháp truyền thống.

III. Mô hình dự đoán thuật toán cho vị trí đỗ AGV hiệu quả

Để giải quyết bài toán xác định vị trí đỗ tối ưu cho AGV, nghiên cứu này đề xuất ứng dụng mô hình dự đoán. Mô hình dự đoán sử dụng dữ liệu lịch sử và các yếu tố liên quan để dự đoán nhu cầu dịch vụ trong tương lai. Dựa trên dự đoán này, một thuật toán sẽ được sử dụng để tối ưu hóa vị trí đỗ của AGV, giảm thiểu thời gian di chuyển và thời gian hoàn thành nhiệm vụ. Các thuật toán có thể được áp dụng bao gồm thuật toán di truyền, giải thuật ACO (Ant Colony Optimization) hoặc PSO (Particle Swarm Optimization). Đồng thời cần phân tích dữ liệu quá khứ và các phương pháp biến đổi dữ liệu, ví dụ như PCA[22].

3.1. Tổng quan về mô hình dự đoán và các loại mô hình

Mô hình dự đoán là một công cụ mạnh mẽ để dự đoán các sự kiện hoặc xu hướng trong tương lai. Có nhiều loại mô hình dự đoán khác nhau, bao gồm mô hình thống kê, mô hình học máy, và mô hình chuỗi Markov. Việc lựa chọn mô hình dự đoán phù hợp phụ thuộc vào loại dữ liệu có sẵn và độ phức tạp của bài toán. Các mô hình học sâu như LSTM (Long Short-Term Memory) cũng được áp dụng để dự đoán các chuỗi thời gian.

3.2. Thuật toán đề xuất cho tối ưu hóa vị trí đỗ AGV

Một thuật toán tối ưu hóa cần được sử dụng để xác định vị trí đỗ tối ưu cho AGV dựa trên dự đoán nhu cầu dịch vụ. Các thuật toán có thể được áp dụng bao gồm thuật toán di truyền, giải thuật ACO (Ant Colony Optimization), thuật toán PSO (Particle Swarm Optimization). Các thuật toán này tìm kiếm giải pháp tốt nhất trong không gian giải pháp bằng cách mô phỏng các quá trình tự nhiên.

IV. Ứng dụng mô hình dự đoán và thuật toán trong hệ thống AGV

Nghiên cứu của Ngô Trường Tín đã ứng dụng mô hình dự đoán và thuật toán tối ưu hóa để xác định vị trí đỗ cho AGV trong một hệ thống mô phỏng. Kết quả cho thấy rằng phương pháp này có thể giảm thiểu thời gian phản hồi của AGV, từ đó giảm thời gian hoàn thành nhiệm vụ. Cụ thể, thuật toán được thử nghiệm trên bản đồ mô phỏng dưới dạng bàn cờ và cho thấy tiềm năng lớn trong việc cải thiện hiệu suất hệ thống. Quá trình ứng dụng bao gồm các bước: thu thập dữ liệu, xây dựng mô hình dự đoán, tối ưu hóa vị trí đỗ và đánh giá hiệu quả.

4.1. Quy trình triển khai mô hình dự đoán và thuật toán

Quy trình triển khai bao gồm các bước: thu thập dữ liệu lịch sử về hoạt động của hệ thống AGV, xây dựng mô hình dự đoán nhu cầu dịch vụ, thiết kế thuật toán tối ưu hóa vị trí đỗ dựa trên dự đoán, triển khai thuật toán trong hệ thống mô phỏng hoặc thực tế, và đánh giá hiệu quả của phương pháp.

4.2. Kết quả và phân tích hiệu quả đạt được khi ứng dụng

Kết quả cho thấy rằng việc ứng dụng mô hình dự đoán và thuật toán tối ưu hóa có thể giảm thiểu thời gian phản hồi của AGV, từ đó giảm thời gian hoàn thành nhiệm vụ. Hiệu quả đạt được phụ thuộc vào độ chính xác của mô hình dự đoán và hiệu quả của thuật toán tối ưu hóa. Cần phân tích dữ liệu để đánh giá hiệu quả và điều chỉnh phương pháp khi cần thiết.

4.3. Các yếu tố cần cân nhắc khi triển khai trong thực tế

Khi triển khai trong thực tế, cần cân nhắc các yếu tố: chi phí triển khai và bảo trì, độ phức tạp của hệ thống, khả năng tích hợp với hệ thống hiện có, và yêu cầu về bảo mật. Cần đảm bảo rằng hệ thống hoạt động ổn định và an toàn trong môi trường thực tế. Đảm bảo có đủ dữ liệu để xây dựng mô hình dự đoán chính xác.

V. Kết luận và hướng phát triển cho bài toán tối ưu AGV

Ứng dụng mô hình dự đoán để xác định vị trí đỗ cho AGV là một hướng đi đầy hứa hẹn để giảm thiểu thời gian hoàn thành nhiệm vụ và nâng cao hiệu quả hoạt động của hệ thống. Nghiên cứu của Ngô Trường Tín đã chứng minh tính khả thi của phương pháp này trong một hệ thống mô phỏng. Trong tương lai, cần tiếp tục nghiên cứu và phát triển các mô hình dự đoán và thuật toán tối ưu hóa tiên tiến hơn, cũng như thử nghiệm phương pháp này trong các hệ thống thực tế. Hướng phát triển có thể tập trung vào việc tích hợp các công nghệ mới như học sâu, IoT, và dữ liệu thời gian thực.

5.1. Tổng kết các ưu điểm của phương pháp dự đoán vị trí đỗ

Phương pháp dự đoán vị trí đỗ giúp giảm thiểu thời gian phản hồi của AGV, giảm thời gian hoàn thành nhiệm vụ, và tăng năng suất. Phương pháp này có khả năng thích ứng với sự thay đổi của nhu cầu dịch vụ. Phương pháp này có thể được tích hợp với các hệ thống hiện có. Phương pháp này giúp tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên.

5.2. Hướng phát triển và nghiên cứu tiềm năng trong tương lai

Hướng phát triển có thể tập trung vào việc tích hợp các công nghệ mới như học sâu, IoT, và dữ liệu thời gian thực. Cần nghiên cứu các mô hình dự đoán và thuật toán tối ưu hóa tiên tiến hơn. Cần thử nghiệm phương pháp này trong các hệ thống thực tế. Cần đánh giá hiệu quả của phương pháp trong các môi trường khác nhau. Phát triển các giải pháp dựa trên Reinforcement Learning để tự động điều chỉnh vị trí đỗ.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu vấn đề 1.1 Giới thiệu hệ thống AGV trên thế giới và ở Việt Nam AGV là viết tắt cho cụm từ Automated Guided Vehicle, một phương tiện vận chuyển hàng hoá không người lái. Tập hợp nhiều AGV được gọi là AGV và thuật ngữ này được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1955 [1]. Khi AGV hoạt động cùng với nhau thực hiện công việc vận chuyển hàng hoá từ địa điểm này đến địa điểm khác thông qua mạng lưới giao thông thì chúng là một phần của hệ thống AGV. Ngoài ra, hệ thống AGV còn có các thành phần khác như hệ thống điều khiển, hệ thống định vị, hệ thống sản xuất, lưu trữ,… [1].1: Hệ thống AGV của SWISSLOG[2] Báo cáo của Grand View Reseach [3] cho thấy thị trường AGV vào năm 2022 có giá trị 4,28 tỉ USD trên toàn thế giới và tỉ lệ tăng trưởng kép được kỳ vọng là 9,7% từ năm 2023 tới năm 2030.

Trong 3 năm từ 2021 đến 2023, đã có nhiều doanh nghiệp ở nhiều ngành đã áp dụng hệ thống AGV vào hệ thống của họ. Năm 2021, công ty AUDI AGV, một công ty sản xuất ô tô đã áp dụng AGV trong hệ thống sản xuất. Cùng năm đó, công ty OTSAW Digital Pte.Ltd phát triển AGV để phục vụ cho mục đích chăm sóc sức khoẻ các bệnh nhân. Vào năm 2022, một công ty bán lẻ tên là SAVE MART SUPER MARKET đã mở rộng khu vực giao hàng của mình khi sử dụng AGV của công ty Starship.

Trong thời gian gần đây, vào tháng 3 năm 2023, Swisslog Holding AGV đã giới thiệu phiên bản mới của hệ thống CarryPick, hệ thống di động lấy hàng và lưu trữ đến người với tính năng hướng dẫn xe chở hàng tự động. 1 Vào tháng 12 năm 2022, Daifuku Co. Ltd, một nhà sản xuất hàng đầu về giải pháp xử lý tự động, đã thông báo về việc xây dựng một nhà máy mới tại Hyderabad – Telangana - Ấn Độ, nhằm sản xuất các giải pháp kho tự động, băng tải, hệ thống xe hướng dẫn theo dõi đường ray, bộ sắp xếp, và nhiều hệ thống khác. Trong tháng 10 năm 2022, Seegrid Corporation đã tuyên bố mối quan hệ chiến lược với Koops Automation Systems, tạo điều kiện cho Koops để nâng cao danh mục sản phẩm dịch vụ doanh nghiệp của họ bằng cách tích hợp giải pháp doanh nghiệp Fleet CentralTM và robot di động tự động Seegrid PalionTM.

Bastian Solutions, Inc., công ty logistics thuộc sở hữu của Toyota, đã giới thiệu giải pháp chọn lựa tự động SmartPick tại sự kiện PACK EXPO International vào tháng 9 năm 2022. Trong tháng 9 năm 2022, JBT Corporation đã mua lại Bevcorp để phát triển một mô hình kinh doanh chắc chắn, với 60% doanh thu định kỳ. Cũng vào tháng 9 năm 2022, Toyota Material Handling Japan (YMHJ), một phần của TOYOTA INDUSTRIES CORPORATION, đã ra mắt công nghệ mới về xe nâng tự động sử dụng trí tuệ nhân tạo để tự động nhận diện vị trí và địa điểm của xe nâng, từ đó tạo ra tuyến đường di chuyển tự động cho quá trình xếp hàng. Trên đây chỉ là một vài ví dụ về ứng dụng của AGV trong các ngành khác nhau.

Hệ thống AGV được áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau như sản xuất, logistics, ô tô, chăm sóc sức khoẻ, thực phẩm vì khả năng nâng cao năng suất, giảm thiểu chi phí và khả năng thúc đẩy quy trình tự động hoá, công nghiệp hoá. Khi các doanh nghiệp nhận ra được quá trình công nghiệp hoá tự động hoá là xu hướng phát triển, nhu cầu phát triển các giải pháp xử lý vật liệu và vận chuyển sẽ tăng theo và đây chính là cơ hội phát triển của thị trường AGV.2: AGV của Starship[4] 2 Việt Nam thuộc khu vực châu Á – Thái Bình Dương, đây là khu vực có tốc độ phát triển thị trường lớn nhất[3]. Nhưng thị trường AGV ở Việt Nam không phát triển vì nền công nghiệp ở đây còn non trẻ. Nền công nghiệp của Việt Nam đang gặp rất nhiều thách thức, phụ thuộc vào vốn đầu tư nước ngoài, công nghệ kém, sản phẩm kém chất lượng và năng suất lao động thấp[5].

Mặc dù gặp nhiều thách thức và khó khăn nhưng Việt Nam định hướng phát triển theo hướng công nghiệp hoá, hiện đại hoá, mục tiêu tới năm 2030 cơ bản trở thành nước công nghiệp theo hướng hiện đại[5]. Xu hướng tự động hoá, hiện đại hoá sẽ kéo theo sự phát triển các giáp pháp vận chuyển và xử lý vật liệu. Vậy nên đây sẽ là một cơ hội để phát triển thị trường AGV ở Việt Nam. Tại đây đã có một số công ty bắt đầu nghiên cứu phát triển AGV như IDEA group, INTECH group, ESATECH,… Các công ty này đã có các sản phẩm AGV và các hệ thống AGV hoàn thiện, góp phần phát triển thị trường ở Việt Nam.3: ESATECH AGV và IDEA AGV[6] [7] Từ những lý do trên, có thể thấy thị trường AGV ở Việt Nam có tiềm năng phát triển theo xu hướng tự động hoá, hiện đại hoá của đất nước.

Góp phần hỗ trợ quá trình nâng cấp từ quy trình sản xuất thủ công sang bán tự động và tự động. Vì thế hướng nghiên cứu hệ thống AGV được lựa chọn.2 Các nhiệm vụ cơ bản và vấn đề tồn đọng của hệ thống AGV Trong hệ thống AGV sẽ bao gồm 5 nhiệm vụ chính[8]: phân phối công việc, xác định đường đi, lập kế hoạch di chuyển, định vị và quản lý phương tiện. Các công việc sẽ được hệ thống điều khiển phân phối cho các AGV trong trạng thái rảnh rỗi, sau đó chọn ra một con đường để vận chuyển hàng hoá. 3 Trong quá trình vận chuyển, để tránh va chạm và kẹt cứng thì hệ thống cần phải hoàn thành tốt nhiệm vụ lập kế hoạch chuyển động cho tới khi AGV hoàn thành công việc được giao.

Trong lúc AGV đang vận hành thì các thành phần khác nhau trong hệ thống sẽ đảm nhiệm nhiệm vụ định vị và quản lý phương tiện.4: Quy trình làm việc chung của hệ thống AGV[8] Dựa theo quy trình làm việc chung của hệ thống AGV được trình bày ở [8], sau khi AGV hoàn thành công việc, nó sẽ tiếp tục nhận công việc mới và lặp lại quy trình. Trong trường hợp AGV không có được hệ thống điều khiển giao nhiệm vụ ngay tức khắc thì AGV sẽ chuyển về trạng thái rảnh[1]. Lúc này, hệ thống điều khiển ra lệnh cho AGV đến một vị trí để đỗ và chờ công việc tiếp theo được phân phối. Để giảm thời gian hàng hoá đợi AGV di chuyển từ vị trí đỗ tới địa điểm lấy hàng, vị trí đỗ của AGV cần được lựa chọn cân nhắc.

Với lý do trên, đã có nhiều nghiên cứu và tiêu chí đánh giá để lựa chọn một vị trí bãi đỗ AGV hợp lý, nhằm giảm thiểu thời gian phản hồi của các AGV qua đó gián tiếp giảm thời gian hoàn thành nhiệm vụ. Những cách giải quyết tiếp cận theo phương diện thống kê, tạo ra các chương trình linh hoạt hoặc dùng mô hình chuỗi Markov. Các phương pháp trên khi ứng dụng cho các hệ có số lượng AGV cố định thì có thể xử lý được nhưng khi hệ thống AGV trở nên lớn và phức tạp thì cần có những giải thuật hiệu quả hơn để xử lý vấn đề[1]. Bên cạnh đó, theo dòng lịch sử, con người đã phát minh ra nhiều loại công cụ để xử lý các công việc đơn giản hơn.

Những công cụ này giúp con người thoả mãn các nhu cầu trong đời sống, bao gồm di chuyển, các ngành công nghiệp và tính toán. Máy học là một trong số chúng[9]. Đã có những nghiên cứu ứng dụng máy học để xác định vị trí đỗ AGV nhằm giảm thời gian hoàn thành nhiệm vụ.2 Các công trình nghiên cứu liên quan Vào năm 1993, Egbelu đã chỉ ra rằng có rất nhiều nghiên cứu tập trung vào vấn đề thiết kế và điều khiển nhưng vấn đề xác định vị trí đỗ cho AGV lại được ít chú ý hơn so với các hướng nghiên cứu khác. Trong nghiên cứu này, ông đã chỉ ra 3 hướng tiếp cận để giải quyết vấn đề: giảm thiểu thời gian phản hồi lớn nhất của hệ AGV, giảm thiểu thời gian phản hồi trung bình của hệ AGV và phân phối vị trí đỗ của các AGV đều trên khu vực hoạt động[10].

Ngoài ra, có 3 nguyên tắc đỗ được nhắc đến đó là: nguyên tắc đỗ tập trung, nguyên tắc đỗ vòng lặp và nguyên tắc đỗ tại chỗ[10].5 mô tả một hệ thống AGV với bố cục vòng lặp, trong hệ thống này bao gồm một đường đi khép kín qua các trạm làm việc được đánh số từ 1 tới 10.5: Một hệ thống AGV với bố cục vòng lặp[10] Khi áp dụng nguyên tắc đỗ tập trung, một khu vực sẽ được chọn để các AGV rảnh quay về. Khi chọn nguyên tắc này, không quan trọng AGV đang ở đâu, AGV chuyển trạng thái từ làm việc sang rảnh rỗi sẽ quay về khu vực tập trung. Trong trường hợp hệ thống AGV áp dụng nguyên tắc đỗ vòng lặp, trong hệ thống sẽ có một hoặc nhiều vòng lặp được xác định, khi AGV đổi trạng thái sẽ quay về một trong các vòng lặp này đợi tới khi được giao nhiệm vụ mới. Còn khi áp dụng nguyên tắc đỗ tại chỗ, các AGV sau khi hoàn thành công việc sẽ đỗ ngay tại vị trí giao hàng và đợi tới khi nhận nhiệm vụ mới, nhưng có thể gây ra tình trạng kẹt cứng vì AGV rảnh chặn đường đi của AGV khác[1], [10].

5 Egbelu[10] nghiên cứu quy tắc đỗ vòng lặp. Trong nghiên cứu này ông xem mọi vòng lặp đều tương đương với một bố cục hình tròn. Khi tiếp cận theo hướng này, khoảng cách giữa các trạm làm việc không còn tính theo khoảng cách mà tính theo độ lớn của cung tròn. Có 4 mô hình được giới thiệu, trong đó có hai mô hình đơn phương tiện, xem xét AGV di chuyển theo một hướng và hai hướng, hai mô hình còn lại xem xét trường hợp đa phương tiện và các phương tiện này di chuyển theo một chiều và hai chiều.

Nguyên lý cơ bản của các giải thuật được đề ra trong nghiên cứu này dựa trên mô hình toán, tính toán khoảng cách giữa các trạm theo độ lớn của cung tròn, chọn khoảng cách cung lớn nhất và chọn vị trí đỗ hợp lý sao cho giảm đi thời gian phản ứng tối đa của các phương tiện.6 mô tả cách Egbelu xem xét đường đi khép kín ngẫu nhiên (a) tương đương với một đường tròn (b). Độ dài đường đi ở bố cục (a) bằng với chu vi đường tròn bán kính r ở bố cục (b).