MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang Chương:1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .1 Hệ phương trình tuyến tính .1 Dạng của hệ phương trình tuyến tính .2 Giải hệ phương trình tuyến tính .3 Hệ phương trình thuần nhất .4 Phương pháp Gauss .2 Đại số ma trận .2 Các dạng đặc biệt của ma trận.3 Các phép toán về ma trận. 12 Chương:2 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ .1 Xây dựng các đường cong và bề mặt đi qua các điểm đã chỉ định .2 Giải hệ phương trình vi phân. 25 Chương:3 ỨNG DỤNG HỆ SỐ MA TRẬN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ .1 Ứng dụng Di truyền học .2 Ứng dụng trong mật mã học .3 Ứng dụng trong hóa học .4 Ứng dụng trong mô hình kinh tế Leonteif .5 Ứng dụng trong chuỗi Markov .6 Ứng dụng trong mạch điện.7 Ứng dụng trong phân luồng giao thông .63 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………………….64 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán Ứng Dụng với Đề tài “Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận vào trong các bài toán thực tế” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng nghỉ của bản thân và được sự giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ của thầy cô, bạn bè và người thân. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Cần Thơ vì đã tạo điều kiện về cơ sở vật chất với hệ thống thư viện hiện đại, tài liệu thuận lợi cho việc tìm kiếm, nghiên cứu thông tin. Xin cảm ơn giảng viên bộ môn – Cô Phạm Bích Như đã tận tình giúp đỡ, định hướng cách tư duy và cách làm việc khoa học cho em những nhận xét quý báu, chỉnh sửa những sai sót của em trong bản thảo luận văn. Trong thời gian làm luận văn cùng cô em đã có thêm cho mình nhiều kiến thức bổ ích, tinh thần học tập hiệu quả, nghiêm túc. Đó là những góp ý hết sức quý báu không chỉ trong quá trình thực hiện luận văn này mà còn là hành trang tiếp bước cho em trong quá trình học tập và lập nghiệp sau này.
Bộ môn có những kiến thức vô cùng hữu ích và có tính thực dụng cao. Đảm bảo cung cấp đủ kiến thức, gắn liền với nhu cầu thực tiễn của sinh viên. Tuy nhiên chưa có nhiều kinh nghiệm làm để tài cũng như những hạn chế về kiến thức, mặc dù em đã cố gắng hết sức nhưng trong bài luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ phía Cô để bài luận văn được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ, động viên. Em xin chân thành cảm ơn! Cần Thơ, tháng 12 năm 2022 Trần Đình Chiến LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giai đoạn hiện nay toàn cầu hoá kinh tế trở thành xu thế nổi bật và tất yếu chi phối thời đại là yếu tố quan trọng đối với sự phát triển kinh tế của các nước. Cùng với đó cuộc cách mạng khoa học công nghệ mới lần thứ 3 diễn ra với nhịp độ ngày càng mạnh mẽ, mà cốt lõi là dựa trên việc ứng dụng các phát minh khoa học công nghệ dựa trên nền tảng toán học phát triển các ngành công nghệ cao như công nghệ truyền thông và tin học, công nghệ vật liệu mới, công nghệ sinh học… đã làm thay đổi mọi mặt đời sống kinh tế - chính trị và xã hội nhân loại. Toán học là xương sống của mọi ngành, đóng vai trò quan trọng trong nền kinh tế quốc dân.
Trong khi các phương pháp tính toán truyền thống tốn nhiều thời nhưng hiệu quả lại giảm sút thì hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận gần như đã trở thành lựa chọn số một cho lĩnh vực toán học để phát triển các ngành nghề hiện nay. Số lượng các ngành nghề sử dụng các công cụ ứng dụng toán học ngày càng tăng, ngân sách cho toán học ngày càng cao đủ để chứng tỏ sự tiện lợi cũng như lợi ích mà toán học mang lại cho các ngành không nhỏ. Nhận thức được tầm quan trọng của hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận ảnh hưởng đến hiệu quả các ngành nghề ra sao, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận trong các bài toán thực tế” là đề tài cho khóa luận của mình. Chương:1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Dạng của hệ phương trình tuyến tính Dạng tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau 𝑎11 𝑥1 + 𝑎11 𝑥2 +.
𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Hệ này được viết dưới dạng ma trận là Ax = b (1.2) ở đây A là ma trận được thành lập từ các hệ số của các biến A=(𝑎𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 x: véc tơ cột của các biến.3) b: véc tơ cột các số hạng tự do.4) Hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là: thuần nhất nếu tất cả các 𝑏𝑖 = 0, i = 1, 2,., m; không thuần nhất nếu có ít nhất một 𝑏𝑖 ≠ 0; tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị của 𝑥1 , 𝑥2 ,…, 𝑥𝑛 mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức; không tương thích nếu không có một nghiệm nào; xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất; bất định nếu tồn tại quá một nghiệm. Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính thì trước hết phải xác định xem hệ đã cho Trang 1 tương thích hay không tương thích. Nếu là hệ tương thích thì lại phải xem hệ là xác định hay bất định. Nếu hệ phương trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhất của nó.
Ví dụ 1: x+y=3 { 2x − 3y = 5 là một hệ hai phương trình 2 ẩn. Ví dụ 2: 2x + 3y + 4z = 3 { x−y+z=1 4x − 2y + z = 5 là một hệ 3 phương trình 3 ẩn. Ví dụ 3: 3x + y − 2z = 1 { x − 3y + z = 2 là một hệ hai phương trình 3 ẩn.2 Giải hệ phương trình tuyến tính Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính có thể xảy ra hai trường hợp: m= n và m ≠ n. Trường hợp m=n Lúc này ma trận A có dạng Định nghĩa: Hệ (1.2) gọi là hệ Cramer nếu det (A) ≠ 0 (ma trận A không suy biến) Khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo 𝐴−1 .1 (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức Chứng minh: Ta nhân hai vế của đẳng thức (3.2) với 𝐴−1 về bên trái, ta được: Trang 2 Bởi vì 𝐴−1 A E − = , mà nhân bất cứ ma trận nào với E sẽ được đúng ma trận đó, nên (1.5) Sau khi thế 𝐴−1 bởi biểu thức của nó và thay các véc tơ cột x và b, ta có: Vì hai ma trận chỉ bằng nhau khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau nên (1.6) Theo định lí khai triển: Định thức bằng tổng các tích của các phần tử của hàng hoặc cột với các phần phụ đại số của chúng.
Vì vậy bất cứ hàng nào trong biểu thức (3.6) cũng thay được bằng các định thức tương ứng với véc tơ b là một cột của nó, chẳng hạn đối với 𝑥𝑖 sẽ có (1.7) Điều đó có nghĩa là muốn tìm 𝑥𝑖 thì phải chia định thức 𝛥𝑖 thiết lập từ định thức |𝐴| = 𝛥 bằng cách thay cột i bởi cột số hạng tự do cho định thức 𝛥 , tức là (1.8) Vì vậy, có thể phát biểu quy tắc Cramer: Nếu định thức gồm các hệ số của hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn khác 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất được tính bằng công thức (1. Trang 3 Ví dụ: Giải hệ −2x + 4y = 8 { −2x + 2z = 2 −4x + 2y + 6z = 2 Giải: Ta có: −2 4 0 8 A=(−2 0 2) , b= [2] −4 2 6 2 8 4 0 −2 8 0 −2 4 8 𝐴1 =(2 0 2) 𝐴2 =(−2 2 2) 𝐴3 =(−2 0 2) 2 2 6 −4 2 6 −4 2 2 Ta tính được det(A) =24≠ 0; det(𝐴1 )=-64 (𝐴2 ) = 16 (𝐴3 ) = −16 Ta có nghiệm của hệ đã cho là: −64 −8 16 2 −16 −2 𝑋1 = = ; 𝑋2 = = ; 𝑋3 = = 24 3 24 3 24 3 Trường hợp m≠ n Ta gọi A= (𝑎𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 là ma trận của hệ. Sau khi thêm cột các số hạng tự do b vào ma trận A, ta lập được ma trận mở rộng B. Để giải trường hợp này, ta dựa vào định lí sau: Định lí 1.2 (Croneker – Capeli): Điều kiện cần và đủ để hệ (1.1) có nghiệm là hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng B.
Nếu r(A)=r(B)=n thì hệ (1.1) có một nghiệm duy nhất. Nếu r(A)=r(B)<n thì hệ (1.1) có vô số nghiệm. Chứng minh: Cần: Giả sử hệ (1. Ta phải chứng minh r(A)=r(B).
Thật vậy, hệ (3.1) có nghiệm, tức là có 𝑥1 =𝑐1 , 𝑥2 =𝑐2 ,…, 𝑥𝑛 =𝑐𝑛 để cho Trang 4 Hay Điều đó chứng tỏ rằng cột cuối cùng của ma trận B là tổ hợp tuyến tính của n cột đầu. Theo tính chất hạng của ma trận, ta có thể bỏ cột cuối cùng mà không làm ảnh hưởng đến hạng của ma trận B. Ta phải chứng minh hệ (3. Không giảm tính tổng quát, có thể coi định thức cấp k khác 0 của A và B nằm ở góc trái.
Khi đó, k cột đầu tiên độc lập tuyến tính và các cột còn lại có thể biểu diễn qua k cột đầu. Trong trường hợp riêng, cột b biểu diễn được qua k cột đầu Thật vậy, nếu lấy 𝑥1 = 𝜆1 ,…, 𝑥𝑘 =𝜆𝑘 , 𝑥𝑘+1 =𝑥𝑘+2 =…=𝑥𝑛 =0 thì chúng tạo nên một nghiệm của hệ (3. Đó là điều phải chứng minh. Ví dụ: Giải hệ phương trình: 𝑥1 − 2𝑥3 + 3𝑥4 = 2 {−𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥4 = 1 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 2 Giải: Ở đây m =3, n = 4.
Vậy hệ có vô số nghiệm.