Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng đạo hàm của hàm số một biến số" được tác giả Đặng Bảo Thi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Chử Văn Tiệp tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng (bảo vệ tháng 5/2023). Bản khóa luận thuộc chuyên ngành Toán giải tích, hướng nghiên cứu hệ thống hóa lý thuyết giải tích cổ điển và các bài toán ứng dụng hình học, vật lý, tối ưu hóa.

Lý do lựa chọn đề tài xuất phát từ thực trạng dạy và học môn Toán: đạo hàm là một khái niệm trung tâm của giải tích toán học với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế. Tuy nhiên, trong chương trình toán học phổ thông, vai trò của đạo hàm chủ yếu được khai thác trong các bài toán hình học và khảo sát hàm số đơn thuần; các ứng dụng liên môn thực tế như cơ học, kỹ thuật hay kinh tế chưa được đề cập tương xứng. Sự thiếu hụt này dẫn đến cái nhìn đơn điệu về khái niệm đạo hàm, làm suy giảm động lực học tập của học sinh. Ở bậc đại học, nội dung giải tích vi phân được mở rộng đa dạng hơn thông qua các bài toán tiếp tuyến nâng cao, khảo sát chuyển động của chất điểm và các mô hình tối ưu. Do đó, tác giả lựa chọn đề tài nhằm khảo sát sâu sắc lý thuyết đạo hàm một biến và hệ thống hóa các ứng dụng thực tiễn của nó.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của khóa luận được xác định cụ thể:

  1. Nghiên cứu và hệ thống hóa lý thuyết nền tảng về đạo hàm của hàm số một biến số thực, bao gồm định nghĩa giới hạn, các quy tắc tính đạo hàm cho các lớp hàm sơ cấp, hàm hợp, hàm ẩn và hàm ngược.
  2. Khảo sát các bài toán ứng dụng của đạo hàm trong hình học giải tích phẳng, mở rộng từ đồ thị hàm số trong hệ tọa độ Descartes sang phương trình tham số và đường cong trong hệ tọa độ cực.
  3. Giải quyết các bài toán tối ưu hóa hình học, bài toán chuyển động trong vật lý và các mô hình biến thiên thực tế dựa trên công cụ vi phân.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết đạo hàm của hàm số một biến số, các tính chất vi phân, các quy tắc tính toán và các bài toán tối ưu hóa liên quan. Phạm vi nghiên cứu giới hạn trong phạm vi Giải tích toán học cổ điển đối với các hàm số thực một biến số, tập trung vào biểu diễn giải tích phẳng và mô hình động học cơ bản.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khung lý thuyết của khóa luận dựa trên nền tảng Giải tích toán học cổ điển, xuất phát từ khái niệm giới hạn của tỉ số số gia:

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Khái niệm này được gắn liền với hai bài toán nguồn gốc: bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến đường cong $m = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ và bài toán xác định vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học $v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{s(a+h)-s(a)}{h}$. Trên cơ sở này, khóa luận thiết lập hệ thống vi phân cho các lớp hàm số sơ cấp cơ bản (hàm hằng, đa thức, lũy thừa, hàm mũ với định nghĩa số $e$, logarit, lượng giác, và hệ hàm hyperbolic), quy tắc tính đạo hàm cấp cao, quy tắc Leibniz cho tích và thương, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn và đạo hàm hàm ngược.

Phương pháp nghiên cứu được tác giả sử dụng là phương pháp nghiên cứu lý thuyết toán học:

  • Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu: Thu thập, hệ thống hóa các định lý, quy tắc tính vi phân từ các giáo trình giải tích chuẩn.
  • Phương pháp suy diễn logic và quy nạp toán học: Thiết lập công thức đạo hàm cấp $n$, chứng minh các quy tắc vi phân của hàm lũy thừa, hàm tích, hàm thương.
  • Phương pháp mô hình hóa toán học: Chuyển đổi các bài toán thực tiễn (cắt tấm nhôm, bọc hộp quà hình trụ, dao động điều hòa của lò xo, chuyển động biến đổi) thành bài toán cực trị hàm số một biến để giải bằng công cụ đạo hàm bậc nhất và bậc hai.

Nguồn dữ liệu của đề tài là các tài liệu giáo trình giải tích, hình học vi phân và đại số được trích dẫn trong danh mục tài liệu tham khảo của khóa luận (bao gồm các công trình nghiên cứu và giáo trình giải tích toán học được tác giả đánh mã số tham khảo từ [1] đến [9]).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 (từ trang 7 đến trang 38) tập trung xây dựng cơ sở lý thuyết toán học của phép tính vi phân cho hàm số một biến số. Nội dung chương được chia thành ba phần chính:

1. Khái niệm đạo hàm và đạo hàm cấp cao (Mục 1.1): Tác giả tiếp cận khái niệm đạo hàm qua hai bài toán dẫn dắt: tiếp tuyến của đường cong tại điểm $P(a, f(a))$ với hệ số góc $m_{PQ} = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ khi $x \to a$, và bài toán vận tốc tức thời của chuyển động chất điểm $v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Sau khi đưa ra định nghĩa giải tích độc lập, tác giả giải quyết bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số:

  • Ví dụ viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^3 - 3x^2$ đi qua điểm ngoài $A(-1, -4)$: tìm được hai tiếp điểm tương ứng với hoành độ $a = -1$ và $a = 2$, dẫn đến hai tiếp tuyến là $y = 9x + 5$ và $y = -4$.
  • Bài toán tìm điểm trên đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ mà qua đó chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị: tác giả thiết lập điều kiện nghiệm và tìm được duy nhất điểm $M(1, 0)$.
  • Khái niệm đạo hàm cấp cao: Định nghĩa gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{d^2s}{dt^2}$. Bài toán tìm gia tốc của chuyển động có phương trình $s = t^3 + 3t^2 - 9t + 27$ tại thời điểm vận tốc triệt tiêu ($v(t_0) = 0 \Leftrightarrow 3t_0^2 + 6t_0 - 9 = 0 \Rightarrow t_0 = 1$), cho kết quả gia tốc $a(1) = 6(1) + 6 = 12\text{ m/s}^2$. Định nghĩa đạo hàm cấp $n$ theo quy nạp: $f^{(n)}(x) = [f^{(n-1)}(x)]'$.

2. Quy tắc đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản (Mục 1.2): Thiết lập các quy tắc tính toán không cần dùng định nghĩa trực tiếp:

  • Đạo hàm hàm hằng $\frac{d}{dx}(c) = 0$; hàm lũy thừa $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (chứng minh bằng hằng đẳng thức phân tích nhân tử và định nghĩa); đạo hàm của tích với hằng số, tổng, hiệu.
  • Đạo hàm hàm mũ: Chứng minh $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$. Nêu giá trị xấp xỉ giới hạn với cơ số $a = 2$: $\left.\frac{d}{dx}(2^x)\right|{x=0} \approx 0{,}693147$. Định nghĩa số $e$ là số thỏa mãn $\lim{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} = 1$, từ đó thu được $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.
  • Khám phá quy tắc tích của Leibniz dựa trên mô hình biến thiên diện tích hình chữ nhật $u \cdot v$: $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$; quy tắc đạo hàm hàm thương $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$.
  • Đạo hàm cấp $n$ của hàm tích: Thiết lập đạo hàm cấp $n$ cho hàm $f(x) = x e^x$, chứng minh quy nạp thu được công thức tổng quát $f^{(n)}(x) = (x + n)e^x$.
  • Đạo hàm hàm lượng giác: Chứng minh $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ bằng việc sử dụng hai giới hạn cơ bản $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ và $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$; công thức cho $\cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x$. Ứng dụng phân tích dao động điều hòa của vật treo lò xo thẳng đứng $s = 4\cos t$.
  • Đạo hàm hàm logarit: Chứng minh $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$ và $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$.
  • Đạo hàm hàm hyperbolic: Định nghĩa các hàm $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x$, $\coth x$, $\text{sech} x$, $\text{csch} x$ và thiết lập hệ thống đạo hàm tương ứng: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$, $(\tanh x)' = \text{sech}^2 x$.

3. Đạo hàm của hàm hợp, hàm ẩn và hàm ngược (Mục 1.3):

  • Hàm hợp: Thiết lập quy tắc chuỗi $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.
  • Hàm ẩn: Phương pháp phân biệt ngầm (đạo hàm hai vế theo $x$). Tác giả thực hiện tính toán trên các đường cong cụ thể: đường tròn $x^2 + y^2 = 25 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$; đường cong Folium of Descartes $x^3 + y^3 = 6xy \Rightarrow y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$; và phương trình lượng giác $\sin(x+y) = y^2 \cos x$.
  • Hàm ngược: Quy tắc $[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Áp dụng tính đạo hàm của hàm lượng giác ngược và hàm hyperbolic ngược, chứng minh chi tiết công thức $\frac{d}{dx}(\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Chương 2: Một số ứng dụng của phép tính vi phân

Chương 2 (từ trang 39 đến trang 66) triển khai ứng dụng của vi phân vào giải tích hình học và các mô hình biến thiên thực tế:

1. Phác thảo đường cong cho bởi hàm số Descartes (Mục 2.1.1): Quy trình 7 bước khảo sát đường cong: Miền xác định; Giao điểm với các trục tọa độ; Tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn; Đường tiệm cận (ngang, đứng); Các khoảng đồng biến, nghịch biến; Giá trị cực đại và cực tiểu (sử dụng dấu của $f'$ hoặc dấu của đạo hàm cấp hai $f''$); Độ lõm và điểm uốn thông qua dấu của $f''$.

  • Áp dụng hoàn chỉnh cho hàm phân thức $y = f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$: Miền xác định $D = \mathbb{R} \setminus {-1; 1}$; đi qua gốc tọa độ $(0, 0)$; là hàm số chẵn nên nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng; tiệm cận ngang $y = 2$; hai tiệm cận đứng $x = 1$ và $x = -1$. Đạo hàm cấp một $f'(x) = -\frac{4x}{(x^2 - 1)^2}$, hàm đồng biến trên $(-\infty, -1)$ và $(-1, 0)$, nghịch biến trên $(0, 1)$ và $(1, +\infty)$, đạt cực đại tại $(0, 0)$. Đạo hàm cấp hai $f''(x) = \frac{12x^2 + 4}{(x^2 - 1)^3} \ne 0 \ \forall x \in D$, kết luận đồ thị không có điểm uốn.

2. Phương trình tham số và giải tích trên đường cong tham số (Mục 2.1.2 & 2.1.3): Đường cong cho dưới dạng $x = f(t), y = g(t)$. Hệ số góc của tiếp tuyến được tính qua công thức:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \left(\text{với } \frac{dx}{dt} \ne 0\right)$$

Tiếp tuyến nằm ngang khi $\frac{dy}{dt} = 0$ ($\frac{dx}{dt} \ne 0$), tiếp tuyến thẳng đứng khi $\frac{dx}{dt} = 0$ ($\frac{dy}{dt} \ne 0$). Đạo hàm cấp hai xác định tính lồi lõm:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}$$

  • Bài toán khảo sát đường cong tham số $x = t^2, y = t^3 - 3t$: Tìm được hai tiếp tuyến tại điểm $(3, 0)$ tương ứng với $t = \sqrt{3}$ và $t = -\sqrt{3}$ là $y = \sqrt{3}(x - 3)$ và $y = -\sqrt{3}(x - 3)$; tiếp tuyến thẳng đứng tại $t = 0$; đạo hàm cấp hai $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3(t^2+1)}{4t^3}$, bề lõm hướng lên khi $t > 0$ và hướng xuống khi $t < 0$.

3. Tọa độ cực, đường cong cực và tiếp tuyến đường cong cực (Mục 2.1.4, 2.1.5 & 2.1.6): Hệ tọa độ cực $(r, \phi)$, liên hệ với hệ Descartes qua $x = r\cos\phi, y = r\sin\phi$. Xem $\phi$ là tham số, công thức hệ số góc tiếp tuyến của đường cong cực $r = f(\phi)$ là:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\phi}\sin\phi + r\cos\phi}{\frac{dr}{d\phi}\cos\phi - r\sin\phi}$$

Tại cực ($r = 0$), hệ số góc suy biến về $\frac{dy}{dx} = \tan\phi$.

  • Bài toán khảo sát đường cong tim Cardioid $r = 1 + \sin\phi$: Tìm hệ số góc tiếp tuyến tại $\phi = \frac{\pi}{3}$; xác định các điểm có tiếp tuyến nằm ngang tại các tọa độ cực $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}, \frac{7\pi}{6}\right)$, $\left(\frac{1}{2}, \frac{11\pi}{6}\right)$ và tiếp tuyến thẳng đứng tại $\left(\frac{3}{2}, \frac{\pi}{6}\right)$, $\left(\frac{3}{2}, \frac{5\pi}{6}\right)$. Tác giả giải quyết trường hợp kỳ dị tại $\phi = \frac{3\pi}{2}$ (khi cả tử và mẫu của $\frac{dy}{dx}$ đều triệt tiêu) bằng quy tắc L'Hôpital để xác định giới hạn tiếp tuyến.

4. Các bài toán tối ưu hóa trong thực tiễn:

  • Bài toán cắt tấm nhôm: Tấm nhôm hình vuông cạnh $12\text{ cm}$, cắt bỏ 4 góc các hình vuông cạnh $x\text{ cm}$ để gấp thành hộp không nắp có thể tích lớn nhất. Thể tích hộp được mô hình hóa thành $V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ với $0 < x < 6$. Đạo hàm $V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 0$ cho nghiệm $x = 2$ và $x = 6$. Lập bảng biến thiên xác định thể tích đạt cực đại khi $x = 2\text{ cm}$.
  • Bài toán bọc dải ruy băng quanh hộp quà hình trụ: Dải ruy băng dài $130\text{ cm}$, dùng $10\text{ cm}$ thắt nơ, còn lại $120\text{ cm}$ bọc kín hộp quà hình trụ bán kính đáy $x$, chiều cao $y$. Mô hình thể tích đạt cực đại thông qua hàm số $f(x) = x^2(30 - 2x)$, qua bảng biến thiên của $f'(x)$ tìm ra thể tích khối hộp quà lớn nhất đạt $1000\pi\text{ cm}^3$.

Kết quả và đóng góp

Khóa luận đã tổng hợp và giải quyết hoàn chỉnh các bài toán giải tích và mô hình tối ưu cụ thể, thể hiện qua số liệu và kết quả trong bảng sau:

Dạng bài toán / Đối tượng Hàm số / Phương trình mô hình Phương pháp vi phân áp dụng Kết quả định lượng trích xuất từ văn bản
Tiếp tuyến qua điểm ngoài $y = x^3 - 3x^2$, điểm $A(-1, -4)$ Hệ số góc tiếp tuyến $m = f'(a)$, giải phương trình tiếp tuyến 2 tiếp tuyến: $y = 9x + 5$ và $y = -4$
Tiếp điểm duy nhất $y = -x^3 + 3x^2 - 2$ Biện luận số nghiệm tiếp tuyến qua hệ điều kiện Điểm duy nhất $M(1, 0)$
Chuyển động chất điểm $s(t) = t^3 + 3t^2 - 9t + 27$ Đạo hàm cấp 1 (vận tốc) và cấp 2 (gia tốc) Tại thời điểm $v=0$ ($t=1\text{ s}$), gia tốc đạt $a = 12\text{ m/s}^2$
Tối ưu hình học (tấm nhôm) $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ ($0 < x < 6$) Cực trị hàm số qua đạo hàm $V'(x) = 0$ Cạnh cắt tối ưu $x = 2\text{ cm}$
Tối ưu thể tích (hộp quà trụ) $V = \pi x^2(30 - 2x)$ ($0 < x < 30$) Khảo sát cực đại hàm bậc ba bằng vi phân Thể tích lớn nhất đạt $1000\pi\text{ cm}^3$
Đạo hàm cấp $n$ $f(x) = x e^x$ Tính vi phân liên tiếp và quy nạp toán học Công thức tổng quát $f^{(n)}(x) = (x + n)e^x$
Đường cong tham số $x = t^2, y = t^3 - 3t$ Vi phân tham số bậc một và bậc hai 2 tiếp tuyến tại $(3, 0)$: $y = \pm\sqrt{3}(x - 3)$; tiếp tuyến dọc tại $t = 0$
Đường cong cực $r = 1 + \sin\phi$ (Cardioid) Vi phân tiếp tuyến cực, khử kỳ dị bằng L'Hôpital Tiếp tuyến ngang: $\left(2, \frac{\pi}{2}\right), \left(\frac{1}{2}, \frac{7\pi}{6}\right), \left(\frac{1}{2}, \frac{11\pi}{6}\right)$; Tiếp tuyến dọc: $\left(\frac{3}{2}, \frac{\pi}{6}\right), \left(\frac{3}{2}, \frac{5\pi}{6}\right)$

Đóng góp của khóa luận được tác giả thể hiện ở các khía cạnh:

  • Hệ thống hóa hoàn chỉnh mạch kiến thức từ nguồn gốc giới hạn hình học - vật lý đến các quy tắc giải tích của các lớp hàm mở rộng ít được khai thác sâu ở phổ thông (hàm hyperbolic, hàm ẩn, hàm ngược).
  • Xây dựng sơ đồ phân tích và thuật toán khảo sát chi tiết cho các dạng đường cong phức tạp (đường cong tham số, đường cong cực), mở rộng vượt khỏi phạm vi khảo sát hàm đơn biến thông thường trong hệ trục Descartes.
  • Cung cấp các lời giải chi tiết cho các bài toán tối ưu hóa hình học không gian và cơ học ứng dụng, làm rõ mối liên kết giữa toán giải tích thuần túy và ứng dụng thực tế.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Khóa luận ghi nhận một số hạn chế gắn liền với phạm vi nghiên cứu:

  • Do giới hạn về thời gian và dung lượng của một khóa luận cử nhân sư phạm, công trình chỉ tập trung khảo sát đạo hàm của hàm số một biến số thực; chưa mở rộng sang phép tính vi phân của hàm nhiều biến số hoặc hàm biến phức.
  • Các ứng dụng trong các ngành kinh tế, hóa học, sinh học mới dừng lại ở mức độ nêu định hướng và bài toán mô hình hóa cơ bản, chưa xây dựng được các hệ phương trình vi phân mô tả các quá trình phản ứng hoặc mô hình tăng trưởng kinh tế phức tạp.

Hướng mở rộng nghiên cứu được suy diễn từ phạm vi đề tài:

  • Tiếp tục nghiên cứu mở rộng phép tính vi phân cho hàm nhiều biến số, cực trị có điều kiện và phương pháp nhân tử Lagrange.
  • Nghiên cứu ứng dụng phép tính vi phân trong việc giải phương trình vi phân mô tả các mô hình động học thực tế trong sinh học, vật lý và kinh tế lượng.

Giá trị tham khảo

Bản khóa luận có giá trị tham khảo học thuật trực tiếp cho các nhóm đối tượng:

  • Sinh viên ngành Sư phạm Toán và Cử nhân Toán học: Có thể sử dụng tài liệu như một tài liệu ôn tập, tham khảo phương pháp luận sư phạm để soạn giảng các chuyên đề nâng cao về tiếp tuyến, cực trị và giải tích vi phân.
  • Giáo viên giảng dạy môn Toán tại các trường Trung học phổ thông: Cung cấp nguồn bài toán thực tế phong phú (bài toán tối ưu thể tích, dao động điều hòa, phân tích tiệm cận) để xây dựng các bài học tích hợp liên môn, đổi mới bài giảng giải tích lớp 11 và 12.
  • Học sinh, sinh viên nghiên cứu các dạng đường cong đặc biệt: Tiểu mục 2.1.2 đến 2.1.6 là tài liệu tham khảo giá trị về cách tính đạo hàm, tìm tiếp tuyến và khảo sát hình học của phương trình tham số và đường cong trong hệ tọa độ cực.

Câu hỏi thường gặp

1. Tác giả định nghĩa số $e$ trong khóa luận dựa trên bản chất vi phân như thế nào?
Trong Mục 1.2.1, khi tính đạo hàm hàm mũ $y = a^x$, tác giả chỉ ra $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h} = a^x f'(0)$. Với các ước lượng $f'(0) \approx 0{,}693147$ khi $a = 2$ và lớn hơn 1 khi $a = 3$, tác giả chỉ ra sự tồn tại của một số thực nằm giữa 2 và 3 sao cho $\left.\frac{d}{dx}(a^x)\right|{x=0} = 1$. Số này được định nghĩa là $e$, thỏa mãn $\lim{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} = 1$, giúp hàm số $y = e^x$ có thuộc tính vi phân đặc biệt: đạo hàm bằng chính nó ($\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$).

2. Kết quả tối ưu kích thước và thể tích lớn nhất của chiếc hộp trong bài toán tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm là bao nhiêu?
Theo lời giải trong Mục 1.2.1, khi cắt bốn góc tấm nhôm các hình vuông cạnh $x$, hàm thể tích của hộp không nắp là $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ ($0 < x < 6$). Đạo hàm triệt tiêu tại $x = 2$ và $x = 6$. Qua khảo sát biến thiên, giá trị cực đại đạt được tại $x = 2\text{ cm}$, tương ứng với thể tích tối đa là $V(2) = 2 \cdot (12 - 4)^2 = 128\text{ cm}^3$.

3. Làm thế nào để xác định hệ số góc tiếp tuyến của đường cong tham số $x = t^2, y = t^3 - 3t$ tại điểm $(3, 0)$?
Trong Mục 2.1.3, điểm $(3, 0)$ tương ứng với hệ phương trình $t^2 = 3$ và $t^3 - 3t = 0$, cho hai giá trị tham số $t = \sqrt{3}$ và $t = -\sqrt{3}$. Áp dụng công thức $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{3t^2 - 3}{2t} = \frac{3}{2}\left(t - \frac{1}{t}\right)$, thay hai giá trị của $t$ ta được hai hệ số góc tương ứng là $m_1 = \sqrt{3}$ và $m_2 = -\sqrt{3}$, thiết lập nên hai tiếp tuyến $y = \sqrt{3}(x - 3)$ và $y = -\sqrt{3}(x - 3)$.

4. Điểm kỳ dị của đường cong Cardioid $r = 1 + \sin\phi$ tại $\phi = \frac{3\pi}{2}$ được xử lý ra sao khi tìm tiếp tuyến?
Tại điểm $\phi = \frac{3\pi}{2}$, cả tử số $\frac{dy}{d\phi} = \cos 2\phi + \cos\phi$ và mẫu số $\frac{dx}{d\phi} = -\sin 2\phi - \sin\phi$ đều nhận giá trị bằng 0 (dạng vô định $\frac{0}{0}$). Tác giả đã áp dụng quy tắc L'Hôpital bằng cách lấy đạo hàm cả tử và mẫu theo $\phi$ để khử dạng vô định và xác định hướng giới hạn của tiếp tuyến tại cực.

5. Đạo hàm của hàm ẩn được tác giả tính toán trên những phương trình phi tuyến nào?
Trong Mục 1.3.2, phương pháp phân biệt ngầm được tác giả triển khai chi tiết trên ba phương trình: đường tròn $x^2 + y^2 = 25$ (thu được $y' = -x/y$), đường cong bậc ba $x^3 + y^3 = 6xy$ (thu được $y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$), và phương trình lượng giác hỗn hợp $\sin(x+y) = y^2 \cos x$ (thu được $y'$ qua phương trình $(1+y')\cos(x+y) = 2yy'\cos x - y^2\sin x$).

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Đặng Bảo Thi là một công trình giải tích toán học sư phạm có cấu trúc chặt chẽ, kết hợp hài hòa giữa hệ thống hóa lý thuyết vi phân cổ điển và các bài toán ứng dụng hình học, động học và tối ưu hóa. Công trình không chỉ củng cố các phương pháp tính đạo hàm cho các hàm số mở rộng như hàm hyperbolic, hàm ẩn và hàm ngược, mà còn mở rộng thành công năng lực giải tích sang các hệ tọa độ tham số và tọa độ cực. Đây là tài liệu tham khảo học thuật có giá trị thiết thực cho việc giảng dạy và nghiên cứu giải tích cơ bản tại các trường đại học và các cơ sở giáo dục phổ thông.