Chương 1 - Lý thuyết đại số gia tử 1. GIỚI THIỆU Các dữ liệu tri thức của nhân loại được khám phá và tạo ra mỗi ngày và số lượng các dữ liệu này là vô cùng lớn. Do đó việc lưu trữ và xử lý các dữ liệu tri thức là một bài toán được đặt ra cho con người dé có thê giải quyết được các vấn đề hiện có của con người. Hiện nay phan lớn các tri thức đều được mô tả lại ở các dang ngôn ngữ tự nhiên, các hình vẽ, các ký hiệu, dạng số và các cấu trúc phức tạp bao gồm nhiều dạng cơ bản khác nhau.
Mặc dù dạng tri thức dễ xử lý nhất là dạng số nhưng trong thực tế nhiều tri thức không thé biéu diễn chính xác bởi một số, chang hạn sai số trong đo đạc dẫn đến giá trị thu được là một khoảng nào đó, nhưng bản thân khoảng này cũng hàm chứa sự không chính xác. Hơn nữa, một số dạng tri thức khác lại không thể biểu diễn được bằng khoảng hay số chính xác, ví dụ: mức độ già trẻ của một con người, khả năng an toàn của một hệ thống, sự tiện dụng của một thiết bị, v. Khi đó, các tri thức này được biểu diễn bằng ngôn ngữ tự nhiên mà cụ thể là giá trị một biến ngôn ngữ nào đó là thích hợp nhất. Theo cách tiếp cận đại số, miền giá trị của một biến ngôn ngữ có thể xem như một đại số sinh ra từ các khái niệm nguyên thủy bởi các phép toán một ngôi là các gia tử.
Chẳng hạn, nhiêu, rất nhiều, ít, hơi it,. là các giá trị chân lý được sinh ra từ khái niệm nhiêu, it bởi các gia tử rat, hoi. Xét giá trị hơi nhiêu trong tập các giá trị chân lý trên. Theo ngữ nghĩa thông thường hoi không phải là một phép toán logic phủ định là nó chỉ làm giảm mức độ khang định của khái niệm nhiéw một ít.
Nhu vậy hoi rõ ràng là một gia tử. Hiện nay đã có nhiều nghiên cứu phát triển và ứng dụng thành công đại số gia tử vào các bài toán phân lớp [2], [4], [7], các bài toán lập luận mờ [2] và các ứng dụng điều khiển hệ thống [3]. Trong bài viết này tác giả sẽ trình bày về DSGT với ứng dụng trong việc xây dựng một bộ phân lớp mờ các trang web. 17 ĐSGT được ra đời do đề xuất của N.
Wechler vào năm 1990, là một mô hình toán học về cấu trúc thứ tự ngữ nghĩa của miền giá trị của biến ngôn ngữ. Mỗi giá trị ngôn ngữ được biểu diễn bởi một phan tử trong một ĐSGT thích hợp. Chúng ta có thể định nghĩa một đại số gia tử như sau: 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠI SÓ GIA TỬ Định nghĩa 1.1 [3]: Đại số gia tử là một đại số trừu tượng được ký hiệu: AX = (X, G, C, H, 3) Trong do: Xià miễn giá trị của biến ngôn ngữ.
H=H'UH là tập các gia tử Ht = thị, hy, ., hy} là tập các gia tử dương và hạ < hạ <., hg} là các gia tứ âm và hị < hạ <. <h„ với p,q là các số nguyên dương. Miền giá trị của biến ngôn ngữ X được sinh ra từ tập các phần tử sinh G bởi sự tác động của các gia tử trong H. Quan hệ thứ tự trên cấu trúc này được xác lập từ ngữ nghĩa các từ ngôn ngữ.
Các giá trị 0, 7, W với ý nghĩa là phần tử bé nhất, phần tử lớn nhất và phần tử trung hòa (neutral) trong X. Ta gọi mỗi giá trị ngôn ngữ x € X là một hạng từ (term) trong DSGT. Trong H, các gia tử dương là những gia tử khi tác động thì có khuynh hướng làm mạnh lên ngữ nghĩa của phần tử sinh nguyên thủy. Các gia tử âm là những gia tử khi tác động thì có khuynh hướng làm yếu đi ngữ nghĩa của các phần tử sinh nguyên thủy.
Ví dụ, nếu xem {True, False} là hai phần tử sinh nguyên thủy của biến ngôn ngữ Truth thì với các gia tử (Very, Little} ta có thé nói Very là gia tử dương vì True < Very True và Little là gia từ âm vì Little True < True. 18 Nếu tập X và tập H là các tập sắp thứ tự tuyến tính, khi đó AX = (X, G, C, H, J là DSGT tuyến tính. Hơn nữa nếu được trang bị thêm hai gia tử giới hạn là } và @® với ngữ nghĩa là cận trên đúng và cận dưới đúng của tập H(x) khi tác động lên x, thì ta được ĐSGT truyền tính đầy đủ, ký hiệu AX = (X, G, H, 3; ở, <). Tuy nhiên trong giới hạn của luận văn chúng ta chỉ quan tâm đến ĐSGT tuyến tính và một DSGT đặc biệt chỉ gồm có 2 gia tử còn được gọi là đại số hai gia tử (ĐS2GT), sẽ được giới thiệu trong các mục sau.
Khi tác động gia tử h e H vào phan tử x e X, thì thu được phan tử ký hiệu hx. Với mỗi x e X, ký hiệu A(x) là tập tất cả các hạng từ w € X sinh từ x bằng cách áp dụng các gia tử trong H và Viết u = hạ.hpx được gọi là một biểu diễn chính tắc của một hạng từ u đối với x nếu w = J„,.hịx với i nguyên va i <n. Ta gọi độ dai của một hạng từ u là số gia tử trong biểu diễn chính tắc của nó đối với phần tử sinh cộng thêm 1, ký hiệu /(w) hoặc lui. Độ đo tính mờ Theo trực giác trong ngôn ngữ tự nhiên, một từ hay cụm từ sẽ có một quan hệ trên giá trị ngữ nghĩa đối với từ hay cụm từ với cùng phần tử sinh.
Ví dụ, cụm từ Very True sẽ làm gia tăng giá trị hơn so với từ True. Trong DSGT các gia tử cũng thể hiện được mối quan hệ giữa các từ, cụm từ mà ở đó giá trị ngôn ngữ sẽ được xác định bởi độ mờ của giá trị ngôn ngữ. Ví du Very True sẽ có độ mờ thấp hơn True, nghĩa là nó mang ý nghĩa chắc chắn hon so với True. Một cách tông quát hơn, chúng ta có thé thấy độ mờ hx luôn thấp hơn độ mờ của x.
Nếu gọi H(x) là tập các phần tử được sinh ra bằng cách tác động liên tục các gia tử lên phần tử x. Thì ta có thể có các biểu thức sau: (1) H(x) = { hịhạ.hự Lhụ, hy hy CH:i e NJ 19 (2) X = H(G) (3) H(hx) CH), với Wh EH vax EX (4) H(hx) H(kx) = Ønếu h, k e H va hx #kx, nghĩa là lân cận của các phân tử có độ dài bằng nhau sẽ rời nhau (5) A(x) = Unenui H(hx), trong đó toán tử I được định nghĩa là Ix = x, Vx € X, nghĩa là lân cận của tat cả các phan tử có dang hx là một phân hoạch trên lân cận của x. Như vậy tinh mờ của x liên quan đến kích thước của H(x).1 [1]: Cho AX = (X, G, C, H, 5) là một đại số gia tử. Ánh xạ fm: X 0, 1] được gọi là độ đo tính mờ của các hạng từ trong X nếu: (1) fin là day đủ, tức là fin(c*) + fim(€) = 1 và Linen fm(hx) = fm(x), vx eX (2),fim(x) = 0, vá mà Hộ) = fox}.
Đặc biệt fin(0) = fin(W) = fin(1) = 0 Í ƒm() _ ƒmW) peg na, no Ta (3) tw,y EX, th EH, TmG) = THỜ)” Tỷ lệ này không phụ thuộc vào x, y và nó được định nghĩa là độ mo của gia tử h, ký hiệu ph). Với định nghĩa như trên của độ đo tính mờ trên AX chúng ta có một số tính chất sau: Mệnh đề 1.hạc với e 6 {c*, e}là biểu diễn chính tắc của x thì fm(x) = My) (Nn.1: Xét một dai số gia tử AX = (X, G, C, H, S) với G = (Nhiều, Ít) và H = {Rat, Hoi}. Bang việc tác động các gia tử thuộc H lên phần tử sinh thuộc G, ta có thé có tập các biến ngôn ngữ X' = (Ráti, Ít, Hoilt, HơiNhiều, Nhiều, RắtNhiêu) nêu chi tac động 1 lần và ta Sẽ có X''=/ RatRdtit, Rath, Hoikdtit, Ít, RdtHoilt, Hoift, HoiHoilt, HoiHoiNhiéu, HoiNhiéu, RatHoiNhiéu, Nhiều, HơiRắtNhiễu, RatNhiéu, RatRatNhiéu } nếu tác động 2 lần các gia tử lên các phan tử sinh. Giả sử fn(Nhiều) = 0.
Khi đó ta có các giá tri tính được như sau cho các hạng từ sau: fin(Ratht) = (Rat),fm({t) = 0.13824 Ta thay ro rang Nhiéu có độ mờ lớn hơn RatNhiéu do đó độ do tính mờ của Nhiều có giá trị lớn hơn so với RdtNhiéu. Tuy nhiên giá trị độ đo tính mờ ở đây không giúp ta có sự so sánh chắc chắn giữa hai biến ngôn ngữ Rdtit và Hoilt bởi vì giá trị này phụ thuộc vào các giá trị ban đầu của các hàm độ đo tính mờ của các phần tử sinh cũng như các gia tử. Trong thực tế việc chọn các giá trị này sẽ được điều chỉnh theo những tiêu chí mang tính thực nghiệm và rút kinh nghiệm để có sự mô tả chính xác hơn. Ví dụ trong thực tế nếu khoảng giá trị của RátNhiều được xem là rộng hơn so với khoảng giá trị của HơiNhiêu thì chúng ta có xu hướng mô tả sự 21 khác biệt nay bằng giá trị s(Rd) > (Hoi).
Tuy nhiên các giá trị này đều phải thỏa mãn các ràng buộc ở định nghĩa 1.1: Độ đo tính mờ của một số hạng từ 1. Hàm định lượng ngữ nghĩa Thông thường, ngữ nghĩa của các hạng từ thuần túy mang tính định tính. Tuy nhiên trong quá trình xử lý và tính toán, chúng ta cần xác định các giá trị định lượng của các hạng từ này. Đối với DSGT, giá trị định lượng của các hạng từ được định nghĩa dựa trên cấu trúc thứ tự ngữ nghĩa của miền giá trị của các biến ngôn ngữ, cụ thể là độ đo tính mờ của các hạng từ và gia tử.
Để tiện cho việc xác định hàm định lượng ngữ nghĩa cụ thé, chúng ta sử dụng định nghĩa về ham dau như sau: Định nghĩa 1.1 [I]: Hàm dấu Sgn: X — {-1, 0, 1} được xác định đệ quy như sau, ở đây h,h" eH,c €{c*,cj},x eX: (1) Sgn(c’) = -1, Sgn(c*) = 1 (2) Sgn(hc) = -Sgn(c) nếu h âm đối với c (3) Sgn(hc) = Sgn(c) nếu h dương đối với e (4) Sgn(h’hx) = -Sgn(hx) nếu h’hx # hx và h’ âm đối với h (5) Sgn(h’hx) = Sgn(hx) nếu h'hx # hx và h’ dương đối với h (6) Sgn(h’hx) = 0 nếu h'hx = hx 2 Khái niệm âm, dương ở đây là dé chỉ ý nghĩa làm mạnh lên hay yếu lên ý nghĩa của giá trị ngôn ngữ ban đầu nếu tiến hành tác động các gia tử lên giá trị ngôn ngữ đó.