Chương 1: Tổng quan về lý thuyết nhóm Khi nghiên cứu các đối tượng vật lý, chúng ta gặp phải một tính chất rất đặc biệt — tính chất đối xứng. Nói cụ thé hon, đó là: 1) Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các hệ quy chiều quán tính, dẫn đến những định luật bảo toàn quen thuộc (định luật bảo toàn năng lượng, định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn momen xung lượng. 2) Tinh chất đối xứng của các cau trúc vật chất như tinh thé, phân tử, các hạt cơ bản, dẫn đến những phương pháp phân loại các mức năng lượng hay một số đại lượng khác. Tính chat đối xứng của các đối tượng tự nhiên có thê được nghiên cứu bằng một bộ môn toán học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm.
Nói chung, lý thuyết nhóm đã cung cấp cho vật lý học một phương pháp gọn và chính xác, bô sung cho các phương pháp khác. Trong một số bài toán đặc biệt, có thẻ nói rằng một số mặt của vấn đề chỉ có thé giải quyết bằng công cụ của lý thuyết nhóm. chương | trình bày tóm tắt về lý thuyết nhóm, đặc biệt là nhóm Lie và ứng dụng của lý thuyết nhóm trong vật lý học dé người đọc có thé hiéu va theo dõi các chương tiếp theo. Phan quan trọng nhất trong chương | mà người đọc can chú ý là các nhóm ma trận và số tham số của chúng, các vi tử và hằng số cấu trúc của nhóm Lie, điều kiện dé một nhóm trở thành nhóm đối xứng của một hệ vật lý.
Đại cương về nhóm 1. Cấu trúc nhóm 1. Định nghĩa nhóm Cho một tập hợp G, trong đó có xác định một luật hợp thành nào đó, gọi là phép nhân, cho phép lập từ mỗi cặp phan tử x, y G một đại lượng xác định nào đó gọi là tích và ký hiệu là xy. Nếu phép nhân có các tính chất sau: Tính kín xyeGV¥xyeG.
Tinh két hop x(yz) = (xy)z V x, y,Z € G.1—1] Tính có đơn vị Có tồn tại một phan tử e < G gọi là phan tử đơn vị, có tính chat ex=xe=xV¥xeG.1—2] Tính có nghịch đảo VxeG có tôn tại một phần tử xác định x! € G có tính chất sau xx =x 'x=e V xe G, [1.1-3] thì tập hợp G gọi là một nhóm hay edu trúc nhóm. Nhóm con Mọi tập con H của nhóm G cũng làm thành một nhóm đối với phép nhân của nhóm G và gọi là nhóm con của nhóm G.Tất nhiên đơn vị e và toàn bộ nhóm G đều là những nhóm con của G. Hai nhóm con này gọi là nhóm con tầm thường. Những nhóm con không tam thường gọi là nhóm con thực sự.
Nhóm giao hoán Nếu xy = yx ¥x,yeG [1.1-4] thì hai phan tử x, y gọi là giao hoán với nhau.1-4] đúng với mọi x và y thì nhóm G gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm Abel. Đối với nhóm giao hoán, phép nhân hay gọi là phép cộng. Đơn vị ký hiệu là 0, nghịch đảo của x ký hiệu là — x. Nhóm gọi là nhóm cộng.
Nhóm tuần hoàn Ký hiệu x.x= x “ aba Phan tử x" gọi là lũy thừa bậc n của x Một nhóm trong đó các phần tử đều là những lũy thừa bậc khác nhau của cùng một phân tử gọi là nhóm tuần hoàn. Một nhóm tuần hoàn tat nhiên là giao hoán. Nhóm hữu hạn, vô hạn và liên tục Số phan tử của nhóm gọi là cấp của nhóm. Nếu cap là một số giới nội thì nhóm gọi là hữu hạn.
Trong trưởng hợp ngược lại thì nhóm gọi là vô hạn. Một nhóm vô han có các phan tử biến thiên liên tục gọi là nhóm liên tục. Một sô ví dụ vé cau trúc nhóm 1. Nhóm C; Tập hợp C; = {e, I} với 11a phép nghịch đảo không gian lr==r rõ ràng làm thành một nhóm, phép nhân nhóm là phép thực hiện liên tiếp các phép biến đồi của nhóm (cụ thé là phép biến đôi đơn vị e và phép nghịch đảo không gian I).
Nhóm này là một nhóm tuần hoàn, hữu hạn và cấp hai. Nhóm C, Tập hợp C, = {e. ø} với o là phép phản chiều qua một mặt phẳng nào đó (cũng ký hiệu là ø). rõ ràng là một nhóm tuần hoàn, hữu hạn, cấp hai.
Phép nhân ở đây được hiểu theo nghĩa thực hiện liên tiếp các phép biến đôi thuộc nhóm (phép biến đôi đơn vị e và phép phản chiếu ø). Nhóm Cạ Tập hop C, = {e,C),C?,.Cr"} ; 2 trong đó €„ là phép quay trong mat phăng với góc quay g=—, lam thanh mot n nhóm. Phép nhân là phép thực hiện liên tiếp các phép quay trong mặt phẳng. Phan tử nghịch đảo: (Ci) =C!‘ do C? =e [1.1-5] Nhóm nay là một nhóm hữu hạn tuần hoàn cap n.
Nhóm Z,, Tập hợp tất cả các căn bậc n của đơn vị cũng làm thành một số nhóm tuần hoàn, gọi là nhóm Z}""!: Ze” = le af! ol.n-1) "` Phép nhân là phép nhân thông thường các số phức. Nhóm Z, = ZJ" là nhóm tuần hoàn điền hình, cấp n. Nhóm RỶ Tập hợp tat cả các vector a của không gian ba chiều với phép cộng thông thường. làm thành một nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu là RỶ.
Don vị là vector 0 Phan tử nghịch dao: a’ = ~ a Nói riêng, ta có những nhóm sau: 1. Nhóm tịnh tiến T; Ta xét tập hợp tat cả các nhóm tịnh tiến T, trong không gian ba chiêu thông thường. Các phần tử của tập hợp được xác định bằng vector tịnh tiến a. Phép nhân xác định như sau: T,T, = Ta, p.
Don vi: e = Tạ. Phan tử nghịch đảo: 7' =7. Rõ ràng tập hợp này làm thành một nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu là Ts. Tương tự như thể, tập hợp tất cả các phép tịnh tiễn trong không gian tuyến tính n chiêu cũng tạo thành những nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu là Tạ.
Nhóm SO(2) Ta xét tập hợp tat cả các phép quay g(ø} trong mặt phăng. Các phan tử được xác định bằng góc quay ø (0<@<2z). Phép nhân xác định như sau: ¢(w)g(¢)= e(w +@). Phần tử nghịch đảo: s”'(@)= ¢(-¢).
Rõ ràng tập hợp trên làm thành một nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu là SO(2). Nhóm C„ là nhóm con của nhóm SO(2). Nhóm SO(3) Tập hợp tat cả các phép quay trong không gian ba chiều quanh một điểm có định nao đó rõ ràng cũng làm thành một nhóm, ký hiệu là SO(3), với phép nhân quan niệm là sự thực hiện hai phép quay liên tiếp nhau. Các phần tử của nhóm ký hiệu là g,(@) với k là trục quay còn ø là góc quay.
Don vị: e= g, (0) với mọi k. Phan tử nghịch đảo: ø;'(ø)= g, (—ø). Nhóm SO(3) là một nhóm liên tục, không giao hoán. Nhóm ma trận Tập hợp tất cả các ma trận cấp n xác định trên C với phép nhân ma trận thông thường có các tính chất sau: a) Phép nhân ma trận là kín b) Phép nhân có tính chất kết hợp c) Có tổn tại đơn vị của phép nhân.
là ma trận đơn vi lạ đ) Trừ các ma trận kỳ đị, tức là có định thức bằng không, tất cả các ma trận cấp n đều có nghịch đảo. tính theo phương pháp thông thường. Vậy tập hợp tat ca các ma trận cấp n xác định trên C và có định thức khác không làm thành một nhóm liên tục, không giao hoán với phép nhân ma trận thông thường. Nhóm này gọi là nhóm ma trận cấp n.
Nhóm ma trận là nhóm điện hình nhất. Một số nhóm ma trận quan trọng Các nhóm ma trận có thé xem là những nhóm gồm các phép biến đồi tuyến tính trong những không gian tuyến tính nào đó. Các nhóm ma trận quan trọng là những nhóm sau. Nhóm SL(n, C) [SL(n, R)] Là nhóm gồm tat cả các ma trận phức (hay thực) cấp n và có định thức bằng don vị.1-7] với L, là ma trận đơn vị cấp r.
Gọi A là phép biến đôi đang xét, theo điều kiện bat biến, ta có: (Az) g(Az)=2* (A*gA)z =z" gz Từ đó ta có được điều kiện cho các ma trận A thuộc nhóm: A’gA=8 [1.1-8] Nhóm các ma trận thỏa [1.1-8] gọi là nhóm g — Unita n chiều. Nói riêng, khi p = 0 hay q=0, ta có nhóm: U(n)=U (0.0) làm bất biến dang Hermitic z"z và thỏa mãn điều kiện: A*A=AA' =1, [1.1-9] Nhóm này gọi là nhóm Unita n chiêu. Nhóm SU(n) SƯ (n)=U (n)m SL(n,C} Đó là nhóm các ma trận Unita n chiêu, có định thức bằng đơn vị. Điều kiện: A'A=AA' =l„.1-10] Nhóm này gọi là nhóm Unita, đơn module n chiều.
Các nhóm SU(2) và SU(3) có những ứng dụng vật lý rat quan trọng. Nhóm SU(p, q) SU(p.g)SL(p+4,C) Điều kiện: AˆgA=g, detA=1 trong đó g xác định như ở [1. với: 2 | ` “‡ z,| Điều kiện cho các ma tran A thuộc nhóm: A“A=AA' =1, [I.I—I1] Nhóm này gọi là nhóm trực giao phức, n chiêu. Nhóm O(p, q) La nhóm gồm tat cả các phép biến đôi thuộc nhóm GL(p + q.
làm bat biến dạng toàn phương x‘gx, với x là vector n chiều thực, còn g là ma trận [1-1-7]. Diều kiện cho các ma trận A thuộc nhóm O(p.1-12] Nhóm này gọi là nhóm g - trực giao thực. Nói riêng, khi p = 0 hay q =0, ta có nhóm O(n) 0(n)=0(0,n) = 0(n,0) làm bat biến dạng toàn phương x‘x. Điều kiện cho các ma trận A thuộc nhóm O(n) A“Á=ÁA' =1, [I.1-13] Nhóm này gọi là nhóm trực giao thực.
Nhóm trực giao thực ba chiều O(3) đã xét trước đây là một trường hợp riêng của nhóm này. Nhóm O(3) có vị trí rất quan trọng trong vật lý học. Nhóm SO(p, q) SO(p.R) Điều kiện cho các ma trận A thuộc nhóm SO(p, q) A“gA=g.1-14] Nhóm này gọi là nhóm g — trực giao thực, don module. Nói riêng, khi p = 0 hay q = Ö ta có nhóm SO(n) SO(n} = SO(0,n) = SO(n,0) làm bat biến dang toàn phương xŸx và có định thức bằng đơn vị.
Điều kiện cho các ma trận thuộc nhóm SO(n} ATA= ÁA' =1, deL4=l [1.1-15] Nhóm nay gọi là nhóm trực giao thực n chiêu, don module hay là nhóm quay trong không gian n chiều. Các nhóm SO(2) và SO(3) đã xét trước đây là những trường hợp riêng của nhóm này. Nhóm Sp(2n, C) Là nhóm gồm các phép biến đổi phức thuộc nhóm GL(2n, C) làm bat biến dạng ?*hz, với z là vector phức 2n chiều và "|, mo [1.1-16] Diéu kiện cho các ma tran A thuộc nhóm AHA =h [1.1-17] Nhóm này gọi là nhóm symplectic phức. Nhóm Sp(2n, R) La nhóm gồm các phép biến đôi thực thuộc nhóm GL(2n, R) làm bat biển dạng toàn phương x‘hx, với x là vector thực 2n chiêu và h là ma trận [1.
10 Điều kiện cho các ma trận thuộc nhóm SP(2n, R) A “hA =h [I.