Chương 1 TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN VÀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG LỰC CỦA MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC TUYẾN TÍNH HỆ SỐ TUẦN HOÀN Các phương trình vi phân mô tả dao động của hệ nhiều vật là một hệ phương trình vi phân cấp hai phi tuyến đối với cả các toạ độ độc lập và phụ thuộc [11], [18], [36], [68], [79], [89], thường có dạng như sau: k (q , q, t) h (q , q, t) M (q, t)q Nghiệm của các phương trình vi phân phi tuyến này được cần đến để biểu diễn các ứng xử động lực học của các hệ nhiều vật, đặc biệt là đối với các hệ chuyển động với tốc độ lớn. Do tính chất phức tạp của hệ phương trình vi phân trên, chúng ta rất khó tìm nghiệm bằng phương pháp giải tích. Người ta thường hay xác định nghiệm của các hệ này bằng phương pháp số [31], [51], [62], [90]. Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các chuyển động q(t) của hệ nhiều vật thường giới hạn nằm ở lân cận một chuyển động qR (t) đã cho trước.
Chuyển động này trong các bài toán cụ thể thường được gọi là “chuyển động quy chiếu“ hoặc “chuyển động theo chương trình” hoặc “chuyển động mong muốn” hoặc “chuyển động cơ bản”, v.v… Trong chuyên đề này ta quy ước gọi qR(t) là “chuyển động cơ bản”. Trường hợp đơn giản nhất của chuyển động cơ bản là vị trí cân bằng của hệ q R const q R 0, qR 0. Trong động lực học robốt, chuyển động cơ bản là các chuyển động của các đại lượng trạng thái, do chuyển động cho trước của khâu thao tác quyết định. Trong động lực học các hệ truyền động, chuyển động cơ bản là chuyển động sinh ra do khâu dẫn quay đều, v.
Khi đã biết chuyển động cơ bản của hệ, ta có thể biến đổi hệ phương trình vi phân phi tuyến ở trên, về hệ phương trình vi phân tuyến tính một cách gần đúng [11]. Việc biến đổi này thường được thực hiện nhờ khai triển Taylor các hàm phi tuyến trong phương trình quanh các chuyển động cơ bản đã biết, sau đó bỏ qua các số hạng phi tuyến, ta đạt được một tập hợp các phương trình vi phân tuyến tính có các hệ số tuần hoàn theo thời gian có dạng x C(t)x K (t)x d (t) M (t) Việc giải hệ phương trình vi phân tuyến tính ở trên bằng phương pháp giải tích là khó khăn, thông thường là tìm nghiệm gần đúng. Có nhiều phương pháp gần đúng để giải hệ trên (Phương pháp tham số bé, phương pháp trung bình hoá, phương pháp WKB, phương pháp dao động có điều kiện, …). Tuy nhiên, các phương pháp trên cũng có nhiều hạn chế, nhất là khi các hệ số có dạng phức tạp hoặc không có biểu thức giải tích.
Gần đây, đã phát triển phương pháp số giải gần đúng hệ trên [86], 4 [87], [88], phương pháp này có ưu điểm giải được các hệ phức tạp, nó càng tỏ ra ưu việt cùng với sự phát triển của kỹ thuật tin học. Trong chương này, trình bày những nét cơ bản của phương pháp số để tìm ra điều kiện ổn định và nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn (còn gọi là hệ phương trình tham số tuyến tính), sau đó áp dụng phương pháp này, để tính toán dao động tuần hoàn và ổn định động lực của một số hệ dao động tham số trong máy. LÝ THUYẾT VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ TUẦN HOÀN Trong phần này, khảo sát sự ổn định của các nghiệm trong hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn theo nghĩa Liapunov [6], [16], dựa vào lý thuyết Floquet trong các tài liệu [11], [51]. Khái niệm ổn định Liapunov Phương trình trạng thái của một hệ cơ học f bậc tự do có dạng y f (t, y ) , y [ y1 y n ]T , n = 2f (1.1) Trong lý thuyết phương trình vi phân ta đã biết nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu y(t0) = y0, khi t thay đổi liên tục trên đoạn [a, b], nếu vế phải f(t,y) thoả mãn các điều kiện về sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Khi đó ta có các định nghĩa: Định nghĩa 1. Nghiệm y* = (t) của hệ phương trình vi phân (1.1) được gọi là ổn định theo nghĩa Liapunov nếu như với dương cho trước bé tuỳ ý, luôn có thể tìm được một số dương (,t0) sao cho mọi nghiệm y(t) của hệ phương trình vi phân (1.1) tại thời điểm đầu ở khá gần nghiệm y * = (t), nghĩa là y (t0 ) (t0 ) (1.2) thì nó sẽ luôn thoả mãn điều kiện y (t) (t) , t [t 0 ,+ ) (1. Nếu số > 0 có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện đầu, tức là = () thì ổn định theo nghĩa Liapunov của nghiệm y* = (t) được gọi là ổn định đều. Nghiệm y* = (t) của hệ phương trình vi phân (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận, nếu y * = (t) ổn định theo nghĩa Liapunov và thoả mãn thêm điều kiện lim y (t) (t) 0 (1.
Nghiệm y* = (t) của hệ phương trình vi phân (1.1) là không ổn định nếu nó không thoả mãn định nghĩa 1 về ổn định theo nghĩa Liapunov. Nghĩa là có tồn tại một nghiệm y nào đó của hệ phương trình vi phân (1.1) mà tại thời điểm đầu t0 thoả mãn điều kiện y (t 0 ) (t 0 ) (1.5) nhưng tồn tại một thời điểm t1 = t 1() > t0 mà y (t1 ) (t 1 ) (1.1 minh hoạ khái niệm ổn định Liapunov, còn hình 1.2 minh hoạ khái niệm không ổn định Liapunov.1: Hình ảnh quỹ đạo ổn định theo nghĩa Liapunov y y(t) (t) O t0 t Hình 1.2: Hình ảnh quỹ đạo không ổn định theo nghĩa Liapunov 1. Các định nghĩa và các định lý cơ bản về hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất y P (t)y f (t) (1.7) Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với hệ phương trình (1.8) Trong đó ma trận P(t) và véc tơ f(t) liên tục trong khoảng (a, ). Khi đó ta có các định nghĩa và các định lý sau: 6 Định nghĩa 1.
Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.7) là ổn định (hoặc không ổn định), nếu tất cả các nghiệm y = y(t) của nó sẽ ổn định (hoặc không ổn định) theo nghĩa Liapunov khi t . Điều kiện cần và đủ để cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) ổn định, với hàm f(t) tuỳ ý, là nghiệm tầm thường x0 = 0, (t0 < t < , t0 (a, )) của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định khi một nghiệm nào đó của hệ ổn định và không ổn định nếu có một nghiệm nào đó của hệ không ổn định. Hệ quả này được suy ra trực tiếp từ định lý 1.1 và chý ý 1 của định lý này.
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định khi và chỉ khi hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định. Về mặt ổn định, tính chất của các nghiệm của hệ tuyến tính không thuần nhất (1.7) cũng giống như tính chất của các nghiệm của hệ thuần nhất tương ứng (1. Vì vậy sau này ta giới hạn chỉ nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm y(t) của hệ ổn định đều khi t +, với thời điểm đầu t0 (a ).
Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) là ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thường x0 = 0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định đều khi t +. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm y(t) của hệ đều ổn định tiệm cận khi t +. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường x0 = 0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định tiệm cận khi t +. Điều kiện cần và đủ để cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.7) ổn định tiệm cận là hệ thuần nhất (1.8) ổn định tiệm cận.
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm x = x(t) của hệ tiến dần tới không khi t +. lim x (t) 0 t Hệ quả. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận thì sẽ ổn định tiệm cận toàn thể. Cơ sở lý thuyết Floquet về hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số tuần hoàn.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số tuần hoàn có dạng: x P (t)x (1.9) Với P(t) là ma trận vuông cấp n liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T. Giả sử x(1), x(2), …, x(n) là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình (1. Ở đây ta quy ước gọi chỉ số phía dưới là số thứ tự của hàm trong một nghiệm nào đó, còn chỉ số phía trên trong dấu ngoặc là số thứ tự của nghiệm. Các véc tơ nghiệm này tạo thanh một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính, khi đó ta có ma trận Φ (t) x(1) (t), x( 2) (t), , x( n ) (t) (1.10) được gọi là ma trận cơ bản của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.
Nếu (t) là ma trận cơ bản của hệ phương trình vi phân (1. Mỗi ma trận cơ bản (t) của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số tuần hoàn (1.9) có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai ma trận vuông cấp n như sau Φ (t) A (t)eBt (1.12) Trong đó A(t) là ma trận vuông cấp n, tuần hoàn với chu kỳ T, còn B là ma trận vuông cấp n có các phần tử là các hằng số.12) ta thấy, sẽ tồn tại một ma trận hằng B sao cho C eBT (1.13) BT Định nghĩa ma trận đơn đạo. ma trận C = e được cho trong (1.13) được gọi là ma trận đơn đạo của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số tuần hoàn.