Chương 1. Sơ lược về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên, một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Trong chương này các vấn đề cơ bản của lý xác suất và quá trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên được giới thiệu. Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được liệt kê.
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên. Trong chương này trình bày về phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu 3 nhiên trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Các phát triển của phương pháp tuyến tính hóa tương đương được giới thiệu tóm tắt. Tiêu chuẩn đối ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên.
Trong chương này xây dựng tiêu chuẩn đối ngẫu dựa trên cách thay thế tương đương đối ngẫu. Các tính chất và đặc điểm cơ bản của tiêu chuẩn này được mô tả có quan hệ chặt chẽ với mức độ phụ thuộc tuyến tính dưới dạng giải tích và hình học giải tích. Đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn này được so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss. Xác định được phạm vi hiệu quả của tiêu chuẩn đối ngẫu theo mức độ phụ thuộc tuyến tính.
Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên. Để cải tiến hạn chế về phạm vi áp dụng của tiêu chuẩn đối ngẫu, trong chương này phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu thành dạng tổng quát hơn thu được tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số. Phân loại mức độ phụ thuộc tuyến tính áp dụng cho tuyến tính hóa ngẫu nhiên được đề xuất. Xác định được biểu thức giải tích của trọng số dưới dạng hàm tuyến tính từng đoạn của mức độ phụ thuộc tuyến tính dựa trên việc phân tích ảnh hưởng của trọng số và bài toán nội suy từ dao động Lutes Sarkani.
Hiệu quả của tiêu chuẩn này được đánh giá thông qua việc so sánh với nghiệm chính xác và nghiệm xác định theo tiêu chuẩn kinh điển khi phân tích mô men bậc hai của một số dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss. Ngoài ra, áp dụng mở rộng cho dao động tự do cũng được trình bày. Kết luận chung. Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các vấn đề cần nghiên cứu tiếp.
Danh sách công trình đã được công bố thuộc luận án bao gồm 06 bài báo, trong đó các bài báo 2, 3, 4, 6 được công bố trong nước; các bài báo 1, 5 được công bố quốc tế. CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN Trong phân tích dao động, có hai cách tiếp cận chủ yếu là các phương pháp của cơ học tiền định và các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên. Khi các thông số đầu vào của hệ đã biết hoặc có thể dự đoán được, các phương pháp của cơ học tiền định sẽ được sử dụng để nghiên cứu các trạng thái có tính chất đơn lẻ của hệ. Trong khi đó, các phương pháp của cơ học ngẫu nhiên hướng tới việc nghiên cứu toàn bộ các trạng thái có khả năng xảy ra của hệ, các thông số đầu vào thường được biểu diễn theo các quy luật xác suất và thống kê do không thể đo đạc hoặc dự đoán chính xác được.
Để phân biệt, dao động ngẫu nhiên được định nghĩa là các chuyển động không phải là tiền định. Mục tiêu chính trong phân tích dao động ngẫu nhiên là xác định các đặc trưng xác suất của đáp ứng. Trong chương này, sẽ trình bày sơ lược các khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất, một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt và một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất 1.1 Xác suất của sự kiện ngẫu nhiên Trong nghiên cứu dao động ngẫu nhiên, các thuật ngữ và định nghĩa của lý thuyết xác suất thường được sử dụng là: Phép thử: là sự thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không. Kết cục: là kết quả của phép thử.
Tập hợp: chứa tất cả các kết cục trong miền D. Không gian mẫu: là tập hợp của tất cả các kết cục trong một phép thử. Sự kiện: là hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử hoặc còn gọi là một quá trình nếu kết cục của phép thử là một hàm của thời gian. Sự kiện là tập hợp của các kết cục có liên quan trong một phép thử nên là tập con của không gian mẫu.
Sự kiện ngẫu nhiên: là một sự kiện có thể xảy ra, hoặc có thể không 5 xảy ra khi thực hiện phép thử. Ngược lại, sự kiện tiền định là một sự kiện mà ta biết chắc chắn nó sẽ phải xảy ra hoặc không thể xảy ra. Xác suất: là độ đo khả năng xuất hiện của một sự kiện khi thực hiện phép thử, được ký hiệu là P(I), theo định nghĩa của Von Mises là [53] nI P(I) lim (1.1) n n trong đó n là số lần thực hiện một phép thử, nI là số lần xuất hiện của sự kiện I. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng xác suất Biến ngẫu nhiên là một đại lượng X được gán cho kết cục của một phép thử.
Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên là một hàm có miền xác định là tập hợp của các kết cục thỏa mãn hai điều kiện sau a) Tập hợp X x là một sự kiện I đối với mỗi số thực x, b) Xác suất của các sự kiện P X 0 và P X 0 (1.2) Hàm của biến ngẫu nhiên gọi là hàm ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên và hàm ngẫu nhiên còn được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x) là xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với mọi x từ tới F(x) = P{X x} (1.3) Hàm phân phối xác suất có các tính chất F() 1, F() 0, 0 F x 1, nếu x1 x2 thì F x1 F x2 , nếu F x0 0 thì F x 0, x x0 , (1.4) P X x 1 F x , P x1 X x2 F ( x2 ) F ( x1 ) Dựa trên tính chất của hàm phân phối xác suất, biến ngẫu nhiên có hai loại rời rạc và liên tục. Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu hàm phân bố xác suất của nó có dạng 6 F( x) P X x Pi với Pi P X xi (1.5) xi x Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu hàm F(x) của nó liên tục, có đặc điểm F( x) P X x 0 , với x (1.6) a) Loại liên tục b) Loại rời rạc Hình 1.1 Hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm Hàm mật độ xác suất ký hiệu là p x , dùng để mô tả mức độ tập trung xác suất của biến ngẫu nhiên X tại điểm x.
Biểu diễn của hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên liên tục và rời rạc là khác nhau. Như ví dụ ở hình 1.1a thể hiện hàm mật độ của tải trọng tác dụng lên dầm là đường liên tục còn ở hình 1.1b thể hiện hàm mật độ của tải trọng rời rạc tác dụng lên dầm. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục p x được định nghĩa là đạo hàm dF x p x (1.7) dx và có các tính chất x p x 0, F x P X x p x dx, b (1.8) p x dx F( ) 1, Pa X b p x dx a Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên loại rời rạc hoặc loại pha trộn giữa liên tục và rời rạc được định nghĩa là n p x pi x xi (1.9) i 1 trong đó hàm Delta Dirac x được biểu diễn là 7 , x0 x với đặc điểm x dx 1 (1.10) 0, x0 Hàm mật độ xác suất (1.9) cũng thỏa mãn các tính chất đã nêu trong (1. Trong lý thuyết dao dộng ngẫu nhiên, thường sử dụng biến ngẫu nhiên X phụ thuộc vào thời gian.
Các khái niệm và đặc trưng cơ bản của quá trình ngẫu nhiên ở phần kế tiếp được sử dụng để mô tả các trường hợp như vậy.2 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa một cách vắn tắt là một dãy các thể hiện của biến ngẫu nhiên thay đổi theo thời gian (hình 1.2) hoặc không gian một chiều. Nếu số lượng các thể hiện là hữu hạn thì quá trình gọi là rời rạc, nếu số lượng các thể hiện tập hợp vô hạn thì quá trình gọi là liên tục. Trong thực tế thường gặp các quá trình ngẫu nhiên liên tục chẳng hạn như vận tốc gió, tuy nhiên ta không thể thu thập được các tập hợp vô hạn này trong không gian và thời gian. Phương án khả thi là thu thập một lượng thông tin đủ lớn, kết hợp với các kinh nghiệm có được trong quá khứ sẽ cho phép việc mô tả một quá trình ngẫu nhiên ở mức độ gần đúng theo mong muốn.
Ví dụ như Bản đồ phân vùng áp lực gió lãnh thổ Việt Nam được thiết lập cho chu kỳ lặp 20 năm. Một tổng thể các hàm ngẫu nhiên theo thời gian (các hàm mẫu) 8 Để đơn giản, ta có thể sử dụng ký hiệu x(t) cho quá trình ngẫu nhiên x theo thời gian t.2 mô tả tổng thể hay các thể hiện x1 t , x2 t ,.xn t của một quá trình ngẫu nhiên. Mỗi thể hiện xi t được gọi là một hàm mẫu, chứa các mẫu xi. Trung bình của tất cả các mẫu tại thời điểm t1 hay t2 được gọi là các trung bình tổng thể.
Tại mỗi thời điểm t=t1 thì quá trình ngẫu nhiên là một biến ngẫu nhiên xi t1 . Vì vậy, ta có thể sử dụng các định nghĩa và khái niệm về biến ngẫu nhiên áp dụng cho quá trình ngẫu nhiên.