Chương Ba TÍNH CHÊ ĐỘ XÁC LẬP CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỆN PHỨC TẠP 3. KHỬ NÚT BẰNG CÁC MA TRẬN CON Trong phương trình điện áp nút (1.52), ỉ và ú là các ma trận cột, còn Y là ma trận vuông đối xứng. Ma trận Ỳ co' sô' hàng và sô' cột bằng số nút trong hệ thống điện (trừ nút cơ sở). Để giảm thời gian tính và để dễ dàng xử lý các hệ thống điện lớn trên máy tính, có thể tiến hành khử một số nút nào đo' trong hệ thống.
Các nút này chỉ co' thể là các nút mà ở đó không co' dòng điện chạy vào hệ thống. Các nút phát điện (nút nguồn) càn phải được giữ lại. Quá trình khử nút được mô tả ở đây là một phương pháp co' thể thực hiện như là một phần của chương trình máy tính và thực chất của no' là rút gọn mạch điện. Rút gọn mạch điện có thể tiến hành tính bằng tay một số nút cần khử khi cộng các tổng trở của hai phần tử nối tiếp hay bàng phương pháp biến đổi tam giác thành hình sao và ngược lại.52), phương trình điện áp nút đối với hệ thống điện có ba nút (trừ nút cơ sở) co' thể viết: 'il ■ *1! Ỹ12 Ỹ13' A' i2 S Ỹ21 Ỹ22 Ỹ23 ũ2 (3.1) — — —— - —--- £1 í Ý32 Y33 u3 Nếu như các dòng điện chỉ đi vào hai trong ba nút, thì nút thứ ba có thể được khử, và nút này được đánh sô' thứ tự là nút 3.
Như vậy, các nút được đánh sô' thứ tự bắt đầu từ tất cả các nút càn phải giữ lại, và khi nho'm này đã được đánh số thứ tự đầy đủ, các nút bị khử được gán các số thứ tự tiếp theo. Mã trận tổng dẫn Ỹ trong trường hợp này co' thể được chia bằng các đường nét đứt như trong công thức (3.1), trong đo' đưbng thẳng đứng ở giữa các cột n và (n + 1), còn đường ngang ở giữa các hàng n và (n + 1). Tương tự, các ma trận dòng điện nút và điện áp nút được chia bằng các 73 đường nét đứt giữa các phần tử n và (n + 1). vì tất cả các nút ở phía dưới đường nét đứt bị khử và không có dòng điện chạy vào trong hệ thống tại các nút đó, cho nên tất cả các dòng điện nút ở phía dưối đường nét đứt cần phải bằng 0.
Như vậy biểu thức (3.1) với các ma trận cửa no' được chia thành các ma trận con có thể viết như sau: (3.2) trong đó Ir là ma trận cột các dòng điện ở tất cả các nút được giữ lại. Trong trường hợp đặc biệt của biểu thức (3.1), chúng ta có: Ma trận ỉe liên quan đến tất cả các nút bị khử và mỗi phần tử của nó cần phải bằng 0. Đối với các mạch điện tuyến tính c = Bt (điều này có thể kiểm tra ở biểu thức (3. Các tổng dẫn riêng và chung trong ma trận con A là của các nút được giữ lại, các tổng dẫn riêng và chung trong ma trận con D là của các nút bị khử.
Ma trận B và Bt chỉ co' Các tổng dẫn chung giữa một nút được giữ lại và một nút khác là nút bị -khử. Khai triển phương trình (3.2) nhận được: ir = Àúr + BỦe (3.3) ie = Btủr + Óủe (3.4) chúng ta co': Ạ - -ir‘B,úr Sau khi thay giá trị của Ue vào (3.3), ta có: ir = Ảủr - BD-1BtUr (3.5) Bây giờ ma trận tổng dẫn mới của mạch điện chỉ có các nút được giữ lại bằng: Ỷm = À - BD-’Bt (3.6) Các dòng điện nút và điện áp nút có quan hệ với ma trận tổng dẫn Ym tương tự như trong biểu thức (1. Bất kỳ số hạng đường chéo nào trong ma trận Ym như Ỷ 22 ở phương trình (3.1) đều bằng tổng của tất cả các tổng 74 dẫn, được nối trực tiếp với nút 2. Bất kỳ số hạng không đường chéo nào trong Ym như Ỷ32 ở biểu thức (3.1) đều âm và bằng tổng của tất cả các tổng dẫn nhánh, nối trực tiếp giữa hai nút (nút 3 và nút 2 trong trường hợp này).1 là sơ đồ thay thế của một hệ thống điện đơn giản.
Các sức điện động và các tổng trở ở hệ đơn vị tương đối được cho trên hình vẽ (bỏ qua các điện trở tác dụng). Hãy khử các nút 3 và 4 của mạch điện và vẽ sơ đồ rút gọn của mạch điện đã cho. Sơ đồ thay thê' của hệ thống điện Giải: Tính các dòng điên chạy vào các nút 1 và 2:. ■1 - -j 040^ - -jl° p u ỉ2 - -i '/Jir’zfe" -j202ấỌỈ - 10 - J13.
Ma trận tổng dẫn nút Ỷ của mạch điện ở hình 3.1 có thể viết như sau: 22,0 0 -10,0 0 ♦ 0 24,33 0 -6,67 Ỷ = -j p. -10,0 0 16,25 -5,0 ■0 -6,67 -5,0 12,5 75 A B c i) Tính ma trận nghịch đảo của ma trận Ỏ: 12,5 5,0 ÍT1 = - -7- 178 5,0 16,25 Ma trận tổng dẫn nút Ým của mạch điện có các nút 3 và 4 bị xda bỏ được tính theo công thức (3.6): 22,0 0 -10,0 0 12,5 5,0 10,0 0 j m J +j x 178 xj 0 24,33 0 -6,67 5,0 16,25 0 6,67 '22,0 0 , -1250 -333,3 ■ j J 170 0 24,33 -333,3 -722 -jl4,98 jl,87 jl,87 -j20,27 Từ ma trận tổng dẫn Ým nhận được, co' thể vẽ mạch điện như ỏ hình 3.2, trong đo' các dòng điện nút và các tổng dẫn ở hệ đơn vị tương đối. Mạch điện này là mạch điện rút gọn của mạch điện cho trên hình 3. Mạch diện rút gọn cùa hệ thống điện cho trên hình 3.
CHIA MA TRẬN NGHỊCH ĐẤO Có thể chia ma trận tổng dẫn nút Ỹ thành các ma trận con như sau: (3.7) nhận thấy ràng, trong trường hợp đặc biệt của hệ thống điện có ba nút (trừ nút cơ sở), thì: Các ký hiệu i;1, ib, ửa và ủb trong công thức (3.8) là các ma trận con của các dòng điện và điện áp đê’ tránh nhầm lẫn với các dòng điện và các điện áp như là Ij và Uị ở nút 1, và I2 và u, ở nút 2, V. Từ công thức (3.8) chúng ta có: Ịa = Ýlủa + Ỷ2ủb <3-9> ib = Ỷ3ửa + Ý4ủb (3.10) Từ biểu thức (3.9) nhận được: ủ = - Ỷ2ủb) «1 Ị ẽl í. I’ Thay biểu thức này đối với Ua vào (3.10) sẽ co': ib = Vr‘(ia - W + Ý4ủb ib = Vr'ia + <Ỷ4 - Ỹ3Ýr‘Ý2)ủb Do đó: ủb = (Ỳ4 - ỷ3ÝỊ-iỷ2)-‘ (ib - Ỷ3Ỷr>ĩa) • (3.11) Nếu như nghịch đảo của ma trận Y là ma trận z và ma trận z được chia thành bốn ma trận con tương ứng như (3.7), khi đố chúng ta có: Z1 Z2 Z3 Z4 77 và : (3.12) Từ công thức (3.14) Tương tự, từ công thức (3.10) chúng ta có: ú„ = Ỹ4-‘(Ìb - ÝẠ) Sau khi thay biểu thức này đối với ủb vào (3.15) Từ các công thức (3.15) nhận thấy rằng: Z1 = (Ý1 - ỹ2Ý4-1ỹ3)-1 (3.17) Như vậy ma trận tổng trở nút Z co' giá trị: <Ý, - Ý2Ý;'Ý3)-' ị -(Ỳ, - Ý2Ỳ4-'Ý3)-'Ý2Ý4-‘l z = (3,18) <Ý3Ýr'Ý2 - Ý4r'Ý3Ýrl (Ý4 - Y3ỶrIÝ2>-l Bởi vì các ma trận nghịch đảo trong biểu thức (3.18) có bậc thấp hơn so với ma trận tổng dẩn nút Ỹ, và thời gian tính ma trận nghịch đảo dường như tỷ lệ bậc ba với số lượng phương trình (nghĩa là tỷ lệ bậc ba với cấp ma trận), cho nên chia ma trận có lợi hơn. Điều này đặc biệt quan trọng trong khi giải các phương trình của các hệ thống điện lớn trên các máy tính tương đối nhỏ.3 là sơ đồ thay thế của hệ thống điện đơn giản.
Các dòng điện nút và các tổng dẫn cho ở hệ đơn vị tương đối và có các giá trị như sau: I. = 2,0; I2 = 0; I3 = 0; I4 = 3,0; yaa = 0,5; ybb = 1,5; ycc = 2,5; yd = 0,5; yee = 5,0; yff = 0,25; ygg = 4,0; yhh = 0,75; Yjj = 0,25 và ykk = 4,0. Tính các điện áp ở các nút 1, 2, 3 và 4 bằng phương pháp chia ma trận nghịch đảo tổng dẫn nút. Sơ đ'ô thay thế cùa hệ thổng điện dơn giản Giải: Mạch điện ở hình 3.3 co' bốn nút, để cho thuận tiện chúng ta chia ma trận tổng dẫn nút Y thành bốn ma trận con và mỗi ma trận con co' kích thước 2x2.
Theo phương trình (3.8) có thê’ viết phương trình điện áp nút ở dạng ma trận như sau: 2 ' 0 I =. 0 3 Phương trình trên có thê’ viết theo (3.12) như sau: U1 2 u2 0 'U3 Z4 0 u4 3 trong đó Zj, z2, z3 và z4 là các số hạng của bốn ma trận con trong ma trận tổng dẫn nút như công thức (3.16) chúng ta có: Z1 = (Y] - Y2Y4-%)-‘ Tính ma trận nghịch đảo Y4 *: ____ 1 9 4 Yí* ~ 67,25 4 9,25 1 [■ 0 -41 [9 4 1 -16 -37 67,25 -5 0 4 9,25 67,25 -45 -20 1 -16 -37 0 -5 2,2 1,19 Y2Y4% 67,25 -45 -20 -4 0 1,19 3,35 6,3 -3,69 Y, Y2Y4'Y3 -3,69 4,65 ) 1 4,65 3,69 0,296 0,235 Z) 15?7 3,69 6,3 0,235 0,401 Theo phương trình (3.16) chúng ta co': 1 r 0,296 0,235 16 37 z2 -Z1Y2Y4 -> 67,25 0,235 0,401 45 20 0,228 0,233 0,324 0,248 Từ (3.Yr’Y,)-1 y-l _ 1 8 2,5 1 61,75 2,5 8,5 1 [-12,5 -32 YF‘Y2 61,75 -42,5 -10 1 212,5 50 3,44 0,81 Y3Yp1Y2 = 61,75 50 128 0,81 2,07 80 ■ 5,81 -4,81 •y4 - Y3Yf'Y2 -4,81 6,93 Do đô': 6,93 4,81 0,403 0,279 z4 = (Y4 - Y3Yf1Y2r1 = ™ 4,81 5,81 0,279 0,338 Tìí công thức (3.13) chúng ta co': z, = (Y,Y-iY2 - Y4)-1Y3Yj-> 1 -12,5 -42,5 -0,203 —0,689 61,75 —32 -10 -0,518 -0,163 -0,403 -0,279' (Y,Yf‘Y 2 - Y4)-‘ -0,279 -0,338 0,403 0,279 0,203 0,689 z3 = (Y3YhY2 - Y4)-'Y3Y7i 0,279 0,338 0,518 0,163 0,226 0,323 0,232 0,247 Cuối cùng chúng ta có hệ phương trình điện áp nút như sau: Ư! 0,296 0,235 0,228 0,233 2 U; 0,235 0,401 0,324 0.248 0 u3 0,226 0,322 0,403 0,279 0 u4 0,232 0,247 0,279 0,338 3 1,297 1,214 1,289 1,478 Như vậy, điện áp ở các nút bàng: Ư, = 1,297 p’. PHƯƠNG PHÁP CẮT CÁC MẠCH VÒNG Chế độ làm việc của các mạng điện kín có thể xác định được bàng phương pháp biến đổi mạng kín thành mạng hở- tương đương. Sau khi cắt tất cả các mạch vòng độc lập của mạch kín chúng ta sẽ nhận được mạch hở.
Nhờ thuật toán đơn giàn của mạch hở, cho nên phương pháp này được áp dụng rộng rãi trong thực tế. CỀúng ta xét sơ đồ thay thế của mạch điện kín đơn giản (hình 3. Tổng trở các nhánh và các nguồn dòng nút cho trên hình vẽ. Nút 0 là nút cân bàng dòng điện và co' điện áp là U(1.