ĐAI H0: Khám Phá và Ứng Dụng Trong Nghiên Cứu

• Người hướng dẫn: TS. Đỗ Văn Nguyên
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Khoa học máy tính
• Đề tài: Tìm Hiểu Về ĐAI H0 Để Nâng Cao Hiệu Quả Trong Nghiên Cứu
• Loại tài liệu: luận văn
• Năm xuất bản: 2014
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Khái niệm cơ bản
• 1.2. Phương pháp nghiên cứu
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI
• 2.1. Phương pháp RBF-FD
• 2.2. Phương pháp FEM
• 3. CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
• 3.1. Mô hình và giả thiết
• 3.2. Phân tích kết quả
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về ĐAI H0 Khái Niệm Và Ứng Dụng Nghiên Cứu

Bài toán nội suy hàm số là một trong những bài toán cơ bản của giải tích số. Bài toán này thường gặp trong các trường hợp sau: biết giá trị của một hàm số f(x) tại một số điểm. Khi đó người ta tính gần đúng f(x) tại một số điểm khác. Ngoài ra, nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thức tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình. Bài toán nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm nút a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị f(x) (xi), tại i = 0, 1, ..., n. Một số dạng hàm g(x) có thể là đa thức đại số, hàm hữu tỉ, hay hàm Spline. Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd cho bộ dữ liệu (xi, ɣi), i = 1, 2, ..., n, xi ∈ Rd, ɣi ∈ Г, trong đó xi là các vị trí đo, ɣi là các kết quả tại vị trí đó. Bn là các hàm cơ sở của không gian tuyến tính các hàm d biến liên tục.

1.1. Nội Suy Dữ Liệu Phân Tán Trong Không Gian Rd

Bài toán nội suy: tìm hàm Ρ f ∈ F sao cho: Ρ f (хi) = ɣi, i = 1, 2, ..., n. Có nghiệm duy nhất nếu det(A) ≠ 0. Câu hỏi đặt ra là chọn cơ sở {B1, B2, ...} như thế nào? Khi đó không tồn tại Haar không gian các hàm liên tục nào trong Ω với số chiều ≥ 2. Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau: Cho B ⊂ C(Ω) là không gian hữu hạn chiều các hàm tuyến tính có cơ sở là {B1, B2, ... Bn}. Khi đó B là một Haar không gian trong Ω nếu det(Bk(xj)) ≠ 0 với bất kỳ dãy các điểm phân biệt x1, x2, ..., xn ∈ Ω. Chú ý: Tính tồn tại của một Haar không gian đảm bảo tính duy nhất của một phép nội suy tại các điểm x1, x2, ... xn.

1.2. Ứng Dụng Của Nội Suy Trong Giải Các Bài Toán

Nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thức tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình. Bài toán nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm nút a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị f(x) (xi), tại i = 0, 1, ..., n. Một số dạng hàm g(x) có thể là đa thức đại số, hàm hữu tỉ, hay hàm Spline. Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd cho bộ dữ liệu (xi, ɣi), i = 1, 2, ..., n, xi ∈ Rd, ɣi ∈ Г, trong đó xi là các vị trí đo, ɣi là các kết quả tại vị trí đó.

II. Phương Pháp ĐAI H0 Giải Pháp Tối Ưu Cho Bài Toán Khó

Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trình vật lý toán. Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp đơn giản, việc đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm. Tuy nhiên, trong các trường hợp bài toán có hệ số biến thiên, bài toán phi tuyến, bài toán trên miền có hình học phức tạp thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc có nhưng rất phức tạp. Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triển như các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn đã đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phương pháp toán học vào thực tiễn. Các phương pháp vừa nêu nói chung đều là các phương pháp lưới. Tuy nhiên, các phương pháp này chưa thật hiệu quả khi áp dụng vào lớp các bài toán thực tế có cấu trúc phức tạp, hình học phức tạp hoặc hàm có độ dao động lớn.

2.1. Ưu Điểm Của Phương Pháp Không Lưới Trong Nghiên Cứu

Cũng như các phương pháp lưới, lượng đồ giải các bài toán biên bằng phương pháp không lưới cũng cần có tập các tâm (trong phương pháp lưới, các tâm này là các nút lưới) nằm phía trong miền Ξint và các tâm nằm trên biên ∂Ξ để tính toán. Từ các tâm này ta xấp xỉ các toán tử vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút: п Du(х) = ∑ wi(х)u(хi), i=1 trong đó vectơ w = [w1 , w2 , ..., wп ]T gọi là vectơ trọng số, để từ đó đưa bài toán biên cần giải về hệ các phương trình hữu hạn (không chứa các đạo hàm). Để tính được vectơ trọng số thì việc đầu tiên chúng ta phải chọn bộ tâm nội suy Ξζ từ tập Ξ để tính vectơ trọng số. Chất lượng (độ chính xác) của nghiệm xấp xỉ tìm được bằng phương pháp RBF-FD phụ thuộc rất lớn vào bộ tâm Ξζ . Vấn đề cốt lõi là chọn bộ tâm này như thế nào và chọn bao nhiêu là đủ để chất lượng nội suy để tính vectơ trọng số là tốt nhất.

2.2. Hạn Chế Của Phương Pháp Lưới Truyền Thống

Các phương pháp lưới truyền thống chưa thật hiệu quả khi áp dụng vào lớp các bài toán thực tế có cấu trúc phức tạp, hình học phức tạp hoặc hàm có độ dao động lớn. Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trước đã hình thành một xu hướng mới của các phương pháp số, đó là phương pháp không lưới. Cũng như các phương pháp lưới, lượng đồ giải các bài toán biên bằng phương pháp không lưới cũng cần có tập các tâm (trong phương pháp lưới, các tâm này là các nút lưới) nằm phía trong miền Ξint và các tâm nằm trên biên ∂Ξ để tính toán.

III. Ảnh Hưởng Của Tâm Đến Độ Chính Xác Của Phương Pháp ĐAI H0

Vì lý do trên, tác giả đã chọn đề tài: "Ảnh hưởng của bộ tâm được chọn trong phương pháp không lưới RBF-FD". Luận văn chỉ tập trung vào việc khảo sát sự ảnh hưởng của số tâm được chọn Ξζ và giả sử rằng bộ tâm Ξ = Ξint ∪∂Ξ được cho trước. Phương pháp FEM (Finite Element Method) là phương pháp phổ biến được áp dụng vào hầu hết các ngành khoa học công nghệ khi miền hình học của bài toán phức tạp và hàm có kỳ dị. Hiện nay, phương pháp FEM càng trở nên hiệu quả và mềm dẻo hơn khi được thực hiện trên lưới thích nghi (adaptive mesh). Thích nghi ở đây có nghĩa là tại những vùng mà hàm có độ dao động lớn hoặc vùng mà hình học ‘xấu’, số nút lưới được sinh ra nhiều hơn.

3.1. Tầm Quan Trọng Của Việc Chọn Tâm Trong ĐAI H0

Vấn đề cốt lõi là chọn bộ tâm này như thế nào và chọn bao nhiêu là đủ để chất lượng nội suy để tính vectơ trọng số là tốt nhất. Vì lý do trên, tác giả đã chọn đề tài: "Ảnh hưởng của bộ tâm được chọn trong phương pháp không lưới RBF-FD". Luận văn chỉ tập trung vào việc khảo sát sự ảnh hưởng của số tâm được chọn Ξζ và giả sử rằng bộ tâm Ξ = Ξint ∪∂Ξ được cho trước.

3.2. So Sánh Với Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn FEM

Phương pháp FEM (Finite Element Method) là phương pháp phổ biến được áp dụng vào hầu hết các ngành khoa học công nghệ khi miền hình học của bài toán phức tạp và hàm có kỳ dị. Hiện nay, phương pháp FEM càng trở nên hiệu quả và mềm dẻo hơn khi được thực hiện trên lưới thích nghi (adaptive mesh). Thích nghi ở đây có nghĩa là tại những vùng mà hàm có độ dao động lớn hoặc vùng mà hình học ‘xấu’, số nút lưới được sinh ra nhiều hơn.

IV. Ứng Dụng ĐAI H0 Trong Giải Bài Toán Poisson Ví Dụ Minh Họa

Luận văn sử dụng bài toán Dirichlet với phương trình Poisson. Với mọi hàm số một biến số ɣ = ɣ(х), ta có khái niệm đạo hàm ɣJ (х)) ɣJ (х) = lim ɣ(х + ∆х) −ɣ(х) , ∆х→0 ∆х và khái niệm bài toán Cauchy: Tìm hàm số ɣ = ɣ(х) xác định tại х ∈ [х0 , Х ] sao cho: ɣJ = f (х, ɣJ = f (х, ɣ), х0 < х ≤ Х, ɣ(х0 ) = η, trong đó f (х, ɣ)là hàm cho trước; х0, Х, η là những số cho trước. Với hàm số nhiều biến số ta cũng gặp những khái niệm và những bài toán tương tự. Xét hàm số hai biến số u = u(х, ɣ):

4.1. Bài Toán Dirichlet Với Phương Trình Poisson

Luận văn sử dụng bài toán Dirichlet với phương trình Poisson. Với mọi hàm số một biến số ɣ = ɣ(х), ta có khái niệm đạo hàm ɣJ (х)) ɣJ (х) = lim ɣ(х + ∆х) −ɣ(х) , ∆х→0 ∆х và khái niệm bài toán Cauchy: Tìm hàm số ɣ = ɣ(х) xác định tại х ∈ [х0 , Х ] sao cho: ɣJ = f (х, ɣJ = f (х, ɣ), х0 < х ≤ Х, ɣ(х0 ) = η, trong đó f (х, ɣ)là hàm cho trước; х0, Х, η là những số cho trước.

4.2. Điều Kiện Vật Lý Dẫn Đến Phương Trình Poisson

Xét thanh đồng vật chất, L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không 3 cm , có nhiệt dung là c (cal/g. Xem xét đối một là 2 S(phần ), có khối lượng riêng laѴ ρ dài g/ cm3 một bộ đôi thì vật chất có thể tính m . h(cal) Σ của nó liên hệ với nhau theo công thức: h = uρcV. Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệt lượng là k (cm2 /s). Ta gọi suất khuếch tán nhiệt. Chú ý: Đôi khi người ta cũng gọi c = k ρ c là suất dẫn nhiệt [cal/(s.

V. Ổn Định Của Ma Trận Hệ Số Yếu Tố Quan Trọng Trong ĐAI H0

Trong nhiều trường hợp người ta thu được hệ phương trình đại số tuyến tính Ax = b trong đó các hệ số aij và bi được tính theo công thức nào đó, có thể là khá phức tạp cho nên không tránh khỏi sai số.1), mà thật là hệ phương trình với nhiều của hệ ma trận này A + δA không A và vế phải x mà là b + δb là nhiều và [7],[7].2) Vấn đề đặt ra là liệu sự thay đổi δx của nghiệm có phụ thuộc liên tục vào sự thay đổi của dự kiện đầu vào là δA và δb hay không, tức là khi dự kiện đầu vào thay đổi ít thì liệu nghiệm có thay đổi ít không? Dưới đây ta chỉ ra một vài ví dụ, trong đó xảy ra hiện tượng "sai một ly đi một dặm", có thể là sai số nhỏ của dự kiện dẫn đến sai số lớn của nghiệm.

5.1. Ảnh Hưởng Của Sai Số Đến Nghiệm Của Phương Trình

Vấn đề đặt ra là liệu sự thay đổi δx của nghiệm có phụ thuộc liên tục vào sự thay đổi của dự kiện đầu vào là δA và δb hay không, tức là khi dự kiện đầu vào thay đổi ít thì liệu nghiệm có thay đổi ít không? Dưới đây ta chỉ ra một vài ví dụ, trong đó xảy ra hiện tượng "sai một ly đi một dặm", có thể là sai số nhỏ của dự kiện dẫn đến sai số lớn của nghiệm.

5.2. Đánh Giá Sai Số Tương Đối Của Nghiệm

Bây giờ ta đánh giá sai số tương đối của nghiệm qua sai số tương đối của vế phải. Ta ký hiệu cond(A) =||A||||A−1|| và gọi nó cond(A) >> 1 ta điều là số kiện của nó rằng ma trận A là ma trận A.||2 thì dễ thấy rằng khi A là ma trận đối xứng cond(A) = |λmax| , trong đó chú ý rằng số điều kiện của ma trận phụ thuộc vào các xác định chuẩn. Nếu ta đó λmax và λmin là các giá trị riêng với modul lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng. Các ma trận trong các Ví dụ 1 - 3 đều là các ma trận với điều kiện xấu. Số điều kiện tương ứng của chúng tương ứng là 1004, 40002 và 501 là những số khá lớn.

VI. Kết Luận Và Hướng Phát Triển Của Nghiên Cứu Về ĐAI H0

Với thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn ĐQ!. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm Vũ Huy Hoàng Đô chương 1 Kiến thức cơ sở 1. Bài toán nội suy Một trong các bài toán cơ bản của giải tích số là nội suy hàm số [7]. Bài toán này thường gặp trong các trường hợp sau: biết i.giáiaп tr%phпội hai hàm của nó (х) đ0iх0với m®ts0s0f điểm . Khi đó người ta tính gần đúng f (х) tại m®t s0 điểm rồi xây dựng công thức nội suy để tính các giá trị khác. Ngoài ra, nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thức tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình.

6.1. Tóm Tắt Kết Quả Nghiên Cứu

Luận văn đã tập trung vào việc khảo sát sự ảnh hưởng của số tâm được chọn Ξζ và giả sử rằng bộ tâm Ξ = Ξint ∪∂Ξ được cho trước. Phương pháp FEM (Finite Element Method) là phương pháp phổ biến được áp dụng vào hầu hết các ngành khoa học công nghệ khi miền hình học của bài toán phức tạp và hàm có kỳ dị.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Về ĐAI H0

Cần có thêm nhiều nghiên cứu về việc lựa chọn bộ tâm Ξζ tối ưu cho từng loại bài toán cụ thể. Đồng thời, cần phát triển các thuật toán hiệu quả hơn để giải quyết các bài toán phức tạp với độ chính xác cao hơn.