CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1.1 TỔNG QUAN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát thì số phương trình không nhất thiết phải bằng số ẩn, hay ma trận A không phải ma trận vuông. Tuy nhiên trong phạm vi khóa luận này ta chỉ xét những hệ phương trình tuyến tính mà ma trận hệ số A là ma trận vuông như sau: Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm n phương trình của n ẩn số có dạng a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a x + a x + ··· + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (1.1) · · · an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn a11 a12 · · · a1n x1 b1 a21 a22 · · · a2n x2 b2 Đặt A = . : : : an1 an2 · · · ann xn bn được gọi lần lượt là ma trận hệ số, ma trận ẩn số và ma trận hệ số tự do của hệ phương trình tuyến tính (1.
Khi đó hệ phương trình tuyến tính được viết dưới dạng: Ax = b (1.2) Một nghiệm hay nghiệm riêng của hệ phương trình (1.1) là tập hợp các giá trị x1 = α1 , x2 = α2 , ., αn ) ∈ Rn khi thay vào hệ phương trình ta được các đẳng thức đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình (1.1) được gọi là tập nghiệm hay nghiệm tổng quát của hệ đã cho. Giải hệ phương trình là việc đi tìm tất cả các nghiệm của hệ đó. h i Ma trận khối A = A b được gọi là ma trận bổ sung hay ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính (1.
∗ Các trường hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: Dựa vào hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận bổ sung mà ta có được định lý về điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình như sau: Định lý 1. (Kronecker - Capelli) Hệ phương trình tuyến tính (1.1) có nghiệm nếu và chỉ nếu rank(A) = rank(A). Nếu A = A b là dạng ma trận hóa của hệ phương trình tuyến tính thì rank(A) = rank(A) hoặc rank(A) = rank(A) + 1. Hơn nữa, (i) Nếu rank(A) = rank(A) + 1 thì hệ vô nghiệm.
(ii) Nếu rank(A) = rank(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất. Đối với trường hợp có nghiệm duy nhất thì hệ (1.1) chính là hệ Cramer được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1. Cho một hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình và n ẩn như hệ (1.1), trong đó aij , bi , 1 ≤ i, j ≤ n là các số thực. Hệ trên được gọi là hệ phương trình tuyến tính Cramer nếu định thức của ma trận hệ số a11 a12.
a2n D = det(A) = : : : an1 an2. ann của hệ phương trình đã cho khác 0. Như vậy, hệ (1.1) là hệ phương trình tuyến tính Cramer khi và chỉ khi ma trận A = (aij )n×n các hệ số của hệ (1.1) là ma trận không suy biến cấp n. Hệ phương trình sau đây có nghiệm hay không? x1 + x2 + x3 = 1 x + 2x − x = −1 1 2 3 x1 + 3x3 = 3 2x1 + x2 + 4x3 = 4 Giải Ma trận bổ sung của hệ phương trình đã cho là 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 −1 −1 h2 → h2 − h1 0 1 −2 −2 0 1 −2 −2 h3 → h3 + h2 A= h →h −h 3 3 1 h → h + h2 1 0 3 3 h 4 → h 4 − 2h 1 0 −1 2 2 −−4−−−4−−→ 0 0 0 0 −−−−−−−−→ 2 1 4 4 0 −1 2 2 0 0 0 0 Do rank(A) = rank(A) = 2 nên hệ đã cho có nghiệm.
Hơn nữa, hệ có vô số nghiệm vì rank(A) < n = 3. Số ẩn tự do của hệ là n − rank(A) = 3 − 2 = 1 ẩn tự do. Hệ phương trình tuyến tính sau đây có nghiệm hay không? x1 + x 2 = 1 x2 + x3 = 2 x1 + 2x2 + x3 = −2 Giải Ma trận bổ sung của hệ phương trình đã cho là 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 A = 0 1 1 2 h3 → h3 − h1 0 1 1 2 h3 → h3 − h2 0 1 1 2 −−−−−−−−−→ −−−−−−−→ 1 2 1 −2 0 1 1 −3 0 0 0 −5 Do rank(A) = 2 < rank(A) = 3 nên hệ đã cho vô nghiệm. ∗ Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác Hệ phương trình tuyến tính có dạng tam giác nếu số phương trình bằng với số ẩn của hệ và có dạng a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n−1 xn−1 + a1n xn = b1 a22 x2 + · · · + a2n−1 xn−1 + a2n xn = b2 .
an−1n−1 xn−1 + an−1n xn = bn−1 ann xn = bn trong đó các hệ số a11 , a22 , ., an−1n−1 , ann đều khác 0. ∗ Hệ phương trình tuyến tính dạng bậc thang và rút gọn hàng Hệ phương trình tuyến tính dạng có dạng bậc thang nếu hệ đó có dạng a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + · · · + a1n xn = b1 a2j2 xj2 + a2j2 +1 xj2 +1 ··· a2n xn = b2 . a x + a rjr jr x + ··· + a x = b rjr +1 jr +1 rn n r trong đó 1 < j2 < · · · < jr và các hệ số a11 , a2j2 , ., xjr được gọi là ẩn chính, các ẩn xk còn lại của hệ phương trình được gọi là ẩn tự do. ∗ Hệ phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại hoặc cả hai hệ đều vô nghiệm.
Một phép biến đổi 5 biến một hệ phương trình thành một hệ mới tương đương gọi là phép biến đổi tương đương. Các phép biến đổi sau đây đối với mỗi hệ phương trình tuyến tính được gọi là phép biến đổi sơ cấp: 1. Đổi chỗ hai phương trình của hệ. Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số khác 0.
Cộng một phương trình này với một phương trình khác của hệ.2 ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG MỘT SỐ LĨNH VỰC Toán học từ lâu đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực tự nhiên, xã hội, trong đó những vấn đề khoa học, kỹ thuật, kinh tế, môi trường. đa số thường dẫn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính. Các bài toán ứng dụng trong thực tiễn thường rơi vào trường hợp có vô số nghiệm. Trong nhiều ứng dụng đa dạng của hệ phương trình tuyến tính, khóa luận trình bày về một số ứng dụng trong điều khiển lưu lượng trong hệ thống, ứng dụng vào mạng lưới điện, ứng dụng cân bằng phương trình phản ứng hóa học và mô hình cân bằng thị trường.1 Ứng dụng điều khiển lưu lượng trong hệ thống Có rất nhiều dạng vấn đề liên quan đến các hệ thống mà trong đó chúng ta có thể quan sát được một số loại lưu lượng.
Ví dụ như hệ thống thủy lợi và hệ thống đường phố hoặc các xa lộ. Thường có những điểm trong hệ thống mà tại đó sẽ có lưu lượng đi vào hoặc rời khỏi hệ thống. Nguyên tắc cơ bản đằng sau việc phân tích các hệ thống như vậy đó là tổng lưu lượng vào hệ thống phải bằng tổng lưu lượng ra. Trong thực tế, chúng ta áp dụng nguyên tắc này ở mỗi điểm giao nhau trong hệ thống.
Quy tắc giao nhau: Tại mỗi điểm giao nhau trong hệ thống, tổng lưu lượng vào chỗ giao nhau phải bằng tổng lưu lượng ra. Cho hệ thống đường một chiều được thể hiện trong hình 1. Số xe ô tô vào giao điểm A là 500 xe trên một giờ, số xe ra khỏi giao điểm B là 400 xe trên một giờ và số xe rời khỏi giao điểm C là 100 xe trên một giờ. Hãy tìm lưu lượng xe có thể có dọc theo mỗi con đường.1: Hệ thống đường một chiều Giải Giả sử số xe hơi đi dọc theo các con đường lần lượt là f1 , f2 , f3 , f4 , f5 và f6 xe trên một giờ và đi theo các hướng đã được thể hiện trên sơ đồ.