Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Trong công tác giảng dạy và học tập môn Toán tại các bậc đại học, cao đẳng và phổ thông, việc tích hợp công nghệ thông tin là một định hướng quan trọng nhằm nâng cao chất lượng đào tạo, hỗ trợ năng lực tự học và năng lực nghiên cứu khoa học của sinh viên. Trong số các công cụ phần mềm toán học, hệ thống tính toán ký hiệu Maple sở hữu nhiều đặc tính phù hợp cho mục tiêu này: khả năng tính toán khối lượng lớn với tốc độ xử lý nhanh và độ chính xác cao; hỗ trợ hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình đại học và phổ thông; cung cấp ngôn ngữ lập trình mạnh mẽ có khả năng tương tác với các ngôn ngữ khác; đồng thời cho phép xuất dữ liệu sang các định dạng văn bản như LaTeX, Word, HTML.

Về mặt chuyên môn giải tích số và đại số tuyến tính, hệ phương trình tuyến tính là mô hình toán học xuất hiện phổ biến trong nhiều ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế, vật lý và sinh thái. Tuy nhiên, trong thực tiễn ứng dụng, không phải hệ phương trình nào cũng có thể tìm được nghiệm đúng bằng phương pháp giải tích giải tích, hoặc khi kích thước ma trận hệ số và số lượng phương trình quá lớn thì việc tính toán thủ công trở nên bất khả thi do khối lượng phép tính tăng vọt và nguy cơ tích lũy sai số làm tròn. Do đó, việc ứng dụng các thuật toán giải số trị (giải gần đúng) kết hợp với các gói phần mềm toán học như Maple là yêu cầu tất yếu để giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.

Từ thực tiễn trên, tác giả Huỳnh Thị Bảo Nguyên (Khoa Sư phạm, Trường Đại học An Giang) đã thực hiện khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Minh họa một số thuật toán giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính bằng phần mềm Maple" dưới sự hướng dẫn của ThS. Phạm Mỹ Hạnh.

Khóa luận xác định hai nhiệm vụ và mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Hệ thống các kiến thức cơ bản về hệ phương trình tuyến tính và các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (bao gồm nhóm phương pháp trực tiếp và nhóm phương pháp gián tiếp).
  2. Sử dụng phần mềm Maple để minh họa các thuật toán tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thông qua một số bài toán ứng dụng thực tiễn.
  • Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.
  • Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận tập trung nghiên cứu các hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số là ma trận vuông cấp $n$, thực hiện tính toán nghiệm gần đúng thông qua các thuật toán lặp trên phần mềm Maple phiên bản 17 (bản 64-bit), và khảo sát trên một số bài toán ứng dụng thực tế cụ thể.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khóa luận xây dựng trên nền tảng của đại số tuyến tính cổ điển kết hợp với lý thuyết giải tích số (phương pháp tính).

1. Khung lý thuyết và mô hình toán học

  • Hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát: Khóa luận khảo sát hệ gồm $n$ phương trình bậc nhất với $n$ ẩn số có dạng ma trận: $$Ax = b$$ Trong đó $A = (a_{ij})_{n \times n}$ là ma trận hệ số cấp $n$, $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ là vectơ ẩn, và $b = (b_1, b_2, \dots, b_n)^T$ là vectơ hệ số tự do. Ma trận bổ sung được ký hiệu là $\bar{A} = [A | b]$.
  • Định lý Kronecker - Capelli: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận bổ sung: $\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A})$. Nếu $\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) = n$, hệ có nghiệm duy nhất; nếu $\text{rank}(A) < \text{rank}(\bar{A})$, hệ vô nghiệm; nếu $\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) < n$, hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào $n - \text{rank}(A)$ tham số.
  • Hệ Cramer: Hệ có ma trận hệ số $A$ là ma trận vuông không suy biến, tức $\det(A) \ne 0$.
  • Lý thuyết hội tụ và không gian chuẩn: Dãy vectơ ${v^{(k)}}$ trong không gian $\mathbb{R}^n$ hội tụ về nghiệm đúng $v^*$ khi $k \to \infty$. Độ lệch giữa các bước lặp và sai số được xác định thông qua các chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:
    • Chuẩn vô hạn của vectơ: $|v|\infty = \max{1 \le i \le n} |x_i|$.
    • Chuẩn cột của ma trận: $|B|1 = \max{j} \sum_{i=1}^n |b_{ij}|$.
    • Chuẩn hàng của ma trận: $|B|\infty = \max{i} \sum_{j=1}^n |b_{ij}|$.
    • Chuẩn Ơclit của ma trận: $|B|2 = \sqrt{\sum{i,j} |b_{ij}|^2}$.

2. Phân loại phương pháp giải

Tác giả phân chia các giải thuật thành hai nhóm cơ bản:

  • Nhóm phương pháp trực tiếp: Cho ra nghiệm đúng sau một số hữu hạn bước tính toán lý thuyết (giả sử không có sai số làm tròn). Bao gồm:
    • Phương pháp Cramer: Nghiệm tính theo công thức $x_j = D_j / D$. Số phép toán nhân chia xấp xỉ $N_c(n) = (n+1)!n$. Với $n = 15$, $N_c(15) \approx 3 \times 10^{12}$ phép tính, khiến phương pháp này chỉ thích hợp cho các hệ có bậc rất nhỏ.
    • Phương pháp khử Gauss: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để đưa ma trận bổ sung về dạng tam giác trên hoặc bậc thang, sau đó thế ngược từ phương trình cuối lên để tìm nghiệm.
    • Phương pháp khử Gauss - Jordan: Khử triệt để các phần tử ngoài đường chéo để đưa ma trận hệ số trực tiếp về ma trận đơn vị $I_n$, đọc ngay kết quả nghiệm mà không cần bước thế ngược.
  • Nhóm phương pháp gián tiếp (phương pháp lặp): Tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng giới hạn của một dãy vectơ lặp $v^{(k+1)} = \varphi(v^{(k)})$. Thích hợp cho các hệ phương trình cỡ lớn hoặc dữ liệu đầu vào chứa sai số:
    • Phương pháp lặp đơn: Chuyển hệ về dạng tương đương $x = Bx + g$. Nếu tồn tại một chuẩn ma trận sao cho $|B| < 1$, dãy lặp sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất với công thức đánh giá sai số: $$|v^{(k)} - v^*|\infty \le \frac{|B|\infty^k}{1 - |B|\infty} |v^{(1)} - v^{(0)}|\infty$$
    • Phương pháp Jacobi: Phân rã $A = S - T$ với $S$ là ma trận đường chéo chứa các phần tử $a_{ii} \ne 0$. Điều kiện đủ để phép lặp hội tụ là ma trận $A$ có tính chất đường chéo trội nghiêm ngặt: $|a_{ii}| > \sum_{j \ne i} |a_{ij}|$ với mọi $i$.
    • Phương pháp Gauss - Seidel: Cải tiến từ phương pháp Jacobi bằng cách sử dụng ngay các thành phần nghiệm $v_1^{(k+1)}, \dots, v_{i-1}^{(k+1)}$ vừa tính được ở bước thứ $k+1$ để tính thành phần $v_i^{(k+1)}$. Nhờ đó, giải thuật chỉ yêu cầu lưu trữ $n$ ô nhớ trong bộ nhớ máy tính thay vì $2n$ ô nhớ như phương pháp lặp đơn.

3. Phương pháp nghiên cứu và công cụ kỹ thuật

  • Phương pháp nghiên cứu lý thuyết toán học cơ bản: Thu thập, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa tài liệu về đại số tuyến tính và giải tích số.
  • Phương pháp thực nghiệm tính toán: Thiết lập giải thuật số trị, viết mã lệnh trên phần mềm Maple 17 (sử dụng hai gói lệnh chuyên dụng là LinearAlgebra và linalg), tiến hành chạy thử nghiệm và kiểm soát sai số nghiệm với độ chính xác $\varepsilon$ xác định trước.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Tổng quan về hệ phương trình tuyến tính và một số ứng dụng

Chương 1 thiết lập cơ sở lý thuyết đại số của hệ phương trình tuyến tính và mô hình hóa bốn lớp bài toán thực tế:

  1. Lý thuyết tổng quan: Định nghĩa hệ phương trình, ma trận hệ số, nghiệm riêng, nghiệm tổng quát, định lý Kronecker - Capelli, hệ tam giác, hệ bậc thang và ba phép biến đổi sơ cấp trên hàng.
  2. Ứng dụng điều khiển lưu lượng mạng lưới: Phân tích nguyên tắc cân bằng tại các điểm nút giao thông (tổng lưu lượng vào bằng tổng lưu lượng ra). Tác giả giải bài toán mạng đường một chiều gồm bốn giao điểm $A, B, C, D$ với 6 tuyến đường. Kết quả thiết lập hệ 4 phương trình 6 ẩn, ma trận bổ sung có hạng bằng 3, dẫn tới hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 3 tham số tự do $u, v, w$: $$f^* = (400 - u - w, , u + v, , 100 - v + w, , u, , v, , w)$$
  3. Ứng dụng vào mạng lưới điện: Dựa trên Định luật Ohm ($V = IR$) và hai định luật Kirchhoff (định luật dòng tại nút và định luật áp trên vòng kín). Xét mạch điện 4 nút, thiết lập hệ 6 phương trình bậc nhất tuyến tính 6 ẩn cường độ dòng điện $I_1, \dots, I_6$. Nghiệm giải tích thu được: $I_1 = \frac{15}{20},\text{A}$, $I_2 = -\frac{1}{20},\text{A}$, $I_3 = \frac{16}{20},\text{A}$, $I_4 = \frac{28}{20},\text{A}$, $I_5 = \frac{12}{20},\text{A}$, $I_6 = \frac{27}{20},\text{A}$ (dấu âm của $I_2$ chỉ thị chiều dòng điện thực tế ngược với chiều giả định ban đầu).
  4. Ứng dụng trong cân bằng phương trình phản ứng hóa học: Vận dụng định luật bảo toàn khối lượng (số lượng nguyên tử của mỗi nguyên tố trước và sau phản ứng phải bằng nhau). Xét phản ứng đốt cháy Octan: $$x C_8H_{18} + y O_2 \to z CO_2 + w H_2O$$ Thiết lập hệ thuần nhất 3 phương trình 4 ẩn số nguyên dương. Tìm được nghiệm nguyên dương nhỏ nhất với tham số khử mẫu $t = 18$, cho ra hệ số cân bằng: $x = 2$, $y = 25$, $z = 16$, $w = 18$, tương ứng phản ứng $2C_8H_{18} + 25O_2 \to 16CO_2 + 18H_2O$.
  5. Mô hình cân bằng thị trường đa sản phẩm: Khảo sát mô hình kinh tế vi mô gồm $n$ sản phẩm có hàm cung $Q_{Si}$ và hàm cầu $Q_{Di}$ tuyến tính theo vectơ giá $p$. Điều kiện cân bằng thị trường $Q_{Si} = Q_{Di}$ dẫn về hệ phương trình tuyến tính $AP = B$. Với mô hình thị trường 3 sản phẩm, hệ có nghiệm điểm cân bằng ban đầu là $p_1 = 10, p_2 = 5, p_3 = 7$. Khi có biến động cung ứng (xuất khẩu 37 đơn vị sản phẩm 1, 15 đơn vị sản phẩm 3; nhập khẩu 3 đơn vị sản phẩm 2), điểm cân bằng mới dịch chuyển thành $p_1 = 12, p_2 = 5, p_3 = 8$.

Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Chương 2 đi sâu vào thuật toán chi tiết và các đánh giá toán học cho từng phương pháp:

  • Phương pháp trực tiếp:
    • Minh họa phương pháp Cramer trên hệ 3 phương trình 3 ẩn với $\det(A) = 10 \ne 0$.
    • Trình bày thuật toán khử Gauss qua 5 bước chuẩn hóa ma trận về dạng bậc thang hàng; giải hệ phương trình 3 ẩn tìm được nghiệm duy nhất $x^* = (3, 2, 1)$.
    • Trình bày phương pháp Gauss - Jordan giải hệ 4 phương trình 4 ẩn, biến đổi ma trận hệ số thành ma trận đơn vị $I_4$, xác định nghiệm trực tiếp $x = (-1, 0, 1, 2)$.
  • Phương pháp gián tiếp:
    • Khái quát điều kiện hội tụ của dãy vectơ lặp thông qua bán kính và chuẩn ma trận.
    • Phân tích chi tiết phương pháp lặp đơn: ví dụ hệ 3 ẩn với $|B|_\infty = 0.3 < 1$. Dãy lặp xuất phát từ vectơ ban đầu $x^{(0)} = (0, 0, 0)^T$, sau 7 bước lặp hội tụ về nghiệm xấp xỉ tiệm cận nghiệm giải tích chính xác là $(704/955, , 956/955, , 598/955)$.
    • Trình bày phương pháp Jacobi áp dụng trên hệ ma trận chéo trội; tính toán bảng lặp qua 3 bước, kiểm chứng sai số $|x^{(3)} - x^{(2)}|_\infty = 0.044648$.
    • Trình bày phương pháp Gauss - Seidel; chứng minh ưu điểm về mặt thuật toán khi cập nhật tức thời các giá trị thành phần mới, phân tích các hệ số hội tụ $\mu$ và $\rho$, đánh giá sai số trên chuẩn vô hạn và chuẩn 1.

Chương 3: Ứng dụng Maple trong giải hệ phương trình tuyến tính qua một số bài toán thực tế

Chương 3 trình bày các đoạn mã lệnh và thủ tục lập trình giải quyết các bài toán ứng dụng bằng phần mềm Maple 17:

  • Giới thiệu phần mềm Maple: Giới thiệu tổng quan lịch sử phát triển từ năm 1991 (Waterloo Maple Inc), các đặc tính của phiên bản Maple 17 (bản 64-bit), cú pháp gọi các gói LinearAlgebra và linalg.
  • Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô Input - Output của Leontief:
    • Khảo sát mô hình kinh tế gồm 3 khu vực: Ngành sản xuất, Nông nghiệp, Dịch vụ với ma trận tiêu hao đầu vào trung gian $B$ và vectơ cầu cuối cùng $g = [50, 30, 20]^T$ (đơn vị: triệu USD).
    • Phương trình Leontief tổng quát có dạng $x = Bx + g \Leftrightarrow (I - B)x = g$.
    • Tác giả lập trình giải bài toán bằng hai phương pháp trên Maple:
      • Giải trực tiếp: Sử dụng gói LinearAlgebra, định nghĩa ma trận bằng lệnh Matrix, ma trận đơn vị bằng IdentityMatrix(3) và tìm nghiệm bằng lệnh LinearSolve(C, g).
      • Giải gián tiếp: Sử dụng gói linalg, viết thủ tục lặp jacobi := proc(n, G, g, x, acc) kiểm soát sai số hội tụ với độ chính xác acc.
    • Kết quả mức sản xuất tổng thể thu được cho 3 ngành lần lượt là: Ngành sản xuất đạt 225,93 triệu USD; Nông nghiệp đạt 118,52 triệu USD; Dịch vụ đạt 77,78 triệu USD.
  • Mô hình cân bằng thị trường 3 sản phẩm:
    • Cài đặt script Maple giải trực tiếp qua hàm LinearSolve và giải gián tiếp bằng thủ tục lặp jacobi cho hệ phương trình xác định giá thị trường.
    • Tái khẳng định kết quả số trị ở điểm cân bằng ban đầu $(10, 5, 7)$ và điểm cân bằng sau điều chỉnh cung cầu $(12, 5, 8)$.

Chương 4: Kết luận và kiến nghị

Tổng kết toàn bộ các kết quả lý thuyết và thực nghiệm tính toán đã đạt được, đồng thời đề xuất định hướng phát triển nghiên cứu tiếp theo của đề tài.

Kết quả và đóng góp

1. Kết quả tính toán cụ thể từ các mô hình

Toàn bộ các mô hình toán học và ví dụ tính toán số trị trong khóa luận đều cho ra kết quả cụ thể, đối sánh giữa tính toán giải tích và lập trình số trên Maple:

Mô hình ứng dụng Dạng toán / Kích thước hệ Phương pháp giải Kết quả định lượng thu được
Lưu lượng giao thông Hệ 4 phương trình, 6 ẩn Khử Gauss Nghiệm vô số theo 3 tham số: $f^* = (400 - u - w, u + v, 100 - v + w, u, v, w)$
Mạng lưới điện Hệ 6 phương trình, 6 ẩn Giải tích ma trận Cường độ dòng điện: $I_1 = 15/20$, $I_2 = -1/20$, $I_3 = 16/20$, $I_4 = 28/20$, $I_5 = 12/20$, $I_6 = 27/20$ (A)
Cân bằng phản ứng hóa học Hệ 3 phương trình, 4 ẩn Khử ẩn tìm nghiệm nguyên Tỷ lệ phản ứng: $2C_8H_{18} + 25O_2 \to 16CO_2 + 18H_2O$
Cân bằng thị trường ban đầu Hệ 3 phương trình, 3 ẩn Gauss / Maple LinearSolve Giá cân bằng ba mặt hàng: $p_1 = 10$, $p_2 = 5$, $p_3 = 7$ (ĐVTT)
Cân bằng thị trường biến động Hệ 3 phương trình, 3 ẩn Cramer / Maple Jacobi Giá cân bằng mới: $p_1 = 12$, $p_2 = 5$, $p_3 = 8$ (ĐVTT)
Mô hình lặp đơn mẫu Hệ 3 phương trình, 3 ẩn Lặp đơn ($|B|_\infty = 0.3$) Sau 7 bước lặp hội tụ về nghiệm: $x^{(7)} \approx (704/955, 956/955, 598/955)$
Mô hình Input - Output Leontief Hệ 3 phương trình, 3 ẩn Maple Direct & Jacobi Tổng sản lượng: Sản xuất = 225,93; Nông nghiệp = 118,52; Dịch vụ = 77,78 (triệu USD)

2. Đóng góp của đề tài

  • Về mặt lý luận: Khóa luận đã hệ thống hóa một cách mạch lạc cơ sở toán học của các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính, phân định rõ ràng ranh giới ứng dụng, ưu điểm và nhược điểm giữa nhóm phương pháp đúng (trực tiếp) và nhóm phương pháp số trị (gián tiếp/lặp).
  • Về mặt thực hành và ứng dụng: Tác giả đã cụ thể hóa các thuật toán trừu tượng bằng mã chương trình chạy thực tế trên phần mềm Maple 17. Khóa luận cung cấp đầy đủ các đoạn code giải trực tiếp (LinearSolve) và thủ tục tự xây dựng giải gián tiếp (proc lặp Jacobi) có kiểm soát ngưỡng dung sai acc, làm cầu nối trực quan giữa lý thuyết toán học và giải quyết các bài toán liên ngành (kinh tế, giao thông, kỹ thuật điện, hóa học).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

1. Hạn chế

  • Giới hạn cấu trúc ma trận: Khóa luận chỉ tập trung khảo sát các hệ phương trình tuyến tính có ma trận vuông cấp $n$, chưa mở rộng phân tích các hệ phương trình tổng quát có số phương trình khác số ẩn (ma trận hình chữ nhật) trong bài toán xấp xỉ số trị.
  • Quy mô dữ liệu thử nghiệm: Các mô hình thực tế và ví dụ minh họa mới dừng lại ở quy mô số chiều nhỏ (từ 3 đến 6 ẩn), chưa kiểm thử hiệu năng thuật toán trên các hệ phương trình cỡ lớn (hàng trăm đến hàng nghìn ẩn) hoặc hệ có ma trận thưa.
  • Phạm vi đánh giá sai số: Đối với phương pháp Gauss - Seidel, khóa luận chỉ khảo sát công thức sai số trên chuẩn vô hạn $|B|_\infty$ và chuẩn $|B|_1$, bỏ qua chuẩn $|B|_2$ do giới hạn phạm vi nghiên cứu của tác giả.

2. Hướng nghiên cứu tiếp theo

  • Mở rộng nghiên cứu và cài đặt thuật toán cho các hệ phương trình tuyến tính kích thước lớn phát sinh từ các bài toán thực tế phức tạp hơn.
  • Nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp giải gần đúng nâng cao khác (như phương pháp lặp siêu thư giãn SOR, phương pháp gradient liên hợp) và khai thác tối ưu hóa hiệu năng tính toán trên các phiên bản Maple mới hơn.

Giá trị tham khảo

Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích cho:

  • Sinh viên ngành Sư phạm Toán và Toán ứng dụng: Nguồn tài liệu hệ thống hóa lý thuyết phương pháp tính, giúp nắm vững cơ chế hội tụ của các thuật toán lặp và kỹ năng lập trình số trị cơ bản.
  • Người học các ngành Kinh tế, Kỹ thuật điện, Hóa học: Cung cấp phương pháp mô hình hóa các hiện tượng thực tế (mô hình cân bằng Walras, mô hình liên ngành Leontief, mạch điện Ohm - Kirchhoff) thành hệ phương trình tuyến tính.
  • Phần đáng tham khảo nhất: Cấu trúc thuật toán và các đoạn mã nguồn Maple trong Chương 3 minh họa cách xây dựng thủ tục lặp số trị có kiểm soát dung sai dừng, có thể tái sử dụng trực tiếp để giải quyết các bài tập lớn hoặc đồ án tính toán số.

Câu hỏi thường gặp

1. Khóa luận sử dụng phiên bản phần mềm Maple nào và dựa trên những thư viện nào để tính toán?
Khóa luận sử dụng phần mềm Maple phiên bản 17 (bản cài đặt 64-bit). Quá trình lập trình và tính toán sử dụng hai gói thư viện đại số tuyến tính của Maple là LinearAlgebra (dùng cho hàm giải trực tiếp LinearSolve, ma trận Matrix, IdentityMatrix) và linalg (dùng cho việc truy xuất phần tử, xử lý vectơ và xây dựng thủ tục lặp thủ công proc).

2. Tại sao phương pháp Cramer chỉ thích hợp cho các hệ phương trình có số lượng ẩn rất nhỏ?
Theo tính toán của tác giả, số lượng phép tính nhân chia cần thực hiện khi giải một hệ $n$ phương trình bằng phương pháp Cramer là $N_c(n) = (n+1)!n$. Khi kích thước hệ tăng lên mức $n = 15$, số phép tính vọt lên tới $N_c(15) \approx 3 \times 10^{12}$ phép tính. Do khối lượng tính toán quá lớn và sự bùng nổ của sai số làm tròn khi tính các định thức bậc cao, phương pháp này chỉ khả thi trên các hệ có kích thước rất nhỏ.

3. Phương pháp lặp Gauss - Seidel có ưu thế kỹ thuật gì nổi bật hơn so với phương pháp lặp đơn?
Phương pháp Gauss - Seidel tận dụng ngay các giá trị thành phần nghiệm $v_1^{(k+1)}, \dots, v_{i-1}^{(k+1)}$ vừa tính được ở bước hiện tại để tính thành phần kế tiếp $v_i^{(k+1)}$. Nhờ cơ chế này, giá trị mới có thể ghi đè trực tiếp vào vị trí của giá trị cũ, giúp thuật toán chỉ cần sử dụng $n$ ô nhớ trong bộ nhớ máy tính để lưu trữ vectơ nghiệm, thay vì phải duy trì cùng lúc $2n$ ô nhớ (để lưu song song hai vectơ ở hai bước lặp liên tiếp) như trong phương pháp lặp đơn.

4. Trong bài toán mô hình cân bằng thị trường 3 sản phẩm, sự thay đổi cung cầu đã làm dịch chuyển giá cân bằng như thế nào?
Ở trạng thái thị trường ban đầu, điểm cân bằng cung cầu đạt được tại mức giá $(p_1, p_2, p_3) = (10, 5, 7)$ đơn vị tiền tệ. Khi phát sinh ngoại thương (thị trường xuất khẩu 37 đơn vị sản phẩm thứ nhất, 15 đơn vị sản phẩm thứ ba và nhập về 3 đơn vị sản phẩm thứ hai), hàm cung của các sản phẩm bị dịch chuyển, dẫn đến điểm cân bằng thị trường mới xác lập tại mức giá $(p_1, p_2, p_3) = (12, 5, 8)$ đơn vị tiền tệ.

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Huỳnh Thị Bảo Nguyên đã hoàn thành đầy đủ hai mục tiêu nghiên cứu đề ra: hệ thống hóa toàn diện cơ sở toán học của các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (bao gồm nhóm phương pháp đúng và nhóm phương pháp xấp xỉ số trị), đồng thời minh họa thành công các giải thuật trên phần mềm Maple 17 thông qua các mô hình thực tiễn đa dạng. Các kết quả giải tích số đối với mạng lưới giao thông, mạch điện, phản ứng hóa học, mô hình kinh tế thị trường và mô hình Input - Output Leontief đều được kiểm chứng nhất quán giữa lý thuyết và thực nghiệm tính toán. Đây là công trình mang tính sư phạm và ứng dụng rõ nét, cung cấp tài liệu tham khảo thiết thực cho việc giảng dạy và học tập giải tích số trong môi trường giáo dục đại học.