Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương này trình bày các khái niệm liên quan đến mô hình, các mô hình toán học, mô hình hóa bằng máy tính cũng như tổng quan các phương pháp mô phỏng và một số vấn đề liên quan như các đại lượng ngẫu nhiên. KHÁI NIỆM MÔ HÌNH 1. Mô hình toán học Một mô hình toán học là một biểu diễn đơn giản hóa và trừu tượng hóa hiện thực. Mô hình toán được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ: vật lí, sinh học, kĩ thuật điện tử,.) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học, khoa học chính trị,.
Eykhoff (1974) định nghĩa một mô hình toán học là một biểu diễn cho các khiá cạnh quan trọng của một hệ thống có sẵn (hoặc sắp được xây dựng) với mục đích biểu diễn tri thức về hệ thống đó dưới một dạng có thể xử lý được. Mô hình toán học có thể có nhiều dạng như: mô hình thống kê, phương trình sai phân, hay mô hình lí thuyết trò chơi. Ví dụ về mô hình toán học • Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số. Một mô hình đơn giản cho bài toán này là mô hình phát triển Malthus mô tả sự tăng trưởng của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ hệ số phức.
Mô hình cảm ứng lân cận giải thích sự hình thành của một cây nấm từ mạng lưới các nấm con mọc hỗn độn ban đầu. TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG VÀ ỨNG DỤNG -2- • Trong vật lí: Mô hình cho một hạt trong trường-điện thế. Trong mô hình này, một phần tử được xem là một khối điểm m với quĩ đạo của nó được biểu diễn bởi hàm x: R → R 3, với tọa độ của nó trong không gian là một hàm theo thời gian. Trường-điện thế được cho bởi hàm V:R3 → R và quĩ đạo là nghiệm của phương trình sai phân Trong mô hình này giả thiết phần tử là một khối điểm, điều mà không đúng trong nhiều trường hợp, ví dụ: mô hình cho chuyển động của hành tinh.
• Trong kinh tế: Mô hình hành vi của một khách hàng. Khách hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có. Trong mô hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng được đánh nhãn 1,2,.,n, mỗi thứ có giá là p 1, p 2,. Giả thiết rằng khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x 1, x 2,.
Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x 1, x2,. Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở thành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là: U ( x1 , x2 ,., xn ) ® max thỏa mãn: , Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề tranh cãi. TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG VÀ ỨNG DỤNG -3- Để so sánh các hệ thống thực cùng chức năng, người ta thường dựa vào các tiêu chuẩn như chi phí tạo ra, hiệu quả hoạt động, độ ổn định.
Vấn đề là với một yêu cầu, có thể có nhiều thiết kế được đưa ra. Nếu tạo ra từng sản phầm rồi mới kiểm chứng thì sẽ tốn kém chi phí. Một giải pháp hiệu quả là mô hình hóa các hệ thống đó bằng mô hình toán học. Vì mô hình toán học đưa ra chưa chắc là miêu tả đúng hoàn toàn chức năng của một hệ thống mong muốn, ban đầu nó chỉ có thể được xem là một giả thuyết về cách hoạt động của hệ thống, hoặc ước lượng một sự kiện có thể dự đoán là ảnh hưởng đến hệ thống.
Một vấn đề nảy sinh, là nếu chưa tồn tại hệ thống thực, thì làm sao kiểm chứng độ chính xác của mô hình toán học. Để giải quyết vấn đề này, các kĩ sư có thể dùng cách thức mô phỏng lại hệ thống thực dùng các phần mềm mô phỏng. Một mô hình toán học thông thường mô tả một hệ thống bằng cách sử dụng một tập các biến và các hàm nhằm thiết lập mối quan hệ giữa các biến đó. Giá trị của các biến là tùy vào ứng dụng mà có thể là giá trị thực hay số nguyên, giá trị kiểu bool hay kiểu chuỗi.
Các biến này sẽ đại diện cho một vài thuộc tính nào đó của hệ thống, ví dụ: đầu ra của hệ thống có thể là ở dưới dạng tín hiệu, dữ liệu thời gian, biến đếm (tăng/giảm dần), sự xảy ra của một sự kiện (có/không). Các khối cơ bản trong mô hình toán học: Có tất cả 6 nhóm biến cơ bản: biến quyết định, biến đầu vào, biến trạng thái, biến ngoại sinh, biến ngẫu nhiên, và biến đầu ra. Mỗi loại lại có thể có nhiều biến, nên mỗi loại biến thường được đại diện bằng các vector. Các biến quyết định thường được gọi là biến độc lập.
Biến ngoại sinh còn gọi là tham số hay có thể là hằng số. Các biến không độc lập nhau gọi là biến trạng thái và phụ thuộc vào các biến quyết định, đầu vào, ngẫu nhiên, và ngoại sinh. Hơn nữa, các biến đầu ra là phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống. TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG VÀ ỨNG DỤNG -4- Mục tiêu và các ràng buộc giữa hệ thống và người dùng nó có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm của các biến đầu ra và các biến trạng thái, gọi là hàm mục tiêu hay hàm ràng buộc.
Phân loại các mô hình toán học: Nhiều mô hình toán học có thể được phân loại theo các cách sau: 1. Tuyến tính và Phi tuyến tính. Xác định và không xác định (ngẫu nhiên) 3. Tĩnh và Động: Mô hình tĩnh không xét đến yếu tố thời gian, trong khi mô hình động có xét đến.
Vì thế, mô hình động thường dùng phương trình sai phân để biễu diễn. Các tham số tập trung và Các tham số phân phối: Nếu mô hình mà đồng nhất thì các tham số là tập trung. Nếu mô hình là không đồng nhất thì nó là tham số phân phối. Các tham số phân phối thường được biểu diễn bởi phương trình sai phân riêng phần.
Phân loại mang tính trực quan: Các vấn đề dùng mô hình toán học thường được phân loại thành mô hình black box và white box, tùy vào lượng thông tin có sẵn/cho trước về hệ thống. Mô hình hộp đen và một hệ thống mà thông tin có sẵn về hệ thống là không có. Mô hình hộp trắng (hay còn gọi là hộp gương (glass box, clear box)) là một hệ thống mà mọi thông tin cần thiết đều có sẵn. Mọi hệ thống thực tế thường nằm dao động ở giữa cả 2 loại trên, nó không hoàn toàn là hộp đen mà cũng không hoàn toàn là hộp trắng.
Vì thế, 2 khái niệm này chỉ dùng để giới thiệu một cách trực quan về hướng tiếp cận. - Thông tin có sẵn (priori information): Thông thường, ta sử dụng tối đa thông tin có sẵn để giúp cho mô hình càng chính xác. Vì thế, mô hình hộp trắng thường được ưa thích. Và thông tin có sẵn thường ở dạng cho biết dạng hàm liên kết quan hệ giữa các biến khác nhau.
TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG VÀ ỨNG DỤNG -5- Ví dụ: nếu ta muốn mô hình hóa cách thuốc tác động lên cơ thể của con người, ta biết rằng thông thường lượng thuốc trong máu là một hàm phân rã dạng hàm mũ theo thời gian. Đó là thông tin có sẵn, ta vẫn còn thiếu nhiều biến chưa được biết, ví dụ tốc độ phân rã, và lượng thuốc đầu tiên trong máu là bao nhiêu? Ví dụ này hiển nhiên không phải là hộp trắng hoàn toàn. Và việc ước lượng các thông số (biến) chưa biết cần sử dụng các phương tiện/phương pháp phù hợp trước khi đưa mô hình vào sử dụng. Như vậy, với mô hình hộp đen, ta vừa phải cố gắng ước đoán dạng hàm phù hợp, đồng thời tìm ra các giá trị tham số cho dạng hàm đó.
Dùng thông tin có sẵn, ta có thể giảm đi một phần công việc, ví dụ: dạng hàm là cho sẵn. Nếu thông tin có sẵn không có, thì ta nên lựa chọn các hàm đủ tổng quát để có thể bao quát được mọi mô hình khác nhau. Và cách hay dùng cho trường hợp này là mạng nơron, thường không cần giả thiết nào về dữ liệu vào. Điều cần chú ý nữa là khi mà số lượng biến lớn và quá nhiều hàm khác nhau tham gia vào trong mô hình đề xuất, bài toán sẽ trở nên khó giải quyết.
- Thông tin chủ quan: Đôi lúc, việc đưa thông tin mang tính chủ quan vào trong mô hình toán học là hữu ích. Điều này dựa vào trực quan, kinh nghiệm, hay ý kiến của các chuyên gia, hoặc dựa vào sự thuận lợi của dạng toán. Thống kê Bayes cung cấp một bộ khung lý thuyết (theoretical framework) để đưa loại thông tin này vào quá trình xây dựng mô hình: bằng cách đưa ra phân phối xác suất cho trước (prior probability distribution) và sau đó cập nhật phân phối này dựa trên dữ liệu mang tính kinh nghiệm (empirical data). Độ phức tạp: Độ phức tạp của một mô hình toán học luôn bao gồm sự đánh đổi giữa sự đơn giản và tính hiệu quả.
Occam's Razor là một nguyên lí đặc biệt liên quan đến vấn đề mô hình hóa; ý tưởng cơ bản là giữa các mô hình mà có khả năng phán đoán tương đối TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG VÀ ỨNG DỤNG -6- như nhau, thì mô hình đơn giản nhất được lựa chọn. Trong khi việc tăng độ phức tạp thì thường tăng độ phù hợp của mô hình, nó lại làm cho mô hình khó hiểu và khó để làm việc với nó, đồng thời có thể làm xuất hiện các vấn đề về tính toán. Thomas Kuhn cho rằng khi mà khoa học phát triển, việc giải thích thường trở nên càng phức tạp trước khi có một Paradigm shift tạo ra một sự đơn giản hóa căn bản. Ví dụ: khi mô hình một chuyến bay của một chiếc máy bay, ta có thể tạo ra một mô hình lớn từ các mô hình nhỏ riêng biệt của từng bộ phận.
Như vậy ta có một mô hình-hộp trắng của chiếc máy bay. Tuy nhiên, chi phí tính toán khi mà thêm vào một lượng lớn các mô hình thành phần làm cho mô hình mẹ khó được quản lí.