I. Phương pháp hiệu chỉnh
Phương pháp hiệu chỉnh là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh. Luận án tập trung vào việc áp dụng các phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm ổn định cho các bài toán không chỉnh, đặc biệt là các hệ phương trình toán tử phức tạp. Các phương pháp này bao gồm phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov, và các phương pháp lặp cải tiến như Landweber-Kaczmarz. Những phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như xử lý ảnh, chụp cắt lớp, và mô hình hóa vật lý.
1.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp cơ bản nhất để giải quyết các bài toán không chỉnh. Phương pháp này dựa trên việc thêm một tham số hiệu chỉnh vào bài toán gốc để biến nó thành bài toán đặt chỉnh. Luận án trình bày chi tiết cách áp dụng phương pháp này cho các phương trình toán tử liên tục và đóng yếu. Một điểm nổi bật là việc sử dụng tập compact lồi để đảm bảo sự tồn tại của nghiệm hiệu chỉnh. Phương pháp này đã được chứng minh là hiệu quả trong việc xử lý các bài toán với dữ liệu nhiễu.
1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Browder Tikhonov
Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov là một mở rộng của phương pháp Tikhonov, được áp dụng cho các toán tử U-đơn điệu. Luận án đã phân tích sâu về tính chất của các toán tử này và cách chúng ảnh hưởng đến quá trình hiệu chỉnh. Phương pháp này đặc biệt hữu ích trong việc giải quyết các bài toán phi tuyến, nơi mà các phương pháp truyền thống không thể áp dụng. Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng phương pháp này không chỉ đảm bảo sự hội tụ của nghiệm mà còn cải thiện tốc độ hội tụ trong nhiều trường hợp.
II. Giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh
Luận án tập trung vào việc giải các hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh, đặc biệt là các hệ phương trình phức tạp với nhiều toán tử. Các phương pháp hiệu chỉnh được áp dụng để tìm nghiệm chung cho các hệ phương trình này. Một trong những đóng góp quan trọng của luận án là việc đề xuất các phương pháp hiệu chỉnh mới, như phương pháp lặp xoay vòng Landweber-Kaczmarz và phương pháp lặp nhúng Landweber-Kaczmarz. Những phương pháp này đã được chứng minh là hiệu quả trong việc xử lý các bài toán với dữ liệu nhiễu và toán tử không liên tục.
2.1. Phương pháp lặp xoay vòng Landweber Kaczmarz
Phương pháp lặp xoay vòng Landweber-Kaczmarz là một phương pháp hiệu chỉnh lặp được áp dụng cho các hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh. Phương pháp này dựa trên việc xoay vòng qua các phương trình trong hệ để tìm nghiệm hiệu chỉnh. Luận án đã phân tích sâu về tính hội tụ của phương pháp này và đưa ra các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự hội tụ của nghiệm. Phương pháp này đã được áp dụng thành công trong các bài toán thực tế như chụp cắt lớp và xử lý ảnh.
2.2. Phương pháp lặp nhúng Landweber Kaczmarz
Phương pháp lặp nhúng Landweber-Kaczmarz là một phương pháp hiệu chỉnh lặp khác được đề xuất trong luận án. Phương pháp này dựa trên việc nhúng các phương trình trong hệ vào một không gian tích để tìm nghiệm hiệu chỉnh. Luận án đã chứng minh rằng phương pháp này có thể đạt được tốc độ hội tụ nhanh hơn so với các phương pháp truyền thống. Đặc biệt, phương pháp này đã được áp dụng để giải quyết các bài toán với toán tử không liên tục và dữ liệu nhiễu.
III. Phương pháp số và giải tích số
Luận án cũng đề cập đến các phương pháp số và giải tích số trong việc giải quyết các bài toán không chỉnh. Các phương pháp này bao gồm phương pháp lặp, phương pháp tối ưu, và phương pháp xấp xỉ. Những phương pháp này không chỉ giúp cải thiện độ chính xác của nghiệm mà còn giảm thiểu thời gian tính toán. Luận án đã trình bày chi tiết cách áp dụng các phương pháp này trong việc giải các hệ phương trình toán tử phức tạp, đặc biệt là các hệ phương trình phi tuyến.
3.1. Phương pháp lặp
Phương pháp lặp là một công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán không chỉnh. Luận án đã phân tích sâu về các phương pháp lặp như phương pháp lặp Levenberg-Marquardt và phương pháp lặp cải tiến Landweber-Kaczmarz. Những phương pháp này đã được chứng minh là hiệu quả trong việc tìm nghiệm hiệu chỉnh cho các hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh. Đặc biệt, phương pháp lặp cải tiến Landweber-Kaczmarz đã được áp dụng thành công trong các bài toán thực tế như chụp cắt lớp và xử lý ảnh.
3.2. Phương pháp tối ưu
Phương pháp tối ưu là một phần không thể thiếu trong việc giải các bài toán không chỉnh. Luận án đã trình bày chi tiết cách áp dụng các phương pháp tối ưu như phương pháp tối ưu hóa phiếm hàm và phương pháp tối ưu hóa tham số để tìm nghiệm hiệu chỉnh. Những phương pháp này không chỉ giúp cải thiện độ chính xác của nghiệm mà còn giảm thiểu thời gian tính toán. Đặc biệt, phương pháp tối ưu hóa phiếm hàm đã được áp dụng thành công trong việc giải các hệ phương trình toán tử phi tuyến.
