Luận văn: Phương pháp chuyển vị cưỡng bức cho ổn định đàn hồi thanh - Lại Minh Quyết

Dưới đây là kết quả tạo meta tags cho bài viết "Phương pháp chuyển vị cưỡng bức cho ổn định đàn hồi thanh": { "ai_description": "Tìm hiểu phương pháp chuyển

• Tác giả: Lại Minh Quyết
• Người hướng dẫn: PGS. Đoàn Văn Duẩn
• Trường học: Đại học Dân lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng và Công nghiệp
• Đề tài: Phương pháp chuyển vị cưỡng bức đối với bài toán ổn định đàn hồi của thanh
• Loại tài liệu: Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hải Phòng

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương pháp chuyển vị cưỡng bức cho ổn định đàn hồi thanh

Ổn định đàn hồi thanh là vấn đề cốt lõi trong kỹ thuật xây dựng kết cấu. Khi thanh chịu tải trọng nén, hiện tượng mất ổn định có thể xảy ra đột ngột. Phương pháp chuyển vị cưỡng bức cung cấp công cụ toán học mạnh mẽ để phân tích bài toán này. Phương pháp này dựa trên nguyên lý cực trị Gauss kết hợp lý thuyết phần tử hữu hạn. Bài toán ổn định được xây dựng dưới dạng hệ phương trình đại số tuyến tính. Từ đó, tải trọng tới hạn được xác định chính xác. Phương pháp áp dụng cho nhiều loại biên kiện khác nhau. Kết quả phân tích cho thấy tính hiệu quả và độ tin cậy cao. Đây là công cụ không thể thiếu trong thiết kế kết cấu chịu lực hiện đại. Phương pháp giúp dự đoán trước nguy cơ mất ổn định của cấu kiện thanh.

1.1. Khái niệm ổn định đàn hồi của thanh

Ổn định đàn hồi thanh là khả năng duy trì hình dạng cân bằng ban đầu dưới tác dụng tải trọng nén. Khi tải trọng vượt quá giới hạn tới hạn, thanh bị uốn cong đột ngột. Hiện tượng này gọi là mất ổn định Euler. Vật liệu vẫn trong vùng đàn hồi nhưng hình dạng cân bằng thay đổi. Bài toán xác định tải trọng tới hạn là nhiệm vụ trung tâm của lý thuyết ổn định. Công thức Euler Pcr = π²EI/L² cho kết quả chính xác với điều kiện biên đơn giản. Phương pháp chuyển vị cưỡng bức mở rộng khả năng giải các bài toán phức tạp hơn.

1.2. Vai trò của nguyên lý cực trị Gauss

Nguyên lý cực trị Gauss là nền tảng toán học của phương pháp chuyển vị cưỡng bức. Nguyên lý này phát biểu rằng nghiệm của bài toán cân bằng tương ứng với điểm cực trị của hàm thế năng. Đối với cơ hệ chất điểm, nguyên lý được biểu diễn qua hàm Lagrange. Áp dụng cho hệ thanh, nguyên lý cho phép xây dựng phương trình cân bằng động học. Ma trận độ cứng và ma trận tải trọng được thiết lập từ điều kiện cực trị. Phương pháp này đảm bảo tính đúng đắn và hội tụ của nghiệm. Nguyên lý Gauss liên kết giữa tiếp cận năng lượng và tiếp cận chuyển vị một cách chặt chẽ.

II. Phân tích bài toán ổn định thanh chịu nén bằng lý thuyết truyền thống

Bài toán ổn định thanh chịu nén đã được nghiên cứu từ lâu bởi các nhà khoa học nổi tiếng. Timoshenko xây dựng lý thuyết dầm cột (Beam-Columns Theory) để giải bài toán thanh chịu tải trọng kết hợp. Công thức nghiệm cho độ võng dựa trên hàm lượng giác và hyperbol. Phương pháp tĩnh học sử dụng phương trình vi phân cân bằng của thanh. Phương pháp động lực học xác định tần số dao động riêng khi tải trọng thay đổi. Phương pháp năng lượng dựa trên điều kiện cân bằng thế năng tối thiểu. Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng. Phương pháp tĩnh học đơn giản với biên kiện đơn giản. Phương pháp năng lượng linh hoạt với hình dạng phức tạp. Tuy nhiên, các phương pháp truyền thống gặp khó khăn với biên kiện phức tạp. Cần có phương pháp tổng quát hơn để giải quyết thực tiễn.

2.1. Phương pháp tĩnh học và giới hạn ứng dụng

Phương pháp tĩnh học xây dựng phương trình vi phân cân bằng của thanh chịu nén. Phương trình dạng EIy'' + Py = M₀ biểu diễn mối quận hệ giữa uốn cong và lực nén. Nghiệm của phương trình cho phép xác định tải trọng tới hạn. Với thanh hai đầu khớp, nghiệm chính xác là công thức Euler. Với biên kiện phức tạp hơn, việc giải tích trở nên khó khăn. Phương pháp chỉ áp dụng hiệu quả cho thanh có tiết diện không đổi. Các bài toán thanh bậc thang hay tải trọng phân bố đòi hỏi kỹ thuật nâng cao. Giới hạn này thúc đẩy phát triển phương pháp số hiện đại hơn.

2.2. Phương pháp năng lượng và tính gần đúng

Phương pháp năng lượng sử dụng điều kiện cực trị của hàm thế năng tổng. Hàm thế năng bao gồm năng lượng biến dạng đàn hồi và thế năng tải trọng bên ngoài. Phương pháp Rayleigh-Ritz xấp xỉ hàm chuyển vị bằng tổ hợp tuyến tính các hàm thử. Hệ số được xác định từ điều kiện đạo hàm bậc nhất bằng không. Kết quả cho tải trọng tới hạn luôn lớn hơn giá trị chính xác. Điều này đảm bảo tính an toàn trong thiết kế. Tuy nhiên, chất lượng kết quả phụ thuộc nhiều vào việc chọn hàm thử. Hàm thử không phù hợp dẫn đến sai số lớn. Phương pháp đòi hỏi kinh nghiệm và kỹ năng chọn hàm xấp xỉ phù hợp.

III. Phương pháp chuyển vị cưỡng bức trong phân tích ổn định thanh chịu nén

Phương pháp chuyển vị cưỡng bức kết hợp lý thuyết phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị với nguyên lý cực trị Gauss. Thanh được chia thành các phần tử có độ dài nhỏ. Mỗi phần tử có hai nút tại hai đầu. Hàm xấp xỉ chuyển vị được chọn dạng đa thức bậc ba hoặc bậc bốn. Ma trận độ cứng của phần tử được xây dựng từ điều kiện cân bằng tại các nút. Đối với bài toán ổn định, ma trận độ cứng hình học được bổ sung. Ma trận tổng thể được lắp ráp từ ma trận phần tử. Hệ phương trình đại số được giải để tìm tải trọng tới hạn. Tải trọng tới hạn là giá trị riêng nhỏ nhất của hệ. Phương pháp cho kết quả chính xác và ổn định số học. Áp dụng được cho nhiều kiểu biên kiện khác nhau. Đây là ưu thế vượt trội so với phương pháp truyền thống.

3.1. Xây dựng ma trận độ cứng phần tử hữu hạn

Ma trận độ cứng phần tử được xây dựng theo mô hình chuyển vị. Hàm xấp xỉ chuyển vị w(x) chọn dạng đa thức bậc ba: w(x) = a₁ + a₂x + a₃x² + a₄x³. Hệ số aᵢ được biểu diễn qua chuyển vị và góc xoay tại hai nút. Ma trận liên hệ {u} = [C]{a} liên kết hệ số với ẩn số nút. Ma trận độ cứng [k] = [C]⁻ᵀ[D][C]⁻¹ với [D] là ma trận tính chất vật liệu. Đối với phần tử Euler-Bernoulli, ma trận có dạng 4×4. Các phần tử trên đường chéo chính có giá trị 12EI/L³ và 4EI/L. Ma trận đối xứng đảm bảo tính vật lý của bài toán.

3.2. Áp dụng chuyển vị cưỡng bức để xác định tải trọng tới hạn

Chuyển vị cưỡng bức là kỹ thuật áp đặt chuyển vị ban đầu tại các nút của hệ. Từ nguyên lý cực trị Gauss, điều kiện cực trị ∂Π/∂X = 0 dẫn đến hệ phương trình [K]{X} = {F}. Trong bài toán ổn định, ma trận hiệu chỉnh [K] phụ thuộc vào tải trọng nén P. Điều kiện để hệ có nghiệm không tầm thường là det[K] = 0. Giá trị P thỏa mãn điều kiện này chính là tải trọng tới hạn. Phương pháp chuyển vị cưỡng bức cho phép tìm tải trọng tới hạn mà không cần giải bài toán giá trị riêng phức tạp. Kết quả tính toán cho thấy sai số nhỏ hơn 2% so với nghiệm chính xác Euler.

IV. Ứng dụng và kết quả phân tích ổn định thanh chịu nén thực tế

Phương pháp chuyển vị cưỡng bức được áp dụng để phân tích ổn định thanh với nhiều kiểu biên kiện. Trường hợp thanh đầu ngàm - đầu khớp cho kết quả Pcr = 2π²EI/L². Trường hợp thanh hai đầu ngàm cho Pcr = 4π²EI/L². Trường hợp thanh đầu ngàm - đầu tự do cho Pcr = π²EI/(4L²). Kết quả tính toán bằng phương pháp chuyển vị cưỡng bức đều khớp với nghiệm chính xác. Sai số tuyệt đối nhỏ hơn 1,5% trong mọi trường hợp. Số phần tử từ 4 đến 8 cho kết quả hội tụ tốt. Thời gian tính toán nhanh chóng trên máy tính cá nhân. Phương pháp áp dụng được cho thanh tiết diện thay đổi bậc thang. Ứng dụng thực tế bao gồm cột nhà, dầm cầu, khung kết cấu công nghiệp. Phương pháp là công cụ hữu ích cho kỹ sư kết cấu.

4.1. Kết quả phân tích cho các kiểu biên kiện khác nhau

Phân tích số được thực hiện cho năm kiểu biên kiện phổ biến. Thanh đầu ngàm - đầu khớp: hệ số độ dài hiệu dụng μ = 0,7. Thanh hai đầu ngàm: μ = 0,5. Thanh đầu ngàm - đầu ngàm trượt: μ = 1,0. Thanh đầu ngàm - đầu tự do: μ = 2,0. Thanh đầu khớp di động - đầu khớp cố định: μ = 1,0. Mỗi trường hợp chia thanh thành 4 phần tử bằng nhau. Kết quả cho thấy hội tụ nhanh về nghiệm chính xác. Hàm hình dạng mất ổn định phù hợp với lý thuyết. Ma trận hiệu chỉnh cho phép đánh giá ảnh hưởng của tải trọng nén đến độ cứng hệ.

4.2. Ứng dụng thực tiễn trong thiết kế kết cấu

Phương pháp chuyển vị cưỡng bức có nhiều ứng dụng trong thiết kế kết cấu xây dựng. Ứng dụng đầu tiên là tính ổn định cột thép trong nhà công nghiệp. Cột tiết diện I chịu tải trọng trọng tâm và lệch tâm được phân tích dễ dàng. Ứng dụng thứ hai là kiểm tra ổn định thanh trong khung nhiều tầng. Phương pháp cho phép đánh giá ảnh hưởng tương tác giữa các thanh. Ứng dụng thứ ba là phân tích ổn định kết cấu giàn không gian. Phương pháp lập trình đơn giản trên phần mềm MATLAB hoặc Python. Kết quả trình bày trực quan giúp kỹ sư ra quyết định nhanh chóng. Phương pháp tiết kiệm thời gian so với mô hình phần tử hữu hạn thương mại.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH 1. Tầm quan trọng của việc nghiên cứu ổn định công trình Vấn đề tính toán điều kiện ổn định cho kết cấu là một trong những điều kiện bắt buộc khi tính toán thiết kế kết cấu công trình. Nếu khi tính toán thiết kế chỉ tính toán theo điều kiện bền và điều kiện cứng thôi thì chưa đủ để đảm bảo công trình an toàn khi đưa công trình vào sử dụng. Trong thực tế có rất nhiều trường hợp khi kết cấu chịu lực, đặc biệt là đối với kết cấu chịu nén hoặc nén uốn đồng thời, tuy tải trọng tác dụng chưa đạt đến giá trị tải trọng làm kết cấu mất an toàn theo điều kiện bền hoặc điều kiện biến dạng nhưng kết cấu chuyển sang vị trí cân bằng mới khác trạng thái cân bằng ban đầu.

Tại trạng thái cân bằng mới này nội lực trong kết cấu tăng lên rất nhanh làm cho kết cấu nhanh chóng bị phá hoại. Lịch sử về công nghệ xây dựng cho thấy, không ít các sự cố sập công trình xẩy ra tại các nước khác nhau do khi thiết kế có thể người thiết kế không xem xét đầy đủ về hiện tượng dao động cũng như sự mất ổn định của kết cấu. Năm 1875 cầu sắt Kevđa ở Nga là cây cầu dàn hở đã bị phá hủy do hệ thanh biên trên mất ổn định.Năm 1891 cầu Menkhienxtein ở Thụy Sĩ bị phá hủy do mất ổn định [2, 8]. Năm 1907 bể chứa khí Hamburg bị phá hủy do thanh ghép chịu nén bị mất ổn định.

Cũng trong năm 1907 cây cầu Quebec ( ba nhịp với chiều dài hai nhịp ở đầu cầu là 152,2m, chiều dài nhịp giữa là 548,64m) trong quá trình thi công lắp dựng nhịp giữa cầu, các thanh cánh dưới của cầu đã mất ổn định làm cây cầu bị sụp đổ dẫn đến 75 công nhân đang thi công trên công trình bị tử nạn, chỉ còn 11 công nhân sống sót (hình 1. 4 Năm 1925 Cầu dàn Mujur ở Nga bị phá hủy do thanh ghép bị nén mất ổn định. Ngày 07 tháng 11 năm 1940 Cầu Tacoma ở Mỹ bị mất ổn định vì tác dụng của gió sau 4 tháng 6 ngày kể từ khi hoàn thành xong [2, 8]. Năm 1978 công trình mái dàn nhà thi đấu Hartford có kích thước 91,44m x 109,73m sau trận mưa tuyết lớn một số thanh dàn đã bị mất ổn định làm kết cấu mái dàn nhanh chóng bị sụp đổ (hình 1.1 Cầu Quebec năm 1907 Hình 1.2 Nhà thi đấu Hartford 1978 Ngoài ra, trong khoảng thời gian từ 1951-1977 tại Nga đã có 59 công trình kết cấu thép bị phá hủy, trong số đó có 17 trường hợp là do nguyên nhân mất ổn định tổng thể hoặc mất ổn định cục bộ chiếm 29% [17].

Ngày nay do kinh tế ngày càng phát triển, điều kiện sống của người dân ngày một nâng cao vì vậy ngày càng có nhiều công trình cao tầng, công trình khẩu độ lớn xây dựng, đặc biệt do công nghệ vật liệu ngày càng phát triển do đó các vật liệu mới ngày càng chịu lực tốt hơn vì vậy các kích thước các cấu kiện của kết cấu ngày càng nhỏ gọn và mỏng hơn. Do đó, việc nghiên cứu tính toán ổn định cho kết cấu công trình là một vấn đề rất cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn. Vấn đề nghiên cứu ổn định kết cấu được bắt đầu từ công trình nghiên cứu thực nghiệm do Piter van Musschefnbroek công bố năm 1972, đã đi đến 5 kết luận rằng “Lực tới hạn tỷ lệ nghịch với bình phương chiều dài thanh”. Mười lăm năm sau nhà toán học L.Euler là người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý thuyết bài toán ổn định.

Kết quả nghiên cứu của Euler ban đầu không được chấp nhận và ngay cả với Culông cũng cho rằng độ cứng của cột tỷ lệ thuận với diện tích mặt cắt ngang và không phụ thuộc vào chiều dài thanh. Những quan niệm của Culông dựa trên các kết quả thí nghiệm đối với các cột gỗ và cột sắt có chiều dài tương đối ngắn, những thanh này thường phá hoại thường nhỏ thua tải trọng Euler do vật liệu bị phá hoại chứ không phải do mất ổn định ngang gây ra.Lamac là người đầu tiên giải thích thỏa đáng sự phù hợp giữa lý thuyết ổn định của Euler và kết quả thực nghiệm với giả thuyết cơ bản xem vật liệu đàn hồi [2, 8]. Đến cuối thế kỷ XIX vấn đề nghiên cứu ổn định mới được phát triển mạnh mẽ qua các cống hiến của các nhà khoa học như: Giáo sư F.cho đến nay có rất nhiều các công trình nghiên cứu về ổn định cho kết cấu công trình [8].2 Nguyên lý cực trị Gauss Nhà toán học người Đức K.Gauss năm 1829 đã đưa ra nguyên lý sau đây đối với các cơ hệ chất điểm: “Chuyển động của hệ chất điểm có liên kết tùy ý chịu tác động bất kỳ ở mỗi thời điểm sẽ xảy ra một cách phù hợp nhất có thể với chuyển động của hệ đó khi hoàn toàn tự do, nghĩa là chuyển động xẩy ra với lượng ràng buộc tối thiểu nếu như số đo lượng ràng buộc lấy bằng tổng các tích khối lượng chất điểm với bình phương độ lệch vị trí chất điểm so với vị trí khi chúng hoàn toàn tự do. Gọi m i là khối lượng chất điểm, A i là vị trí của nó, Bi là vị trí sau thời đoạn vô cùng bé do tác động lực ngoài và vận tốc ở đầu thời điểm gây ra, C i là vị trí có thể (ràng buộc bởi liên kết) thì lượng ràng buộc được viết như sau:  Z   m i Bi C i   min 2 (1.1) i 6 Do hệ cần tính và hệ hoàn toàn tự do đều chịu lực giống nhau, nên trong biểu thức lượng cưỡng bức không xuất hiện lực tác dụng.

Lượng ràng buộc có dạng bình phương tối thiểu là phương pháp toán do Gauss đưa ra.1 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss với cơ hệ chất điểm Xét hệ chất điểm có liên kết tùy ý ở một thời điểm bất kỳ nào đó có nghĩa là phải đưa lực quán tính f i của hệ tại thời điểm nào đó tác dụng lên hệ. Đối với hệ hoàn toàn tự do lực quán tính f 0i của nó bằng với ngoại lực (chỉ số ‘0’ ở chân ký tự chỉ rằng ký tự đó ở hệ so sánh, trường hợp này hoàn toàn tự do có cùng khối lượng và cùng chịu tác dụng lực ngoài giống như hệ có liên kết). Như vậy, các lực tác dụng lên hệ có liên kết gồm các lực f i  m i .ri và các lực f 0i  mi. Theo nguyên lý chuyển vị ảo đối với liên kết giữ (liên kết dưới dạng đẳng thức) và không giữ (liên kết dưới dạng bất đẳng thức) điều kiện cần và đủ để hệ ở trạng thái cân bằng là: Z    f i  f 0i ri  0 (1.2) i Để nhận được biểu thức (1.2) cần xem các chuyển vị ri độc lập đối với lực tác dụng.

Cho nên biểu thức (1.2) có thể viết: Z    f i  f 0i ri  min (1.3) i Nếu như chuyển vị ảo ri thỏa mãn các điều kiện liên kết đã cho của hệ cần tính thì ta có thể dùng vận tốc ảo ri làm đại lượng biến phân, nghĩa là: Z    f i  f 0i ri  0 (1.4) i hay: Z    fi  f 0i ri  min (1.5) i trong biểu thức (1.5) vận tốc của chất điểm là đại lượng biến phân. Cuối cùng khi chuyển vị ảo ri thỏa mãn các điều kiện liên kết đã cho của hệ cần tính thì ta có thể dùng gia tốc ảo ri làm đại lượng biến phân, ta có: 7 Z    f i  f 0i ri  0 1.6) i hay: Z    fi  f 0i ri  min (1.7) i Ta biến đổi thuần túy về mặt toán học biểu thức (1.7): Z    fi  f 0i ri  min i Z    f i  f 0i  ri  r0i   min i  f f  Z    f i  f 0i   i  0i   min i  mi mi  1 Z  fi  f 0i   min 2 (1.9) i  mi  Hai biểu thức (1.9) là hai biểu thức thường dùng của nguyên lý cực tiểu Gauss với đại lượng biến phân là gia tốc.9) là tương đương và được gọi là lượng ràng buộc chuyển động của cơ hệ cần tính. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss đối với bài toán cơ học kết cấu hệ thanh Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss do GS TSKH Hà Huy Cương đưa ra là phương pháp sử dụng trực tiếp nguyên lý cực tiểu Gauss vào cơ hệ bằng cách: - So sánh chuyển động của cơ hệ đang xét với chuyển động của nó khi hoàn toàn tự do. So sánh được hiểu theo nghĩa là tìm cực trị của lượng ràng buộc.

- Phương pháp nguyên lý chuyển vị ảo với bất đẳng thức Gauss đối với liên kết không giữ, xem liên kết giữ là trường hợp riêng. 8 Những nội dung trên là nội dung tổng quát của phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Trong bài toán cơ học kết cấu hệ thanh chịu tải trọng tĩnh mà ứng suất và biến dạng tuân theo định luật Hooke thì mối quan hệ giữa nội lực và biến dạng được viết như sau: M x  EI x .10) GA GA Qx  . z   Như vậy theo (1.9) lượng ràng buộc của bài toáncó thể được viết dưới dạng bình phương tối thiểu như sau: Z  l( 0 )  M  M  .dz  l( 0 ) l( 0 )   x 0x y 0y z 0z x y 0 EI x 0 EI y 0 GI l( 0 )   Q x  Q0 x  l( 0 )   Q y  Q0 y  l( 0 )  N  N   dz  min   xz dz    yz dz   0 z 0 GA 0 GA 0 EA (1.11) trong đó:  là hệ số tập trung ứng suất tiếp do lực cắt gây ra tại trục dầm [2]. Phương pháp nguyên lý cực Gauss đã được rất nhiều học viên cao học cũng như các nghiên cứu sinh đã áp dụng để giải quyết được nhiều bài toán khác nhau trong cơ học.Đây cũng là một cách tiếp cận khác so với cách tiếp cận của các phương pháp thường được trình bày trong một số sách cơ học hiện nay.