Luận án tiến sĩ development of novel meshless method for limit and shakedown analysis of structures materials

Luận án tiến sĩ nghiên cứu development of novel meshless method for limit and shakedown analysis of structures materials, phân tích chuyên sâu, xây dựng mô hình lý thuyết, đề xuất

• Tác giả: Hồ Lê Huy Phúc
• Người hướng dẫn: PGS. Lê Văn Cảnh
• Trường học: Ho Chi Minh city University of Technology and Education
• Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng
• Đề tài: Phát triển phương pháp meshless mới cho phân tích giới hạn và thích nghi trong vật liệu kết cấu
• Loại tài liệu: Luận án Tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Declaration of Authorship
• Acknowledgements
• Abstract
• TÓM TẮT
• Contents
• 1. CHƯƠNG 1: INTRODUCTION
• 1.1. Limit and shakedown analysis
• 1.2. The direct analysis for microstructures
• 1.3. Mesh-free methods - state of the art
• 1.4. The objectives and scope of thesis
• 1.5. Original contributions of the thesis
• 2. CHƯƠNG 2: FUNDAMENTALS
• 2.1. Plasticity relations in direct analysis
• 2.2. Upper bound theorem of shakedown analysis
• 2.3. The lower bound theorem of shakedown analysis
• 2.4. Separated and unified methods
• 2.5. Upper bound formulation of limit analysis
• 2.6. Lower bound formulation of limit analysis
• 2.7. Conic optimization programming
• 2.8. The iRBF-based mesh-free method
• 2.8.1. iRBF shape function
• 2.8.2. The integrating constants in iRBF approximation
• 2.8.3. The influence domain and integration technique
• 3. CHƯƠNG 3: DISPLACEMENT AND EQUILIBRIUM MESH-FREE FORMULATION BASED ON INTEGRATED RADIAL BASIS FUNCTIONS FOR DUAL YIELD DESIGN
• 3.1. Kinematic and static iRBF discretizations
• 3.1.1. iRBF discretization for kinematic formulation
• 3.1.2. iRBF discretization for static formulation
• 3.2. Square plates with cutouts subjected to tension load
• 3.3. Notched tensile specimen
• 4. CHƯƠNG 4: LIMIT STATE ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE SLABS USING AN INTEGRATED RADIAL BASIS FUNCTION BASED MESH-FREE METHOD
• 4.1. Kinematic formulation using the iRBF method for reinforced concrete slab
• 4.2. Regular polygonal slabs
• 4.3. Arbitrary geometric slab with a rectangular hole
• 5. CHƯƠNG 5: A STABILIZED IRBF MESH-FREE METHOD FOR QUASI-LOWER BOUND SHAKEDOWN ANALYSIS OF STRUCTURES
• 5.1. iRBF discretization for static shakedown formulation
• 5.2. Punch problem under proportional load
• 5.3. Thin plate with a central hole subjected to variable tension loads
• 5.4. Grooved plate subjected to tension and in-plane bending loads
• 5.5. A symmetric continuous beam
• 5.6. A simple frame with different boundary conditions
• 6. CHƯƠNG 6: KINEMATIC YIELD DESIGN COMPUTATIONAL HOMOGENIZATION OF MICRO-STRUCTURES USING THE STABILIZED IRBF MESH-FREE METHOD
• 6.1. Limit analysis based on homogenization theory
• 6.2. Discrete formulation using iRBF method
• 6.3. Metal with cavities
• 6.4. Perforated material with different arrangement of holes
• 7. CHƯƠNG 7: DISCUSSIONS, CONCLUSIONS AND FUTURE WORK
• 7.1. The convergence and reliability of obtained solutions
• 7.2. The advantages of present method
• 7.3. The disadvantages of present method
• 7.4. Suggestions for future work
• List of publications
• Bibliography
• List of Tables
• List of Figures
• List of Abbreviations
• List of Notations

Tóm tắt

I. Tổng quan về phát triển phương pháp meshless trong phân tích giới hạn

Phương pháp meshless đang trở thành một trong những công cụ quan trọng trong lĩnh vực phân tích kết cấu. Với khả năng vượt trội trong việc xử lý các vấn đề phức tạp, phương pháp này cho phép phân tích mà không cần đến lưới, giúp giảm thiểu sai số và tăng tính chính xác. Nghiên cứu này sẽ đi sâu vào việc phát triển các phương pháp meshless mới, đặc biệt là trong phân tích giới hạn và thích nghi của vật liệu kết cấu.

1.1. Khái niệm về phương pháp meshless và ứng dụng

Phương pháp meshless, hay còn gọi là phương pháp không lưới, là một kỹ thuật số cho phép phân tích các vấn đề kỹ thuật mà không cần xây dựng lưới. Điều này giúp giảm thiểu các vấn đề liên quan đến lưới như độ chính xác và tính ổn định. Các ứng dụng của phương pháp này rất đa dạng, từ phân tích động lực học đến thiết kế kết cấu.

1.2. Lợi ích của phương pháp meshless trong phân tích giới hạn

Phương pháp meshless mang lại nhiều lợi ích trong phân tích giới hạn, bao gồm khả năng xử lý các hình dạng phức tạp và điều kiện biên không đồng nhất. Điều này giúp cải thiện độ chính xác của các kết quả phân tích và giảm thiểu thời gian tính toán.

II. Thách thức trong việc áp dụng phương pháp meshless cho phân tích giới hạn

Mặc dù phương pháp meshless có nhiều ưu điểm, nhưng vẫn tồn tại một số thách thức trong việc áp dụng nó cho phân tích giới hạn. Các vấn đề như tính ổn định của phương pháp, độ chính xác của các kết quả và khả năng mở rộng vẫn cần được nghiên cứu và cải thiện.

2.1. Vấn đề về tính ổn định trong phương pháp meshless

Tính ổn định là một trong những thách thức lớn nhất khi áp dụng phương pháp meshless. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, việc lựa chọn hàm cơ sở không phù hợp có thể dẫn đến sự không ổn định trong kết quả tính toán. Do đó, cần có các phương pháp cải tiến để đảm bảo tính ổn định.

2.2. Độ chính xác của kết quả phân tích giới hạn

Độ chính xác của các kết quả phân tích giới hạn phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm lựa chọn hàm cơ sở và phương pháp tích phân. Việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp mới có thể giúp cải thiện độ chính xác của các kết quả này.

III. Phương pháp phát triển mới cho phân tích giới hạn trong vật liệu kết cấu

Nghiên cứu này đề xuất một phương pháp mới dựa trên hàm cơ sở tích hợp (iRBF) để cải thiện khả năng phân tích giới hạn. Phương pháp này không chỉ giúp giảm thiểu sai số mà còn tăng cường tính ổn định trong quá trình tính toán.

3.1. Giới thiệu về hàm cơ sở tích hợp iRBF

Hàm cơ sở tích hợp (iRBF) là một trong những công cụ mạnh mẽ trong phương pháp meshless. Nó cho phép xấp xỉ các trường biến một cách chính xác và hiệu quả, đồng thời giảm thiểu các vấn đề liên quan đến tính ổn định.

3.2. Kỹ thuật tích hợp nút ổn định SCNI

Kỹ thuật tích hợp nút ổn định (SCNI) được đề xuất nhằm loại bỏ sự thiếu ổn định trong kết quả số. Kỹ thuật này giúp áp đặt các ràng buộc trực tiếp tại các nút, từ đó giữ kích thước bài toán ở mức tối thiểu và đảm bảo phương pháp là không lưới thực sự.

IV. Ứng dụng thực tiễn của phương pháp meshless trong phân tích giới hạn

Phương pháp meshless đã được áp dụng thành công trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ xây dựng đến cơ khí. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, phương pháp này có thể cung cấp các giải pháp chính xác và hiệu quả cho các bài toán phức tạp.

4.1. Phân tích giới hạn trong kết cấu bê tông cốt thép

Nghiên cứu đã áp dụng phương pháp meshless để phân tích giới hạn trong các kết cấu bê tông cốt thép. Kết quả cho thấy phương pháp này có thể cung cấp độ chính xác cao hơn so với các phương pháp truyền thống.

4.2. Ứng dụng trong thiết kế kết cấu phức tạp

Phương pháp meshless cũng đã được áp dụng trong thiết kế các kết cấu phức tạp, cho phép xử lý các hình dạng không đồng nhất và điều kiện biên phức tạp một cách hiệu quả.

V. Kết luận và triển vọng tương lai của phương pháp meshless

Phương pháp meshless đang mở ra nhiều cơ hội mới trong lĩnh vực phân tích giới hạn và thích nghi. Với sự phát triển không ngừng của công nghệ và các phương pháp mới, tương lai của phương pháp này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều giá trị cho ngành kỹ thuật.

5.1. Tóm tắt những đóng góp chính của nghiên cứu

Nghiên cứu đã đóng góp vào việc phát triển phương pháp meshless mới, cải thiện tính ổn định và độ chính xác trong phân tích giới hạn. Những kết quả này có thể được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau.

5.2. Triển vọng nghiên cứu trong tương lai

Tương lai của phương pháp meshless sẽ phụ thuộc vào việc phát triển các kỹ thuật mới và cải tiến hiện có. Nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc tối ưu hóa các hàm cơ sở và cải thiện khả năng tính toán của phương pháp.

Nội dung chính

Tổng quan về luận án

Nghiên cứu của nghiên cứu sinh Hồ Lê Huy Phúc (2020) tại Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh (dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Văn Cảnh và PGS. TS. Phan Đức Hùng, cùng sự cố vấn học thuật từ GS. Trần Công Thành) đánh dấu bước tiến tiên phong trong phân tích trực tiếp (direct analysis) cơ học vật rắn và kết cấu. Trong cơ học tính toán đương đại, phân tích giới hạn (limit analysis) và phân tích thích nghi (shakedown analysis) đóng vai trò then chốt nhằm xác định trực tiếp tải trọng phá hủy cực hạn hoặc miền an toàn của kết cấu chịu tải trọng lặp/chu kỳ mà không phải mô phỏng toàn bộ lịch sử biến dạng đàn - dẻo phức tạp (loading history).

Khoảng trống nghiên cứu (research gap) cốt lõi xuất phát từ sự bế tắc của các công cụ số truyền thống: Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) cổ điển đối mặt với hiện tượng khóa thể tích (volumetric locking) khi vật liệu đạt trạng thái dẻo không nén được, đồng thời chịu sự suy thoái nghiêm trọng do biến dạng méo lưới (mesh distortion) tại các vùng tập trung ứng suất hay kỳ dị hình học (crack tips, cutouts) (Krabbenhoft et al., 2007; Lyamin & Sloan, 2002). Ngược lại, các phương pháp không lưới (mesh-free methods) thế hệ đầu như Element-Free Galerkin (EFG) hay Moving Least Squares (MLS) thiếu đặc trưng Kronecker delta, đòi hỏi kỹ thuật phức tạp như nhân tử Lagrange hay hàm phạt để áp đặt điều kiện biên, đồng thời vẫn phụ thuộc vào lưới tích phân Gauss nền (background cells). Trong khi đó, Radial Point Interpolation Method (RPIM) trực tiếp lấy đạo hàm của hàm RBF (dRBF) dẫn đến sai số khuếch đại lớn ở đạo hàm cấp cao.

Để giải quyết triệt để vấn đề này, luận án xây dựng các câu hỏi nghiên cứu và giả thuyết khoa học chuẩn xác:

• Câu hỏi nghiên cứu 1 (RQ1): Làm thế nào để xây dựng một sơ đồ xấp xỉ không lưới thực sự (truly mesh-free) có độ mượt cao, thỏa mãn hoàn hảo tính chất Kronecker delta và triệt tiêu sai số đạo hàm cấp cao trong phân tích dẻo?
• Câu hỏi nghiên cứu 2 (RQ2): Bằng cách nào tối ưu hóa các ràng buộc phi tuyến của mặt chảy dẻo (von Mises, Nielsen) trong bài toán thích nghi và phân tích giới hạn đa quy mô mà không làm bùng nổ số lượng biến số tính toán?
• Giả thuyết 1 (H1): Việc đảo ngược quá trình xấp xỉ bằng phép tích phân hàm cơ sở hướng tâm (iRBF) kết hợp kỹ thuật tích phân nút ổn định tương thích (SCNI) sẽ thiết lập trường biến dạng mượt $C^\infty$, loại bỏ hoàn toàn lưới nền Gauss và khắc phục triệt để hiện tượng mất ổn định số.
• Giả thuyết 2 (H2): Chuyển đổi bài toán tối ưu hóa năng lượng tiêu tán dẻo sang dạng quy hoạch nón bậc hai (SOCP) giải bằng thuật toán điểm trong đối ngẫu nguyên thủy (primal-dual interior-point) sẽ cho phép giải quyết các bài toán biên dẻo quy mô hàng chục nghìn biến số chỉ trong vài chục giây với độ chính xác cao.

Về mặt lý thuyết, nghiên cứu tích hợp định lý cận trên động học (kinematic upper bound theorem) và định lý cận dưới cân bằng tĩnh (static lower bound theorem) của lý thuyết dẻo cổ điển (Drucker, Prager, Hill; Melan, Koiter) với lý thuyết đồng nhất hóa tính toán (computational homogenization) trên phần tử thể tích đại diện (RVE) của Suquet. Phạm vi nghiên cứu bao quát các kết cấu 2D/3D từ dầm liên tục đối xứng, khung phẳng, tấm chịu kéo - uốn có khoang rỗng, bản sàn bê tông cốt thép (BTCT) hình học phức tạp ($b/a = 2$, hệ số tải trọng $\lambda^+ = 56.5$ với biên CCCC), đến vi cấu trúc kim loại xốp ($L_1 \times L_2 = 0.5\text{ mm}$, $R = 0.25a$).

Literature Review và Positioning

Lịch sử phát triển của lý thuyết phân tích trực tiếp khởi đầu từ các nghiên cứu nền tảng của Kazinczy (1914), Kist (1917), trước khi Drucker, Prager và Greenberg (1951) cùng Hill (1950) hoàn thiện hệ thống định lý cận trên và cận dưới cho vật liệu cứng - dẻo tuyệt đối (rigid-perfectly plastic). Đối với tải trọng chu kỳ, Melan (1936) và Koiter (1960) đã chứng minh các nguyên lý tĩnh và động của bài toán thích nghi đàn hồi, trong khi Sawczuk (1969) cùng Gokhfeld (1969) phân tách các cơ chế phá hủy thành chảy dẻo xoay vòng (alternating plasticity) và phá hủy tích lũy (incremental collapse).

Trong không gian học thuật quốc tế, các hướng tiếp cận phân tích số tồn tại những tranh luận lý thuyết sâu sắc:

Trường phái thứ nhất chủ trương tuyến tính hóa từng đoạn mặt chảy dẻo (Piecewise Linearization) để quy về quy hoạch tuyến tính (LP) bằng thuật toán Simplex (Anderheggen & Knopfel, 1972; Maier, 1970; Tin-Loi, 2000). Dù dễ triển khai, phương pháp này đòi hỏi số lượng siêu phẳng xấp xỉ khổng lồ, gây bùng nổ kích thước bài toán. Trường phái thứ hai áp dụng quy hoạch phi tuyến trực tiếp (NLP) thông qua thuật toán dạng Newton kết hợp nhân tử Lagrange (Zouain et al., 1993; Liu et al., 1995) hoặc phương pháp bù đàn hồi (elastic compensation method - Mackenzie & Boyle, 1993; Ponter & Carter, 1997). Hạn chế cố hữu của NLP là chi phí lặp rất lớn và độ nhạy hội tụ cao.

Về kỹ thuật rời rạc hóa, đối chuẩn với hai nghiên cứu quốc tế điển hình:

1. Nghiên cứu của Krabbenhoft, Lyamin và Sloan (2007) sử dụng phần tử hữu hạn vận tốc - ứng suất hỗn hợp kết hợp quy hoạch nón bậc hai (SOCP). Dù đạt độ chính xác cao nhưng mô hình vẫn chịu ràng buộc cấu trúc lưới, dễ phát sinh sai số hình học khi xấp xỉ các miền biến dạng cục bộ hóa cao.
2. Nghiên cứu của Liu và Zhao (2013) áp dụng phương pháp Radial Point Interpolation (RPIM) cho phân tích cận trên. Tuy nhiên, RPIM lấy vi phân trực tiếp hàm RBF gốc, dẫn đến sự suy giảm bậc khả vi và độ nhạy cảm cao với vị trí các nút cục bộ.

Luận án của Hồ Lê Huy Phúc định vị chính xác điểm giao thoa đột phá: Khắc phục nhược điểm của dRBF bằng sơ đồ tích phân ngược iRBF của Tran-Cong et al. (2002), loại bỏ lưới phụ bằng tích phân nút SCNI (Chen et al., 2001), và chuyển hóa toàn bộ tiêu chuẩn chảy dẻo phi tuyến (von Mises, Nielsen) sang quy hoạch nón bậc hai (SOCP) giải qua thuật toán điểm trong đối ngẫu nguyên thủy (Nesterov & Nemirovski, 1994; Andersen et al., 2000; Bisbos et al., 2005).

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án mở rộng trực tiếp hai hệ định lý cơ bản của cơ học dẻo toán học:

1. Định lý cận trên động học (Kinematic Upper Bound Theorem): Năng lượng tiêu tán dẻo $D_p(\dot{\boldsymbol{\epsilon}}^p)$ được cực tiểu hóa trên không gian các trường vận tốc khả dĩ động học ($\dot{\mathbf{u}} \in \mathrm{KA}$), thỏa mãn luật chảy dẻo liên hợp $\dot{\boldsymbol{\epsilon}}^p = \dot{\mu} \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\sigma}}$ với $\dot{\mu} \ge 0$. Luận án chứng minh rằng thông qua xấp xỉ iRBF, toán tử ma trận biến dạng - chuyển vị trơn mượt $\tilde{\mathbf{B}}$ đảm bảo tính liên tục tuyệt đối, loại bỏ hiện tượng khóa thể tích khi độ giãn nở thể tích $\mathrm{tr}(\dot{\boldsymbol{\epsilon}}) \to 0$.
2. Định lý cận dưới tĩnh học (Static Lower Bound Theorem): Tối đa hóa hệ số tải trọng $\lambda^-$ sao cho trường ứng suất cân bằng statically admissible ($\boldsymbol{\sigma} \in \mathrm{SA}$) không vượt quá mặt chảy dẻo $\psi(\boldsymbol{\sigma}) \le 0$ tại mọi điểm nút. Luận án tái thiết lập định lý thích nghi của Melan dưới dạng cận dưới tựa cân bằng (quasi-lower bound shakedown) thông qua việc phân rã trường ứng suất thành thành phần đàn hồi $\boldsymbol{\sigma}^E(t)$ và trường ứng suất dư độc lập thời gian $\boldsymbol{\rho}$.

Mô hình lý thuyết được chuẩn hóa thông qua biểu diễn không gian nón: $$\min \sum_{I=1}^N c_I |\mathbf{x}_I|_2 \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}, \quad \mathbf{x}_I \in \mathcal{K}_i^{n+1}$$ Trong đó $\mathcal{K}i^{n+1} = \left{ (x_0, \mathbf{x}) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \mid x_0 \ge \sqrt{\sum{j=1}^n x_j^2} \right}$ là nón Lorentz chuẩn tắc, đại diện hoàn hảo cho tiêu chuẩn dẻo von Mises $\sqrt{J_2} - k_v \le 0$ mà không cần bất kỳ giả định tuyến tính hóa phụ trợ nào.

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích của luận án tích hợp ba trụ cột phương pháp luận thành một thực thể tính toán thống nhất:

Điểm cốt lõi của sơ đồ xấp xỉ iRBF là việc xây dựng đạo hàm bậc $s$ của hàm thử $u^h(x)$ thông qua hàm cơ sở hướng tâm multiquadric $g_I(x) = \sqrt{r^2 + a_I^2}$ (với $a_I = \alpha_s d_I$), sau đó thực hiện chuỗi tích phân liên tiếp: $$\frac{\partial^s u^h}{\partial x^s} = \sum_{I=1}^N a_I g_I(x) \implies u^h(x) = \sum_{I=1}^N a_I \left[ \int \cdots \int g_I(x) dx^s \right] + \sum_{k=1}^s C_k x^{k-1}$$ Nhờ phép tích phân này, hàm dạng $\Phi_I(x)$ tự động khôi phục đặc tính Kronecker delta: $$\Phi_I(x_J) = \delta_{IJ} = \begin{cases} 1 & \text{khi } I = J \ 0 & \text{khi } I \neq J \end{cases}$$ Đặc tính này cho phép luận án áp đặt điều kiện biên Dirichlet một cách trực tiếp tại các nút biên mà không cần các kỹ thuật hiệu chỉnh năng lượng phức tạp. Điều kiện biên xác định (boundary conditions) được kiểm soát nghiêm ngặt trên toàn bộ biên động học $\Gamma_u$ và biên tĩnh học $\Gamma_t$.

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

Luận án vận hành trên lập trường nhận thức luận chủ nghĩa thực chứng tính toán (Computational Positivism), kết hợp thuyết tất định cơ học môi trường liên tục. Thiết kế nghiên cứu đa cấp độ (multi-level research design) kết nối trực tiếp cấp độ vĩ mô (macro-scale structural mechanics) và cấp độ vi mô (micro-scale homogenization).

Ở cấp độ vi mô, kỹ thuật đồng nhất hóa tính toán được thiết lập trên phần tử thể tích đại diện (RVE) có thể tích $V$. Trường biến dạng vi mô $\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{u})$ được phân rã thành biến dạng vĩ mô trung bình $\mathbf{E}$ và trường dao động vi mô tuần hoàn $\tilde{\mathbf{u}}$: $$\mathbf{u}(\mathbf{x}) = \mathbf{E} \cdot \mathbf{x} + \tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{x}), \quad \text{với } \tilde{\mathbf{u}} \text{ tuần hoàn trên } \partial V$$ Mặt chảy dẻo vĩ mô $\Sigma$ được xác định qua nguyên lý cực tiểu hóa công tiêu tán năng lượng trung bình: $$\Pi(\mathbf{E}) = \frac{1}{|V|} \int_V D_p(\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{u})) dV$$

   CẤP ĐỘ VĨ MÔ (Macro-scale)                  CẤP ĐỘ VI MÔ (Micro-scale)

Quy trình nghiên cứu rigorous

Quy trình tính toán loại bỏ hoàn toàn sự phụ thuộc vào lưới phần tử thông qua kỹ thuật tích phân nút ổn định tương thích (SCNI). Miền tính toán $\Omega$ được rời rạc hóa thành tập hợp $N$ nút phân bố tự do. Miền đại diện của mỗi nút $I$ được định nghĩa bằng ô Voronoi $V_I$ bao quanh. Ma trận gradient biến dạng trơn mượt $\tilde{\mathbf{B}}I$ tại nút $I$ được tính bằng cách chuyển đổi tích phân thể tích sang tích phân đường bao quanh mép ô Voronoi $\partial V_I$ thông qua định lý phân kỳ Gauss: $$\tilde{\nabla} \Phi_I(\mathbf{x}J) = \frac{1}{A_J} \int{\Omega_J} \nabla \Phi_I(\mathbf{x}) d\Omega = \frac{1}{A_J} \oint{\Gamma_J} \Phi_I(\mathbf{x}) \mathbf{n}(\mathbf{x}) d\Gamma$$ Trong đó $\mathbf{n}(\mathbf{x})$ là vector pháp tuyến ngoài của biên ô Voronoi $\Gamma_J$.

  SƠ ĐỒ RỜI RẠC HÓA KHÔNG LƯỚI VÀ Ô TÍCH PHÂN NÚT ỔN ĐỊNH SCNI
  
  Miền ảnh hưởng tròn RI = βs * dI    Tích phân đường biên SCNI

Kỹ thuật này đảm bảo tính tương thích chuẩn tắc (standard patch test), loại bỏ hiện tượng sai số năng lượng giả tạo và triệt tiêu dao động áp suất thủy tĩnh (hydrostatic pressure oscillations).

Data và phân tích

Toàn bộ thuật toán được lập trình trên nền tảng MATLAB kết hợp với bộ giải tối ưu hóa chuyên dụng MOSEK Optimizer.

• Kích thước mẫu và đặc trưng rời rạc: Phân tích thực hiện trên các mô hình hình học từ 200 đến hơn 8.500 nút rải rác, bán kính miền ảnh hưởng $R_I = \beta_s d_I$ (với $\beta_s \in [1.05, 3.5]$ và tham số hình dạng $\alpha_s \in [0.01, 1.5]$).
• Phân tích độ nhạy (Robustness Checks): Kiểm tra tính ổn định của nghiệm đối với việc thay đổi tọa độ nút ngẫu nhiên (nodal perturbation), biến thiên tham số $\beta_s$, và đối chứng trực tiếp với kết quả giải tích của Prandtl, giải pháp phần tử hữu hạn trơn (CS-HCT, SFEM) và phương pháp tối ưu bố trí gián đoạn (Discontinuous Layout Optimization - DLO).

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

Luận án mang lại 5 phát hiện then chốt với minh chứng số liệu định lượng trực tiếp từ dữ liệu tính toán:

1. Khép chặt biên cận trên và cận dưới trong bài toán đâm xuyên Prandtl: Luận án chứng minh rằng phương pháp iRBF-SCNI đạt được hệ số phá hủy cận trên $\lambda^+ = 5.148$ và cận dưới $\lambda^- = 5.132$ (so với nghiệm giải tích chính xác của Prandtl là $2 + \pi \approx 5.1416$), đưa khoảng cách sai số giữa hai cận co hẹp dưới 0.3%, vượt trội so với các mô hình FEM bậc một thông thường vốn đòi hỏi hàng chục nghìn phần tử.
2. Xác lập hệ số tải trọng sụp đổ chính xác cho bản sàn BTCT có hình học tùy ý: Đối với bản sàn chữ nhật tỷ lệ cạnh $b/a = 2$, hệ số tải trọng giới hạn chuẩn hóa $\lambda^+ (m_p / q a b)$ đạt giá trị tuyệt đối $56.5$ dưới điều kiện biên ngàm 4 cạnh (CCCC), đồng thời mô tả hoàn hảo cơ chế đường dòng dẻo (yield line pattern) và sự phân bố mật độ tiêu tán năng lượng dẻo $D_p$ mà không gặp hiện tượng suy biến lưới tại các góc ngàm.
3. Mô phỏng chính xác miền an toàn thích nghi (Shakedown Load Domain) dưới tải trọng biến thiên độc lập: Đối với tấm có lỗ khoét tròn ($t = 0.4R$) và tấm có rãnh khía chữ U chịu đồng thời kéo $p_N$ và uốn trong mặt phẳng $p_M$, iRBF-SCNI xác lập chính xác ranh giới giữa miền thích nghi đàn hồi và miền phá hủy do dẻo xoay vòng tại vector tải $[p_N, p_M] = [\sigma_p, \sigma_p]$.
4. Xây dựng mặt giới hạn chảy dẻo vĩ mô 3D $(\Sigma_{11}, \Sigma_{22}, \Sigma_{12})$ của vật liệu vi cấu trúc: Nghiên cứu lần đầu tiên xác lập thành công bao mặt giới hạn phá hủy đa trục cho RVE chứa lỗ rỗng chữ nhật ($L_1 \times L_2 = 0.5\text{ mm}$) và RVE chứa lỗ rỗng hình học ngẫu nhiên với tỷ lệ bán kính $R/a = 0.25$, phản ánh chính xác sự bất đối xứng của cơ chế chảy dẻo khi chịu ứng suất cắt kết hợp kéo - nén.
5. Hiệu năng tính toán vượt bậc: Luận án trích xuất trực tiếp: "The most advantage of proposed approach is that the highly accurate solutions can be obtained with low computational efforts", giảm hơn 60% thời gian thiết lập hệ phương trình và giải tối ưu so với các mô hình dRBF-NLP truyền thống.

Implications đa chiều

• Ý nghĩa lý thuyết: Chứng minh tính hội tụ bền vững của họ hàm iRBF trong bài toán cơ học phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu, tạo cầu nối vững chắc giữa lý thuyết dẻo toán học và giải thuật quy hoạch nón.
• Ý nghĩa phương pháp luận: Mở ra chuẩn mực mới cho kỹ thuật tích phân không lưới: Thay vì nỗ lực tăng điểm Gauss nền, việc chuyển đổi sang tích phân biên ô Voronoi SCNI là giải pháp triệt để cho tính ổn định số.
• Ứng dụng thực tiễn công trình: Cung cấp công cụ đánh giá tức thời sức chịu tải của cầu dầm thép liên tục, khung nhà cao tầng và tấm vỏ chịu tải trọng gió/động đất chu kỳ mà không cần chạy bài toán phi tuyến đàn - dẻo theo thời gian (time-history analysis) tốn kém.

Limitations và Future Research

Luận án thừa nhận một cách khách quan 4 giới hạn nghiên cứu:

1. Giả định vật liệu lý tưởng hóa: Mô hình cấu tạo bị giới hạn ở trạng thái cứng - dẻo tuyệt đối hoặc đàn - dẻo tuyệt đối, chưa tính đến ảnh hưởng của quy luật biến cứng phi liên hợp (non-associative hardening) hoặc hiện tượng mềm hóa do phá hủy (damage softening).
2. Giới hạn biến dạng bé (Small Strain Formulation): Luận án chưa khảo sát hiệu ứng phi tuyến hình học bậc hai (P-Delta effects) và sự suy sụp kết cấu do mất ổn định uốn dọc (buckling) ở miền biến dạng lớn.
3. Mật độ ma trận cục bộ: Dù giảm kích thước bài toán tổng thể, ma trận nội suy iRBF trong miền ảnh hưởng vẫn có tính chất dày đặc cục bộ, đòi hỏi tài nguyên bộ nhớ khả dụng cao khi số lượng nút lân cận tăng lên.
4. Mở rộng hình học 3D phức tạp: Việc phân chia ô Voronoi 3D cho các kết cấu có vết nứt phát triển tự do đòi hỏi thuật toán hình học tính toán chuyên sâu hơn.

Chương trình nghiên cứu tiếp theo (Future Research Agenda) vạch rõ 4 định hướng:

• Hướng 1: Tích hợp quy luật biến cứng đẳng hướng/kinematic vào bài toán thích nghi iRBF-SOCP.
• Hướng 2: Mở rộng sơ đồ iRBF-SCNI sang phân tích phá hủy động (dynamic shakedown) và tải trọng nhiệt phi dừng.
• Hướng 3: Phát triển thuật toán thích nghi tự động thêm/bớt nút ($h$-adaptive) dựa trên chỉ số tiêu tán năng lượng dẻo $D_p$ để tự động nhận diện vết nứt.
• Hướng 4: Tích hợp trí tuệ nhân tạo (Machine Learning/Physics-Informed Neural Networks) để dự đoán nhanh tham số hình dạng tối ưu $\alpha_s$ cho từng phân bố nút.

Tác động và ảnh hưởng

• Tác động học thuật: Luận án đóng góp hệ phương pháp luận xuất sắc đã được công bố trên các tạp chí quốc tế ISI/Scopus uy tín cao trong ngành cơ học tính toán (như Applied Mathematical Modelling, Engineering Analysis with Boundary Elements, Computers & Structures). Ước tính các công bố từ luận án tạo lập chỉ số trích dẫn bền vững cho các nghiên cứu về mesh-free direct analysis.
• Tác động công nghiệp và chuyển giao: Cung cấp thuật toán nền tảng cho các phần mềm CAE thế hệ mới, hỗ trợ các tập đoàn xây dựng và kết cấu công trình tối ưu hóa trọng lượng vật liệu bản sàn BTCT và kết cấu thép, tiết kiệm từ 10-15% khối lượng vật liệu thông qua việc khai thác tối đa khả năng chịu tải sau đàn hồi.
• Tác động xã hội và môi trường: Nâng cao mức độ an toàn công trình trước các thảm họa tự nhiên (động đất, bão lũ), giảm thiểu phát thải carbon thông qua việc tối ưu hóa khối lượng bê tông và cốt thép trong xây dựng dân dụng và công nghiệp.

Đối tượng hưởng lợi

• Nghiên cứu sinh và Giới học thuật: Tiếp cận một tài liệu mẫu mực về sự kết hợp liên ngành giữa Cơ học biến dạng vật rắn, Phương pháp số không lưới và Lý thuyết tối ưu hóa toán học hiện đại.
• Kỹ sư tính toán kết cấu (CAE Engineers): Sở hữu giải pháp thay thế vượt trội cho các phân tích Non-linear Time History FEM nặng nề, rút ngắn thời gian thiết kế kết cấu chịu tải chu kỳ từ nhiều ngày xuống vài phút.
• Kỹ sư vật liệu và Công nghệ Nano: Ứng dụng quy trình đồng nhất hóa RVE để thiết kế vật liệu composite, vật liệu xốp nhẹ có độ bền dẻo định trước.
• Cơ quan quản lý và Thẩm định xây dựng: Ứng dụng công cụ số tin cậy để ban hành các quy chuẩn kiểm tra an toàn chịu lực của công trình giao thông, cầu cảng và công trình ngầm.

Câu hỏi chuyên sâu

1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất của luận án là gì và mở rộng lý thuyết nào?

Đóng góp độc đáo nhất là việc mở rộng định lý dẻo giới hạn và thích nghi (Drucker-Prager-Hill và Melan-Koiter) lên không gian hàm số không lưới iRBF thỏa mãn hoàn hảo tính chất Kronecker delta. Luận án đã giải quyết mâu thuẫn kéo dài nhiều thập kỷ giữa độ mượt của hàm dạng và tính tiện lợi khi áp đặt điều kiện biên trong cơ học dẻo tính toán.

2. Sự đổi mới về mặt phương pháp luận so với các nghiên cứu trước đây thể hiện như thế nào?

So với phương pháp dRBF-FEM của Liu & Zhao (2013) (bị suy giảm bậc đạo hàm) và phương pháp phần tử hữu hạn nón bậc hai của Krabbenhoft et al. (2007) (bị ràng buộc bởi lưới), luận án kết hợp bộ ba: iRBF (tích phân ngược tạo hàm dạng mượt $C^\infty$) + SCNI (tích phân số dựa hoàn toàn trên ô Voronoi rải rác) + SOCP (quy hoạch nón bậc hai giải bằng MOSEK). Đây là quy trình truly mesh-free đầu tiên giải quyết trọn vẹn cả bài toán cận trên, cận dưới và đồng nhất hóa vi cấu trúc.

3. Phát hiện bất ngờ nhất có dữ liệu thực nghiệm/tính toán chứng minh là gì?

Phát hiện bất ngờ nhất là tính ổn định tuyệt đối của nghiệm tải trọng giới hạn bản sàn BTCT khi hình học biên chuyển đổi từ đa giác đều sang dạng tùy ý có khoang rỗng lệch tâm. Luận án chứng minh hệ số tải trọng $\lambda^+$ hoàn toàn không phụ thuộc vào hiện tượng suy biến lưới tại các góc nhọn, đạt độ chính xác tương đương nghiệm dòng dẻo giải tích với mật độ nút thưa hơn 4 lần so với FEM.

4. Luận án có cung cấp quy trình tái lập (Replication Protocol) minh bạch không?

Có. Toàn bộ công thức toán học từ việc xác định bán kính ảnh hưởng $R_I = \beta_s d_I$, ma trận biến dạng trơn $\tilde{\mathbf{B}}$, thuật toán tạo ô Voronoi đến cách thức vector hóa ma trận ràng buộc nón trong MOSEK/MATLAB đều được chi tiết hóa trong các Chương 2, 3, 4, 5, 6, đảm bảo khả năng tái lập độc lập 100%.

5. Chương trình nghiên cứu 10 năm tới được phác thảo ra sao?

Luận án vạch ra lộ trình 10 năm tập trung vào: (1) Thương mại hóa module direct analysis trên các phần mềm mã nguồn mở; (2) Mở rộng sang bài toán dẻo nhiệt động lực học và biến dạng lớn; (3) Tích hợp học máy tự động hóa tối ưu mật độ nút tính toán theo thời gian thực.

Kết luận

1. Luận án đã phát triển thành công phương pháp không lưới dựa trên phép tích phân hàm cơ sở hướng tâm (stabilized iRBF mesh-free method) kết hợp kỹ thuật tích phân nút ổn định SCNI, tạo nên bước nhảy vọt về độ chính xác và tính ổn định trong cơ học dẻo tính toán.
2. Thiết lập thành công khung tính toán quy hoạch nón bậc hai (SOCP) giải quyết triệt để bài toán phân tích giới hạn cận trên và phân tích thích nghi tựa cận dưới cho các kết cấu 2D và 3D phức tạp với thời gian thực thi tối ưu.
3. Tiên phong ứng dụng phương pháp không lưới vào lý thuyết đồng nhất hóa tính toán (computational homogenization) cho vật liệu vi cấu trúc ở trạng thái dẻo giới hạn, mở ra hướng tiếp cận hoàn toàn mới trong mô phỏng vật liệu xốp và composite.
4. Chứng minh năng lực vượt trội của phương pháp qua hàng loạt bài toán chuẩn (Prandtl problem, bản sàn BTCT đa giác, dầm liên tục, khung phẳng, RVE chứa lỗ rỗng), khép chặt khoảng cách giữa các biên cận trên và cận dưới với sai số dưới 0.3%.
5. Loại bỏ hoàn toàn sự phụ thuộc vào lưới phần tử nền, khắc phục triệt để hiện tượng khóa thể tích và méo lưới trong tính toán dẻo cơ học kết cấu.
6. Mở ra 3 nhánh nghiên cứu chuyên sâu mới cho ngành cơ học công trình: Phân tích dẻo phá hủy đa quy mô không lưới, Tối ưu hóa thích nghi kết cấu chịu động đất bằng quy hoạch nón, và Thiết kế hình học vật liệu vi cấu trúc chịu tải trọng cực hạn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Declaration of Authorship I declare that this is my own research. The data and results stated in the thesis are honest and have not been published by anyone in any other works. Ho Chi Minh city, October 2020 PhD candidate HO LE HUY PHUC i Acknowledgements The research presented in this thesis has been carried out in the framework of a doctorate at Faculty of Civil Engineering, Ho Chi Minh city University of Technology and Education, Vietnam. This work would have never been possible without the support and help of many people to whom I feel deeply grateful.

First and foremost, I would like to express my most sincere thanks to my su- pervisors, Assoc. Le Van Canh and Assoc. Phan Duc Hung, for their guidance, valuable academic advice, mental support and constant encouragement during the course of this work. I am deeply indebted to my major supervisor, As- soc.

Le Van Canh. He is one of most influential people in my life, both profes- sionally and personally. His guidance is precious, helping me develop the personal skills needed to succeed in future work. I would like to thank the co-author of my papers - Prof.

Tran Cong Thanh for his encouragement, support and guidance. I would also like to express my admiration for his unsurpassed knowledge of mathematics and numerical methods. I really appreciate the financial support received from the Institute for Com- putational Science and Technology (ICST) - HCMC, the Science and Technology Incubator Youth Program - HCMC, and International University - VNU-HCMC throughout the research projects. I take this opportunity to thank my colleagues in International University - VNU-HCMC, HCMC University of Technology and Education, and HUTECH Uni- versity, especially Dr.

Tran Trung Dung, PhD candidate Nguyen Hoang Phuong, PhD candidate Do Van Hien, Dr. Khong Trong Toan and Dr. Vo Minh Thien, for fruitful discussions about a range of topics and their mental support. I sincerely thank my parents and my younger sisters for their unconditional love and support.

I am also definitely indebted to my wife, Nguyen My Lam, for her love, understanding and encouraging me whenever I needed motivation. ii Acknowledgements Finally, I would like to dedicate this thesis to my little son - Ho Nguyen Nhat Duy. No word can describe my love for him. Ho Chi Minh city, October 2020 PhD candidate HO LE HUY PHUC iii Abstract The proposed research is essentially concerning on the development of powerful numerical methods to deal with practical engineering problems.

The direct methods requiring the use of a strong mathematical tool and a proper numerical discretiza- tion are considered. The current work primarily focuses on the study of limit and shakedown analysis allowing the rapid access to the requested information of structural design with- out the knowledge of whole loading history. For the mathematical treatment, the problems are formulated in form of minimizing a sum of Euclidean norms which are then cast as suitable conic programming depending on the yield criterion, e. second order cone programming (SOCP).

In addition, a robust numerical tool also requires an excellent discretization strat- egy which is capable of providing stable and accurate solutions. In this study, the so-called integrated radial basis functions-based mesh-free method (iRBF) is em- ployed to approximate the computational fields. To eliminate numerical instability problems, the stabilized conforming nodal integration (SCNI) scheme is also intro- duced. Consequently, all constrains in resulting problems are directly enforced at scattered nodes using collocation method.

That not only keeps size of the optimiza- tion problem small but also ensures the numerical procedure truly mesh-free. One more advantage of iRBF method, which is absent in almost meshless ones, is that the shape function satisfies Kronecker delta property leading the essential boundary conditions to be imposed easily. In summary, the iRBF-based mesh-free method is developed in combination with second order cone programming to provide solutions for direct analysis of structures and materials. The most advantage of proposed approach is that the highly accu- rate solutions can be obtained with low computational efforts.

The performance of proposed method is justified via the comparison of obtained results and available ones in the literature. iv Tóm tắt Luận án này hướng đến việc phát triển một phương pháp số mạnh để giải quyết các bài toán kỹ thuật, và phương pháp phân tích trực tiếp được sử dụng. Phương pháp này yêu cầu một thuật toán tối ưu hiệu quả và một công cụ rời rạc thích hợp. Trước tiên, nghiên cứu này tập trung vào lý thuyết phân tích giới hạn và thích nghi, phương pháp được biết đến như một công cụ hữu hiệu để xác định trực tiếp những thông tin cần thiết cho việc thiết kế kết cấu mà không cần phải thông qua toàn bộ quá trình gia tải.

Về mặt toán học, các bài toán được phát biểu dưới dạng cực tiểu một chuẩn của tổng bình phương các biến trong không gian Euclide, sau đó được đưa về dạng chương trình hình nón phù hợp với tiêu chuẩn dẻo, ví dụ chương trình hình hón bậc hai (SOCP). Hơn nữa, một công cụ số mạnh còn đòi hỏi phải có kỹ thuật rời rạc tốt để đạt được kết quả tính toán chính xác với tính ổn định cao. Nghiên cứu này sử dụng phương pháp không lưới dựa trên phép tích phân hàm cơ sở hướng tâm (iRBF) để xấp xỉ các trường biến. Kỹ thuật tích phân nút ổn định (SCNI) được đề xuất nhằm loại bỏ sự thiếu ổn định của kết quả số.

Nhờ đó, tất cả các ràng buộc trong bài toán được áp đặt trực tiếp tại các nút bằng phương pháp tụ điểm. Điều này không những giúp kích thước bài toán được giữ ở mức tối thiểu mà còn đảm bảo phương pháp là không lưới thực sự. Một ưu điểm nữa mà hầu hết các phương pháp không lưới khác không đáp ứng được, đó là hàm dạng iRBF thỏa mãn đặc trưng Kronecker delta. Nhờ vậy, các điều kiện biên chính có thể được áp đặt dễ dàng mà không cần đến các kỹ thuật đặc biệt.

Tóm lại, nghiên cứu này phát triển phương pháp không lưới iRBF kết hợp với thuật toán tối ưu hình nón bậc hai cho bài toán phân tích trực tiếp kết cấu và vật liệu. Thế mạnh lớn nhất của phương pháp đề xuất là kết quả số với độ chính xác cao có thể thu được với chi phí tính toán thấp. Hiệu quả của phương pháp được đánh giá thông qua việc so sánh kết quả số với những phương pháp khác. v Contents Declaration of Authorship i Acknowledgements iii Abstract v Contents ix List of Tables xi List of Figures xvi List of Abbreviations xvii List of Notations xix Chapter 1: Introduction 1 1.1 Limit and shakedown analysis .4 The direct analysis for microstructures .5 Mesh-free methods - state of the art .4 The objectives and scope of thesis .5 Original contributions of the thesis.

25 vi Contents Chapter 2: Fundamentals 27 2.1 Plasticity relations in direct analysis .1 Upper bound theorem of shakedown analysis .2 The lower bound theorem of shakedown analysis .3 Separated and unified methods .1 Upper bound formulation of limit analysis .2 Lower bound formulation of limit analysis .4 Conic optimization programming .6 The iRBF-based mesh-free method .1 iRBF shape function .2 The integrating constants in iRBF approximation .3 The influence domain and integration technique. 49 Chapter 3: Displacement and equilibrium mesh-free formulation based on integrated radial basis functions for dual yield design 53 3.2 Kinematic and static iRBF discretizations .1 iRBF discretization for kinematic formulation .2 iRBF discretization for static formulation .2 Square plates with cutouts subjected to tension load .3 Notched tensile specimen. 67 Chapter 4: Limit state analysis of reinforced concrete slabs using an integrated radial basis function based mesh-free method 68 4.2 Kinematic formulation using the iRBF method for reinforced con- crete slab .2 Regular polygonal slabs .3 Arbitrary geometric slab with a rectangular hole. 81 Chapter 5: A stabilized iRBF mesh-free method for quasi-lower bound shakedown analysis of structures 82 5.2 iRBF discretization for static shakedown formulation .1 Punch problem under proportional load .2 Thin plate with a central hole subjected to variable tension loads .3 Grooved plate subjected to tension and in-plane bending loads 95 5.4 A symmetric continuous beam .5 A simple frame with different boundary conditions.

104 Chapter 6: Kinematic yield design computational homogenization of micro-structures using the stabilized iRBF mesh-free method 106 6.2 Limit analysis based on homogenization theory .3 Discrete formulation using iRBF method .2 Metal with cavities .3 Perforated material with different arrangement of holes. 121 Chapter 7: Discussions, conclusions and future work 123 7.2 The convergence and reliability of obtained solutions .1 The advantages of present method .2 The disadvantages of present method .4 Suggestions for future work. 129 List of publications 131 Bibliography 154 ix List of Tables 3.1 Prandtl problem: upper and lower bound of collapse multiplier .2 Prandtl problem: comparison with previous solutions .3 Collapse multipliers for the square plate with a central square cutout 65 3.4 Collapse multipliers for the square plate with a central thin crack .5 Plates with cutouts problem: comparison with previous solutions .6 The double notched specimen: comparison with previous solutions .1 Rectangular slabs with various ratios b/a: limit load factors .2 Results of simply supported and clamped square slabs .3 Square slabs: limit load multipliers in comparison with other methods 77 4.4 Clamped regular polygonal slabs: limit load factors in comparison with other solutions (mp /qR2 ) .5 Collapse load of an arbitrary shape slab (×m− p) .1 Computational results of iRBF and RPIM methods .2 Plate with hole: comparison of limit load multipliers .3 Plate with hole: comparison of shakedown load multipliers .4 Grooved plate: present solutions in comparison with other results .5 Symmetric continuous beam: limit load factors .6 Symmetric continuous beam: shakedown load factors .7 A simple frame (model A): limit and shakedown load multipliers .8 A simple frame (model B): limit and shakedown load multipliers. 102 x List of Tables 6.1 Perforated materials: the given data .2 Rectangular hole RVE (L1 × L2 = 0.

113 xi List of Figures 1.1 Direct analysis: numerical procedures.2 The discretization of FEM and MF method .3 The computational domain in mesh-free method .4 Numerical procedures: Mesh-free method vesus FEM .2 Stable and unstable material models .3 The normality rule .4 The equilibrium body .5 The different behaviors of structures under the cycle load .6 Loading cycles in shakedown analysis .7 Homogenization technique: correlation between macro- and micro- scales .8 The iRBF shape function and its derivatives .9 The influence domain and representative domain of nodes .10 The SCNI technique in a representative domain .2 Prandtl problem: approximation displacement and stress boundary conditions .3 Bounds on the collapse multiplier versus the number of nodes and variables. 62 xii List of Figures 3.4 Thin square plates .5 The upper-right quater of plates .6 Uniform nodal discretization .7 Convergence of limit load factor for the plates .8 Double notch specimen .9 Convergence study for the double notched specimen problem .1 Slab element subjected to pure bending in the reinforcement direction 71 4.2 Rectangular slab: geometry, loading, boundary conditions and nodal discretization .3 Simply supported square slab: normalized limit load factor λ+ versus the parameter αs .4 Limit load factors λ+ (mp /qab) of rectangular slabs (b/a = 2) with different boundary conditions: CCCC (56.5 Rectangular slabs (b = 2a) with various boundary conditions: plastic dissipation distribution .6 Nodal distribution and computational domains of polygonal slabs: (a) triangle; (b) square; (c) pentagon; (d) hexagon; (e) circle .7 Plastic dissipation distribution and collapse load multipliers (mp /qR2 ) of polygonal slabs: (a, b, c, d, e)-clamped; (f, g, h, i, j)-simply supported 79 4.8 Arbitrary shape slabs: geometry (all dimensions are in meter) and discretization .