Phát triển phương pháp biên nhúng kết hợp PGD cho bài toán dòng chảy nhớt không nén qua vật thể biên cứng và biên đàn hồi

• Tác giả: Lê Quốc Cường
• Người hướng dẫn: PGS. Phan Đức Huynh
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
• Đề tài: Phát triển phương pháp biên nhúng kết hợp phương pháp proper generalized decomposition pgd cho bài toán dòng chảy nhớt không nén được qua vật thể biên cứng và biên đàn hồi
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Tp. Hồ Chí Minh

• LÝ LỊCH CÁ NHÂN
• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• TÓM TẮT
• ABSTRACT
• MỤC LỤC
• DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT
• DANH SÁCH CÁC HÌNH
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Tổng quan về phương pháp IB
• 1.2. Phương pháp IB cổ điển
• 1.3. Phương pháp IB cưỡng bức trực tiếp
• 1.4. Phương pháp IB chiếu
• 1.5. Phương pháp IB ô ảo
• 1.6. Phương pháp IB cắt ô
• 1.7. Phương pháp mặt phân cách nhúng
• 1.8. Phương pháp IB trên các biến không cơ bản
• 1.9. Tổng quan về phương pháp PGD
• 1.10. Mục tiêu nghiên cứu
• 1.11. Phạm vi nghiên cứu
• 1.12. Phương pháp nghiên cứu
• 1.13. Tính mới của luận án
• 1.14. Bố cục luận án
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG
• 2.1. Phương pháp PGD cho phương trình vi phân đạo hàm riêng
• 2.2. Cơ sở lý thuyết của phương pháp PGD
• 2.3. Phương pháp PGD cho phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc cao
• 2.4. Phương trình Poisson
• 2.5. Phương trình Biharmonic
• 2.6. Sơ đồ sai phân hữu hạn cho phương trình vi phân một chiều
• 2.7. Ví dụ minh họa
• 2.8. Kết luận
• 3. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN
• 3.1. Hệ phương trình Navier – Stokes cho bài toán dòng chảy nhớt không nén
• 3.2. Phương pháp chiếu
• 3.3. Rời rạc không gian
• 3.4. Lưới so le
• 3.5. Xấp xỉ đạo hàm
• 3.6. Đạo hàm bậc hai
• 3.7. Đạo hàm bậc nhất
• 3.8. Đạo hàm của các thành phần phi tuyến (theo sơ đồ sai phân trung tâm)
• 3.9. Đạo hàm các thành phần phi tuyến (theo sơ đồ sai phân ngược)
• 3.10. Điều kiện biên
• 3.11. Giải phương trình Poisson áp suất
• 3.12. Giải thuật tổng quát
• 3.13. Kết quả mô phỏng số
• 3.13.1. Bài toán dòng chảy trong một miền vuông
• 3.13.2. Bài toán dòng chảy bậc qua miền chữ nhật
• 3.14. Kết luận
• 4. CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN QUA VẬT CẢN BIÊN CỨNG
• 4.1. Hệ Phương trình chuyển động
• 4.2. Phương pháp số
• 4.3. Phương pháp chiếu
• 4.4. Xác định thành phần lực cưỡng bức f
• 4.5. Rời rạc không gian
• 4.6. Giải phương trình Poisson
• 4.7. Giải thuật tổng quát
• 4.8. Kết quả mô phỏng số
• 4.8.1. Bài toán dòng chảy trong một miền vuông với trụ tròn ở tâm miền tính toán
• 4.8.2. Bài toán dòng chảy qua một trụ tròn cố định
• 4.8.3. Bài toán trụ tròn dao động trực tuyến trong một miền lưu chất tĩnh
• 4.8.4. Bài toán trụ tròn dao động cắt ngang trong một dòng chảy tự do
• 4.9. Kết luận
• 5. CHƯƠNG 5: PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP PGD CHO BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN QUA VẬT CẢN BIÊN ĐÀN HỒI
• 5.1. Hệ phương trình chuyển động
• 5.2. Lực trên biên đàn hồi
• 5.3. Phương pháp số
• 5.4. Lực kéo và lực uốn
• 5.4.1. Lực kéo tại các điểm trên biên nhúng
• 5.4.2. Lực uốn tại các điểm trên biên nhúng
• 5.5. Phương pháp chiếu
• 5.6. Giải thuật tổng quát
• 5.7. Kết quả mô phỏng số
• 5.7.1. Bài toán tương tác giữa dòng chảy nhớt không nén với một sợi đàn hồi
• 5.7.2. Bài toán tương tác giữa dòng chảy nhớt không nén với hai sợi đàn hồi
• 5.7.3. Bài toán sợi đàn hồi khép kín trong miền lưu chất tĩnh
• 5.8. Kết luận
• 6. CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• 6.1. Kiến nghị
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ
• PHỤ LỤC 1: CHƯƠNG TRÌNH MATLAB GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG KHÔNG GIAN 2 CHIỀU
• PHỤ LỤC 2: CHƯƠNG TRÌNH MATLAB MÔ PHỎNG BÀI TOÁN DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN ĐƯỢC QUA TRỤ TRÒN

I. Tổng Quan Phương Pháp Biên Nhúng Cho Bài Toán Dòng Chảy

Phương pháp biên nhúng (IB) là một kỹ thuật mạnh mẽ để mô phỏng dòng chảy quanh các vật thể phức tạp. Thay vì tuân thủ hình dạng vật thể, phương pháp này nhúng vật thể vào một lưới nền đơn giản, thường là Cartesian. Ảnh hưởng của vật thể được mô phỏng thông qua một lực cưỡng bức tác động lên miền lưu chất. Điều này giúp đơn giản hóa quá trình chia lưới và đặc biệt hữu ích cho các bài toán có biên di chuyển. Theo luận án, "phương pháp IB xử lý sự hiện diện của vật cản trong miền lưu chất bằng cách thay thế ảnh hưởng của vật cản bằng một thành phần lực cưỡng bức tác động lên miền lưu chất". Việc áp dụng IB giúp giải quyết các bài toán tương tác vật - chất lỏng (FSI) một cách hiệu quả, đặc biệt khi kết hợp với các phương pháp khác.

1.1. Lịch sử phát triển và các biến thể của phương pháp IB

Phương pháp IB có lịch sử phát triển lâu dài với nhiều biến thể khác nhau. Các biến thể này bao gồm phương pháp IB cổ điển, phương pháp IB cưỡng bức trực tiếp, phương pháp IB chiếu, phương pháp IB ô ảo, phương pháp IB cắt ô và phương pháp mặt phân cách nhúng. Mỗi biến thể có ưu điểm và nhược điểm riêng, phù hợp với các loại bài toán khác nhau. Luận án này tập trung vào việc sử dụng phương pháp cưỡng bức trực tiếp, một phương pháp phổ biến và hiệu quả để áp đặt điều kiện biên trên vật thể nhúng. Việc lựa chọn biến thể IB phù hợp là yếu tố then chốt để đảm bảo độ chính xác và hiệu quả tính toán của mô phỏng dòng chảy.

1.2. Ưu điểm và hạn chế của phương pháp biên nhúng IB

Phương pháp IB mang lại nhiều ưu điểm so với các phương pháp truyền thống như FEM (Finite Element Method) trong việc mô phỏng dòng chảy qua các vật thể phức tạp. Ưu điểm chính là sự đơn giản trong quá trình chia lưới, đặc biệt khi vật thể chuyển động. Tuy nhiên, phương pháp này cũng có những hạn chế nhất định. Một trong những hạn chế là việc áp đặt điều kiện biên một cách chính xác trên biên nhúng có thể gặp khó khăn. Ngoài ra, việc xử lý các bài toán có độ nhớt cao hoặc tỷ lệ tương tác vật - chất lỏng mạnh cũng đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt để đảm bảo tính ổn định và chính xác của kết quả mô phỏng.

II. PGD Phương Pháp Tối Ưu Mô Phỏng Dòng Chảy Phức Tạp

Proper Generalized Decomposition (PGD) là một phương pháp giảm bậc mô hình (model order reduction) mạnh mẽ, cho phép giải quyết các bài toán đa tham số và đa chiều một cách hiệu quả. PGD xây dựng nghiệm của bài toán dưới dạng tổng của các hàm tách biệt, mỗi hàm phụ thuộc vào một tham số hoặc chiều không gian khác nhau. Theo luận án, "phương pháp PGD giải quyết các bài toán trên không gian đa chiều dựa trên nguyên lý đưa các phương trình vi phân đạo hàm riêng đa chiều về việc giải các phương trình vi phân một chiều". Điều này giúp giảm đáng kể chi phí tính toán và bộ nhớ so với các phương pháp truyền thống. PGD đặc biệt hữu ích trong các bài toán dòng chảy nhớt khi các tham số như độ nhớt, vận tốc dòng chảy hoặc hình dạng vật thể thay đổi.

2.1. Cơ sở lý thuyết và nguyên lý hoạt động của phương pháp PGD

Cơ sở lý thuyết của PGD dựa trên việc phân tách biến số và xây dựng nghiệm gần đúng thông qua một quá trình lặp. Mỗi bước lặp, một cặp hàm được xác định sao cho sai số của nghiệm gần đúng giảm thiểu. Quá trình này tiếp tục cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn. Ưu điểm của PGD là khả năng xử lý các bài toán có số chiều cao và giảm đáng kể số lượng bậc tự do cần giải. Tuy nhiên, việc lựa chọn các hàm cơ sở và đảm bảo tính hội tụ của quá trình lặp là những thách thức cần được giải quyết khi áp dụng phương pháp PGD vào thực tế.

2.2. Ứng dụng PGD trong giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng

PGD có thể được áp dụng để giải nhiều loại phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE), bao gồm phương trình Poisson, phương trình Biharmonic và các phương trình Navier-Stokes mô tả dòng chảy nhớt. Việc áp dụng PGD vào các PDE đòi hỏi việc lựa chọn các lược đồ rời rạc hóa phù hợp và xây dựng các thuật toán giải hiệu quả. Luận án đã đề xuất áp dụng phương pháp PGD để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong không gian hai chiều và ba chiều, mở ra tiềm năng lớn cho việc mô phỏng các bài toán dòng chảy phức tạp.

2.3. Ưu điểm và hạn chế của PGD so với các phương pháp số khác

PGD mang lại nhiều ưu điểm so với các phương pháp số truyền thống như Finite Element Method (FEM), đặc biệt trong các bài toán đa tham số và đa chiều. Ưu điểm chính là khả năng giảm đáng kể chi phí tính toán và bộ nhớ. Tuy nhiên, PGD cũng có những hạn chế nhất định. Một trong những hạn chế là việc xây dựng các hàm tách biệt có thể trở nên phức tạp đối với các bài toán phi tuyến mạnh. Ngoài ra, việc đảm bảo tính hội tụ của quá trình lặp cũng đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt. Vì vậy, việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm cụ thể của từng bài toán.

III. Phương Pháp Biên Nhúng Kết Hợp PGD Cho Dòng Chảy

Luận án này đề xuất một phương pháp mới kết hợp phương pháp biên nhúng (IB) với phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) để giải quyết các bài toán dòng chảy nhớt không nén được qua vật thể biên cứng và biên đàn hồi. Sự kết hợp này tận dụng ưu điểm của cả hai phương pháp: IB đơn giản hóa quá trình chia lưới và xử lý chuyển động của vật thể, trong khi PGD giảm chi phí tính toán và bộ nhớ. Luận án đã đề xuất việc kết hợp phương pháp IB với phương pháp PGD để giải quyết các bài toán dòng chảy nhớt không nén được qua vật thể biên cứng và biên đàn hồi. Đây là một hướng đi đầy hứa hẹn trong việc giải quyết các bài toán phức tạp về tương tác rắn lỏng (FSI).

3.1. Mô hình hóa lực tương tác giữa dòng chảy và vật thể

Trong phương pháp kết hợp, lực tương tác giữa dòng chảy và vật thể được mô hình hóa thông qua lực cưỡng bức tác động lên miền lưu chất. Lực này được xác định dựa trên vị trí và vận tốc của vật thể, cũng như các tính chất vật lý của dòng chảy. Việc mô hình hóa lực tương tác một cách chính xác là rất quan trọng để đảm bảo độ chính xác của kết quả mô phỏng. Luận án sử dụng một lược đồ nội suy để phân bố lực từ lưới Lagrange của vật thể lên lưới Euler của dòng chảy, đảm bảo sự liên tục và ổn định của quá trình tính toán.

3.2. Giải thuật số cho phương pháp biên nhúng kết hợp PGD

Giải thuật số cho phương pháp kết hợp bao gồm các bước chính sau: (1) Rời rạc hóa các phương trình Navier-Stokes bằng phương pháp sai phân hữu hạn hoặc phần tử hữu hạn. (2) Áp đặt điều kiện biên trên vật thể bằng phương pháp biên nhúng. (3) Giải các phương trình rời rạc hóa bằng phương pháp PGD. (4) Cập nhật vị trí và vận tốc của vật thể dựa trên lực tương tác từ dòng chảy. Quá trình này được lặp lại cho đến khi đạt được sự hội tụ. Việc lựa chọn các lược đồ rời rạc hóa và thuật toán giải hiệu quả là rất quan trọng để đảm bảo tính ổn định và độ chính xác của kết quả.

3.3. Ứng dụng phương pháp cho bài toán vật thể biên cứng

Phương pháp kết hợp có thể được áp dụng để giải các bài toán dòng chảy nhớt qua vật thể biên cứng, chẳng hạn như trụ tròn, hình hộp chữ nhật hoặc các vật thể có hình dạng phức tạp khác. Các kết quả tính toán từ phương pháp đề xuất đã cho thấy sự hiệu quả và một hướng đi đầy hứa hẹn trong việc giải các bài toán về tương tác rắn lỏng. Phương pháp cho phép mô phỏng chính xác các hiện tượng như tách lớp biên, hình thành xoáy và lực tác dụng lên vật thể.

IV. Ứng Dụng Mô Phỏng Vật Thể Biên Đàn Hồi Bằng IB PGD

Phương pháp biên nhúng kết hợp PGD không chỉ hiệu quả cho vật thể biên cứng mà còn có thể mở rộng để mô phỏng vật thể biên đàn hồi. Trong trường hợp này, cần phải tính đến biến dạng của vật thể và lực đàn hồi phát sinh. Phương pháp kết hợp cho phép mô phỏng chính xác các hiện tượng như uốn cong, rung động và tương tác giữa dòng chảy và vật thể đàn hồi. Luận án đã đề xuất việc kết hợp phương pháp IB với phương pháp PGD để giải quyết các bài toán dòng chảy nhớt không nén được qua vật thể biên cứng và biên đàn hồi.

4.1. Xác định lực đàn hồi và biến dạng của vật thể

Để mô phỏng vật thể biên đàn hồi, cần phải xác định lực đàn hồi phát sinh do biến dạng. Lực này có thể được tính toán bằng cách sử dụng các mô hình vật liệu đàn hồi, chẳng hạn như mô hình tuyến tính hoặc phi tuyến. Biến dạng của vật thể có thể được xác định bằng cách giải các phương trình cân bằng lực, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hoặc các phương pháp số khác. Việc mô hình hóa lực đàn hồi và biến dạng một cách chính xác là rất quan trọng để đảm bảo độ chính xác của kết quả mô phỏng.

4.2. Tương tác giữa dòng chảy và vật thể đàn hồi

Sự tương tác giữa dòng chảy và vật thể đàn hồi là một quá trình phức tạp, trong đó dòng chảy tác dụng lực lên vật thể, gây ra biến dạng, và ngược lại, biến dạng của vật thể ảnh hưởng đến dòng chảy. Việc mô phỏng sự tương tác này đòi hỏi việc giải đồng thời các phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy và các phương trình cân bằng lực cho vật thể đàn hồi. Phương pháp biên nhúng kết hợp PGD cung cấp một công cụ hiệu quả để giải quyết các bài toán tương tác vật - chất lỏng (FSI) với vật thể đàn hồi.

4.3. Ví dụ Mô phỏng sợi đàn hồi trong dòng chảy

Một ví dụ điển hình về ứng dụng của phương pháp kết hợp là mô phỏng sợi đàn hồi trong dòng chảy. Bài toán này có nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn như mô phỏng chuyển động của roi vi sinh vật hoặc thiết kế các thiết bị y tế. Phương pháp kết hợp cho phép mô phỏng chính xác các hiện tượng như uốn cong, rung động và tương tác giữa dòng chảy và sợi đàn hồi. Kết quả mô phỏng có thể được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số khác nhau, chẳng hạn như độ nhớt của dòng chảy, độ cứng của sợi đàn hồi và vận tốc dòng chảy, đến hành vi của hệ thống.

V. Kết Quả Nghiên Cứu Đánh Giá Hiệu Quả Phương Pháp IB PGD

Luận án trình bày các kết quả mô phỏng số để chứng minh tính hiệu quả của phương pháp biên nhúng kết hợp PGD. Các kết quả này bao gồm các bài toán dòng chảy qua vật thể biên cứng và biên đàn hồi với các điều kiện khác nhau. Các kết quả tính toán từ phương pháp đề xuất đã cho thấy sự hiệu quả và một hướng đi đầy hứa hẹn trong việc giải các bài toán về tương tác rắn lỏng. Các kết quả này được so sánh với các kết quả từ các phương pháp khác, chẳng hạn như FEM và các phương pháp biên nhúng truyền thống, để đánh giá độ chính xác và hiệu quả tính toán.

5.1. So sánh với các phương pháp số truyền thống FEM CFD

Phương pháp kết hợp được so sánh với các phương pháp số truyền thống, chẳng hạn như FEM và Computational Fluid Dynamics (CFD), để đánh giá độ chính xác và hiệu quả tính toán. Các kết quả so sánh cho thấy phương pháp kết hợp có thể đạt được độ chính xác tương đương với các phương pháp truyền thống, nhưng với chi phí tính toán và bộ nhớ thấp hơn đáng kể. Điều này đặc biệt đúng đối với các bài toán đa tham số và đa chiều, trong đó PGD thể hiện ưu thế vượt trội so với các phương pháp truyền thống.

5.2. Đánh giá độ ổn định và hội tụ của phương pháp

Độ ổn định và hội tụ là hai yếu tố quan trọng để đánh giá tính tin cậy của một phương pháp số. Luận án trình bày các kết quả stability analysis và convergence analysis để chứng minh tính ổn định và hội tụ của phương pháp kết hợp. Các kết quả này cho thấy phương pháp có thể cho ra các kết quả chính xác và đáng tin cậy, ngay cả đối với các bài toán phức tạp. Tuy nhiên, cần phải lựa chọn các tham số tính toán phù hợp và sử dụng các kỹ thuật đặc biệt để đảm bảo tính ổn định và hội tụ trong một số trường hợp.

5.3. Ưu điểm vượt trội về tốc độ tính toán và sử dụng bộ nhớ

Một trong những ưu điểm chính của phương pháp kết hợp là tốc độ tính toán cao và sử dụng bộ nhớ thấp so với các phương pháp truyền thống. Điều này là do PGD giảm đáng kể số lượng bậc tự do cần giải. Kết quả mô phỏng cho thấy phương pháp kết hợp có thể giảm thời gian tính toán từ vài giờ hoặc vài ngày xuống còn vài phút hoặc vài giờ. Điều này cho phép giải quyết các bài toán phức tạp một cách nhanh chóng và hiệu quả. Đồng thời giảm yêu cầu về phần cứng và phần mềm để mô phỏng, giúp nhiều nhà nghiên cứu tiếp cận và ứng dụng hơn.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Phương Pháp Biên Nhúng PGD

Luận án đã thành công trong việc phát triển và ứng dụng phương pháp biên nhúng kết hợp PGD để giải quyết các bài toán dòng chảy nhớt không nén được qua vật thể biên cứng và biên đàn hồi. Phương pháp này mang lại nhiều ưu điểm so với các phương pháp truyền thống, đặc biệt là tốc độ tính toán cao và sử dụng bộ nhớ thấp. Các kết quả mô phỏng đã chứng minh tính hiệu quả và độ tin cậy của phương pháp. Luận án cũng đề xuất các hướng phát triển trong tương lai, chẳng hạn như mở rộng phương pháp cho các bài toán dòng chảy ba chiều và các bài toán tương tác vật - chất lỏng (FSI) phức tạp hơn.

6.1. Tóm tắt những đóng góp mới của luận án

Luận án đã đóng góp vào lĩnh vực mô phỏng dòng chảy thông qua việc phát triển một phương pháp mới kết hợp biên nhúng và PGD. Phương pháp này cho phép giải quyết các bài toán tương tác rắn lỏng một cách hiệu quả và chính xác. Luận án cũng đã đề xuất các kỹ thuật mới để cải thiện độ ổn định và hội tụ của phương pháp, cũng như các ứng dụng thực tế của phương pháp trong các lĩnh vực khác nhau. Những đóng góp này có ý nghĩa quan trọng đối với sự phát triển của lĩnh vực mô phỏng dòng chảy và có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán thực tế phức tạp.

6.2. Hướng nghiên cứu và phát triển phương pháp trong tương lai

Trong tương lai, phương pháp kết hợp có thể được phát triển theo nhiều hướng khác nhau. Một hướng là mở rộng phương pháp cho các bài toán dòng chảy ba chiều, cho phép mô phỏng các hệ thống thực tế phức tạp hơn. Một hướng khác là phát triển các thuật toán mới để cải thiện độ ổn định và hội tụ của phương pháp, đặc biệt đối với các bài toán phi tuyến mạnh. Cuối cùng, phương pháp có thể được ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như thiết kế máy bay, thiết kế tàu thủy và mô phỏng các hệ thống sinh học.

6.3. Tiềm năng ứng dụng thực tế của phương pháp IB PGD

Phương pháp biên nhúng kết hợp PGD có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong lĩnh vực kỹ thuật, phương pháp có thể được sử dụng để thiết kế các thiết bị cơ khí, điện tử và hóa học. Trong lĩnh vực y học, phương pháp có thể được sử dụng để mô phỏng các hệ thống sinh học, chẳng hạn như hệ tim mạch và hệ hô hấp. Trong lĩnh vực môi trường, phương pháp có thể được sử dụng để mô phỏng các hiện tượng tự nhiên, chẳng hạn như dòng chảy sông và dòng chảy biển. Việc phát triển và ứng dụng phương pháp kết hợp sẽ góp phần vào sự tiến bộ của khoa học và công nghệ.