I. Phân Tích Dao Động Tự Do
Phân Tích Dao Động Tự Do là một phần quan trọng trong nghiên cứu động lực học kết cấu. Luận văn tập trung vào việc phân tích dao động tự do của dầm, sử dụng các phương pháp Giải Pháp Bán Giải Tích và Giải Pháp Số Học. Các tần số riêng và dạng dao động riêng được xác định thông qua phương trình vi phân mô tả dao động. Đặc biệt, phương trình tần số và vectơ riêng được sử dụng để giải bài toán riêng (eigen problem). Tính chất trực giao của các dạng chính cũng được nhấn mạnh, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán.
1.1. Các Tần Số Riêng và Dạng Dao Động Riêng
Các tần số riêng và dạng dao động riêng được xác định thông qua phương trình vi phân dao động tự do không cản. Phương trình tần số (K - ω²M) = 0 được giải để tìm các tần số riêng. Vectơ riêng tương ứng với mỗi tần số được xác định thông qua hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất. Tính chất trực giao của các dạng chính giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và phân tích dao động cưỡng bức.
1.2. Giải Bài Toán Riêng Eigen Problem
Bài toán riêng tổng quát [K - ω²M]A = 0 được giải bằng các phương pháp lặp vectơ và biến đổi. Các vectơ riêng và giá trị riêng được xác định để mô tả các dạng dao động riêng của hệ. Tính chất trực giao của các dạng chính được sử dụng để đơn giản hóa quá trình tính toán và phân tích dao động cưỡng bức.
II. Giải Pháp Bán Giải Tích
Giải Pháp Bán Giải Tích được áp dụng để giải bài toán dao động tự do của dầm. Phương pháp này kết hợp giữa phân tích lý thuyết và tính toán số học để đạt được kết quả chính xác. Luận văn sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss và phương pháp chuyển vị cưỡng bức để giải bài toán dao động đàn hồi của thanh. Các phương trình chuyển động được xây dựng dựa trên nguyên lý năng lượng và phương trình Lagrange.
2.1. Phương Pháp Nguyên Lý Cực Trị Gauss
Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss được sử dụng để giải bài toán dao động đàn hồi của thanh. Phương pháp này cho phép tìm được kết quả chính xác của các bài toán tĩnh và động, tuyến tính và phi tuyến. Các phương trình chuyển động được xây dựng dựa trên nguyên lý năng lượng và phương trình Lagrange.
2.2. Phương Trình Lagrange
Phương trình Lagrange được sử dụng để xây dựng các phương trình chuyển động của hệ. Phương trình này dựa trên các đại lượng vô hướng của động năng, thế năng và công được biểu diễn thông qua các tọa độ suy rộng. Ưu điểm của phương trình Lagrange là dạng và số lượng của chúng không phụ thuộc vào số vật thể thuộc cơ hệ và sự chuyển động của các vật thể đó.
III. Giải Pháp Số Học
Giải Pháp Số Học được áp dụng để giải bài toán dao động tự do của dầm. Luận văn sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để rời rạc hóa miền khảo sát và xây dựng phương trình cân bằng của toàn hệ. Các ma trận độ cứng và vectơ tải trọng nút được xây dựng để giải hệ phương trình cân bằng. Phương pháp này cho phép tính toán chính xác các tần số riêng và dạng dao động riêng của hệ.
3.1. Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn FEM
Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để rời rạc hóa miền khảo sát và xây dựng phương trình cân bằng của toàn hệ. Các ma trận độ cứng và vectơ tải trọng nút được xây dựng để giải hệ phương trình cân bằng. Phương pháp này cho phép tính toán chính xác các tần số riêng và dạng dao động riêng của hệ.
3.2. Xử Lý Điều Kiện Biên
Điều kiện biên của bài toán được xử lý để đảm bảo tính chính xác của kết quả tính toán. Các phương pháp xử lý điều kiện biên được áp dụng để giải hệ phương trình cân bằng và xác định nội lực trong hệ.
