Nghiên Cứu Về Số Nguyên Tố: Những Kết Quả Mới và Cổ Điển

• Tác giả: Nguyễn Viết Sinh
• Người hướng dẫn: PGS.TS Mỵ Vinh Quang
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Đại Số và Lý Thuyết Số
• Đề tài: Một Số Vấn Đề Về Số Nguyên Tố
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: Một số kết quả cổ điển về số nguyên tố
• 1.1. Định nghĩa
• 1.2. Một số kết quả cổ điển về số nguyên tố
• 2. CHƯƠNG 2: Số nguyên tố bé nhất đồng dư với 1 mod n
• 2.3. Hàm Möbius
• 2.4. Đa thức chia đường tròn
• 2.5. Định lí cơ bản thứ nhất
• 3. CHƯƠNG 3: Một mở rộng của định lí Euclid
• 3.2. Định lí cơ bản thứ hai
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Về Số Nguyên Tố Định Nghĩa Ý Nghĩa Toán Học

Các số nguyên tố đóng vai trò then chốt trong toán học, đặc biệt trong lý thuyết số và mật mã học. Một số nguyên tố là một số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó. Việc nghiên cứu về số nguyên tố đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong suốt lịch sử, và những khám phá mới vẫn tiếp tục được thực hiện. Luận văn này đi sâu vào một số vấn đề liên quan đến số nguyên tố, từ những kết quả cổ điển đến những phát triển gần đây. Ký hiệu tập hợp các số nguyên tố là P.

1.1. Định nghĩa chính xác về số nguyên tố trong toán học

Một số nguyên tố là một số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ví dụ, 2, 3, 5, 7, 11 là các số nguyên tố. Các số như 4, 6, 8, 9 không phải là số nguyên tố vì chúng chia hết cho các số khác ngoài 1 và chính nó. Định nghĩa này là nền tảng cho nhiều khái niệm và định lý quan trọng trong lý thuyết số.

1.2. Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 10000 Danh sách đầy đủ

Danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 10000 bao gồm: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199,... (Xem tài liệu gốc để có danh sách đầy đủ). Bảng này rất hữu ích trong việc kiểm tra tính nguyên tố của một số nhỏ và trong các ứng dụng thực tế.

II. Định Lý Số Nguyên Tố Cách Phân Bố Ứng Dụng Thực Tế

Một trong những kết quả cổ điển quan trọng nhất về số nguyên tố là định lý số nguyên tố. Định lý này mô tả sự phân bố số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên. Cụ thể, nó cho biết số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số x cho trước xấp xỉ bằng x/ln(x). Định lý này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và các lĩnh vực liên quan.

2.1. Phát biểu và chứng minh định lý số nguyên tố cơ bản

Định lý 1. Với mọi số tự nhiên n ∈ N, n > 1, ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của n là một số nguyên tố p. Giả sử p là ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của n và p không là số nguyên tố. Suy ra p1 |n với p1 < p. Điều này mâu thuẫn với p nhỏ nhất. Vậy p là số nguyên tố và Định lí (1.1) đã được chứng minh.

2.2. Ứng dụng của định lý số nguyên tố trong mật mã học

Các số nguyên tố lớn đóng vai trò quan trọng trong mật mã học, đặc biệt trong các hệ mã hóa khóa công khai như RSA. Việc tìm kiếm và sử dụng các số nguyên tố lớn là một thách thức, và định lý số nguyên tố cung cấp một công cụ để ước lượng số lượng số nguyên tố cần thiết cho các ứng dụng mật mã.

2.3. Mối liên hệ giữa định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann

Giả thuyết Riemann là một trong những bài toán chưa được giải quyết quan trọng nhất trong toán học. Nó liên quan đến sự phân bố số nguyên tố và có mối liên hệ sâu sắc với định lý số nguyên tố. Việc chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết Riemann sẽ có ảnh hưởng lớn đến lý thuyết số.

III. Số Nguyên Tố Mersenne Cách Tìm Kiếm Ứng Dụng Thực Tế

Số nguyên tố Mersenne là các số nguyên tố có dạng 2^p - 1, trong đó p là một số nguyên tố. Việc tìm kiếm số nguyên tố Mersenne lớn nhất là một thách thức lớn và là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực. Các số nguyên tố Mersenne có ứng dụng trong việc kiểm tra phần cứng máy tính và trong các thuật toán mật mã.

3.1. Định nghĩa và tính chất của số nguyên tố Mersenne

Một số Mersenne là một số có dạng Mn = 2^n - 1, với n là một số nguyên dương. Nếu Mn là một số nguyên tố, nó được gọi là số nguyên tố Mersenne. Ví dụ, 3, 7, 31, 127 là các số nguyên tố Mersenne.

3.2. Thuật toán kiểm tra tính nguyên tố của số Mersenne

Thuật toán Lucas-Lehmer là một thuật toán hiệu quả để kiểm tra tính nguyên tố của số Mersenne. Thuật toán này dựa trên một dãy số được định nghĩa đệ quy và có thể được sử dụng để kiểm tra các số Mersenne lớn.

3.3. Kỷ lục về số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết

Việc tìm kiếm số nguyên tố Mersenne lớn nhất là một cuộc đua không ngừng. Hiện tại, số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết là 2^82,589,933 - 1, có 24,862,048 chữ số. Việc tìm kiếm các số nguyên tố Mersenne lớn hơn vẫn tiếp tục.

IV. Kiểm Tra Tính Nguyên Tố Phương Pháp Thuật Toán Hiệu Quả

Việc kiểm tra tính nguyên tố của một số là một vấn đề quan trọng trong lý thuyết số và mật mã học. Có nhiều phương pháp và thuật toán khác nhau để kiểm tra tính nguyên tố, từ các phương pháp đơn giản như phép chia thử đến các thuật toán phức tạp hơn như thuật toán Miller-Rabin và thuật toán AKS.

4.1. Phương pháp chia thử để kiểm tra tính nguyên tố

Phương pháp chia thử là phương pháp đơn giản nhất để kiểm tra tính nguyên tố của một số. Phương pháp này bao gồm việc chia số đó cho tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn căn bậc hai của nó. Nếu không có số nào chia hết, thì số đó là số nguyên tố.

4.2. Thuật toán Miller Rabin Ưu điểm và hạn chế

Thuật toán Miller-Rabin là một thuật toán xác suất để kiểm tra tính nguyên tố. Thuật toán này nhanh hơn nhiều so với phương pháp chia thử, nhưng nó có thể đưa ra kết quả sai với một xác suất nhỏ. Tuy nhiên, xác suất sai có thể được giảm thiểu bằng cách thực hiện thuật toán nhiều lần.

4.3. Thuật toán AKS Giải pháp kiểm tra tính nguyên tố tổng quát

Thuật toán AKS là thuật toán đầu tiên chứng minh được tính nguyên tố trong thời gian đa thức. Thuật toán này có độ phức tạp cao hơn so với các thuật toán khác, nhưng nó đảm bảo kết quả chính xác.

V. Ứng Dụng Của Số Nguyên Tố Từ Mật Mã Đến Khoa Học Máy Tính

Số nguyên tố không chỉ là đối tượng nghiên cứu của lý thuyết số, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng. Chúng được sử dụng rộng rãi trong mật mã học, khoa học máy tính, và các lĩnh vực khác. Việc hiểu rõ về số nguyên tố là rất quan trọng để phát triển các công nghệ mới.

5.1. Số nguyên tố trong hệ mã hóa RSA Cơ sở bảo mật

Hệ mã hóa RSA là một trong những hệ mã hóa khóa công khai phổ biến nhất. Nó dựa trên việc sử dụng hai số nguyên tố lớn để tạo ra khóa công khai và khóa bí mật. Tính bảo mật của RSA dựa trên độ khó của việc phân tích một số lớn thành các thừa số nguyên tố.

5.2. Số nguyên tố trong tạo số ngẫu nhiên Ứng dụng thực tế

Các số nguyên tố được sử dụng trong các thuật toán tạo số ngẫu nhiên. Các thuật toán này tạo ra các dãy số có tính chất ngẫu nhiên, được sử dụng trong mô phỏng, trò chơi, và các ứng dụng khác.

5.3. Số nguyên tố trong băm dữ liệu Tối ưu hóa hiệu suất

Các số nguyên tố được sử dụng trong các hàm băm để phân phối dữ liệu đều trong bảng băm. Điều này giúp giảm thiểu xung đột và cải thiện hiệu suất của các thao tác tìm kiếm và chèn dữ liệu.

VI. Nghiên Cứu Về Số Nguyên Tố Hướng Đi Mới Thách Thức Tương Lai

Nghiên cứu về số nguyên tố vẫn là một lĩnh vực sôi động với nhiều câu hỏi chưa được trả lời. Các nhà toán học tiếp tục tìm kiếm các số nguyên tố lớn hơn, phát triển các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố hiệu quả hơn, và khám phá các mối liên hệ giữa số nguyên tố và các lĩnh vực khác của toán học.

6.1. Các bài toán mở về số nguyên tố Giả thuyết Goldbach

Giả thuyết Goldbach là một trong những bài toán chưa được giải quyết nổi tiếng nhất trong lý thuyết số. Nó phát biểu rằng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố.

6.2. Hướng nghiên cứu mới về phân bố số nguyên tố

Các nhà toán học đang tiếp tục nghiên cứu về sự phân bố số nguyên tố để hiểu rõ hơn về cấu trúc của tập hợp các số nguyên tố. Các phương pháp mới và các công cụ tính toán mạnh mẽ đang được sử dụng để khám phá các mẫu và quy luật trong sự phân bố số nguyên tố.

6.3. Tương lai của nghiên cứu về số nguyên tố và ứng dụng

Nghiên cứu về số nguyên tố có tiềm năng mang lại những đột phá lớn trong mật mã học, khoa học máy tính, và các lĩnh vực khác. Việc phát triển các thuật toán mới và các phương pháp tiếp cận sáng tạo sẽ tiếp tục thúc đẩy sự tiến bộ trong lĩnh vực này.

Tổng quan nghiên cứu

Số nguyên tố là một chủ đề trọng yếu trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số và lý thuyết số, với vai trò quan trọng không chỉ trong lý thuyết mà còn trong các ứng dụng như mật mã học và tin học. Mặc dù đã được nghiên cứu từ hàng nghìn năm trước, các số nguyên tố vẫn tiếp tục thu hút sự quan tâm của các nhà toán học nhờ những kết quả mới mẻ và sâu sắc. Luận văn này tập trung nghiên cứu một số vấn đề về số nguyên tố, với mục tiêu làm rõ các kết quả cổ điển, đồng thời tiếp cận và trình bày các kết quả mới liên quan đến số nguyên tố đồng dư và mở rộng định lý Euclid.

Phạm vi nghiên cứu bao gồm các số nguyên tố nhỏ hơn 10.000, các số nguyên tố đồng dư với 1 mod n, và các mở rộng của định lý Euclid cổ điển. Thời gian nghiên cứu tập trung vào các kết quả toán học được phát triển đến năm 2020, với các minh chứng và ứng dụng cụ thể trong lý thuyết số. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các biên trên chặt chẽ cho số nguyên tố đồng dư, cũng như mở rộng các định lý cơ bản, góp phần làm sâu sắc thêm hiểu biết về phân bố số nguyên tố và cấu trúc nhóm liên quan.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình nghiên cứu sau:

• Định nghĩa và tính chất số nguyên tố: Số nguyên tố được định nghĩa là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó. Tập hợp các số nguyên tố được ký hiệu là $P$.

• Định lý Fermat nhỏ: Với mọi số nguyên tố $p$ và số nguyên $a$ không chia hết cho $p$, ta có $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

• Hàm Euler (\phi(n)): Đếm số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Hàm này là hàm nhân tính, có tính chất quan trọng trong lý thuyết số.

• Hàm Möbius (\mu(n)): Hàm số học nhân tính, được định nghĩa dựa trên phân tích thừa số nguyên tố của $n$, có vai trò trong các công thức đảo ngược và phân tích đa thức.

• Đa thức chia đường tròn (\Phi_n(x)): Đa thức đơn khởi, bất khả quy trên tập số hữu tỉ, có bậc bằng (\phi(n)), dùng để phân tích các đa thức dạng (x^n - 1).

• Định lý Dirichlet về số nguyên tố trong cấp số cộng: Nếu hai số nguyên $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau, thì cấp số cộng $a, a+b, a+2b, \ldots$ chứa vô số số nguyên tố.

• Định lý Euclid và các mở rộng: Định lý cơ bản về vô hạn số nguyên tố và các mở rộng liên quan đến phân bố số nguyên tố giữa các khoảng nhất định.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, dựa trên:

• Nguồn dữ liệu: Các kết quả toán học đã được công bố trong sách, tạp chí chuyên ngành và bài báo khoa học, đặc biệt là các công trình của các nhà toán học nổi tiếng như Euclid, Dirichlet, Fermat, và các nghiên cứu gần đây của R. Vatwani.

• Phương pháp phân tích: Phân tích chứng minh toán học, sử dụng các công cụ đại số, lý thuyết nhóm, và lý thuyết số để xây dựng và chứng minh các định lý, bổ đề liên quan đến số nguyên tố.

• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu được thực hiện trong năm 2020, tập trung vào việc tổng hợp, hệ thống hóa các kết quả cổ điển và mới, đồng thời phát triển các chứng minh mở rộng.

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Nghiên cứu tập trung vào các số nguyên tố nhỏ hơn 10.000 và các số nguyên dương trong phạm vi phù hợp với các định lý được xét đến, nhằm đảm bảo tính tổng quát và khả năng áp dụng.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Các kết quả cổ điển về số nguyên tố:

   • Mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 có ước nguyên tố nhỏ nhất là số nguyên tố.
   • Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của nó thì là số nguyên tố.
   • Mỗi số nguyên lớn hơn 1 có phân tích duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố.
   • Có vô số số nguyên tố, trong đó có vô số số nguyên tố dạng (3n + 2), (4n + 3), và (6k + 1).

2. Biên trên của số nguyên tố nhỏ nhất đồng dư với 1 mod n:

   • Theo định lý Dirichlet, tồn tại vô số số nguyên tố đồng dư với 1 mod n.
   • Kết quả mới nhất cho thấy số nguyên tố nhỏ nhất (p) thỏa mãn (p \equiv 1 \pmod{n}) có biên trên:
     [ p \leq 2^{\phi(n) + 1} - 1, ]
     trong đó (\phi(n)) là hàm Euler.
   • Bảng kiểm tra các giá trị từ 2 đến 39 cho thấy kết quả này đúng với các số nguyên tố nhỏ nhất tương ứng.

3. Mở rộng định lý Euclid:

   • Có ít nhất (n - 1) số nguyên tố nằm giữa số nguyên tố thứ (n) và tích các số nguyên tố đầu tiên (M_n = p_1 p_2 \cdots p_n).
   • Nhóm các phần tử khả nghịch trong vành (Z_{M_n}) không thể được sinh bởi tập hợp có ít hơn (n - 1) phần tử, chứng tỏ sự phong phú của số nguyên tố trong khoảng này.

Thảo luận kết quả

Các kết quả cổ điển được củng cố và mở rộng, đặc biệt là biên trên cho số nguyên tố nhỏ nhất đồng dư với 1 mod n, giúp hiểu rõ hơn về phân bố số nguyên tố trong các lớp đồng dư. Việc sử dụng hàm Euler và hàm Möbius trong chứng minh cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các khái niệm trong lý thuyết số.

Mở rộng định lý Euclid dựa trên cấu trúc nhóm Abel hữu hạn cung cấp một góc nhìn mới về phân bố số nguyên tố, không chỉ dựa trên các phép tính số học mà còn dựa trên cấu trúc đại số. Kết quả này phù hợp với các nghiên cứu hiện đại về lý thuyết nhóm và ứng dụng trong toán học thuần túy.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng liệt kê số nguyên tố nhỏ hơn 10.000, bảng so sánh biên trên của số nguyên tố nhỏ nhất đồng dư với 1 mod n, và sơ đồ minh họa cấu trúc nhóm khả nghịch trong vành modulo.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các thuật toán xác định số nguyên tố đồng dư:

   • Áp dụng các biên trên đã chứng minh để xây dựng thuật toán tìm số nguyên tố nhỏ nhất đồng dư với 1 mod n hiệu quả hơn.
   • Mục tiêu: giảm thời gian tính toán trong các ứng dụng mật mã.
   • Thời gian: 1-2 năm.
   • Chủ thể thực hiện: các nhóm nghiên cứu toán học ứng dụng và khoa học máy tính.

2. Nghiên cứu sâu hơn về mở rộng định lý Euclid:

   • Khai thác các cấu trúc nhóm Abel hữu hạn để tìm thêm các khoảng phân bố số nguyên tố mới.
   • Mục tiêu: mở rộng phạm vi ứng dụng trong lý thuyết số và đại số.
   • Thời gian: 2-3 năm.
   • Chủ thể thực hiện: các nhà toán học lý thuyết và đại số.

3. Ứng dụng kết quả vào mật mã học:

   • Sử dụng các số nguyên tố đồng dư đặc biệt trong thiết kế các hệ mật mã mới có tính bảo mật cao.
   • Mục tiêu: nâng cao độ an toàn và hiệu quả của hệ thống mã hóa.
   • Thời gian: 1-2 năm.
   • Chủ thể thực hiện: các chuyên gia mật mã và an ninh mạng.

4. Tổ chức hội thảo và đào tạo chuyên sâu:

   • Tăng cường trao đổi học thuật về số nguyên tố và lý thuyết số giữa các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước.
   • Mục tiêu: nâng cao trình độ nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn.
   • Thời gian: hàng năm.
   • Chủ thể thực hiện: các trường đại học và viện nghiên cứu.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học:

   • Lợi ích: Hiểu sâu về số nguyên tố, các định lý cổ điển và hiện đại, phương pháp chứng minh.
   • Use case: Tham khảo để phát triển đề tài nghiên cứu hoặc luận văn.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu lý thuyết số:

   • Lợi ích: Cập nhật các kết quả mới, mở rộng kiến thức về phân bố số nguyên tố và ứng dụng đại số.
   • Use case: Làm tài liệu giảng dạy hoặc nghiên cứu chuyên sâu.

3. Chuyên gia mật mã và an ninh mạng:

   • Lợi ích: Áp dụng các kết quả về số nguyên tố đồng dư trong thiết kế hệ thống mã hóa.
   • Use case: Phát triển thuật toán mã hóa dựa trên lý thuyết số.

4. Nhà phát triển phần mềm và thuật toán:

   • Lợi ích: Tận dụng các biên trên số nguyên tố để tối ưu hóa thuật toán kiểm tra số nguyên tố và sinh số nguyên tố.
   • Use case: Cải thiện hiệu suất phần mềm liên quan đến số học và bảo mật.

Câu hỏi thường gặp

1. Số nguyên tố là gì và tại sao chúng quan trọng?
   Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó. Chúng là nền tảng của lý thuyết số và có ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, giúp bảo vệ thông tin an toàn.

2. Hàm Euler (\phi(n)) có vai trò gì trong nghiên cứu số nguyên tố?
   Hàm Euler đếm số các số nguyên dương không vượt quá (n) và nguyên tố cùng nhau với (n). Nó giúp xác định biên trên cho số nguyên tố đồng dư và đóng vai trò quan trọng trong các định lý về số nguyên tố.

3. Định lý Dirichlet về số nguyên tố trong cấp số cộng là gì?
   Định lý này khẳng định rằng nếu hai số nguyên (a) và (b) nguyên tố cùng nhau, thì cấp số cộng (a, a+b, a+2b, \ldots) chứa vô số số nguyên tố, mở rộng phạm vi phân bố số nguyên tố.

4. Làm thế nào để xác định số nguyên tố nhỏ nhất đồng dư với 1 mod n?
   Qua các kết quả nghiên cứu, số nguyên tố nhỏ nhất đồng dư với 1 mod (n) có biên trên được xác định bằng (2^{\phi(n)+1} - 1). Việc xác định chính xác có thể sử dụng các thuật toán dựa trên hàm Euler và đa thức chia đường tròn.

5. Mở rộng định lý Euclid có ý nghĩa gì trong toán học?
   Mở rộng này cho thấy không chỉ có vô số số nguyên tố mà còn có ít nhất (n-1) số nguyên tố nằm trong khoảng giữa số nguyên tố thứ (n) và tích các số nguyên tố đầu tiên, giúp hiểu rõ hơn về phân bố số nguyên tố và cấu trúc nhóm liên quan.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa các kết quả cổ điển và mới về số nguyên tố, đặc biệt là các số nguyên tố đồng dư và mở rộng định lý Euclid.
• Chứng minh biên trên cho số nguyên tố nhỏ nhất đồng dư với 1 mod n bằng (2^{\phi(n)+1} - 1) là đóng góp quan trọng, mở rộng hiểu biết về phân bố số nguyên tố.
• Mở rộng định lý Euclid dựa trên cấu trúc nhóm Abel hữu hạn cung cấp góc nhìn đại số sâu sắc về phân bố số nguyên tố.
• Các kết quả có tiềm năng ứng dụng trong mật mã học, lý thuyết nhóm và phát triển thuật toán kiểm tra số nguyên tố.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo nhằm phát triển thuật toán, ứng dụng thực tiễn và đào tạo chuyên sâu trong lĩnh vực lý thuyết số.

Để tiếp tục nghiên cứu và ứng dụng, các nhà khoa học và chuyên gia được khuyến khích khai thác các kết quả này trong các lĩnh vực toán học thuần túy và ứng dụng, đồng thời phát triển các công cụ hỗ trợ tính toán và bảo mật dựa trên số nguyên tố.