Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang 11 Luận văn tốt nghiệp PHU LUC A.1: HỆ MA TRAN z, VÀ TÍNH CHAT Với cách xác định như ở (1,1) ta có dang tường minh của hệ ma trận 7%, như sau ; 0 0 0 -i 0 00 -1 0 0 -/ 0 0 010 ho -1 § O|' “lo 10 of" ~¡ 0 0 0 -100 0 ml;0 0 O|f “lh 000 Bh 0 0 ~-/ 0 0 0 10 10 0 0 0 0 0 i 0001 0 1 0 0 0 -¡ 0 0 0100 000 -l Các tính chất của hệ ma trận trên : Vy my?. Với tính chất | ta dé dang nhận thấy khi viết hệ ma trận dưới dang tường minh như ở trên. Ta đi chứng mính tính chất 2, 3. Chứng mính tính chất 2 : Xét k=1,2,3 0 ofa) 30 170 1), eles Oho0) lt B1 0)” Tương tự: y,y, =Ø,Ø,.
=†, Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang 12 Luận văn tốt nghiệp = e Yy. (i,k=1,2,3,4,5) Chứng minh tính chất 3: Ma trận ÿ =iy,y phan đối xứng. Ta có từ định nghĩa. 0 0 -i 0|llo 0 09 i i 0 ú 0 -i 0 0||¡ 0 0 0| jo 0 -i 0 0 0)40 -¡ 0 0 0 0 Từ hệ ma trận Z¿ xác định ở trên,ta tiến hành tính toán bằng cách biểu diễn các ma trận dưới tập hợp các phần tử như sau : Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang 13 Luận văn tốt nghiệp (y,),, = (-16,,6,, - ið,;ổ,y + iổ,yổ,; + i,„ổ,,).
TY cách biểu dién như trên, ta có : (y, b (y, yi 5 (- 6,5, =ð,;ổ,; +ồ sổ; + 5,5, Xö,ö. + 6,,6,,6,,6,, — 6,,6,;6,,8,4 — ô,;ổ,xổ,;ổ,y + ô,;ổ,yỗổ,xổ,; + F640 45) + 5,,6,.8,,6,4 + ô,yổ,;ổ,;Ö,y — ỗ,yổ,;Ö,xổ,; — F656 45, + 5,,6,,0, 8.6 45,55 + 526,45, ,5, + 6,,6,,6,,0,) — 5,56,,6, 20,4 — 6,,6,,6,,6,, + 6,:6,,0,49,2 Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang 14 Luận văn tốt nghiệp = 646,295, + 645,25 294 m Ô,¿Ö,:Ö„yÖ,¡ = 649,259,492 ‘ (z.5,4 +55, +5,,6,) = 5,,5,,6,:5,5 + 55,5454 + ỗ„ổaổ,;ổ,, + ổ„ổaổ,„ổ,; + 5,5,45,,6,4 + 5,255 p25 04 + ô,;ð,,ô„yổ, + 5254 user + 5,355,543 + 5,350,254 + 5,350,300 + 5:50 45,2 + 5,45,30,:5,3 + ỗ,„ổ;ổ,;ổ,„ + ổ,„ổ;;ð,yổ,, + 45,20 ser. =(6,,ð, + 6,25): =ð,ổ; =ð,„8„6„ð„ +525, = 5,55 =8„8„„) = 6,,5,,0,,8,; + ỗnô,;ổ,; — 555,903 - uỗnổ,„Ổ¿ + 636,266, + Ô,;Ö,;Ö,;Ö,y — 526,25 383 — Ô,;Ö,;Ö,2Š —ð,„›ðô,ỗ,, — ö,;ỗað,;ð,; + ð,;ổ,ð,;ổ,› + ð,;ổaổ,.ổ,„ = 545,455, — 5,45 :45 25,2 + ô,uổ,„ð„yổ,y + ,,ð,yỗ,ổ,. Sử dụng các kết quả vừa tính , ta tính được : Œ.) + 5,45,5 — 5,35ea X6,;ð, — Fn Fy + ô„„ổ,y — 55,4).
Ta viết lại biểu thức trên: W. Vậy: (y, )„Úứ, lễ = 26,6, - 6,5, T rs eS ° Chương |: Phép biến đổi Hurwitz Trang 15 Luân văn tốt nghiệp PHỤ LUC A.2: CHUNG MINH r = £ Š, Để chứng minh biểu thức này chúng ta sẽ sử dung Mathematica, mặt dù việc chứng minh biểu thức trên bằng tính toán thông thường là không quá khó khăn và phức tạp, nhưng việc tính toán với 50 số hạng trong biểu thức trên cũng khá dài và mệt mỏi. Trong khi đó, Nếu sử dụng Mathematica thì chỉ cần nhập vào 5 biểu thức là ta có kết quả. Nhập các biểu thức của x, (i=1,2,3,4,5).
Sau đó dùng lénh Simplify dé tinh va làm gon biểu thức xf + xỶ + xp +x] +x? minty wal Obl vÉs~1«€S«e€y€1«€jxsÉsc1«€ wks, taiaje Mp we Epo Sy + E20 Sy + Ệ3 vẾ¿ - €4 a Er; tiến Xã m =1 *Ếi sếa +1 «€3 *Éc«+1+€3 xế: -1 «€3 sa, ri." Mem ED + Ex + 2 + Sa + €3 + €i + EG *Ế2: zine Ms ỆT *Ết + Ê2 *Ê¿ - €3 *€a - She Fa; noe Simplify[x,*2 + X¿^2 + Xi^2 + X¿^2 + Xs^2] 2x+/"j= tết (Ế' « Biel ~s (6y " eee = (gre, + #;£; + điều + ¿2£ Ì Vậy: r =£;É,. Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang l6 Luận văn tốt nghiệ PHU LUC A.3: XAY DUNG PHUONG TRINH SCHRODINGER CHO DAO DONG TU DIEU HOA TRONG KHONG GIAN 4 CHIEU PHUC. Để đơn giản, trước hết ta xét đối với không gian | chiéu phức: &€=x+iy, € =x-iy. Hamiltonian cho dao động tử điều hoà trong không gian 2 chiều thực có dang : : Bot, P`v.1 Hung —” ae at gio +3), Biến đổi các phép tính vi phân tương ứng, ta có a Oo 9% 0 ox 3® ee ô ee 8 -++ 0)8C—I Xe rity dy Age Ox OE" 0£ Ox OE ốc Ox x Oy âmOp Như vậy ta có thể viết lai như sau: Ñ Ø' 1 se 2u0gУ".
+— a 2 fea, SE * Đây chính là Hamiltonian cho dao động tử điểu hoa | chiéu phức. Với hệ đơn vị nguyên tử ta có thể viết lại: 2 = ô - +}, 20j£ 2 Tổng quát hóa lên ta có dao động tử trong không gian 4 chiéu phức tương ứng với dao động tử điều hoà trong không gian 8 chiéu thực và có dạng như sau: tua1 Ø aa L 1 i ` k 20205, 2 Ễ,Š, (s=1,2,3,4). Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang 17 Luận vân tốt nghiệp CHUONG I GOC EULER TRONG PHEP BIEN DOI HURWITZ Ở chương này chúng ta sẽ xác định các giá trị đ,,é,,ó, bằng cách chon các hàm ⁄./, sao cho nó thoả mãn các điều kiện mà chương I đã để ra. Sau khi tìm được các biến số góc này chúng ta sẽ biểu dién Hamiltonian trong không gian (2%) từ đó xuất hiện trường đơn cực từ Dirac trong Hamiltonian Nghiệm của phương trình Schrodinger lúc này là các hàm sóng phụ thuộc vào các góc Euler, chúng ta sé tiến hành tách han sự phụ thuộc vào 3 góc Euler của các hàm sóng này.
Khi đó chúng ta sẽ có các hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa đô, đó là nghiệm cho bài toán nguyên tử hydro 5 chiều trong trường Coulomb và trường điện từ có dạng thế đơn cực từ 5 chiều. Xây dựng biến số góc: Ở phẩn này chúng ta sẽ xác định các góc ở,.é,, từ đó chúng ta sẽ biểu diễn toán tử Hamilton trong không gian (Xa›Ø,), Dựa vào những điều kiện ở chương I. chúng ta chon ƒ,, /;, /, có dang sau: f, =argš, +arge; + F\(,,ể)›, f, =argé, —argf;+F›(£,£,).——_, v6, — + F,(2,¢), trong đó #+ (‡,£ˆ) là các hàm bất kỳ. Với cách chọn hàm F khác nhau ta thu được các dạng khác nhau của trường điện từ dạng thế đơn cực từ.
Trong phạm vì luận văn này, tác giả đưa ra hai trường hợp riêng. Trường hợp 1: Chon: F, (£,£;) = 0, ta được các giá trị góc như sau: Chương Il: Góc Euler trong phép biến đổi Hurwitz Trang 18 Luận văn tốt nghiệ 9, = Arg ế, + Arg Š;.1) Ó;= arctan 2ý ễ $15252 $252 “đốc trong đó: é,:{0/2z). Các góc này trùng với kết quả của công trình đã được xác định trong [15] Khi đó bán kính vectơ trong không gian x, thỏa mãn công thức: r= xx, = 86, (s=1,2,3,4).2) Vi vậy, ta có phương trình : lự(r. ở đây toán tử Hamilton có dang a-|l(-2-+4.
ZỐ 2r? r trong đó: (xem phụ lục A.3) Đây là 3 toán tử momen động lượng của một hạt bất kỳ chuyển động trong trường xuyên tâm khi được biểu diễn qua 3 góc Euler ó, với Q, =i,; Q, =L,; Q, TÁC Chương II: Góc Euler trong phép biến đổi Hurwitz Trang 19 | THU VIỆ‹ Trưởng Đại-Học - ˆ-+ _ HỒ-CHÍ-MIN!. Luân văn tốt nghiệp Trong phụ lục A.7 ta chứng minh các các tính chất giao hoán của cấc toán tử này như sau : lê. Ngoài ra, A, là hệ thế vectơ của trường đơn cực từ (còn được gọi là SU(2)-instanton [16}) l A,, = PT eid 7X qX,0) | 1 A, = ite) 5Á, (2.—x,„Xị,x;,0), r (xem phụ lục A.3) Tinh chất của hệ thế vectơ 4„ A1uÁ, “————— by, (2. Các tinh chất này được chứng minh trong phụ lục A.4 Trường hợp 2: Các góc ó, có dạng : Ú, =argé, +ârgẽ,.6) = GE,E,5, ee Chương II: Góc Euler trong phép biến đổi Hurwitz Trang 20 Luận văn tốt nghiệ Lúc này ta thấy vai trò của £ và £ : & và & đổi chỗ cho nhau.
Hay nói cách khác. nếu ta xem £ là £, ; £, là & thì phép biến đổi lúc này rất giống với phép biến đổi trong trường hợp 1, ta chỉ việc thay thé x, bằng -x, ; xs bằng -x; thì ta có ngay kết quả phép biến đổi mới. Với trường hợp này, dạng của 3 toán tử Ô, không thay đổi, trong khi đó hệ thế vectơ 4„ chuyển thành: | | Ay = Pr i as a aloe (2.7) | A,; = PR TC Kiên Suy : Ta nhận thấy rằng hệ thế vectơ ở (2.4) tương đồng với nhau. Sự khác nhau ở đây là dấu của 7 trên trục x; (tại điểm kì dị).
Hay nói cách khác, đối với trường hợp | điểm kì di là tập hợp trên trục Ox; trong khi ở trường hợp 2 nó là trục =Øx; Như vậy, giá trị góc xác định ở (2.6) đã làm thay đổi chiểu của 7 tại điểm kì dị. Từ đây ta có nhận xét rằng: Nếu ta đặt các giá trị ¢,¢,,¢, thích hợp thì kết quả chúng ta sẽ tìm được giá trị của 7 tại điểm kì dị của hệ vectơ là cả trục xs, Và như vậy, kết quả sẽ có một trường thế mới với tính chất topo khác biệt như của đơn cực từ. Vấn để này là để tài của một nghiên cứu khác. Phân ly biến số góc: Ta biết rằng trong phẩn trước, toán tử Hamilton có chứa các góc Euler ¢,,¢,.¢, thông qua các toán tử Ô,.
Do đó, nghiệm riêng của phương trình (1. Mục đích của chúnhg ta là tách hẳn sự phụ thuộc của nghiệm riêng phương trình Schodinger vào 3 góc Euler, khi đó chúng ta sẽ có một hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa độ, đó là nghiệm của nguyên tử Hydro 5 chiéu trong trường Coulomb và trường thế dạng đơn cực từ. Như ở phẩn trước chúng ta đã nói, các toán tử Ô, có cấu trúc đại số tương tự như cấu trúc đại số của toán tử momen động lượng trong không gian 3 chiều biểu diễn qua các góc Euler. Nghiệm riêng của Ô ,Ở, là hàm cẩu suy rộng Ø/„(ế,) đối với các biến ó,uố.ø, (hay còn gọi là hàm Wigner)(xem phụ lục A2.6): Ta có: Chương II: Góc Euler trong phép biến đổi Hurwitz Trang 21 Luận văn tốt nghiệp Oe 6) = JU + Ðø) „tở,).
Để thuận tiện cho tính toán, người ta thường dùng các ký hiệu sau: O, =O, +iQ,. Khi đó ta có công thức: Ò.9) ( Xem [18]) Để tiến hành phân ly biến số góc , chúng ta biểu diễn hàm sóng ở phương trình ( 1.11) wee Đặt toán từ mới: A, = Ay (FO, = A, FIO, + 4, FQ, + 4,()Ô,. và sử dung kí hiệu : A,.12) Bây giờ chúng ta sẽ tim các hệ số g,(Z) sao cho G,,(7,¢,) thỏa mãn hệ thức sau : A,G„(F.13) Tác dụng các toán tử Ô ,Ó, lên hàm G„(Z,đ,) sử dụng (2.