Tổng quan luận án

Bài toán bất đẳng thức biến phân (viết tắt là VIP) được khởi xướng từ những năm đầu của thập niên 60 thế kỷ XX, gắn liền với các công trình của J. L. Lions và G. Stampacchia. Đây là công cụ toán học để mô hình hóa và nghiên cứu nhiều bài toán lý thuyết cũng như ứng dụng thực tiễn, bao gồm bài toán tối ưu cực trị, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng, bài toán bù, phương trình toán tử đơn điệu và bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng. Trong thực tế kỹ thuật, khi tập ràng buộc $C$ được biểu diễn dưới dạng tập điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn, bài toán bất đẳng thức biến phân liên hệ trực tiếp với các ứng dụng như khôi phục tín hiệu, kiểm soát năng lượng trong hệ thống mạng viễn thông CDMA, kỹ thuật xử lý tín hiệu băng tần và bài toán phân phối băng thông mạng.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định xuất phát từ các hạn chế của các phương pháp lặp hiện có:

  • Hầu hết các phương pháp lai ghép đường dốc nhất truyền thống (như sơ đồ của K. Yamada và các biến thể) được thiết lập trong không gian Hilbert, dựa trên kỹ thuật lặp luân phiên xoay vòng qua từng toán tử. Cách tiếp cận tuần tự này đòi hỏi khối lượng tính toán lớn khi số lượng ánh xạ nhiều và không hỗ trợ tính toán song song.
  • Các mở rộng sang họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn thường sử dụng cấu trúc ánh xạ $W_k$ của K. Shimoji và W. Takahashi. Ánh xạ này có cấu trúc giải tích phức tạp, việc tính toán giá trị tại mỗi bước lặp rất cồng kềnh.
  • Các thuật toán trong không gian Hilbert thường yêu cầu bước lặp phụ thuộc vào hằng số Lipschitz $L$ và hệ số đơn điệu mạnh $\eta$. Trên thực tế, việc ước lượng chính xác hai tham số này rất khó khăn.
  • Khi mở rộng sang không gian Banach, các nghiên cứu trước đây (như của L. C. Ceng và cộng sự) đòi hỏi điều kiện rất chặt là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc phải liên tục yếu theo dãy (chỉ thỏa mãn trong không gian dãy $\ell_p$ với $1 \le p < \infty$, không áp dụng được cho không gian hàm $L_p[a, b]$). Các nghiên cứu khác (như của C. E. Chidume) đòi hỏi không gian phải là $q$-trơn đều, thuật toán vẫn phụ thuộc vào hằng số $d_q, \eta, L$ và đòi hỏi tính giao hoán của các ánh xạ trên tập điểm bất động.
  • Một số phương pháp lặp trong không gian Banach đã đề xuất trước đó lại ở dạng ẩn (implicit), buộc người thực hiện phải giải một phương trình phi tuyến phức tạp ở từng bước lặp để tìm nghiệm xấp xỉ.

Mục tiêu nghiên cứu tổng quát của luận án là nghiên cứu đề xuất các phương pháp lặp dạng hiện xấp xỉ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trên không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt và có chuẩn khả vi Gâteaux đều, ký hiệu là bài toán $VIP^(F, C)$: $$\text{Tìm } x^ \in C \text{ sao cho } \langle F(x^), j(x - x^) \rangle \ge 0, \quad \forall x \in C$$ trong đó $C := \bigcap_{i=1}^\infty \text{Fix}(T_i) \ne \emptyset$, $j$ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị, $F$ là ánh xạ $j$-đơn điệu mạnh và $\gamma$-giả co chặt.

Luận án cụ thể hóa thành 3 nhiệm vụ nghiên cứu được đánh số như sau:

  1. Xây dựng các phương pháp lặp dạng hiện xấp xỉ nghiệm cho lớp bài toán nghiên cứu thông qua đề xuất và sử dụng các ánh xạ mới $\tilde{S}_k$, $\hat{S}_k$ và $S^k$. Đồng thời, thiết lập các ví dụ minh họa cụ thể và tương quan với một số phương pháp đã có.
  2. Áp dụng phương pháp mới cho một lớp bài toán tìm điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn.
  3. Áp dụng phương pháp mới cho một lớp bài toán xác định không điểm chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ $j$-đơn điệu cực đại.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân $VIP^*(F, C)$ với tập ràng buộc là giao của tập điểm bất động của họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn; các lược đồ lặp dạng hiện và điều kiện hội tụ mạnh của dãy lặp.
  • Phạm vi không gian: Không gian làm việc là không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt và có chuẩn khả vi Gâteaux đều (bao gồm các không gian Hilbert và không gian Lebesgue $L_p[a, b]$ với $1 < p < \infty$). Về mặt ứng dụng số, phạm vi thực nghiệm tập trung vào không gian Euclide $R^n$ mô phỏng bài toán phân phối băng thông mạng.
  • Phạm vi thời gian và học thuật: Luận án được thực hiện và bảo vệ năm 2018 tại Trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, kế thừa và phát triển các kết quả giải tích phi tuyến và tối ưu hóa từ năm 1964 đến năm 2017.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Tổng quan tài liệu trong luận án được phân tích theo tiến trình lịch sử và cấu trúc không gian toán học:

  1. Giai đoạn thiết lập nền tảng bài toán bất đẳng thức biến phân và các phương pháp giải cổ điển:
  • J. L. Lions và G. Stampacchia (1967): Đặt nền móng ban đầu cho lý thuyết bất đẳng thức biến phân liên hệ với phương trình vi phân và giải tích biến phân.
  • A. A. Goldstein (1964), B. T. Polyak (1969, 1987): Đề xuất phương pháp chiếu gradient $x_{k+1} = P_C(x_k - \rho F(x_k))$ trong không gian Hilbert, bảo đảm hội tụ mạnh khi bước lặp $\rho \in (0, 2\eta/L^2)$.
  • B. Martinet (1970), R. T. Rockafellar (1976): Thiết lập phương pháp điểm gần kề (proximal point algorithm).
  • G. Cohen (1980): Phát triển nguyên lý bài toán phụ.
  • F. E. Browder (1967), A. N. Tikhonov (1963, 1977): Đặt cơ sở cho phương pháp hiệu chỉnh xử lý bài toán đặt không chỉnh.
  • N. Lehdili và A. Moudafi (1996), Ya. I. Ryazantseva (1994): Phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh.
  • F. Alvarez và H. Attouch (2001): Giới thiệu số hạng quán tính vào thuật toán điểm gần kề.
  • M. A. Krasnosel'skii (1955), W. R. Mann (1953), B. Halpern (1967): Các kỹ thuật lặp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn.
  1. Phương pháp lai ghép đường dốc nhất trong không gian Hilbert:
  • K. Yamada (2001): Đề xuất phương pháp lai ghép đường dốc nhất (hybrid steepest descent method) kết hợp phép chiếu và hướng dốc nhất để tìm cực tiểu hàm lồi khả vi trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Khi tập ràng buộc $C = \bigcap_{i=1}^N \text{Fix}(T_i)$, Yamada thiết lập dãy lặp xoay vòng: $$x_{k+1} = T_{[k+1]} x_k - \lambda_{k+1} \rho F(T_{[k+1]} x_k)$$ với $[k] = k \pmod N$. Hạn chế của sơ đồ Yamada là đòi hỏi giả thiết giao hoán chặt chẽ của các toán tử trên tập điểm bất động: $\text{Fix}(T_1 T_2 \dots T_N) = \dots = \text{Fix}(T_N T_1 \dots T_{N-1}) = \bigcap_{i=1}^N \text{Fix}(T_i)$, đồng thời dãy tham số ${\lambda_k}$ phải thỏa mãn điều kiện tỷ số suy giảm (L3).
  • H. K. Xu và T. H. Kim (2003): Làm giảm nhẹ điều kiện của dãy tham số lặp bằng cách thay điều kiện (L3) bằng điều kiện (L4): $\lim_{k\to\infty} (\lambda_k / \lambda_{k+1}) = 1$, cho phép sử dụng dãy chuẩn tắc ${1/k}$.
  • L. C. Ceng, L. J. Guu và J. C. Yao (2007): Thay thế hằng số cố định $\rho$ bằng dãy tham số thay đổi $\rho_k$.
  • Nguyễn Buờng và Lâm Thùy Dương (2011): Sử dụng ánh xạ tích lồi $\tilde{V}k = T_N^k T{N-1}^k \dots T_1^k$, loại bỏ hoàn toàn giả thiết giao hoán của các ánh xạ thành phần trên tập điểm bất động.
  • S. Iemoto và W. Takahashi (2008), J. C. Yao và cộng sự (2010), Z. M. Wang (2011): Mở rộng bài toán sang họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thông qua ánh xạ $W_k$. Nhược điểm là ánh xạ $W_k$ có cấu trúc lồng nhau rất phức tạp và thuật toán vẫn mang tính chất tuần tự.
  1. Mở rộng bài toán và phương pháp giải trong không gian Banach:
  • L. C. Ceng, S. Al-Homidan, Q. H. Ansari và J. C. Yao (2008): Nghiên cứu bài toán trên không gian Banach phản xạ thực với một ánh xạ không giãn. Tuy nhiên, kết quả đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j$, một giả thiết không thỏa mãn trong không gian hàm phổ biến $L_p$ ($p \ne 2$).
  • C. E. Chidume và cộng sự (2011): Mở rộng cho lớp không gian Banach $q$-trơn đều ($q > 1$), nhưng tham số bước lặp $\rho$ vẫn phụ thuộc vào hằng số trơn $d_q$, hệ số Lipschitz $L$ và hệ số đơn điệu $\eta$, đồng thời vẫn phải duy trì điều kiện giao hoán.
  • Nguyễn Buờng và cộng sự (2013): Đề xuất thuật toán cho họ vô hạn ánh xạ trong không gian Banach dùng toán tử $V_k$, nhưng chỉ dừng lại ở các phương pháp lặp ẩn.
  • Nguyễn Buờng, Phạm Thị Thu Hoài và Nguyễn Thị Hồng Phượng (2015): Xây dựng ánh xạ tổ hợp lồi $S_k = \frac{1}{\tilde{s}k} \sum{i=1}^k s_i T_i$ với $\sum_{i=1}^\infty s_i < \infty$, mở ra hướng tiếp cận thuật toán lặp hiện song song.

Khoảng trống nghiên cứu luận án lựa chọn giải quyết: Luận án giải quyết khoảng trống về phương pháp tính toán: xây dựng các thuật toán lặp dạng hiện độc lập với các tham số khó xác định ($\eta, L, \rho$), không đòi hỏi giả thiết giao hoán của các toán tử, áp dụng được cho họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trên lớp không gian Banach tổng quát (không gian phản xạ thực, lồi chặt và có chuẩn khả vi Gâteaux đều), có cấu trúc tường minh và hỗ trợ tính toán song song.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các hệ thống lý thuyết, khái niệm và công cụ giải tích hàm phi tuyến sau:

  • Cấu trúc hình học không gian Banach: Khái niệm không gian Banach phản xạ; không gian lồi đều, lồi chặt (strictly convex); không gian trơn (smooth), trơn đều và $q$-trơn đều ($q > 1$). Tính chất mặt cầu đơn vị $S_E$, môđun trơn $\rho_E(t)$. Chuẩn khả vi Gâteaux và khả vi Gâteaux đều.
  • Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc (normalized duality mapping): Ánh xạ đa trị $J: E \to 2^{E^}$ thỏa mãn $J(x) = {x^ \in E^* : \langle x, x^* \rangle = |x||x^|, |x^| = |x|}$. Khi $E$ trơn, $J$ trở thành ánh xạ đơn trị $j$. Các tính chất liên tục mạnh - yếu$^*$ của $j$ trên các tập bị chặn khi chuẩn của $E$ khả vi Gâteaux đều.
  • Phép chiếu metric và tập Chebyshev: Phép chiếu metric $P_C: E \to 2^C$ xác định bởi $P_C(x) = {y \in C : |x - y| = d(x, C)}$. Trong không gian Banach phản xạ và lồi chặt, mọi tập con lồi đóng khác rỗng đều là tập Chebyshev, bảo đảm tính tồn tại và duy nhất của phần tử xấp xỉ tốt nhất.
  • Giới hạn Banach (Banach limit): Phiếm hàm tuyến tính liên tục $\mu \in (\ell_\infty)^*$ thỏa mãn $|\mu| = \mu(1) = 1$ và $\mu_k(a_{k+1}) = \mu_k(a_k)$ với mọi dãy bị chặn $a \in \ell_\infty$. Giới hạn Banach được dùng để thay thế giới hạn thông thường khi dãy không hội tụ, phục vụ kỹ thuật đánh giá cận trên và chứng minh nghiệm.
  • Các lớp toán tử phi tuyến: Ánh xạ liên tục $L$-Lipschitz, ánh xạ co, ánh xạ không giãn (nonexpansive mapping); toán tử $j$-đơn điệu, $j$-đơn điệu mạnh với hệ số $\eta > 0$, $j$-đơn điệu mạnh ngược với hệ số $\alpha > 0$, $j$-đơn điệu cực đại; ánh xạ $\gamma$-giả co chặt (strictly pseudocontractive mapping theo nghĩa Browder - Petryshyn). Toán tử giải (resolvent operator) $J_r^A := (I + rA)^{-1}$.

Phương pháp nghiên cứu thực tế:

  • Phương pháp giải tích định tính và suy diễn tiên đề: Luận án sử dụng phương pháp tiên đề toán học thuần túy của giải tích hàm phi tuyến. Quy trình nghiên cứu bao gồm việc thiết lập các bổ đề giải tích, ước lượng bất đẳng thức khoảng cách, đánh giá tính bị chặn của dãy lặp, xây dựng hàm thế lồi phiếm hàm qua giới hạn Banach, và chứng minh định lý hội tụ mạnh theo tôpô chuẩn.
  • Phương pháp mô hình hóa toán học và thuật toán số: Thiết kế các thuật toán lặp dạng hiện dựa trên tổ hợp lồi có trọng số của các ánh xạ thành phần, kết hợp phương pháp đường dốc nhất.
  • Phương pháp thực nghiệm tính toán số: Cài đặt và thực thi các chương trình tính toán số trên máy tính đối với bài toán phân phối băng thông mạng viễn thông. Thuật toán được lập trình với các kích thước ma trận truyền dẫn khác nhau, xử lý dữ liệu đầu vào ngẫu nhiên và kiểm tra số bước lặp cũng như thời gian chạy máy để đánh giá thực nghiệm tốc độ hội tụ.

Nguồn tư liệu và dữ liệu:

  • Dữ liệu lý thuyết: Kế thừa từ 101 tài liệu tham khảo chuyên khảo quốc tế và trong nước, bao gồm các bài báo trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế về giải tích biến phân và tối ưu hóa.
  • Dữ liệu thực nghiệm số: Mô hình toán học về mạng truyền thông gồm hệ thống các liên kết mạng (links) và các nguồn phát (sources), dữ liệu dung lượng băng thông liên kết $c_l$ và ma trận định tuyến $R_{l, s}$.
Yếu tố phương pháp Nội dung chi tiết trong luận án
Không gian nghiên cứu chính Không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt, có chuẩn khả vi Gâteaux đều
Lớp toán tử biến phân $F$ $j$-đơn điệu mạnh hệ số $\eta$ và $\gamma$-giả co chặt ($\eta + \gamma > 1$)
Lớp toán tử ràng buộc $T_i$ Họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn ${T_i}_{i=1}^\infty$
Kỹ thuật giải tích công cụ Giới hạn Banach $\mu \in (\ell_\infty)^*$, Bất đẳng thức giải tích thực
Dạng sơ đồ lặp đề xuất Lặp hiện song song (Explicit parallel iteration schemes)
Công cụ kiểm chứng số Mô phỏng số bài toán phân phối băng thông trong không gian Euclide $R^n$

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức cơ sở của giải tích hàm phi tuyến và lý thuyết không gian Banach, làm nền tảng cho việc chứng minh các định lý ở các chương sau:

  • Mục 1.1 trình bày cấu trúc hình học của không gian Banach. Tác giả phân tích các định lý về không gian phản xạ (tiêu chuẩn dãy bị chặn có dãy con hội tụ yếu), tính lồi đều, lồi chặt và mối quan hệ đối ngẫu: $E$ lồi chặt khi và chỉ khi $E^$ trơn; $E$ trơn đều khi và chỉ khi $E^$ lồi đều. Tác giả dẫn chứng phản ví dụ trong không gian $C[0, 1]$ với chuẩn $|\cdot|\beta$ để chứng minh một không gian có thể lồi chặt nhưng không lồi đều, và ví dụ không gian $R^n$ với chuẩn $\ell_1$ là phản xạ nhưng không lồi đều. Mục này cũng thiết lập tính chất của phép chiếu metric $P_C$, khẳng định trong không gian phản xạ và lồi chặt, tập con lồi đóng $C$ là tập Chebyshev. Tiếp đó, tác giả đưa ra định nghĩa và tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j$, đạo hàm Gâteaux của chuẩn, định nghĩa môđun trơn $\rho_E(t)$, giới hạn Banach $\mu$ trên không gian $\ell\infty$ cùng bổ đề quan trọng của Shioji và Takahashi (1997) về cực tiểu hóa phiếm hàm giới hạn Banach.
  • Mục 1.2 tập trung vào các lớp ánh xạ phi tuyến: ánh xạ liên tục Lipschitz, ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ $j$-đơn điệu, $j$-đơn điệu mạnh, $j$-đơn điệu cực đại và ánh xạ $\gamma$-giả co chặt. Tác giả chứng minh rằng nếu $F$ là $\gamma$-giả co chặt thì $F$ là liên tục Lipschitz với hằng số $L = 1 + 1/\gamma$. Đặc biệt, luận án trình bày bổ đề của Ceng và cộng sự (2008): nếu $E$ trơn, $F$ là $j$-đơn điệu mạnh với hệ số $\eta$ và $\gamma$-giả co chặt với $\eta + \gamma > 1$ thì với $\lambda \in (0, 1)$, ánh xạ $I - \lambda F$ là ánh xạ co với hệ số co $1 - \lambda\tau$, trong đó $\tau = 1 - \sqrt{(1 - \eta)/\gamma} \in (0, 1)$.
  • Mục 1.3 giới thiệu mô hình bài toán $VIP^*(F, C)$ trên tập điểm bất động chung của họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn $C = \bigcap_{i=1}^\infty \text{Fix}(T_i)$. Tác giả chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán khi $F$ là $j$-đơn điệu mạnh. Phần cuối mục này dành để điểm luận và phân tích sâu các phương pháp lai ghép đường dốc nhất đã có trong lịch sử (các sơ đồ của Yamada, Xu và Kim, Zeng và cộng sự, Nguyễn Buờng và Lâm Thùy Dương, Iemoto và Takahashi, Yao và cộng sự, Wang, Ceng và cộng sự, Chidume và cộng sự, Nguyễn Buờng và cộng sự 2013, 2015), chỉ rõ ưu nhược điểm của từng phương pháp.

Chương 2. Các phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân

Chương 2 là phần đóng góp lý thuyết cốt lõi của luận án, đề xuất 3 thuật toán lặp dạng hiện mới và chứng minh sự hội tụ mạnh của chúng:

  • Mục 2.1 đề xuất phương pháp lai ghép đường dốc nhất dùng ánh xạ $\tilde{S}k$. Ánh xạ $\tilde{S}k$ được định nghĩa: $$\tilde{S}k = \sum{i=1}^k \frac{s_i}{\tilde{s}k} T^i$$ với $T^i = (1 - \alpha_i)I + \alpha_i T_i$, $\alpha_i \in (0, 1)$, các trọng số $s_i > 0$ thỏa mãn $\sum{i=1}^\infty s_i = \tilde{s} < \infty$, $\tilde{s}k = \sum{i=1}^k s_i$. Dãy lặp hiện được xác định bởi: $$x{k+1} = (I - \lambda_k F)\tilde{S}k(x_k), \quad k = 1, 2, 3, \dots$$ với điểm ban đầu $x_1 \in E$ tùy ý, dãy tham số $\lambda_k \in (0, 1)$ thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc (L1) $\lim{k\to\infty} \lambda_k = 0$ và (L2) $\sum{k=1}^\infty \lambda_k = \infty$. Định lý 2.1 chứng minh rằng dãy ${x_k}$ hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất $x^$ của bài toán $VIP^(F, C)$. Quá trình chứng minh được thực hiện qua các bước chặt chẽ:
    • Thiết lập Bổ đề 2.4 về tính giải được của phương pháp lặp giải tích liên tục $y_t = (I - \lambda_t F)T(y_t)$ và chứng minh $y_t \to x^*$ khi $t \to 0$ nhờ công cụ giới hạn Banach.
    • Chứng minh dãy lặp ${x_k}$ bị chặn thông qua đánh giá co: $|x_{k+1} - p| \le (1 - \lambda_k\tau)|x_k - p| + \lambda_k |F(p)| \le \max{|x_1 - p|, \frac{1}{\tau}|F(p)|}$.
    • Chứng minh $|x_{k+1} - x_k| \to 0$ khi $k \to \infty$.
    • Thiết lập bất đẳng thức giới hạn $\limsup_{k\to\infty} \langle F(x^), j(x^ - x_k) \rangle \le 0$.
    • Áp dụng bổ đề số học của Xu để suy ra $|x_k - x^*| \to 0$. Mục này cũng nêu các hệ quả áp dụng khi bài toán quy về tìm điểm bất động chung của họ vô hạn các ánh xạ không giãn (khi $F = I - f$ với $f$ là ánh xạ co) và bài toán tìm không điểm chung của họ vô hạn các toán tử $j$-đơn điệu cực đại thông qua toán tử giải $J_r^{A_i} = (I + rA_i)^{-1}$.
  • Mục 2.2 xây dựng phương pháp lai ghép đường dốc nhất dùng ánh xạ $\hat{S}_k$, tiếp tục chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm xấp xỉ trong không gian Banach và rút ra các hệ quả áp dụng tương ứng.
  • Mục 2.3 đề xuất phương pháp lặp dùng ánh xạ $S^k$, hoàn thiện bộ ba phương pháp lặp dạng hiện song song cho lớp bài toán nghiên cứu.
Thuật toán Cấu trúc toán tử thành phần Dạng công thức cập nhật Ưu điểm tính toán
Phương pháp 1 (Mục 2.1) $\tilde{S}k = \sum{i=1}^k \frac{s_i}{\tilde{s}_k} T^i$ với $T^i = (1 - \alpha_i)I + \alpha_i T_i$ $x_{k+1} = (I - \lambda_k F)\tilde{S}_k(x_k)$ Dạng hiện hoàn toàn, tính toán song song các $T^i(x_k)$, không cần giải phương trình ẩn
Phương pháp 2 (Mục 2.2) Dùng ánh xạ tổ hợp cải tiến $\hat{S}_k$ Dãy lặp hiện dựa trên $\hat{S}_k$ và bước lặp $\lambda_k$ Cấu trúc giải tích đơn giản, làm giảm khối lượng tính toán trung gian
Phương pháp 3 (Mục 2.3) Dùng ánh xạ tổ hợp $S^k$ Dãy lặp hiện dựa trên $S^k$ và bước lặp $\lambda_k$ Không cần xác định các hằng số Lipschitz $L$ và đơn điệu mạnh $\eta$

Chương 3. Một bài toán thực tế và kết quả tính toán số

Chương 3 chuyển tải các kết quả lý thuyết vào giải quyết bài toán thực tế trong lĩnh vực công nghệ mạng truyền thông:

  • Mục 3.1 trình bày chi tiết bài toán phân phối băng thông mạng (bandwidth allocation problem). Bài toán xét một mạng truyền thông gồm tập hợp các liên kết $\mathcal{L}$ với dung lượng giới hạn $c_l$ ($l \in \mathcal{L}$) và tập hợp các nguồn truyền dữ liệu $\mathcal{S}$. Mỗi nguồn $s \in \mathcal{S}$ truyền tin qua một tập hợp các liên kết $L(s) \subset \mathcal{L}$. Ma trận định tuyến $R$ có các phần tử $R_{l, s} = 1$ nếu liên kết $l$ thuộc tuyến truyền $L(s)$ và $R_{l, s} = 0$ trong trường hợp ngược lại. Ràng buộc lưu lượng mạng đòi hỏi tổng lưu lượng truyền qua mỗi liên kết không vượt quá dung lượng: $\sum_{s \in S(l)} x_s \le c_l$, với $x_s$ là tốc độ phát của nguồn $s$. Tác giả quy bài toán phân phối băng thông tối ưu về bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của phép chiếu metric lên các nửa không gian đóng biểu diễn ràng buộc liên kết.
  • Các tiểu mục thực nghiệm số trình bày kết quả cài đặt thuật toán trên máy tính. Tác giả lập các bảng so sánh thực nghiệm số liệu từ Bảng 3.1 đến Bảng 3.7:
    • Bảng 3.1: Kết quả tính toán cho phương pháp lặp của luận án với các lựa chọn bước lặp khác nhau.
    • Bảng 3.2 đến Bảng 3.7: Kết quả tính toán, so sánh số bước lặp, sai số tuyệt đối và thời gian hội tụ giữa các phương pháp đề xuất trong luận án với các phương pháp của Yamada (2001), Xu và Kim (2003), Nguyễn Buờng và cộng sự. Các bảng số liệu khẳng định tính khả thi của các thuật toán đề xuất, cho thấy thuật toán hội tụ ổn định về nghiệm tối ưu sau một số hữu hạn bước lặp mà không cần tính toán các tham số hình học phức tạp của mạng.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các kết quả và đóng góp khoa học mới sau đây:

  • Đóng góp về mặt lý luận toán học:
    1. Đề xuất thành công 3 phương pháp lặp dạng hiện mới dùng các ánh xạ $\tilde{S}_k$, $\hat{S}_k$ và $S^k$ để xấp xỉ nghiệm của lớp bài toán bất đẳng thức biến phân $VIP^*(F, C)$ liên kết với một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trên không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt và có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
    2. Thiết lập và chứng minh chặt chẽ các định lý hội tụ mạnh của các dãy lặp về nghiệm duy nhất của bài toán mà không đòi hỏi bất kỳ điều kiện giao hoán nào giữa các ánh xạ không giãn $T_i$, đồng thời loại bỏ yêu cầu tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
    3. Mở rộng thành công phạm vi áp dụng của các phương pháp lặp hiện sang bài toán tìm điểm bất động chung của họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn và bài toán xác định không điểm chung của họ vô hạn đếm được các toán tử $j$-đơn điệu cực đại trong không gian Banach.
  • Đóng góp về mặt phương pháp tính toán và ứng dụng thực tiễn:
    1. Các thuật toán đề xuất đều ở dạng hiện (explicit), khắc phục được khó khăn của các phương pháp lặp ẩn (implicit) vốn đòi hỏi phải giải phương trình toán tử phức tạp ở từng bước lặp.
    2. Cấu trúc toán tử dạng tổng trọng số trực tiếp cho phép thực hiện việc tính toán song song (parallel computing) độc lập trên các bộ xử lý đối với từng ánh xạ thành phần $T_i$, làm giảm đáng kể thời gian tính toán khi số lượng ánh xạ lớn.
    3. Các bước lặp $\lambda_k$ chỉ đòi hỏi các điều kiện chuẩn tắc phân kỳ rất nhẹ ($\lim \lambda_k = 0, \sum \lambda_k = \infty$), hoàn toàn không phụ thuộc vào hệ số đơn điệu mạnh $\eta$ hay hằng số Lipschitz $L$ của toán tử $F$, giúp thuật toán dễ dàng triển khai trên thực tế mà không cần đánh giá tham số tiên nghiệm.
    4. Vận dụng hiệu quả vào giải quyết bài toán phân phối băng thông mạng truyền thông, cung cấp bảng số liệu thực nghiệm chứng minh thuật toán hoạt động tốt trên các mô hình truyền thông đa liên kết.

Về mặt công bố khoa học, các kết quả chính của luận án đã được công bố trên 3 bài báo khoa học chuyên ngành (được đánh số (1), (2), (3) trong danh mục công trình của tác giả) và được báo cáo tại nhiều hội thảo chuyên môn:

  • Báo cáo định kỳ tại Seminar Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên trong các năm 2015, 2016, 2017.
  • Báo cáo tại Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14 (ngày 21-23/04/2016) và lần thứ 15 (ngày 22-24/04/2017) tại Ba Vì, Hà Nội.
  • Báo cáo tại Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (ngày 12-13/11/2016).

Kiến nghị của luận án: Tiếp tục đẩy mạnh việc áp dụng các sơ đồ lặp dạng hiện song song vào các bài toán công nghệ thông tin và truyền thông quy mô lớn, đồng thời nghiên cứu mở rộng lớp toán tử $F$ sang các lớp toán tử suy rộng không có tính đơn điệu mạnh.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế nghiên cứu dựa trên văn bản luận án:

  • Về mặt cấu trúc không gian và toán tử: Bài toán nghiên cứu đòi hỏi không gian Banach phải thỏa mãn đồng thời ba tính chất hình học: phản xạ, lồi chặt và có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Nếu không gian thiếu một trong các tính chất này (chẳng hạn không gian không lồi chặt hoặc chuẩn không khả vi Gâteaux đều), các bổ đề về tính duy nhất của phần tử xấp xỉ tốt nhất và tính liên tục mạnh - yếu$^*$ của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j$ không còn hiệu lực.
  • Về điều kiện của ánh xạ biến phân: Ánh xạ $F$ bắt buộc phải là $j$-đơn điệu mạnh với hệ số $\eta > 0$ và $\gamma$-giả co chặt với $\eta + \gamma > 1$. Điều kiện đơn điệu mạnh loại trừ các bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử chỉ đơn điệu thông thường hoặc giả đơn điệu (pseudomonotone).
  • Về điều kiện tổng trọng số: Chuỗi trọng số ${s_i}$ của họ toán tử phải hội tụ tuyệt đối ($\sum_{i=1}^\infty s_i < \infty$), hạn chế việc phân bổ trọng số đồng đều vô hạn.
  • Về phạm vi tính toán số: Các thử nghiệm số tại Chương 3 mới dừng lại ở không gian hữu hạn chiều $R^n$ mô phỏng bài toán phân phối băng thông mạng, chưa thực hiện tính toán số trên các không gian hàm vô hạn chiều $L_p[a, b]$ đối với các bài toán phương trình đạo hàm riêng.

Hướng nghiên cứu tiếp:

  • Mở rộng các sơ đồ lặp hiện sang các bài toán với toán tử $F$ chỉ thỏa mãn tính $j$-đơn điệu hoặc đơn điệu ngược.
  • Nghiên cứu nới lỏng các điều kiện hình học của không gian Banach, xem xét bài toán trong các không gian không phản xạ hoặc không gian Banach lồi yếu.
  • Phát triển các kỹ thuật gia tốc bước lặp (như kết hợp số hạng quán tính kiểu Nesterov hoặc Alvarez - Attouch) vào các sơ đồ lặp hiện dùng ánh xạ $\tilde{S}_k, \hat{S}_k, S^k$.
  • Ứng dụng các thuật toán đề xuất để giải bài toán biên cho phương trình vi phân và phương trình tích phân phi tuyến Hammerstein trong các không gian hàm thực tế.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho các nhóm đối tượng cụ thể sau:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng và Tối ưu hóa:
    • Chương 1 là tài liệu tổng hợp hệ thống về hình học không gian Banach phi Hilbert, lý thuyết tập Chebyshev, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và kỹ thuật sử dụng giới hạn Banach.
    • Chương 2 cung cấp kỹ thuật chứng minh giải tích chuẩn mực về hội tụ mạnh cho các dãy lặp phi tuyến thông qua các bổ đề giải tích thực và phương pháp phiếm hàm giới hạn Banach.
  • Giảng viên và các nhà nghiên cứu về Giải tích biến phân:
    • Cung cấp cách tiếp cận thiết kế toán tử trung gian dạng tổ hợp lồi ($\tilde{S}_k, \hat{S}_k, S^k$) để vượt qua rào cản tính toán tuần tự của toán tử $W_k$ truyền thống.
    • Phương pháp xử lý bài toán trên họ vô hạn các ánh xạ không giãn mà không cần điều kiện giao hoán.
  • Kỹ sư nghiên cứu và chuyên gia tối ưu hóa mạng viễn thông:
    • Tham khảo trực tiếp Chương 3 về phương pháp chuyển đổi bài toán phân phối băng thông mạng và kiểm soát luồng dữ liệu sang bài toán bất đẳng thức biến phân.
    • Ứng dụng thuật toán lặp hiện song song để thiết kế các giao thức định tuyến và phân bổ tài nguyên mạng phân tán trên các hệ thống tính toán đa lõi hoặc cụm máy chủ.

Câu hỏi thường gặp

1. Bài toán $VIP^*(F, C)$ nghiên cứu trong luận án được phát biểu toán học cụ thể như thế nào?
Bài toán yêu cầu tìm một điểm $x^* \in C := \bigcap_{i=1}^\infty \text{Fix}(T_i)$ sao cho: $$\langle F(x^), j(x - x^) \rangle \ge 0, \quad \forall x \in C$$ trong đó $E$ là không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt và có chuẩn khả vi Gâteaux đều; $j$ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị từ $E$ vào $E^*$; $F: E \to E$ là ánh xạ $j$-đơn điệu mạnh với hệ số $\eta > 0$ và $\gamma$-giả co chặt với $\eta + \gamma > 1$; và ${T_i}_{i=1}^\infty$ là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn xác định trên $E$ với tập điểm bất động chung $C$ khác rỗng.

2. Điểm khác biệt căn bản giữa ánh xạ $\tilde{S}_k$ của luận án và ánh xạ $W_k$ của Shimoji - Takahashi là gì?
Ánh xạ $W_k$ được định nghĩa đệ quy lồng nhau qua chuỗi ánh xạ $U_{k, n}$: $$U_{k, k+1} = I, \quad U_{k, n} = \alpha_n T_n U_{k, n+1} + (1 - \alpha_n)I, \quad W_k = U_{k, 1}$$ Cấu trúc này đòi hỏi phải tính toán tuần tự từ trong ra ngoài, không thể tính toán song song và rất phức tạp khi $k$ lớn. Ngược lại, ánh xạ $\tilde{S}_k$ trong luận án được xây dựng dưới dạng tổng tổ hợp lồi tường minh: $$\tilde{S}k = \sum{i=1}^k \frac{s_i}{\tilde{s}_k} T^i, \quad T^i = (1 - \alpha_i)I + \alpha_i T_i$$ Cấu trúc này cho phép tính toán độc lập giá trị của các toán tử $T^i(x)$ tại mỗi bước lặp, hỗ trợ trực tiếp việc lập trình tính toán song song trên máy tính.

3. Tại sao các thuật toán trong luận án không cần giả thiết giao hoán của các ánh xạ không giãn $T_i$?
Trong các nghiên cứu trước đây (như của Yamada hoặc Chidume), sơ đồ lặp xoay vòng tuần tự tích các toán tử $T_1 T_2 \dots T_N$ đòi hỏi điều kiện giao hoán trên tập điểm bất động $\text{Fix}(T_1 T_2 \dots T_N) = \bigcap_{i=1}^N \text{Fix}(T_i)$ để bảo đảm giới hạn của dãy lặp rơi đúng vào tập nghiệm chung $C$. Luận án của Nguyễn Song Hà sử dụng cấu trúc tổ hợp lồi trọng số trung bình cộng $\tilde{S}k, \hat{S}k, S^k$ với $\sum{i=1}^\infty s_i < \infty$. Nhờ Bổ đề 2.3 (chứng minh rằng tập điểm bất động của toán tử giới hạn $\tilde{S}$ trùng khít với giao của toàn bộ các tập điểm bất động $\bigcap{i=1}^\infty \text{Fix}(T_i)$ mà không phụ thuộc vào thứ tự tác động), thuật toán loại bỏ hoàn toàn yêu cầu các ánh xạ phải giao hoán với nhau.

4. Dãy tham số bước lặp $\lambda_k$ trong phương pháp (2.1) cần thỏa mãn những điều kiện gì?
Dãy số thực $\lambda_k \in (0, 1)$ chỉ cần thỏa mãn hai điều kiện chuẩn tắc giải tích cơ bản:

  • Điều kiện (L1): $\lim_{k\to\infty} \lambda_k = 0$ (bước lặp suy giảm dần về 0).
  • Điều kiện (L2): $\sum_{k=1}^\infty \lambda_k = \infty$ (tổng chuỗi bước lặp phân kỳ, bảo đảm dãy lặp không dừng sớm trước khi tiếp cận nghiệm). Thuật toán hoàn toàn không đòi hỏi điều kiện tỷ số (L3) phức tạp hay phụ thuộc vào các hằng số $L, \eta, \rho$.

5. Luận án đã thử nghiệm tính toán số cho bài toán thực tế nào và kết quả ra sao?
Luận án áp dụng thuật toán giải bài toán phân phối băng thông mạng viễn thông tại Chương 3. Bài toán tìm kiếm vector tốc độ phát tín hiệu tối ưu của các nguồn tin truyền qua các liên kết mạng có giới hạn dung lượng được đưa về dạng bài toán $VIP^*(F, C)$. Kết quả thực nghiệm số được tổng hợp từ Bảng 3.1 đến Bảng 3.7 chứng minh dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ chính xác về cấu hình phân bổ băng thông tối ưu với số bước lặp vừa phải, minh chứng tính hiệu quả và tính khả thi của các thuật toán lặp dạng hiện song song đã đề xuất.

Kết luận

Luận án tiến sĩ toán học của tác giả Nguyễn Song Hà đã giải quyết trọn vẹn mục tiêu nghiên cứu về việc xây dựng các phương pháp lặp dạng hiện xấp xỉ nghiệm cho lớp bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt và có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Bằng việc đề xuất và khai thác thành công các ánh xạ mới $\tilde{S}_k, \hat{S}_k, S^k$, công trình đã khắc phục được các hạn chế cơ bản của các phương pháp lặp trước đó, loại bỏ yêu cầu giao hoán của các toán tử, không cần ước lượng tiên nghiệm các hằng số Lipschitz và đơn điệu mạnh, đồng thời cho phép triển khai tính toán song song. Các kết quả lý thuyết được chứng minh chặt chẽ thông qua công cụ giải tích hiện đại và được kiểm chứng tính khả thi thông qua tính toán số cho bài toán phân phối băng thông mạng truyền thông, đóng góp tài liệu có giá trị cho chuyên ngành Toán giải tích và lý thuyết tối ưu hóa.