Tổng quan luận án

Công trình nghiên cứu thuộc chuyên ngành Toán giải tích (chuyên sâu về Giải tích phức nhiều biến và Lý thuyết đa thế vị - Pluripotential Theory) của nghiên cứu sinh Hoàng Nhật Quy, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Phạm Hoàng Hiệp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

Về tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu, lý thuyết đa thế vị phát triển mạnh từ nửa sau thế kỷ XX với đối tượng trung tâm là lớp hàm đa điều hòa dưới (plurisubharmonic - psh) và toán tử Monge-Ampère phức. Sau khi U. Cegrell đưa ra các lớp hàm có năng lượng Monge-Ampère hữu hạn $\mathcal{E}0(\Omega)$, $\mathcal{F}(\Omega)$, $\mathcal{E}(\Omega)$ trên miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$, Z. Błocki đã đặc trưng hóa lớp $\mathcal{E}(\Omega)$ và chỉ ra tính chất địa phương của lớp này. Tiếp đó, S. Benelkourchi, V. Guedj và A. Zeriahi đã tổng quát hóa sang các lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$. Giữa hai lớp $\mathcal{E}(\Omega)$ và $\mathcal{F}(\Omega)$ tồn tại mối liên hệ địa phương - toàn cục: với mọi $u \in \mathcal{E}(\Omega)$ và mọi tập compact tương đối $K \Subset \Omega$, luôn tồn tại $v \in \mathcal{F}(\Omega)$ sao cho $u = v$ trên $K$; đồng thời $\mathcal{E}(\Omega)$ có tính chất địa phương trong khi $\mathcal{F}(\Omega)$ thì không. Tuy nhiên, lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ không có tính chất địa phương. Vấn đề đặt ra là phải xây dựng một lớp hàm mới xuất phát từ $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ có tính chất địa phương và thiết lập mối quan hệ địa phương - toàn cục tương tự.

Song song với hướng trên, nghiên cứu không gian các hàm hiệu delta-đa điều hòa dưới $\delta\mathcal{H} = \mathcal{H} - \mathcal{H}$ cũng là bài toán mở rộng quan trọng. Không gian $\delta\mathcal{F}$ và $\delta\mathcal{E}$ đã được U. Cegrell, J. Wiklund, Lê Mậu Hải và Phạm Hoàng Hiệp nghiên cứu và trang bị các cấu trúc tô pô giải tích hàm. Tác giả P. Czyż cũng đã khảo sát không gian $\delta\mathcal{E}p$. Tuy nhiên, việc xây dựng một cấu trúc tô pô lồi địa phương hoàn chỉnh trên không gian $\delta\mathcal{E}\chi$ và xác định các tính chất giải tích hàm của nó chưa được giải quyết trước đó.

Ở một hướng tiếp cận khác, bài toán nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy hàm đa điều hòa dưới và tựa đa điều hòa dưới (quasi-plurisubharmonic) đóng vai trò quyết định trong việc giải phương trình Monge-Ampère phức với dữ kiện kỳ dị. Sau khi S. Kołodziej và Phạm Hoàng Hiệp thiết lập các hệ điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng trên đa tạp Kähler compact $X$, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là liệu các điều kiện đó có bảo toàn tính hội tụ theo dung lượng khi hạn chế các hàm này lên một siêu mặt phức trơn $S \subset X$ hay không.

Mục đích nghiên cứu của luận án tập trung vào ba nhiệm vụ cụ thể được đánh số theo văn bản:

  1. Xây dựng lớp năng lượng mới $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ và chứng minh rằng lớp đó có tính chất địa phương;
  2. Đưa ra không gian $\delta\mathcal{E}_\chi$, xây dựng và nghiên cứu một số tính chất của tô pô trên không gian đó;
  3. Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của các hàm tựa đa điều hòa dưới khi chúng được hạn chế trên siêu mặt trơn của đa tạp Kähler compact.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các lớp hàm đa điều hòa dưới âm, các lớp năng lượng Monge-Ampère có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$, không gian hàm hiệu $\delta\mathcal{E}\chi$, và các hàm tựa đa điều hòa dưới thuộc lớp $\text{PSH}(X, \omega)$ trên đa tạp Kähler compact. Phạm vi nghiên cứu về mặt không gian hình học bao gồm miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$, đa tạp Kähler compact $X$ cùng siêu mặt phức trơn $S \subset X$. Thời gian công bố các kết quả nghiên cứu thành phần gắn liền với giai đoạn 2012–2013 thông qua 3 bài báo khoa học chuyên ngành.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Tổng quan tài liệu trong luận án điểm lại các mốc phát triển chính của lý thuyết đa thế vị gắn liền với toán tử Monge-Ampère phức:

  • Giai đoạn nền tảng: E. Bedford và B. A. Taylor (1976, 1982) định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức $(dd^c \cdot)^n$ cho các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thông qua công thức tích phân từng phần và giới thiệu khái niệm dung lượng $\text{cap}(E)$. C. O. Kiselman (1983) đưa ra phản ví dụ chứng minh toán tử này không thể mở rộng lên toàn bộ lớp hàm đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn nhận giá trị là độ đo Radon không âm.
  • Các lớp năng lượng Cegrell: U. Cegrell (1998, 2004, 2008) đưa ra các lớp con $\mathcal{E}_0(\Omega)$, $\mathcal{F}_p(\Omega)$, $\mathcal{E}_p(\Omega)$, $\mathcal{F}(\Omega)$ và $\mathcal{E}(\Omega)$, chứng minh $\mathcal{E}(\Omega)$ là miền xác định cực đại mà trên đó toán tử Monge-Ampère bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm. Z. Błocki (2004, 2006) thiết lập đặc trưng giải tích và tính chất địa phương của $\mathcal{E}(\Omega)$.
  • Các lớp năng lượng có trọng: S. Benelkourchi, V. Guedj, A. Zeriahi (2007, 2009) giới thiệu và nghiên cứu các lớp năng lượng Monge-Ampère có trọng $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ với hàm trọng giảm $\chi: \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$.
  • Không gian hàm hiệu delta-psh: Bắt đầu từ C. O. Kiselman (1979) với $\delta\text{PSH}(\Omega)$ trang bị tô pô cảm sinh từ không gian $L^1_{\text{loc}}(\Omega)$; U. Cegrell và J. Wiklund (2005) nghiên cứu không gian Banach $\delta\mathcal{F}$; Lê Mậu Hải và Phạm Hoàng Hiệp (2006) nghiên cứu không gian Fréchet $\delta\mathcal{E}$; P. Czyż (2009, 2010) nghiên cứu không gian quasi-Banach $\delta\mathcal{E}_p$.
  • Dung lượng và sự hội tụ trên đa tạp Kähler compact: E. Bedford và B. A. Taylor (1988) nghiên cứu hàm psh với kỳ dị logarit; Y. Xing (1996) chứng minh tính liên tục của toán tử Monge-Ampère theo sự hội tụ theo dung lượng; S. Kołodziej (2003, 2005) mở rộng dung lượng $\text{cap}_X$ lên đa tạp Kähler compact; V. Guedj và A. Zeriahi (2005, 2007) chứng minh tính tương đương địa phương giữa $\text{cap}_X$ và dung lượng Bedford-Taylor; S. Kołodziej và Phạm Hoàng Hiệp (2012) thiết lập điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung lượng trên đa tạp Kähler compact; Y. Xing (2009, 2010) và J.-P. Demailly (1992, 1993) phát triển lý thuyết giao và toán tử Monge-Ampère trên đa tạp Kähler compact.

Vị trí nghiên cứu của luận án: Luận án đã lấp đầy khoảng trống về tính chất địa phương của lớp năng lượng có trọng bằng cách kiến tạo lớp $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$; hoàn thiện bức tranh cấu trúc tô pô giải tích hàm cho không gian $\delta\mathcal{E}\chi$; đồng thời mở rộng bài toán hội tụ theo dung lượng từ đa tạp Kähler compact xuống siêu mặt phức trơn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các hệ thống lý thuyết, khái niệm và công cụ giải tích toán học thuần túy bao gồm:

  • Khái niệm lớp địa phương: Một lớp con $\mathcal{K}(\Omega) \subset \text{PSH}^-(\Omega)$ được gọi là có tính chất địa phương nếu thỏa mãn hai điều kiện:
    1. Nếu $\phi \in \mathcal{K}(\Omega)$ thì $\phi \in \mathcal{K}(D)$ với mọi miền siêu lồi $D \Subset \Omega$;
    2. Một hàm $\phi \in \text{PSH}^-(\Omega)$ thuộc lớp $\mathcal{K}_{\text{loc}}(\Omega)$ nếu với mọi miền siêu lồi $D \Subset \Omega$ đều tồn tại hàm $\psi \in \mathcal{K}(\Omega)$ sao cho $\psi = \phi$ trên $D$.
  • Lớp hàm năng lượng Monge-Ampère có trọng: Lớp $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ gồm các hàm $\phi \in \mathcal{N}(\Omega)$ thỏa mãn $\chi \circ \phi \in L^1((dd^c \phi)^n)$, trong đó $\chi: \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$ là hàm giảm. Để đảm bảo $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ là một nón lồi, hàm trọng $\chi$ thỏa mãn điều kiện nhân đôi $\chi(2t) \le a\chi(t)$ với $a > 1$. Khi chứng minh tính địa phương, hàm $\chi$ được yêu cầu thuộc lớp $\mathcal{K}$, tức là thỏa mãn thêm các đánh giá đạo hàm $(-t)\chi'(t) \le c_1 \chi(t)$ và $t\chi''(t) \le c_2 (-\chi'(t))$.
  • Toán tử cực trị tương đối: Cho $D \Subset \Omega$ và $\phi \in \text{PSH}^-(\Omega)$, hàm cực trị tương đối được xác định bởi $h^\phi_{D,\Omega} = \sup{u \in \text{PSH}^-(\Omega) : u \le \phi \text{ trên } D}$.
  • Dung lượng Choquet: Dung lượng Bedford-Taylor trên miền $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ được định nghĩa qua $\text{cap}(E) = \sup{\int_E (dd^c u)^n : u \in \text{PSH}(\Omega), -1 \le u \le 0}$; trên đa tạp Kähler compact $X$, dung lượng Kołodziej được định nghĩa qua $\text{cap}X(E) = \sup{\int_E \omega\phi^n : \phi \in \text{PSH}(X, \omega), -1 \le \phi \le 0}$.
  • Phương pháp nghiên cứu: Luận án sử dụng các phương pháp diễn dịch tiên đề và kỹ thuật giải tích phức nhiều biến kinh điển:
    • Kỹ thuật tích phân từng phần đối với dòng dương đóng dạng $(p, p)$;
    • Phương pháp giải tích hàm xây dựng tô pô lồi địa phương thông qua hệ cơ sở lân cận gốc gồm các bao lồi của các tập cân, hấp thụ;
    • Phương pháp giải tích vi phân phức trên đa tạp, xấp xỉ chính quy hóa dòng đóng dương và hàm tựa đa điều hòa dưới theo kết quả của J.-P. Demailly, B. Cegrell và S. Kołodziej.

Dữ liệu nghiên cứu trong luận án là hệ thống định lý, bổ đề, ước lượng tiên nghiệm và công thức toán học trừu tượng được dẫn xuất giải tích, không sử dụng dữ liệu thực nghiệm hay phần mềm thống kê số liệu.

Đối tượng toán học Ký hiệu trong văn bản Không gian / Miền xác định Đặc trưng cấu trúc chính
Hàm đa điều hòa dưới âm $\text{PSH}^-(\Omega)$ Miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ Nửa liên tục trên, $dd^c u \ge 0$, nhận giá trị âm
Lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ Miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ $\chi \circ \phi \in L^1((dd^c \phi)^n)$, là nón lồi khi $\chi(2t) \le a\chi(t)$
Lớp năng lượng địa phương $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ Miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ $h^\phi_{D,\Omega} \in \mathcal{E}_\chi(\Omega)$ với mọi $D \Subset \Omega$
Không gian hàm hiệu delta $\delta\mathcal{E}_\chi$ Miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ Không gian vectơ $\mathcal{E}\chi - \mathcal{E}\chi$, Fréchet không khả ly
Hàm tựa đa điều hòa dưới $\text{PSH}(X, \omega)$ Đa tạp Kähler compact $X$ $u \in L^1(X)$, $dd^c u + \omega \ge 0$
Lớp hàm kỳ dị gần siêu mặt $D(S, a)$ Đa tạp Kähler compact $X$ Liên tục ngoài $S$, bị chặn bởi $a\log|f|$ gần $S$

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Tính chất địa phương của lớp $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$

Chương 1 thiết lập định nghĩa và chứng minh tính chất địa phương của lớp hàm năng lượng có trọng mở rộng $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ trên miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$.

Tác giả định nghĩa lớp $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ như sau: $$\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega) = {\phi \in \text{PSH}^-(\Omega) : h^\phi_{D,\Omega} \in \mathcal{E}\chi(\Omega), \forall D \Subset \Omega}$$ Trong đó $h^\phi{D,\Omega} = \sup{u \in \text{PSH}^-(\Omega) : u \le \phi \text{ trên } D}$, thỏa mãn $\text{supp}(dd^c h^\phi_{D,\Omega})^n \subset \overline{D} \Subset \Omega$.

Để chuẩn bị cho kết quả chính, tác giả xét lớp hàm trọng $\mathcal{K}$ gồm các hàm giảm $\chi: \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$ thỏa mãn điều kiện nhân đôi $\chi(2t) \le a\chi(t)$ ($a > 1$) cùng các điều kiện đánh giá đạo hàm cấp một và cấp hai. Tác giả chứng minh lớp $\mathcal{K}$ có tính chất ổn định đại số: nếu $\chi_1, \chi_2 \in \mathcal{K}$ và $a_1, a_2 \ge 0$ thì $a_1\chi_1 + a_2\chi_2 \in \mathcal{K}$; $\chi^p \in \mathcal{K}$ với mọi $p > 0$; và $(-t)^k \chi(t) \in \mathcal{K}$ với mọi số tự nhiên $k$. Hàm $\chi(t) = (-t)^p$ ($p > 0$) là trường hợp điển hình thuộc lớp $\mathcal{K}$.

Hai bổ đề kỹ thuật quan trọng được thiết lập:

  • Bổ đề 1.2: Với $u, v \in \text{PSH}^-(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ thỏa mãn $u \le v$ và $T$ là $(n-1, n-1)$-dòng dương đóng, tồn tại hằng số $c = c(\Omega', \Omega'', \Omega, \chi)$ sao cho: $$\int_{\Omega'} \chi(u) dd^c v \wedge T \le c \int_{\Omega''} \chi(u) dd^c u \wedge T + c \int_{\Omega''} \chi(u)|u|dd^c|z|^2 \wedge T$$
  • Bổ đề 1.3: Cho $u \in \mathcal{E}\chi(\Omega)$ và $\Omega' \Subset \Omega$, tác giả chứng minh các đại lượng tích phân hỗn hợp sau là hữu hạn: $$\int{\Omega'} \chi_k(u)(dd^c u)^{n-k} \wedge (dd^c|z|^2)^k < +\infty$$ $$\int_{\Omega'} \chi_k(u)|u|(dd^c u)^{n-k} \wedge (dd^c|z|^2)^k < +\infty$$ với dãy hàm trọng xác định quy nạp $\chi_0(t) = \chi(t)$ và $\chi_k(t) = \int_0^t \chi_{k-1}(s)ds$.

Kết quả trung tâm của chương là Định lý 1.4: Giả sử $\chi \in \mathcal{K}$, khi đó lớp $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ là một lớp địa phương. Phép chứng minh khẳng định hai mệnh đề:

  1. Nếu $\phi \in \mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ thì $\phi \in \mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(D)$ với mọi miền siêu lồi $D \Subset \Omega$;
  2. Nếu với mọi miền siêu lồi $D \Subset \Omega$ đều tồn tại $\psi \in \mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ sao cho $\psi = \phi$ trên $D$, thì $\phi \in \mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$.

Trường hợp riêng: khi chọn $\chi(t) \equiv 1$, ta thu lại $\mathcal{E}\chi(\Omega) = \mathcal{F}(\Omega)$ và $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega) = \mathcal{E}(\Omega)$, khẳng định lại tính chất địa phương của lớp Cegrell $\mathcal{E}(\Omega)$. Khi chọn $\chi(t) = (-t)^p$ ($p > 0$), kết quả áp dụng trực tiếp cho các lớp năng lượng Cegrell $\mathcal{E}_p(\Omega)$.

Chương 2: Tô pô trên không gian $\delta\mathcal{E}_\chi$

Chương 2 nghiên cứu cấu trúc giải tích hàm của không gian vectơ các hàm hiệu delta-psh: $$\delta\mathcal{E}\chi = \mathcal{E}\chi(\Omega) - \mathcal{E}\chi(\Omega) = {u \in L^1{\text{loc}}(\Omega) : u = v - w, v, w \in \mathcal{E}_\chi(\Omega)}$$

Với mỗi $u \in \mathcal{E}\chi(\Omega)$, đại lượng năng lượng toàn phần được xác định bởi $e\chi(u) = \int_\Omega \chi(u)(dd^c u)^n$. Với mỗi số tự nhiên $m \in \mathbb{N}$, tác giả xác định tập hợp đối xứng $U_m$ trong $\delta\mathcal{E}\chi$: $$U_m = {u = v - w : v, w \in \mathcal{E}\chi(\Omega), e_\chi(v) < \frac{1}{m}, e_\chi(w) < \frac{1}{m}}$$

Các tính chất của họ ${U_m}_{m=1}^\infty$ được thiết lập qua hệ thống bổ đề:

  • Bổ đề 2.1: $U_m$ là tập cân trong không gian vectơ $\delta\mathcal{E}_\chi$ (với mọi $u \in U_m$ và $|a| \le 1$ thì $au \in U_m$).
  • Bổ đề 2.2: $U_m$ là tập hấp thụ trong $\delta\mathcal{E}\chi$ (với mọi $u \in \delta\mathcal{E}\chi$, tồn tại $\epsilon > 0$ sao cho $au \in U_m$ với mọi $|a| < \epsilon$).
  • Bổ đề 2.3 và Bổ đề 2.4: Đánh giá bất đẳng thức năng lượng trên nón lồi $\mathcal{E}\chi(\Omega)$: $$e\chi(\phi + \psi) \le 2^{2n}c^2 [e_\chi(\phi) + e_\chi(\psi)]$$ Từ đó suy ra với mọi $m \ge 1$, tồn tại chỉ số $k = m([2^{2n}c^2] + 1)$ sao cho bao lồi của $U_k$ nằm gọn trong $U_m$.

Các định lý nền tảng của Chương 2:

  • Định lý 2.5: Không gian vectơ $\delta\mathcal{E}\chi$ trang bị tô pô lồi địa phương $\tau\chi$ sinh bởi họ các bao lồi của ${U_m}_{m \ge 1}$ (làm cơ sở lân cận của gốc) là một không gian Fréchet.
  • Định lý 2.6: Nếu dãy ${u_j}$ hội tụ tới $u$ trong không gian tô pô $\delta\mathcal{E}_\chi$ thì ${u_j}$ hội tụ tới $u$ theo dung lượng Bedford-Taylor $\text{cap}$.
  • Mệnh đề 2.7: Tập nón lồi $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ là một tập đóng trong không gian tô pô $\delta\mathcal{E}\chi$.
  • Mở rộng toán tử Monge-Ampère (Định lý 2.9): Toán tử $(dd^c \cdot)^n$ được xác định trên $\delta\mathcal{E}\chi$. Nếu dãy ${u_j} \subset \delta\mathcal{E}\chi$ hội tụ tới $u \in \delta\mathcal{E}\chi$ theo tô pô $\tau\chi$ thì độ đo Monge-Ampère hội tụ yếu: $(dd^c u_j)^n \to (dd^c u)^n$ khi $j \to +\infty$.
  • Định lý 2.11: Không gian Fréchet $\delta\mathcal{E}_\chi$ là không gian không khả ly (non-separable) và không phản xạ (non-reflexive). Phép chứng minh xây dựng họ các hàm cực trị $h_r$ trên các hình cầu $B(z_0, r)$ với giá của độ đo Monge-Ampère tập trung trên mặt cầu $S(z_0, r)$, chỉ ra tập đếm được không thể trù mật và phủ nhận tính compact yếu của hình cầu đóng.
  • Khảo sát tô pô cảm sinh: Gọi $\tau'\chi$ là tô pô cảm sinh từ tô pô của $\delta\mathcal{E}$ lên $\delta\mathcal{E}\chi$. Tác giả chứng minh $\tau'\chi \le \tau\chi$, dẫn tới phép nhúng chính tắc $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau\chi) \hookrightarrow (\delta\mathcal{E}, \tau)$ là liên tục, và không gian $(\delta\mathcal{E}\chi, \tau'\chi)$ cũng là không gian không khả ly.

Chương 3: Hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact

Chương 3 khảo sát bài toán thu hẹp hàm tựa đa điều hòa dưới lên một siêu mặt phức trơn $S$ nhúng trong đa tạp Kähler compact $(X, \omega)$ chiều phức $n$.

Khái niệm lớp hàm kỳ dị logarit $D(S, a)$ được đưa ra: Với $a > 0$, $D(S, a)$ là họ các hàm $\phi \in \text{PSH}^-(X, \omega) \cap C(X \setminus S)$ sao cho với mọi $z \in S$, tồn tại lân cận $U$ của $z$ và hàm chỉnh hình $f$ trên $U$ xác định phương trình của $S$ ($S \cap U = {w \in U : f(w) = 0}$, $f'(w) \ne 0$ trên $\text{Reg}(S) \cap U$) thỏa mãn: $$\phi - a\log|f| \in L^\infty(U \setminus S)$$

  • Mệnh đề 3.1: Với số $a > 0$ đủ nhỏ, họ $D(S, a)$ là khác rỗng. Đại lượng cực biên được định nghĩa $m(S, X, \omega) = \sup{a > 0 : D(S, a) \ne \emptyset} > 0$.
  • Mệnh đề 3.2: Nếu $\phi \in D(S, a)$ thì hạn chế $\phi|_S$ không đồng nhất bằng $-\infty$.
  • Mệnh đề 3.4: Thiết lập công thức tích phân phân phối cho dạng giới hạn: nếu $u^k_j, v^k_j, u_0 \in \mathcal{F}(X, \omega)$ thỏa mãn $u^k_j \ge u_0, v^k_j \ge u_0$ và $u^k_j - v^k_j \to 0$ theo dung lượng $\text{cap}X$, thì với mọi hàm trơn $f \in C^\infty(X)$: $$\lim{j \to +\infty} \int_X f [\omega_{u^1_j} \wedge \dots \wedge \omega_{u^n_j} - \omega_{v^1_j} \wedge \dots \wedge \omega_{v^n_j}] = 0$$

Hai định lý cốt lõi của Chương 3:

  • Định lý 3.6: Cho $S$ là siêu mặt phức trơn trong đa tạp Kähler compact $X$ và $u \in \mathcal{F}(X, \omega)$ thỏa mãn điều kiện tích phân $\int_X |\phi_S| \omega_u^n < +\infty$ với hàm $\phi_S \in D(S, a)$ ($a > 0$). Khi đó hàm hạn chế thuộc lớp năng lượng trên siêu mặt: $u|_S \in \mathcal{E}_1(S, \omega_S)$.
  • Định lý 3.7: Cho $S$ là siêu mặt phức trơn trong đa tạp Kähler compact $X$; các dãy $u_j, v_j \in \text{PSH}^-(X, \omega) \cap L^\infty(X)$ và $u_0 \in \mathcal{F}(X, \omega)$ thỏa mãn $u_j \ge u_0, v_j \ge u_0$ với mọi $j \ge 1$; $u_j - v_j \to 0$ theo dung lượng $\text{cap}X$; tồn tại $\phi_S \in D(S, a)$ sao cho $\int_X |\phi_S| \omega{u_0}^n < +\infty$. Giả sử thỏa mãn một trong hai hệ điều kiện khống chế sau:
    • Điều kiện i: Với mọi $z \in S$, tồn tại lân cận $U$ của $z$ và các hàm $\psi \in \text{PSH}^-(U) \cap L^\infty(U)$, $\varphi \in \mathcal{B}(U)$ sao cho trên $U$ có đánh giá độ đo Monge-Ampère: $$\omega_{u_j}^n + \omega_{v_j}^n \le dd^c \psi \wedge (dd^c \varphi)^{n-1}, \quad \forall j \ge 1$$
    • Điều kiện ii: Tồn tại lân cận $U$ của $S$ và hàm tăng $F: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thỏa mãn $\int_1^{+\infty} F(1/t)dt < +\infty$ sao cho với mọi tập con Borel $E \subset U$ và mọi $j \ge 1$: $$\int_E (\omega_{u_j}^n + \omega_{v_j}^n) \le F(\text{cap}_X(E))$$ Khi đó, dãy hàm hạn chế bảo toàn tính hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt: $$u_j|_S - v_j|_S \to 0 \text{ theo } \text{cap}_S \text{ khi } j \to +\infty$$

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự tổng kết 7 đóng góp mới về mặt lý thuyết toán học:

  1. Đưa ra định nghĩa đầy đủ về tính chất địa phương của các hàm đa điều hòa dưới với năng lượng Monge-Ampère và năng lượng Monge-Ampère có trọng hữu hạn;
  2. Chứng minh lớp hàm năng lượng có trọng mới $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ có tính chất địa phương;
  3. Đưa ra lớp hàm $\delta\mathcal{E}_\chi$ và phương pháp xây dựng tô pô lồi địa phương trên không gian vectơ này thông qua hệ bao lồi của các tập cân, hấp thụ;
  4. Chứng minh không gian vectơ tô pô $\delta\mathcal{E}_\chi$ là một không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ;
  5. Chứng minh sự hội tụ trong không gian tô pô $\delta\mathcal{E}_\chi$ mạnh hơn sự hội tụ theo dung lượng Bedford-Taylor;
  6. Đưa ra định nghĩa lớp hàm $D(S, a)$ gồm các hàm tựa đa điều hòa dưới liên tục ngoài siêu mặt trơn $S$ trong đa tạp Kähler compact $X$ và bị chặn tiệm cận bởi hàm kỳ dị logarit $a\log|f|$ gần siêu mặt $S$;
  7. Thiết lập hai hệ điều kiện đủ và chứng minh rằng chúng bảo đảm cho sự hội tụ theo dung lượng của các hàm tựa đa điều hòa dưới khi thu hẹp lên siêu mặt phức trơn $S$ vẫn hội tụ theo dung lượng $\text{cap}_S$.

Về mặt kiến nghị học thuật, các kết quả nghiên cứu trong luận án cung cấp công cụ giải tích giải quyết bài toán biên Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère phức có trọng, đồng thời gợi ý việc sử dụng các lớp hàm kỳ dị tiệm cận logarit $D(S, a)$ để kiểm soát tính chất kỳ dị của các nghiệm dòng trên đa tạp phức.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án gắn liền trực tiếp với phạm vi giả thiết giải tích và hình học được công bố trong văn bản:

  • Các kết quả về tính chất địa phương của $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ và cấu trúc của $\delta\mathcal{E}\chi$ giới hạn trong lớp miền siêu lồi $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ và đòi hỏi hàm trọng $\chi$ phải thuộc lớp $\mathcal{K}$ (thỏa mãn điều kiện nhân đôi và chặn đạo hàm cấp một, cấp hai).
  • Kết quả thu hẹp trên siêu mặt tại Chương 3 chỉ áp dụng cho siêu mặt trơn $S$ trên đa tạp Kähler compact $X$ và đòi hỏi hàm thế vị khống chế $\phi_S$ thuộc lớp kỳ dị $D(S, a)$; luận án chưa khảo sát các trường hợp siêu mặt có điểm kỳ dị phức tạp hoặc đa tạp không compact.

Hướng nghiên cứu tiếp được gợi mở từ văn bản bao gồm việc mở rộng khảo sát tô pô trên không gian hàm hiệu delta-psh với các lớp trọng tổng quát hơn, nghiên cứu mối liên hệ định lượng giữa tô pô $\tau_\chi$ và tô pô cảm sinh $\tau'_\chi$, cùng việc tìm kiếm các điều kiện yếu hơn để bảo toàn tính hội tụ theo dung lượng trên các tập con giải tích tổng quát có kỳ dị của đa tạp Kähler.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên ngành trực tiếp cho:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học thuộc chuyên ngành Giải tích toán học, Hình học giải tích phức và Lý thuyết đa thế vị.
  • Giảng viên và các nhà nghiên cứu làm việc trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, phương trình Monge-Ampère phức và giải tích trên đa tạp phức.

Các phần có giá trị tham khảo kỹ thuật cao:

  • Bổ đề 1.2 và Bổ đề 1.3 ở Chương 1 cung cấp kỹ thuật ước lượng tích phân từng phần đối với dòng dương đóng kết hợp hàm trọng giải tích;
  • Kỹ thuật xây dựng hệ lân cận gốc thông qua bao lồi của các tập cân, hấp thụ $U_m$ ở Chương 2 là mô hình tiêu chuẩn để trang bị tô pô Fréchet cho các không gian hàm phi Banach trong giải tích phức;
  • Phương pháp xấp xỉ độ đo thông qua lớp kiểm soát kỳ dị $D(S, a)$ ở Chương 3 cung cấp công cụ giải tích để xử lý vết của hàm tựa đa điều hòa dưới trên các đa tạp con phức.

Câu hỏi thường gặp

1. Lớp hàm $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ được định nghĩa như thế nào và tại sao cần đưa ra lớp hàm này?

Lớp hàm $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ được định nghĩa là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới âm $\phi \in \text{PSH}^-(\Omega)$ sao cho với mọi miền siêu lồi compact tương đối $D \Subset \Omega$, hàm cực trị tương đối $h^\phi{D,\Omega} = \sup{u \in \text{PSH}^-(\Omega) : u \le \phi \text{ trên } D}$ thuộc vào lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$. Việc đưa ra lớp này là cần thiết vì lớp $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ nguyên bản không có tính chất địa phương (tồn tại hàm thuộc $\mathcal{E}\chi(\Omega)$ nhưng khi hạn chế lên miền con $D \Subset \Omega$ thì không thuộc $\mathcal{E}\chi(D)$). Lớp $\mathcal{E}_{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ được kiến tạo để khắc phục khiếm khuyết này và thiết lập mối quan hệ địa phương - toàn cục tương tự như cặp lớp Cegrell $\mathcal{E}(\Omega)$ và $\mathcal{F}(\Omega)$.

2. Cấu trúc tô pô trên không gian $\delta\mathcal{E}_\chi$ được xây dựng bằng cách nào và có những tính chất gì?

Không gian vectơ $\delta\mathcal{E}\chi = \mathcal{E}\chi(\Omega) - \mathcal{E}\chi(\Omega)$ được trang bị tô pô lồi địa phương xác định bởi hệ cơ sở lân cận của gốc là họ các bao lồi của các tập $U_m = {u = v - w : v, w \in \mathcal{E}\chi, e_\chi(v) < 1/m, e_\chi(w) < 1/m}$ với $m \in \mathbb{N}$. Luận án chứng minh rằng các tập $U_m$ là cân và hấp thụ, và với tô pô lồi địa phương này, $\delta\mathcal{E}\chi$ trở thành một không gian Fréchet. Về mặt giải tích hàm, không gian Fréchet $\delta\mathcal{E}\chi$ không có tính khả ly và không có tính phản xạ.

3. Sự hội tụ trong không gian tô pô $\delta\mathcal{E}_\chi$ có mối quan hệ như thế nào với sự hội tụ theo dung lượng và toán tử Monge-Ampère?

Sự hội tụ theo tô pô của không gian $\delta\mathcal{E}\chi$ kéo theo sự hội tụ theo dung lượng Bedford-Taylor $\text{cap}$, tức là sự hội tụ tô pô mạnh hơn sự hội tụ theo dung lượng. Hơn nữa, toán tử Monge-Ampère $(dd^c \cdot)^n$ hoàn toàn xác định được trên $\delta\mathcal{E}\chi$ và bảo tồn tính liên tục: nếu dãy ${u_j} \subset \delta\mathcal{E}\chi$ hội tụ tới $u \in \delta\mathcal{E}\chi$ theo tô pô thì dãy độ đo Monge-Ampère $(dd^c u_j)^n$ hội tụ yếu tới $(dd^c u)^n$.

4. Lớp hàm $D(S, a)$ trên đa tạp Kähler compact được định nghĩa bởi những điều kiện giải tích nào?

Với $a > 0$, $D(S, a)$ là tập hợp các hàm tựa đa điều hòa dưới âm $\phi \in \text{PSH}^-(X, \omega)$ liên tục trên $X \setminus S$, thỏa mãn tính chất: tại mỗi điểm $z \in S$, tồn tại lân cận $U$ và hàm chỉnh hình $f$ trên $U$ xác định siêu mặt $S$ ($S \cap U = {f = 0}, f' \ne 0$) sao cho hiệu $\phi - a\log|f|$ bị chặn trên $U \setminus S$. Luận án chứng minh rằng khi $a > 0$ đủ nhỏ thì lớp $D(S, a)$ luôn khác rỗng.

5. Hai hệ điều kiện đủ nào trong luận án đảm bảo tính hội tụ theo dung lượng được bảo toàn trên siêu mặt $S$?

Cho dãy ${u_j - v_j} \to 0$ theo dung lượng $\text{cap}_X$ trên đa tạp Kähler compact $X$ với các chặn dưới thích hợp và hàm kỳ dị $\phi_S \in D(S, a)$. Hai hệ điều kiện đủ độc lập để dãy hàm hạn chế $u_j|_S - v_j|_S \to 0$ theo dung lượng $\text{cap}_S$ trên siêu mặt phức trơn $S$ gồm:

  • Điều kiện i: Tổng độ đo Monge-Ampère $\omega_{u_j}^n + \omega_{v_j}^n$ bị chặn trên địa phương bởi dạng dòng $dd^c \psi \wedge (dd^c \varphi)^{n-1}$ với $\psi \in \text{PSH}^-(U) \cap L^\infty(U)$ và $\varphi \in \mathcal{B}(U)$;
  • Điều kiện ii: Tồn tại hàm tăng $F: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thỏa mãn tích phân hội tụ $\int_1^{+\infty} F(1/t)dt < +\infty$ sao cho tích phân độ đo $\int_E (\omega_{u_j}^n + \omega_{v_j}^n)$ trên tập Borel $E$ gần siêu mặt $S$ bị khống chế đều bởi hàm điều khiển dung lượng $F(\text{cap}_X(E))$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Hoàng Nhật Quy giải quyết trọn vẹn ba bài toán chuyên sâu trong lý thuyết đa thế vị hiện đại gắn liền với toán tử Monge-Ampère phức. Tác giả đã kiến tạo thành công lớp hàm năng lượng có trọng $\mathcal{E}{\chi,\text{loc}}(\Omega)$ và chứng minh tính chất địa phương của lớp này; thiết lập cấu trúc không gian Fréchet không khả ly, không phản xạ cho không gian hàm hiệu $\delta\mathcal{E}\chi$; đồng thời xác lập hai hệ điều kiện đủ đảm bảo sự hội tụ theo dung lượng được bảo toàn khi hạn chế lên siêu mặt phức trơn của đa tạp Kähler compact. Toàn bộ các định lý và bổ đề được chứng minh giải tích chính xác, đóng góp có ý nghĩa vào hệ thống lý thuyết giải tích phức nhiều biến.