Luận án tiến sĩ về tính chính quy của ánh xạ đa trị và ứng dụng trong toán học

• Tác giả: Dao Ngoc Han
• Người hướng dẫn: Assoc. Huynh Van Ngai
• Trường học: Quy Nhon University
• Chuyên ngành: Mathematical Analysis
• Đề tài: Nghiên Cứu Tính Chính Quy Của Ánh Xạ Đa Trị Và Ứng Dụng Trong Toán Học
• Loại tài liệu: doctoral thesis
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Binh Dinh

• Declaration
• Acknowledgments
• Contents
• 1. Preliminaries
• 1.1. Some related classical results
• 1.2. Basic tools from variational analysis and nonsmooth analysis
• 1.2.1. Ekeland’s variational principles
• 1.2.2. Subdifferentials and some calculus rules
• 1.2.3. Coderivatives of set-valued mappings
• 1.3. Strong slope and some error bound results
• 1.4. Metric regularity and equivalent properties
• 1.4.1. Local metric regularity
• 1.4.2. Nonlocal metric regularity
• 1.4.3. Nonlinear metric regularity
• 1.4.4. Metric regularity criteria in metric spaces
• 1.5. The infinitesimal criteria for metric regularity in metric spaces
• 2. Metric regularity on a fixed set: definitions and characterizations
• 2.1. Definitions and equivalence of the nonlinear metric regularity concepts
• 2.2. Characterizations of nonlinear metric regularity via slope
• 2.3. Characterizations of nonlinear metric regularity via coderivative
• 3. Perturbation stability of Milyutin-type regularity and applications
• 3.1. Perturbation stability of Milyutin-type regularity
• 3.2. Application to fixed double-point problems
• 4. Star metric regularity
• 4.1. Definitions and characterizations of nonlinear star metric regularity
• 4.2. Stability of Milyutin-type regularity under perturbation of star regularity
• 5. Stability of generalized equations governed by composite multifunctions
• 5.1. Notation and some related concepts
• 5.2. Regularity of parametrized epigraphical and composition set-valued mappings
• 5.3. Stability of implicit set-valued mappings
• 5.3.1. Stability of implicit set-valued mappings associated to the epigraphical set-valued mapping
• 5.3.2. Stability of implicit set-valued mappings associated to a composite mapping
• Conclusions
• List of Author’s Related Publications
• References

I. Tính chính quy của ánh xạ đa trị

Tính chính quy của ánh xạ đa trị là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong phân tích biến thiên và lý thuyết tối ưu. Khái niệm này liên quan đến việc xác định sự tồn tại và tính chất của các nghiệm của các phương trình tổng quát. Một trong những điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại của nghiệm là tính chính quy của ánh xạ. Trong trường hợp ánh xạ là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian metric, điều kiện này được đảm bảo bởi tính surjectivity của ánh xạ. Đối với ánh xạ đa trị, vấn đề trở nên phức tạp hơn, vì vậy cần phải áp dụng các công cụ từ phân tích biến thiên để nghiên cứu tính chính quy. Các khái niệm như độ dốc địa phương và coderivative được sử dụng để xác định các tính chất của ánh xạ đa trị. Việc nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như tối ưu hóa và lý thuyết điều khiển.

1.1. Các khái niệm cơ bản về tính chính quy

Tính chính quy trong toán học thường được định nghĩa thông qua các điều kiện liên quan đến sự tồn tại của nghiệm. Đặc biệt, trong bối cảnh của hàm số và hệ thống phương trình, tính chính quy được xem xét thông qua các điều kiện như tính liên tục và tính khả thi của các nghiệm. Các khái niệm như tính liên tục, tính khả thi và tính kháng là những yếu tố quan trọng trong việc xác định tính chính quy của ánh xạ đa trị. Nghiên cứu này cũng chỉ ra rằng, trong nhiều trường hợp, việc áp dụng các phương pháp như Ekeland’s variational principle có thể giúp xác định các điều kiện cần thiết cho tính chính quy. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho các mô hình tính chính quy không địa phương, từ đó mở rộng khả năng ứng dụng trong các bài toán thực tiễn.

II. Ứng dụng của tính chính quy trong toán học

Tính chính quy của ánh xạ đa trị có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt trong các lĩnh vực như tối ưu hóa và lý thuyết điều khiển. Một trong những ứng dụng quan trọng là trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa, nơi mà tính chính quy giúp xác định các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm tối ưu. Các mô hình tính chính quy không chỉ giúp trong việc tìm kiếm nghiệm mà còn trong việc phân tích độ nhạy của nghiệm đối với các biến số đầu vào. Điều này rất quan trọng trong các bài toán thực tiễn, nơi mà các tham số có thể thay đổi. Hơn nữa, tính chính quy cũng có thể được áp dụng trong lý thuyết điều khiển, nơi mà việc duy trì tính chính quy của các ánh xạ là cần thiết để đảm bảo sự ổn định của hệ thống. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng, việc mở rộng các khái niệm về tính chính quy có thể dẫn đến những phát hiện mới trong lý thuyết điều khiển và tối ưu hóa.

2.1. Tính chính quy trong tối ưu hóa

Trong lĩnh vực tối ưu hóa, tính chính quy của hàm số và hệ thống phương trình là rất quan trọng. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, tính chính quy có thể giúp xác định các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm tối ưu. Đặc biệt, trong các bài toán tối ưu hóa phi tuyến, việc áp dụng các khái niệm như độ dốc và coderivative có thể giúp phân tích tính chính quy của các ánh xạ đa trị. Điều này không chỉ giúp trong việc tìm kiếm nghiệm mà còn trong việc đánh giá độ nhạy của nghiệm đối với các biến số đầu vào. Các ứng dụng thực tiễn của tính chính quy trong tối ưu hóa đã được chứng minh qua nhiều nghiên cứu và bài toán thực tế, từ đó khẳng định giá trị của nó trong toán học.