Tổng quan luận án

Nghiên cứu về sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của các bài toán toán học gắn liền với phương trình, bất đẳng thức, bất đẳng thức biến phân và hệ điều kiện tối ưu là một trong những trọng tâm của giải tích biến phân (variational analysis). Khung lý thuyết về tính chính quy metric (metric regularity) đóng vai trò trung tâm trong việc định lượng khoảng cách từ một điểm xấp xỉ đến tập nghiệm của phương trình suy rộng (generalized equations) dạng $y \in F(x)$, trong đó $F: X \rightrightarrows Y$ là ánh xạ đa trị giữa các không gian metric hoặc không gian Banach.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả luận án xác định xuất phát từ hai hạn chế cơ bản trong các nghiên cứu hiện hành:

  1. Phần lớn các kết quả cổ điển và hiện đại về tính chính quy metric (kể cả các mở rộng bậc cao hay phi tuyến) chủ yếu tập trung vào tính chất địa phương (local metric regularity) trong lân cận của một điểm đồ thị $(\bar{x}, \bar{y}) \in \text{Graph}, F$. Cách tiếp cận địa phương cho phép thay đổi bán kính lân cận một cách tùy ý nhưng không đáp ứng được yêu cầu của nhiều bài toán toán học cụ thể như phương pháp Newton hay bài toán điểm bất động, nơi miền khảo sát bắt buộc phải là một tập cố định.
  2. Các mô hình phi địa phương (nonlocal metric regularity) gần đây của A. D. Ioffe chủ yếu xét trên miền có cấu trúc dạng tích Đề-các (dạng hộp $U \times V \subset X \times Y$). Cấu trúc này không bao quát được nhiều tình huống ứng dụng thực tế, chẳng hạn như tính chính quy metric theo hướng (directional metric regularity) trong lý thuyết tối ưu hóa, phân tích độ nhạy hoặc tính chính quy quỹ đạo (orbit regularity) trong bài toán điểm bất động.

Luận án "Nonlinear metric regularity of set-valued mappings on a fixed set and applications" (Chuyên ngành: Giải tích toán học, Mã số: 9 46 01 02) của nghiên cứu sinh Đào Ngọc Hân, dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH. Huỳnh Văn Ngãi và TS. Nguyễn Hữu Tròn tại Trường Đại học Quy Nhơn (2021), được thực hiện nhằm giải quyết các khoảng trống trên thông qua 4 mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Mục tiêu 1: Đề xuất và khảo sát các mô hình tính chính quy metric phi tuyến, phi địa phương cho ánh xạ đa trị xác định trên một tập con cố định $W \subset X \times Y$ tổng quát (vượt ra ngoài cấu trúc hộp $U \times V$), được kiểm soát bởi hàm chuẩn hóa (modulus function) $\mu: \mathbb{R}+ \to \mathbb{R}+$ và hàm chuẩn độ/hàm chân trời (gauge function) $\gamma: X \to \mathbb{R}_+ \cup {+\infty}$. Thiết lập các đặc trưng định tính và định lượng thông qua độ dốc (slope) và đối đạo hàm (coderivative).
  2. Mục tiêu 2: Thiết lập các phiên bản định lý ổn định nhiễu loạn kiểu Milyutin (Milyutin's perturbation theorem) trên tập cố định dưới tác động của ánh xạ đơn trị Lipschitz, và áp dụng kết quả này để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm kép cố định (fixed double-point problem) đối với cặp ánh xạ đa trị.
  3. Mục tiêu 3: Đưa ra khái niệm và nghiên cứu mô hình tính chính quy metric hình sao phi tuyến (nonlinear star metric regularity) trên tập cố định $W$ như một dạng chính quy yếu hơn; thiết lập các điều kiện vi phân vô cùng bé và phân tích tính ổn định nhiễu loạn của tính chính quy kiểu Milyutin khi ánh xạ hình sao bị nhiễu loạn bởi hàm Lipschitz.
  4. Mục tiêu 4: Nghiên cứu tính chính quy metric và bán chính quy (semiregularity) của các ánh xạ đa trị dạng biểu đồ trên (epigraphical) và ánh xạ hợp có chứa tham số; từ đó suy ra các tính chất ổn định của tập nghiệm phương trình suy rộng (ánh xạ đa trị ẩn), bao gồm tính tĩnh (calmness), tính tựa Lipschitz (Lipschitz-likeness / Aubin property) và tính chính quy metric Robinson.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là ánh xạ đa trị $F: X \rightrightarrows Y$ giữa các không gian metric hoặc không gian Banach, các phương trình suy rộng và phương trình vi phân biến phân. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào lý thuyết giải tích biến phân phi trơn, các đánh giá sai số định lượng và tính ổn định trên tập cố định.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Khái niệm phương trình suy rộng (generalized equations) hay hệ biến phân được S. M. Robinson khởi xướng vào những năm 1970, tạo nền tảng cho việc biểu diễn thống nhất hệ phương trình, bất đẳng thức, bất đẳng thức biến phân và điều kiện tối ưu.

Quá trình phát triển của lý thuyết chính quy metric được tác giả tổng thuật qua các mốc nghiên cứu chính:

Hướng nghiên cứu / Khái niệm Các tác giả tiêu biểu được trích dẫn trong luận án Nội dung và đóng góp nền tảng
Tính chính quy metric tuyến tính và cổ điển S. Banach, L. A. Lyusternik, L. M. Graves, S. M. Robinson (1970s), A. D. Ioffe (2017) Định lý ánh xạ mở Banach, định lý Lyusternik–Graves thiết lập tương đương giữa tính mở, tính chính quy metric và tính chất Aubin của ánh xạ đơn trị và đa trị.
Mở rộng phi tuyến và bậc cao địa phương H. Gfrerer (2011), H. Frankowska & M. Quicampoix (2012), C. Li & B. S. Mordukhovich (2012), J.-P. Penot (2011), A. Y. Kruger (2015), X. Y. Zheng & X. X. Zhu (2016), H. V. Ngai, N. H. Tron & M. Théra (2015) Mở rộng bất đẳng thức sai số $d(x, F^{-1}(y)) \le \tau [d(y, F(x))]^\alpha$ hoặc qua hàm phi tuyến $\tau \mu(d(y, F(x)))$ trong lân cận địa phương.
Tính chính quy phi địa phương trên tập cố định A. V. Dmitruk, A. A. Milyutin & N. P. Osmolovskii (1980), A. V. Arutyunov (2007), A. D. Ioffe (2000, 2017) Kết nối nguyên lý ánh xạ co Banach với tính chính quy trên tập cố định dạng hộp $U \times V$, đưa vào hàm chân trời $\gamma(x)$ và $m(x) = d(x, X \setminus U)$.
Độ dốc và chặn sai số (Error Bounds) E. De Giorgi, A. Marino & M. Tosques (1980), D. Azé & J.-N. Corvellec (2004), D. Azé, C. Choung & J.-N. Corvellec (2002), A. D. Ioffe (2000) Khái niệm độ dốc mạnh (strong slope) và độ dốc phi địa phương, đặc trưng hóa chặn sai số toàn cục và liên hệ với tính chính quy metric.
Tính ổn định của ánh xạ hợp và phương trình suy rộng M. Durea & R. Strugariu (2010, 2011), M. Durea, H. V. Ngai, N. H. Tron & R. Strugariu (2014), A. L. Dontchev & R. T. Rockafellar (2009), B. S. Mordukhovich (2006, 2018) Tính mở, tính chính quy của tổng và hợp các ánh xạ đa trị chứa tham số, đặc trưng hóa tính chất Aubin qua đối đạo hàm.

Khoảng trống cụ thể mà luận án định vị và giải quyết là việc mở rộng tính chính quy phi tuyến từ tập hộp $U \times V$ sang tập $W \subset X \times Y$ bất kỳ, thay đổi kỹ thuật áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland để giảm bớt các giả thiết về tính đầy đủ của không gian ảnh hoặc đồ thị ánh xạ, và xây dựng mô hình chính quy hình sao cùng các định lý ổn định nhiễu loạn tương ứng.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án được thực hiện hoàn toàn theo hướng nghiên cứu lý thuyết giải tích toán học (định tính và giải tích biến phân), dựa trên các công cụ toán học nền tảng:

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

  • Nguyên lý biến phân Ekeland (EVP - Ekeland's Variational Principle): Công cụ trung tâm để tìm điểm cực tiểu xấp xỉ của hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới trên không gian metric đầy đủ dưới tác động của nhiễu loạn nhỏ.
  • Giải tích phi trơn và giải tích biến phân: Sử dụng dưới vi phân Fréchet $\widehat{\partial} f(x)$, dưới vi phân giới hạn Mordukhovich $\partial f(x)$, nón chuẩn tắc Fréchet $\widehat{N}(\bar{x}; \Omega)$, nón chuẩn tắc Mordukhovich $N(\bar{x}; \Omega)$.
  • Đối đạo hàm (Coderivative): Đối đạo hàm Fréchet $\widehat{D}^* F(\bar{x}, \bar{y})$ và đối đạo hàm Mordukhovich $D^* F(\bar{x}, \bar{y})$ của ánh xạ đa trị $F: X \rightrightarrows Y$, xác định qua nón chuẩn tắc của đồ thị $\text{Graph}, F \subset X \times Y$.
  • Ánh xạ đối ngẫu (Duality mappings): Ánh xạ đối ngẫu tổng quát $J_\varphi: X \rightrightarrows X^*$, ánh xạ $\mu$-đối ngẫu $J_\mu$ và các mở rộng chuẩn hóa $\varepsilon$-enlargement $J_\mu^\varepsilon$.
  • Độ dốc (Slope): Độ dốc địa phương $|\nabla f|(x)$ và độ dốc phi địa phương $|\Gamma f|(x)$ của hàm số trên không gian metric: $$|\nabla f|(x) = \limsup_{u \to x, u \ne x} \frac{f(x) - f(u)}{d(x, u)}, \quad |\Gamma f|(x) = \sup_{u \ne x} \frac{[f(x) - f(u)]_+}{d(x, u)}$$
  • Hàm bao nửa liên tục dưới: Xét hàm khoảng cách $d(y, F(x))$ và bao nửa liên tục dưới của nó $\phi_F^y(x) = \liminf_{u \to x} d(y, F(u))$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng phương pháp suy diễn toán học thuần túy, kết hợp giải tích đối ngẫu và giải tích biến phân metric:

  • Kỹ thuật hàm biến phân cải tiến: Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland lên hàm hợp của hàm chuẩn hóa $\mu$ và hàm bao nửa liên tục dưới $\phi_F^y(x)$. Hàm này được định nghĩa trực tiếp trên không gian biến số $X$, cho phép loại bỏ giả thiết về tính đầy đủ của không gian ảnh $Y$ hoặc tính đầy đủ của đồ thị $\text{Graph}, F$ như trong các nghiên cứu trước đây của A. D. Ioffe.
  • Kỹ thuật vi phân vô cùng bé: Đánh giá tiệm cận và chặn dưới của độ dốc thông qua toán tử dưới vi phân trừu tượng thỏa mãn các điều kiện mờ (fuzzy calculus rules) trên không gian Asplund.

Nguồn tư liệu xây dựng luận án gồm 5 công trình khoa học của chính tác giả (các bài báo đã công bố trên các tạp chí quốc tế bình duyệt như Journal of Mathematical Analysis and Applications, Applicable Analysis, Acta Mathematica Vietnamica và các bản thảo tiền ấn phẩm) cùng 85 tài liệu tham khảo chuyên khảo chuẩn mực trong giải tích biến phân.

Nội dung chính theo từng chương

Cấu trúc 5 chương của Luận án:

Chương 1: Preliminaries

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức nền tảng và các kết quả kinh điển của giải tích biến phân và giải tích phi trơn:

  • Nhắc lại nguyên lý ánh xạ mở Banach, định lý Lyusternik–Graves về tính chính quy metric của hàm khả vi Fréchet liên tục: $d(x, F^{-1}(y)) \le \tau d(y, F(x))$.
  • Trình bày nguyên lý biến phân Ekeland dưới hai dạng biểu diễn tương đương và các quy tắc vi phân cho dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Mordukhovich trên không gian Asplund (quy tắc tổng mờ Fabian, quy tắc dây chuyền).
  • Trình bày khái niệm đối đạo hàm $\widehat{D}^* F$, $D^* F$ và ánh xạ đối ngẫu $J_\varphi, J_\mu$.
  • Tổng kết lý thuyết về độ dốc mạnh (strong slope) và các định lý chặn sai số toàn cục của Azé–Corvellec, cùng các tiêu chuẩn định lượng về tính chính quy metric địa phương, phi địa phương và phi tuyến bậc $k$ của Ioffe.

Chương 2: Metric regularity on a fixed set: definitions and characterizations

Chương 2 trình bày các mô hình tính chính quy metric phi tuyến trên tập cố định $W \subset X \times Y$ tổng quát:

  • Định nghĩa mô hình chính quy tổng quát: Cho $F: X \rightrightarrows Y$, hàm chuẩn hóa $\mu: \mathbb{R}+ \to \mathbb{R}+$ tăng ngặt, $\mu(0)=0, \lim_{t \to \infty} \mu(t)=\infty$, và hàm chuẩn độ $\gamma: X \to \mathbb{R}_+$ dương trên $P_X W$. Ánh xạ $F$ được gọi là $(\mu, \gamma)$-chính quy metric trên $W$ với hằng số $\kappa > 0$ nếu tồn tại $r > 0$ sao cho: $$d(x, F^{-1}(y)) \le \kappa \mu(d(y, F(x))), \quad \forall (x, y) \in W \text{ thỏa mãn } 0 < r \mu(d(y, F(x))) < \gamma(x)$$
  • Định lý tương đương: Luận án chứng minh sự tương đương giữa 3 tính chất trên tập mở $W$:
    1. $F$ là $(\mu^{-1}, \gamma)$-mở trên $W$ với hằng số $\kappa$.
    2. $F$ là $(\mu, \gamma)$-chính quy metric trên $W$ với hằng số $\kappa^{-1}$.
    3. Ánh xạ ngược $F^{-1}$ có tính chất $(\mu, \gamma)$-Hölder trên $W^{-1}$ với hằng số $\kappa^{-1}$.
  • Đặc trưng hóa qua độ dốc và đối đạo hàm: Thiết lập các điều kiện cần và đủ cho tính chính quy phi tuyến thông qua độ dốc của hàm bao nửa liên tục dưới $\phi_F^y(x)$ và chặn dưới của đối đạo hàm Fréchet $\widehat{D}^* F$ trên không gian Asplund.

Chương 3: Perturbation stability of Milyutin-type regularity and applications

Chương 3 tập trung vào tính chính quy kiểu Milyutin (tương ứng với hàm chân trời $m(x) = d(x, X \setminus U)$) và tính ổn định khi bị nhiễu loạn:

  • Tính ổn định nhiễu loạn: Thiết lập các định lý dạng Milyutin cho hợp và tổng của ánh xạ đa trị chính quy metric với một ánh xạ đơn trị thỏa mãn điều kiện Lipschitz, trong đó không gian đích không nhất thiết phải có cấu trúc tuyến tính.
  • Ứng dụng vào bài toán điểm kép cố định (Fixed double-point problem): Xét hệ tìm cặp điểm $(\bar{x}, \bar{y}) \in X \times Y$ thỏa mãn: $$\bar{y} \in F_1(\bar{x}) \quad \text{và} \quad \bar{x} \in F_2(\bar{y})$$ với $F_1: X \rightrightarrows Y$ và $F_2: Y \rightrightarrows X$ là hai ánh xạ đa trị chính quy metric giữa các không gian Banach. Luận án sử dụng trực tiếp định lý nhiễu loạn Milyutin vừa thiết lập để chứng minh sự tồn tại của nghiệm và đưa ra đánh giá khoảng cách từ một cặp điểm xuất phát bất kỳ đến tập nghiệm của bài toán điểm kép cố định.

Chương 4: Star metric regularity

Chương 4 đưa ra và nghiên cứu khái niệm tính chính quy metric hình sao (star metric regularity):

  • Khái niệm: Đây là dạng làm yếu của tính chính quy metric trên tập cố định $W \subset X \times Y$, được xây dựng nhằm nới lỏng các điều kiện ràng buộc mà vẫn đảm bảo được các đánh giá tiệm cận cần thiết.
  • Đặc trưng vi phân: Thiết lập các điều kiện đủ và điều kiện cần vô cùng bé cho tính chính quy hình sao phi tuyến thông qua độ dốc và nón chuẩn tắc.
  • Định lý nhiễu loạn kiểu Milyutin: Chứng minh rằng tính chính quy kiểu Milyutin vẫn được bảo toàn khi một ánh xạ thỏa mãn tính chính quy hình sao bị tác động bởi một hàm nhiễu loạn Lipschitz có hằng số Lipschitz bé hơn tỷ số mở tương ứng.

Chương 5: Stability of generalized equations governed by composite multi-functions

Chương 5 nghiên cứu tính ổn định của tập nghiệm phương trình suy rộng chứa tham số:

  • Ánh xạ đa trị hợp và dạng biểu đồ trên: Khảo sát tính chính quy metric, tính bán chính quy (semiregularity) của ánh xạ đa trị dạng biểu đồ trên có tham số $E_H$ và ánh xạ hợp tổng quát.
  • Tính ổn định của ánh xạ đa trị ẩn: Ứng dụng các kết quả chính quy của ánh xạ hợp để khảo sát tính ổn định của tập nghiệm $S(p) = {x \in X : 0 \in F(x, p)}$ hoặc hệ thống điều khiển bởi ánh xạ hợp.
  • Phân loại tính chất nghiệm: Thiết lập các điều kiện đủ tường minh cho tính tĩnh (calmness), tính chất Aubin (pseudo-Lipschitzness / Lipschitz-likeness) và tính chính quy metric Robinson của ánh xạ nghiệm ẩn đối với tham số.

Kết quả và những đóng góp mới

Các kết quả và đóng góp mới của luận án được tác giả tự xác định trong phần tổng kết:

  1. Mở rộng mô hình chính quy metric phi tuyến trên tập cố định tùy ý: Đã xây dựng thành công khái niệm tính chính quy metric phi tuyến trên tập con cố định $W \subset X \times Y$ tổng quát thay vì tập dạng hộp $U \times V$. Thiết lập hệ thống các định lý tương đương giữa tính mở phi tuyến, tính chính quy phi tuyến và tính chất liên tục Hölder của ánh xạ ngược.
  2. Thiết lập đặc trưng vi phân hoàn chỉnh: Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính chính quy phi tuyến thông qua độ dốc mạnh (cả địa phương và phi địa phương) của hàm bao nửa liên tục dưới, cũng như thông qua đối đạo hàm Fréchet/Mordukhovich trên không gian Asplund.
  3. Cải tiến phương pháp áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland: Bằng cách áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland lên hàm hợp xác định thuần túy trên không gian biến số $X$, luận án đã loại bỏ được yêu cầu về tính đầy đủ của không gian ảnh $Y$ hoặc tính đóng/đầy đủ của đồ thị ánh xạ $\text{Graph}, F$ trong các định lý chính quy phi địa phương.
  4. Định lý ổn định nhiễu loạn và giải quyết bài toán điểm kép cố định: Chứng minh định lý nhiễu loạn Milyutin phi địa phương và ứng dụng để chứng minh định lý tồn tại nghiệm cho bài toán điểm kép cố định của cặp ánh xạ đa trị $(F_1, F_2)$, đưa ra công thức đánh giá khoảng cách từ cặp điểm ban đầu đến tập điểm kép cố định với cách tiếp cận độc lập với A. D. Ioffe.
  5. Xây dựng lý thuyết chính quy metric hình sao: Đề xuất mô hình tính chính quy hình sao phi tuyến trên tập cố định và chứng minh định lý ổn định kiểu Milyutin dưới tác động của nhiễu loạn Lipschitz.
  6. Định lượng tính ổn định của phương trình suy rộng hợp chứa tham số: Thiết lập các tiêu chuẩn định lượng cho tính chính quy của ánh xạ dạng biểu đồ trên $E_H$ và ánh xạ hợp, dẫn xuất các điều kiện đảm bảo tính tĩnh (calmness), tính chất Aubin và tính chính quy Robinson cho ánh xạ nghiệm của phương trình suy rộng chứa tham số.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ vào nội dung và phạm vi nghiên cứu được trình bày trong luận án:

  • Hạn chế về phạm vi không gian: Các đặc trưng vi phân sử dụng đối đạo hàm đòi hỏi không gian nền phải là không gian Banach có cấu trúc Asplund để đảm bảo tính đúng đắn của các quy tắc tính toán dưới vi phân mờ (fuzzy calculus rules). Đối với không gian metric tổng quát không có cấu trúc tuyến tính, các kết quả chủ yếu dừng lại ở đặc trưng qua độ dốc và hàm khoảng cách.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Mở rộng các mô hình tính chính quy phi tuyến và chính quy hình sao trên tập cố định cho các lớp không gian giải tích tổng quát hơn ngoài không gian Asplund.
    • Áp dụng các kết quả ổn định của phương trình suy rộng hợp vào việc phân tích độ nhạy và xây dựng thuật toán số (như thuật toán kiểu Newton hoặc gradient mở rộng) để giải các bài toán tối ưu hóa không trơn và bất đẳng thức biến phân thực tế.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong lĩnh vực Toán giải tích và Giải tích biến phân:

  • Đối với nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Giải tích toán học, Toán ứng dụng, Tối ưu hóa: Cung cấp khung lý thuyết hoàn chỉnh về tính chính quy metric phi tuyến phi địa phương, kỹ thuật xử lý nguyên lý biến phân Ekeland, lý thuyết độ dốc và kỹ thuật đối đạo hàm phi trơn.
  • Đối với giảng viên và nhà nghiên cứu: Các kết quả ở Chương 2, Chương 3 và Chương 5 cung cấp công cụ lý thuyết để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ động học, bài toán điều khiển tối ưu, bài toán cân bằng và các hệ biến phân chứa tham số.

Câu hỏi thường gặp

1. Sự khác biệt cốt lõi giữa tính chính quy metric địa phương và tính chính quy trên tập cố định trong luận án là gì?

Trong tính chính quy địa phương quanh điểm $(\bar{x}, \bar{y})$, các lân cận $B(\bar{x}, \delta)$ và $B(\bar{y}, \rho)$ có thể được thu nhỏ tùy ý để bất đẳng thức chính quy thỏa mãn. Ngược lại, trong tính chính quy trên tập cố định $W \subset X \times Y$ (hoặc $U \times V$), miền khảo sát không được phép thay đổi tự do; phạm vi tiếp cận từ điểm xấp xỉ đến tập nghiệm $F^{-1}(y)$ được kiểm soát định lượng bởi hàm chuẩn độ (gauge/horizon function) $\gamma(x)$ hoặc hàm chân trời $m(x) = d(x, X \setminus U)$.

2. Hàm chuẩn hóa $\mu(t)$ và hàm chân trời $\gamma(x)$ có vai trò toán học như thế nào trong định nghĩa chính quy?

Hàm chuẩn hóa $\mu: \mathbb{R}+ \to \mathbb{R}+$ (tăng ngặt, $\mu(0)=0$) đóng vai trò mở rộng mối quan hệ sai số từ tuyến tính ($\tau d(y, F(x))$) sang phi tuyến ($\kappa \mu(d(y, F(x)))$), bao hàm cả các trường hợp chính quy bậc cao $\mu(t) = t^\alpha$. Hàm chân trời $\gamma(x) > 0$ xác định ngưỡng biên độ tối đa cho phép của khoảng cách $d(y, F(x))$ để điểm nghiệm vẫn tồn tại trong miền kiểm soát quanh $x$.

3. Kỹ thuật áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland trong luận án có điểm gì cải tiến so với các nghiên cứu trước của A. D. Ioffe?

Trong các công trình của Ioffe (2000, 2017), nguyên lý Ekeland thường được áp dụng trên không gian tích $X \times Y$ với hàm mục tiêu phụ thuộc vào đồ thị $\text{Graph}, F$, đòi hỏi giả thiết đồ thị hoặc không gian ảnh $Y$ phải đầy đủ. Tác giả Đào Ngọc Hân áp dụng nguyên lý Ekeland lên hàm hợp $\mu \circ \phi_F^y$ xác định trực tiếp trên không gian biến số $X$, qua đó loại bỏ được giả thiết về tính đầy đủ của không gian ảnh $Y$ và đơn giản hóa điều kiện của bài toán.

4. Bài toán điểm kép cố định (fixed double-point problem) được giải quyết như thế nào trong Chương 3?

Bài toán xét hệ tìm $(\bar{x}, \bar{y})$ thỏa mãn $\bar{y} \in F_1(\bar{x})$ và $\bar{x} \in F_2(\bar{y})$ giữa hai không gian Banach. Thay vì suy ra định lý Milyutin từ bài toán điểm kép cố định như cách tiếp cận của Ioffe, luận án sử dụng định lý nhiễu loạn Milyutin phi địa phương đã chứng minh ở mục 3.1 để giải bài toán điểm kép cố định, đồng thời cho phép lựa chọn cặp điểm xuất phát linh hoạt hơn phục vụ việc đánh giá khoảng cách đến tập nghiệm.

5. Khái niệm tính chính quy hình sao (star metric regularity) ở Chương 4 có ý nghĩa gì?

Tính chính quy hình sao là một phiên bản làm yếu của tính chính quy metric trên tập cố định. Việc nới lỏng điều kiện chính quy sang dạng hình sao cho phép áp dụng vào các lớp ánh xạ đa trị rộng hơn (nơi tính chính quy metric thông thường bị vi phạm), nhưng vẫn đủ mạnh để thiết lập các định lý ổn định dạng Milyutin khi chịu tác động của nhiễu loạn Lipschitz.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của Đào Ngọc Hân đã giải quyết bài toán mở rộng và đặc trưng hóa tính chính quy metric phi tuyến của ánh xạ đa trị từ phạm vi lân cận địa phương và tập hộp sang tập con cố định $W \subset X \times Y$ tổng quát. Bằng việc kết hợp nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích đối đạo hàm phi trơn và lý thuyết độ dốc, luận án đã xây dựng hệ thống điều kiện cần và đủ cho tính chính quy phi tuyến, tính chính quy hình sao cùng các định lý ổn định nhiễu loạn Milyutin. Các kết quả lý thuyết này được áp dụng để giải quyết bài toán điểm kép cố định và xác lập tính ổn định nghiệm (tính tĩnh, tính chất Aubin, tính chính quy Robinson) cho các phương trình suy rộng điều khiển bởi ánh xạ đa trị hợp chứa tham số.