Chương 1: Lý thuyết lan truyền ánh sáng trong sợi quang học. Chương 2: Phương pháp nghiên cứu. Chương 3: Kết quả nghiên cứu. 3 CHƢƠNG I LÝ THUYẾT LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG SỢI QUANG HỌC Chương này trình bày lý thuyết tổng quát về quá trình lan truyền của ánh sáng trong các môi trường điện môi.
Từ hệ phương trình Maxwell, qua các biến đổi toán học, chúng tôi thu được phương trình sóng mô tả sự lan truyền của ánh sáng trong sợi quang học với 2 thành phần là lan truyền tuyến tính và lan truyền phi tuyến, mô tả dưới dạng phương trình Schrödinger phi tuyến tổng quát. Trong phần tiếp theo, tổng quan về các tính chất của sợi tinh thể quang tử, cũng được trình bày. Các hiệu ứng phi tuyến quan trọng nhất xảy ra trong sợi quang được đề cập một cách chi tiết trong phần cuối của chương. Cấu trúc của sợi quang truyền thống và điều kiện dẫn sóng đơn mode Sợi quang học truyền thống được cấu tạo bởi 2 phần với lõi ở trung tâm và lớp vỏ ở ngoài.
Trong đó, lớp vỏ có chiết suất (n2) bé hơn so với chiết suất của lõi (n1). Loại sợi này thường được biết đến như loại sợi chiết suất bậc (Step-Index) để phân biệt chúng với sợi chiết suất biến đổi là loại sợi có chiết suất của lõi giảm dần từ tâm ra đến biên giới hạn lõi – vỏ. Mặt cắt ngang và mặt cắt chiết suất của sợi quang học loại step-index 4 Hình 1.1 biểu diễn sơ đồ mặt cắt ngang và mặt cắt chiết suất của sợi loại step-index.Trong trường hợp này, độ chênh lệch chiết suất tương đối giữa lõi và lớp vỏ được biểu diễn như sau: n1 n2 (1.1) n2 Với một sợi quang cụ thể, ở bước sóng xác định, số lượng mode phụ thuộc vào tham số thiết kế bao gồm bán kính lõi và độ chênh lệch chiết suất của hai lớp lõi và vỏ: n1 n2. Một tham số quan trọng khác được gọi là tham số chuẩn hóa V, mô tả số lượng mode lan truyền trong sợi quang học và được xác định bởi: V k 0 a.2) trong k 0 2 / , a là bán kính lõi và là bước sóng ánh sáng.
Các giá trị của V tại các mode khác nhau có thể thu được bằng cách giải phương trình trị riêng (1. Các kết quả đã chỉ ra rằng, để sợi làm việc ở chế độ đơn mode thì tham số V tại bước sóng bơm phải có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 2. Sự lan truyền tuyến tính của ánh sáng trong sợi quang Biến đổi của trường điện từ trong môi trường điện môi được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell dạng vi phân: B E (1.8) 5 Trong đó P là độ phân cực điện và M là độ phân cực từ. Trong môi trường điện môi, các hạt mang điện không chuyển động nên = 0.
Giả sử, môi trường vật chất cấu tạo từ các vật liệu không có tính chất từ nên M = 0. Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell, giải phương trình (1.3) bằng cách sử dụng các phương trình (1.8) chúng ta thu được phương trình sóng điện từ mô tả sự lan truyền ánh sáng trong sợi quang: 1 2 E (r , t ) 2 P(r , t ) (1. Trong trường hợp tổng quát, độ phân cực điện phụ thuộc vào điện trường, khi đó chúng ta có thể khai triển độ phân cực P theo dãy Taylor dưới dạng: P( E ) 0 ( e E ( 2) EE (3) EEE .10) Với e là độ cảm điện môi của môi trường,(i) là tenxơ độ cảm phi tuyến bậc i.Trong môi trường đồng chất, do tính chất đối xứng P( E ) P( E ) nên (2) = 0.Độ cảm phi tuyến bậc ba (3) khác không và là lý do làm xuất hiện hiệu ứng phân cực phi tuyến (môi trường phi tuyến kiểu Kerr). Xét trong môi trường phi tuyến kiểu Kerr, độ phân cực được biểu diễn dưới dạng: P(r , t ) PL (r , t ) PNL (r , t ) (1.11) trong đó PL là thành phần tuyến tính và PNL là thành phần phi tuyến được biểu diễn: (1.13) PNL (r , t ) 0 (3) (t t1 , t t1 , t t 3 ) E (r , t1 ) E (r , t 2 ) E (r , t 3 )dt1 dt 2 dt 3 6 Đối với sợi SiO2, các hiệu ứng xảy ra tương đối yếu, vì vậy ảnh hưởng của phân cực phi tuyến PNL là tương đối nhỏ.
Do đó, đầu tiên chúng tôi giải phương trình (1.9) với giả sử PNL 0. Để thuận tiện, phương trình (1.9) được biểu diễn lại dưới dạng: ~ 2 ~ (1.14) E (r , ) ( ) 2 E (r , ) 0 c ~ trong đó E (r , ) là biến đổi Fourier của E (r , t ) được định nghĩa: ~ (1. Thành phần thực và thành phần ảo của nó có thể biểu diễn thông qua chiết suất n( ) và hệ số hấp thụ ( ) bởi công thức: (n ic / 2 ) 2 (1.17) Từ các phương trình (1.14), chúng ta thu được: 1 n( ) 1 Re ~ (1) ( ) 2 (1.19) trong đó Re và Im là viết tắt tương ứng của phần thực và phần ảo. Để đơn giản, khi giải phương trình (1.13), chúng ta thay thế ( ) bằng n 2 ( ).
Khi đó phương trình (1.20) E n ( ) 2 E 0 2 c do tính đối xứng trụ của sợi quang, sẽ dễ dàng hơn khi chúng ta sử sử dụng hệ tọa độ trụ để mô tả E trong phương trình sóng (1.21) n 2 2 k E 0 2 2 2 z 2 0 7 ~ trong đó, hệ số k0 / c 2 / và E là phép biến đổi Fourier của điện trường E, Trong trường hợp của sợi quang học, dựa vào nguyên lý chồng chất của sóng, nghiệm của phương trình (1.21) theo hướng z được biểu diễn dưới dạng: ~ E z (r , ) A( ) F ( ) exp( im ) exp(iz) (1.22) trong đó A là hằng số chuẩn hóa và β là hằng số lan truyền được xác định bởi: ( ) n 2 ( )k 02 k 2 ( ) (1.23) 1/ 2 m là một số nguyên và F ( ) là nghiệm của phương trình: d 2 F 1 dF 2 2 m2 (1.24) n k 2 F 0 d 2 d 2 0 trong đó n = n1 khi a và n = n2 khi a (với a là bán kính của sợi). Như vậy, phương trình (1.20) mô tả sự lan truyền tuyến tính trong sợi có thể được viết lại: ~ ~ (1. Tán sắc vận tốc nhóm Tán sắc là một đặc tính vật lý quan trọng của sự lan truyền ánh sáng trong sợi quang, là nguyên nhân dẫn đến hiện tượng méo tín hiệu khi lan truyền. Nguyên nhân của hiện tượng này là do sự khác nhau về vận tốc lan truyền của các thành phần tần số khác nhau trong xung đầu vào.
Với các tần số khác nhau, chúng cần một thời gian khác nhau để lan truyền, điều này dẫn tới sự khác nhau của thời gian trễ. Trong sợi đơn mode, sự phụ thuộc của bước sóng vào hằng số lan truyền ( ) được gọi là tán sắc màu. Khai triển ( ) theo chuỗi Taylor theo tần số 0 ta thu được: 1 (1.27) m m (m=0,1,2,…) d 0 Các tham số 1 và 2 liên quan đến chiết suất n và các dẫn xuất của nó thông qua mối liên hệ: 1 ng 1 dn (1.29) 2 (2 ) c d d 2 trong đó ng là chiết suất nhóm và vg là vận tốc nhóm. Về mặt vật lý, đường bao của một xung quang di chuyển với vận tốc nhóm trong khi tham số 2 thể hiện sự tán sắc của vận tốc nhóm và chịu trách nhiệm mở rộng xung.
Hiện tượng này được gọi là tán sắc vận tốc nhóm (GVD) và 2 là tham số GVD. GVD là sự thay đổi của vận tốc nhóm theo tần số. Điều này vô cùng quan trọng để tạo ra hai vùng tán sắc khác nhau. Đối với 2 > 0 thì thu được chế độ tán sắc bình thường, trong trường hợp này thành phần màu đỏ dịch chuyển nhanh hơn thành phần màu xanh.
Trong trường hợp ngược lại, vùng bước sóng ứng với 2 < 0 được gọi là chế độ tán sắc dị thường. Bước sóng ứng với 2 = 0 được gọi là bước sóng tán sắc bằng không (ZDW).2 Các vùng tán sắc trong sợi tinh thể quang tử 9 Một định nghĩa khác về GVD cũng được sử dụng để mô tả sự tán sắc của sợi: d 2c d neff (1.30) 2 D 1 2 2 d c d2 Trong đó, D là hệ số tán sắc (ps/nm/km), là bước sóng, neff là chiết suất hiệu dụng. Hệ số tán sắc D cho biết mức độ dãn xung ánh sáng khi lan truyền tính trên một đơn vị độ rộng phổ và trên một đơn vị chiều dài sợi, được xác định theo công thức (1. trong đó, D được gọi là hệ số tán sắc, DM là hệ số tán sắc vật liệu, DW là hệ số tán sắc ống dẫn sóng (hình 1.
Tán sắc trong sợi quang đơn mode. Tán sắc tổng (D), tán sắc vật liệu (DM) và tán sắc ống dẫn sóng (DW) Hệ số tán sắc vật liệu DM được xác định theo công thức (1. DM 2 d c d d d c d2 Hệ số tán sắc ống dẫn sóng DW, được xác định theo công thức (1.33) Dw V d dV c dV 2 với n2g là chiết suất nhóm của lớp vỏ, V là tần số chuẩn hóa được cho bởi / k 0 n2 phương trình (1.25), được cho bởi phương trình (1.