I. Tổng quan
Nghiên cứu về phương trình thuần nhất trong miền có biên độ nhám cao là một lĩnh vực quan trọng trong nghiên cứu toán học và cơ học vật thể rắn. Các bài toán liên quan đến biên phân chia có độ nhám cao xuất hiện nhiều trong thực tế, như sự tán xạ của sóng trên các biên nhám, sự phản xạ và khúc xạ của sóng trên các biên phân chia có độ nhám cao. Để giải quyết các bài toán này, phương pháp thuần nhất hóa thường được áp dụng. Phương pháp này cho phép chuyển đổi các bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản hơn, từ đó dễ dàng tìm ra nghiệm. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng việc áp dụng phương pháp này có thể giúp cải thiện tính chính xác và hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến biên độ nhám cao.
1.1 Biên phân chia có độ nhám thấp
Các bài toán liên quan đến biên phân chia có độ nhám thấp đã được nghiên cứu từ lâu. Phương pháp nhiễu và xấp xỉ cổ điển thường được sử dụng để giải quyết các bài toán này. Tuy nhiên, khi biên độ nhám cao hơn nhiều so với chu kỳ của nó, các phương pháp này không còn hiệu quả. Do đó, việc phát triển các phương pháp mới như thuần nhất hóa là cần thiết. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc áp dụng phương pháp này có thể giúp giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến biên phân chia có độ nhám cao một cách hiệu quả hơn.
1.2 Biên phân chia có độ nhám cao
Các bài toán biên trong miền có biên phân chia độ nhám cao xuất hiện nhiều trong thực tế, như sự tán xạ của sóng trên các biên nhám cao. Nghiên cứu của Zaki và Neureuther đã chỉ ra rằng việc giải số các phương trình tích phân là cần thiết để mô tả sự tán xạ này. Khi biên có độ nhám cao, khối lượng tính toán lớn và độ ổn định không cao. Do đó, việc phát triển các phương pháp mới để giải quyết các bài toán này là rất quan trọng. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc thay thế miền có biên phân chia nhám cao bằng một lớp vật liệu có thể giúp giảm bớt khối lượng tính toán và cải thiện độ ổn định của nghiệm.
II. Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện
Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân chia độ nhám cao là một trong những nội dung chính của nghiên cứu này. Các phương trình cơ bản được thiết lập dựa trên các nguyên lý của lý thuyết đàn hồi tuyến tính. Việc phát biểu ma trận của lý thuyết này cho phép biểu diễn nghiệm có tính đến đặc trưng vi mô và vĩ mô của bài toán. Các bước cơ bản để dẫn đến phương trình thuần nhất hóa dạng hiện đã được trình bày rõ ràng. Từ đó, các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dưới dạng thành phần cũng được viết ra, giúp cho việc áp dụng trong thực tế trở nên dễ dàng hơn.
2.1 Các phương trình cơ bản
Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính được thiết lập để mô tả hành vi của vật liệu dưới tác động của các lực bên ngoài. Việc sử dụng phương pháp thuần nhất hóa cho phép chuyển đổi các phương trình phức tạp thành các phương trình đơn giản hơn, từ đó dễ dàng tìm ra nghiệm. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc áp dụng phương pháp này có thể giúp cải thiện tính chính xác và hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến biên độ nhám cao.
2.2 Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma trận
Phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma trận được thiết lập để mô tả hành vi của vật liệu trong miền có biên phân chia độ nhám cao. Việc sử dụng phương pháp này giúp cho việc tính toán trở nên đơn giản hơn và dễ dàng hơn trong việc áp dụng vào thực tế. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc áp dụng phương pháp này có thể giúp cải thiện tính chính xác và hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến biên độ nhám cao.
