Chương 1 TỔNG QUAN 1.1 Biên phân chia có độ nhám thấp Các bài toán liên quan đến biên phân chia có độ nhám thấp xuất hiện nhiều trong thực tế như sự tán xạ của các sóng trên mặt nhám, quá trình truyền sóng của các sóng đàn hồi, sóng âm, sóng điện từ trên biên phân chia nhám giữa hai môi trường. Đối với lớp các bài toán về sự tán xạ trên mặt nhám, để giải quyết các bài toán này có hai phương pháp thường được sử dụng là phương pháp nhiễu (perturbation method-PM) và phương pháp xấp xỉ cổ điển (quasi-classical approximation). PM được kiến nghị bởi Rayleigh trong các nghiên cứu của mình, tham số bé của lý thuyết (tham số Rayleigh) là giá trị tỉ số của độ cao biên nhám với độ dài của sóng tới. Với cách tiếp cận này, các tác giả có thể tìm được các xấp xỉ tần số thấp của nghiệm.
Phương pháp PM sau này được Nayfeh [31] hoàn thiện thành sách chuyên khảo sử dụng trong rất nhiều bài toán cụ thể. Phương pháp quasi-classical approximation (geometrical optics approximation) được xây dựng bởi Brekhovskikh [14]. Lý thuyết này giả thiết sự tương tác giữa sự bức xạ và độ nhám có tính đến các đặc trưng địa phương. Khi đó biên có thể xấp xỉ tại mỗi điểm bởi một mặt phẳng tiếp tuyến.
Tuy nhiên, về mặt vật lý, các xấp xỉ nghiệm chỉ phù hợp đối với các sóng ngắn. Phương pháp này về sau còn được gọi là phương pháp mặt phẳng tiếp tuyến (tangent method) hay xấp xỉ Kirchhoff (Kirchhoff approximation- KA). Trong thực tế xuất hiện các bài toán mà không thể giải quyết được bằng các phương pháp nêu trên, ví dụ như bài toán về các sóng âm, sóng điện từ tán xạ trên mặt biển có sóng. Trong trường hợp này phương pháp hai thang (two-scale model) được sử dụng bởi Kur’yanov [27], đó là sự 5 z kết hợp của cả hai phương pháp trên.
Biên nhám được chia thành hai nhóm: thang lớn và thang nhỏ. Quá trình tán xạ tại các thành phần thang lớn được mô tả bằng xấp xỉ mặt phẳng tiếp tuyến và thang nhỏ (độ nhám) được tính toán bằng phương pháp nhiễu. Tuy nhiên, phương pháp này lại không thuận lợi, tính toán phức tạp khi nghiên cứu bài toán ngược: Xác định phổ của độ nhám bởi các đặc trưng của trường tán xạ. Vì lý do này mà một số lý thuyết khác đề xuất hợp nhất các cách tiếp cận nêu trên và đưa ra các trường hợp giới hạn tương ứng các kết quả của phương pháp nhiễu và xấp xỉ.
Đó chính là lý do về sự ra đời của phương pháp xấp xỉ độ dốc nhỏ (small slope approximation-SSA) do Voronovich [55] đề xuất. Đó là sự tổng hợp của tất cả các phương pháp đã có dựa trên việc sử dụng sự thay đổi các tính chất của ma trận SA tương ứng với sự thay đổi biên nhám trong không gian. Tham số bé trong đề xuất này chính là độ dốc của biên nhám. Một số nghiên cứu tiêu biểu trong việc áp dụng các phương pháp trên trong các bài toán cụ thể có thể kể ra sau đây.
Thorsos và Broschat [40] sử dụng phương pháp SSA nghiên cứu sự tán xạ trên bề mặt nhám với điều kiện biên Dirichlet trong đó đưa ra các điều kiện cần thiết để xác định các số hạng trong chuỗi. Seshadri [36] khảo sát sự tương tác của sóng Rayleigh trong một bán không gian đàn hồi, đẳng hướng vô hạn tại bề mặt có dạng hình sin yếu và tự do đối với ứng suất. Sử dụng phương pháp đa thang (multiple scales) của Nayfeh [31] biểu thức xấp xỉ giải tích được tìm ra cho các đặc trưng của sự tương tác sóng. Đồng thời tìm được hệ số phản xạ cho một sóng tới Rayleigh tới bề mặt nhám thấp.
Singh và Tomar [37] nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng P tại biên phân chia nhám giữa hai bán không gian đàn hồi khác nhau có ứng suất trước. Sử dụng phương pháp xấp xỉ Rayleigh các hệ số phản xạ, khúc xạ được tìm ra cho các xấp xỉ bậc nhất của biên nhám, nó có dạng đóng nếu biên phân chia nhám có cấu trúc tuần hoàn. Chúng phụ thuộc vào góc tới, ứng suất trước, và gia số các tính chất đàn hồi của hai bán không gian. Ekneligoda và Zimmerman [20] xét trạng thái ứng suất nảy sinh trong mặt phẳng đàn hồi vô hạn chịu áp suất thủy tĩnh ở vô cùng bên trong chứa bao cứng gần tròn (Nearly Circular Rigid Inclusions).
Để giải bài toán này các tác giả khai triển hàm ứng suất Airy đến bậc 4 đối với tham số bé đặc trưng cho nhiễu của biên. Các hệ số của khai triển trên được xác định trên biên phân chia giữa bán không gian đàn hồi và bao cứng (chuyển dịnh bằng không) chịu áp suất thủy tĩnh tại vô cùng. Trong [23] Hawwa và Asfar nghiên cứu bài toán truyền sóng SH trong lớp mà hai mặt của lớp có dạng hình sin yếu. Tác giả sử dụng 6 z phương pháp nhiễu để giải bài toán.
Biên cong được thay thế bởi biên phẳng, trường sóng SH được biểu diễn thành chuỗi lũy thừa của tham số bé đặc trưng cho nhiễu nhỏ của biên của lớp. Bài toán dẫn đến việc giải liên tiếp các phương trình ứng với các xấp xỉ khác nhau. Trong hai công trình trên thì phương pháp nhiễu biên được sử dụng. Có thể nói rằng các bài toán liên quan đến biên phân chia có độ nhám thấp đã được nghiên cứu từ lâu.
Các phương pháp và các kết quả đạt được là tương đối hoàn chỉnh. Một số phương pháp được sử dụng trong các bài toán này đã viết thành sách chuyên khảo như của Nayfeh [31], Voronovich [55]. Vì vậy luận án không đi theo hướng nghiên cứu các bài toán với biên phân chia có độ nhám thấp.2 Biên phân chia có độ nhám cao Các bài toán biên trong miền có biên hay biên phân chia độ nhám cao xuất hiện nhiều trong thực tế, như sự tán xạ của sóng trên các biên nhám cao [59], sự phản xạ, khúc xạ của sóng trên các biên phân chia có độ nhám cao [39], các bài toán cơ học liên quan đến các bản được gia cường dày đặc [26], các dòng chảy trên tường nhám [6],. Zaki và Neureuther [59] nghiên cứu sự tán xạ của một sóng phẳng điện trên bề mặt có độ nhám cao có dạng hình sin.
Bài toán dẫn đến việc giải số các phương trình tích phân. Do biên phân chia là tuần hoàn, nhờ định lý Floquet, miền xác định của các phương trình tích phân được đưa về trên một chu kỳ của biên phân chia. Một số ví dụ cụ thể được đưa ra. Khi biên có độ nhám cao thì khối lượng tính toán lớn và độ ổn định không cao.
Talbot và các cộng sự [39] nghiên cứu sự phản xạ và khúc xạ của một sóng phẳng điện từ đối với biên phân chia có độ nhám cao của hai môi trường khác nhau. Biên phân chia là một đường cong tuần hoàn có hình dạng tùy ý. Đầu tiên, bài toán đưa đến việc giải số phương trình tích phân trên biên phân chia. Vì biên độ nhám cao nên khối lượng tính toán lớn.
Do vậy, tác giả đề xuất xấp xỉ: Thay thế miền có biên phân chia nhám cao bởi một lớp vật liệu mà các tính chất của chúng thay đổi theo chiều dày. Trường hợp biên phân chia có dạng hình răng lược được khảo sát chi tiết. Các kết quả của nghiên cứu có thể được áp dụng để thiết kế các bề mặt nhám làm giảm hệ số phản xạ của sóng. 7 z Kohn và Vogenlius [26] nghiên cứu sự uốn của bản mỏng có độ dày thay đổi nhanh, chẳng hạn như các bản được gia cường dày đặc.
Sử dụng lý thuyết đàn hồi tuyến tính ba chiều, phương pháp khai triển tiệm cận, các tác giả thu được phương trình bậc 4 đối với chuyển dịch của mặt giữa và có xét một số ví dụ cụ thể. Chú ý rằng các con tàu con thoi (space shuttles) [6] có thể trở về trái đất mà không bị cháy là nhờ có lớp ngói (tiles) đặc biệt phủ ở bên ngoài. Giữa các ngói có khoảng cách đủ nhỏ để dãn nở. Do vậy, vỏ của con tàu con thoi có thể xem như mặt có độ nhám cao tuần hoàn.
Achdou và các cộng sự [6] khảo sát dòng chảy phẳng không nén được và nhớt trên tường nhám cao tuần hoàn. Để giảm bớt các khó khăn về mặt tính toán, các tác giả thay thế biên nhám cao bằng biên phẳng và xây dựng điều kiện biên hiệu dụng tương ứng trên biên phẳng. Các điều kiện này xuất phát từ dạng khai triển tiệm cận nghiệm. Các bài toán liên quan đến biên hay biên phân chia thường được giải số.
Khi biên độ nhám cao thì việc mô phỏng rất khó khăn vì ở miền gần biên thì cần nhiều nút lưới và cấu trúc lưới không xác định, nghiệm số có tính ổn định không cao. Để vượt qua khó khăn này, nảy sinh ý tưởng thay thế biên phân chia độ nhám cao bởi các biên phẳng bằng cách thay miền chứa biên phân chia có độ nhám cao bằng một lớp vật liệu mới. Đó chính là ý tưởng của phương pháp thuần nhất hóa biên phân chia có độ nhám cao.3 Phương pháp thuần nhất hóa biên phân chia có độ nhám cao 1.1 Phương pháp thuần nhất hóa Trong khoa học và công nghệ, trong các nghiên cứu về vật liệu com- posite thường xuất hiện các bài toán biên trong môi trường với cấu trúc tuần hoàn. Nếu chu kỳ của cấu trúc tuần hoàn là nhỏ hơn nhiều so với kích thước (độ dài đặc trưng) của miền đang xét thì nghiệm của bài toán được khai triển tiệm cận đối với tham số bé , là tỷ số giữa chu kỳ của cấu trúc 8 z tuần hoàn với độ dài đặc trưng của miền đang xét.
Dựa vào khai triển tiệm cận này chúng ta thu được đặc trưng vĩ mô của bài toán từ các tính chất vi mô của chúng. Một cách toán học, các bài toán nói trên có thể phát biểu như sau: Cho trước một họ các toán tử đạo hàm riêng A phụ thuộc vào tham số bé . Toán tử A có thể phụ thuộc vào thời gian hoặc không, tuyến tính hoặc phi tuyến. Các hệ số của A là các hàm tuần hoàn theo một số hoặc tất cả các biến không gian với chu kỳ .
Vì được giả thiết là nhỏ nên họ toán tử A có các hệ số dao động nhanh (biến đổi nhanh). Trong miền Ω, xét bài toán biên sau: Au = f, trong Ω (1.1) u thỏa mãn các điều kiện biên tương ứng (1.2) f cho trước. Vì u phụ thuộc vào và là bé nên u được khai triển tiệm cận như sau: x u = u0(x, y) + u1 (x, y) + 2 u2(x, y) + .