Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán kết cấu

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) xuất hiện từ những năm 1950 và được giới thiệu tại Việt Nam vào những năm 1970. Tuy nhiên, sự phát triển thực sự diễn ra từ những năm 1980. Sự tiến bộ của công nghệ thông tin đóng vai trò then chốt, cho phép xử lý lượng lớn dữ liệu và thực hiện các phép tính phức tạp cần thiết cho FEM.

So với các phương pháp truyền thống như phương pháp lực hoặc phương pháp chuyển vị, FEM có khả năng giải quyết các bài toán phức tạp hơn nhiều. Nó có thể xử lý các hình dạng kết cấu phức tạp, vật liệu không đồng nhất và các điều kiện biên khác nhau. Các phần mềm thương mại dựa trên FEM giúp đơn giản hóa quá trình mô phỏng và phân tích kết cấu.

Phương pháp phần tử hữu hạn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, bao gồm: kết cấu xây dựng, cơ khí, hàng không vũ trụ, và y sinh. Nó được sử dụng để phân tích ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, và các hiện tượng vật lý khác. Ứng dụng của FEM giúp tối ưu hóa thiết kế, nâng cao độ an toàn và hiệu suất của các sản phẩm và công trình.

Phần tử cận biến là các phần tử có hình dạng hoặc tính chất gần với một trạng thái suy biến, ví dụ như một phần tử bị biến dạng quá mức hoặc có tỷ lệ kích thước quá lớn. Việc tính toán với các phần tử này có thể dẫn đến kết quả không chính xác hoặc thậm chí gây ra lỗi trong quá trình giải.

Ma trận phần tử cận biến giúp đơn giản hóa việc tính toán các kết cấu phức tạp và giải các bài toán ngược, ví dụ như tối ưu hóa kết cấu hoặc nhận dạng hệ thống. Việc này đặc biệt quan trọng khi sử dụng các thuật toán di truyền đòi hỏi số lượng vòng lặp lớn.

Sử dụng ma trận phần tử cận biến giúp giảm khối lượng tính toán, đặc biệt trong các bài toán tối ưu hóa kết cấu sử dụng thuật toán di truyền, vốn đòi hỏi nhiều vòng lặp và thế hệ. Việc này giúp tiết kiệm thời gian và tài nguyên tính toán, đồng thời cho phép giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

Nút hình học là tập hợp các điểm trên miền V dùng để xác định hình học của các phần tử hữu hạn. Việc chia miền V theo các nút này và thay thế nó bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn là bước quan trọng trong quá trình xấp xỉ.

Việc chia miền V thành các phần tử ve phải tuân thủ hai quy tắc chính: hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng và tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt.

Có nhiều dạng phần tử hữu hạn khác nhau, bao gồm: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Mỗi dạng phần tử có thể có bậc khác nhau, ví dụ như bậc nhất, bậc hai hoặc bậc ba, tùy thuộc vào độ chính xác mong muốn.

Phép biến đổi hình học phải có tính chất hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm trong phần tử quy chiếu hoặc trên biên. Mỗi điểm của phần tử quy chiếu phải tương ứng với một và chỉ một điểm của phần tử thực và ngược lại.

Phần tử quy chiếu có thể được xem như phần tử “bố mẹ” và có thể được biến đổi thành tất cả các phần tử thực cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Điều này giúp đơn giản hóa việc xây dựng ma trận độ cứng và các tính chất khác của phần tử.

Hệ tọa độ ζ (ξ, η) có thể được xem như hệ tọa độ địa phương gắn với mỗi phần tử. Điều này giúp đơn giản hóa việc tính toán các tích phân và các phép toán khác trên phần tử.

Thế năng toàn phần của vật liệu đàn hồi được biểu diễn bằng công thức Π = (1/2)∫v σTε dv - ∫ uT f dv - ∫ uT Tds - ∑ uTi Pi, trong đó u là vector chuyển vị và Pi là lực tập trung tại i có chuyển vị là ui.

Nguyên lý cực tiểu hóa thế năng được sử dụng để tìm ra trạng thái cân bằng ổn định của một hệ kết cấu. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu, vật thể ở trạng thái cân bằng ổn định.

Theo nguyên lý cực tiểu hóa thế năng, trạng thái cân bằng của hệ tương ứng với trạng thái mà thế năng đạt giá trị cực tiểu. Điều này có nghĩa là hệ sẽ tự điều chỉnh để đạt được trạng thái ổn định nhất, nơi mà năng lượng tiềm ẩn của nó là thấp nhất.

Bài toán động lực học kết cấu tập trung vào việc phân tích phản ứng của kết cấu khi chịu tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian. Điều này bao gồm việc xác định các tần số tự nhiên, dạng dao động và phản ứng động của kết cấu.

Ma trận khối lượng đại diện cho sự phân bố khối lượng của kết cấu và đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các tần số tự nhiên và dạng dao động của hệ. Có nhiều phương pháp để xây dựng ma trận khối lượng, bao gồm phương pháp khối lượng tập trung và phương pháp khối lượng nhất quán.

Phương trình chuyển động của hệ được biểu diễn dưới dạng ma trận MX'' + KX = F, trong đó M là ma trận khối lượng, K là ma trận độ cứng, X là vector chuyển vị và F là vector lực. Trong trường hợp dao động tự do, phương trình trở thành KU = ω^2MU, đây là một bài toán trị riêng tổng quát.