MỞ ĐẦU Định lý Wedderburn-Artin nói rằng mọi vành artin trái nửa đơn đều đẳng cấu với tích trực tiếp của các vành ma trận trên vành chia (xem [44, (3.5) Wedderburn-Artin Theorem]). Như vậy, các kết quả nghiên cứu về vành các ma trận trên vành chia có thể ứng dụng để nghiên cứu các cấu trúc đại số khác. Cho D là vành chia và n là số nguyên dương. Một trong những hướng nghiên cứu chính liên quan đến cấu trúc dai số của vành các ma trận M„(Ð) là nghiên cứu nhóm nhân của nó, nghĩa là nhóm tuyến tính tổng quát GL,(D).
Nhiều lớp các nhóm con của GL„(D) đã được tìm hiểu như: lớp các nhóm con chuẩn tắc, lớp các nhóm con á chuẩn tắc, lớp các nhóm con tối đại,. Tiếp nối theo hướng nghiên cứu này, đối tượng nghiên cứu chính trong luận án là các nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm tuyến tính tổng quát GL,(D) bậc n > 1 trên vành chia D. Ore giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1937 trong [51] cho đến nay, trong nghiên cứu về nhóm hữu hạn và về lý thuyết nhóm nói chung, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về các nhóm con tựa chuẩn tắc ([2§, 29, 60, 38, 40, 52]). Mặt khác, trong lĩnh vực nghiên cứu về nhóm tuyến tính, đã có rất nhiều lớp các nhóm con của nhóm GL,(D) đã được nghiên cứu như lớp các nhóm con chuẩn tắc ([5, 12, 46, 65]), lớp các nhóm con á chuẩn tắc (2, 13, 25, 27, 30, 33]), lớp các nhóm con gan á 13 chuẩn tắc ({49]), lớp các nhóm con tối đại ([3, 35]),.
Về nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc của GL„(D), có lẽ kết qua đầu tiên là [43] được công bố vào năm 2020. Như vậy, nghiên cứu về các nhóm con tựa chuẩn tắc của GL,(D) là một đề tài khá mới mẻ. Vì là đề tài mới nên những câu hỏi đầu tiên được đặt ra để định hướng nghiên cứu đó là: (1) Nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc của GL,(D) có tầm thường hay không? Ta có nhóm con tựa chuẩn tắc và nhóm con á chuẩn tắc đều là các cấu trúc tổng quát hơn nhóm con chuẩn tắc. Trong khi đó, đến thời điểm hiện tại, trong GL„(Ð), lớp các nhóm con á chuẩn tắc đã được nghiên cứu với nhiều tính chất phong phú và đa dạng.
Luận án sẽ trả lời cho câu hỏi cụ thể: Trong nhóm GL,,(D), liệu có thể xảy ra việc lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc chứa trong lớp các nhóm con á chuẩn tắc hay không? (2) Những lớp bài toán nào được nghiên cứu cho đối tượng nhóm con tựa chuẩn tác của GL„(D)? Cụ thể, trong luận án, chúng tôi xét hai vấn đề sau: Bài toán nghiên cứu về sự tồn tại của nhóm con tự do không giao hoán trong nhóm con tựa chuẩn tắc của GL,(D) và bài toán mô tả về đồ thị giao các nhóm con tựa chuẩn tắc của GL„(Ð). Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách tổng quan các kết quả đã được nghiên cứu trước đó và phát biểu các kết quả chính của luận án có liên quan đến các câu hỏi này. Các kết quả chính được trình bày trong luận án đã được công bố trong các công trình [I, II, IH, IV, V, VI].1 Van đề nghiên cứu nhóm con tựa chuan tac trong nhóm tuyên tính Cho G là nhóm. Ta nói nhóm con N á chuẩn tắc (subnormal) trong G nếu tồn tại dãy hữu hạn các nhóm con NE—N <--- , << Nị< N Ng, =Œ, 14 trong đó N; chuẩn tắc trong W;_¡ với mỗi i € {1,.
Nếu r là số nguyên dương nhỏ nhất để tồn tại dãy trên thì ta nói N á chuẩn tắc độ dài r trong G. Ta nói nhóm con Q tựa chuẩn tắc (quasinormal hoặc permutable) trong G nếu QH = HQ với mọi nhóm con H của G. Nhu vậy, nhóm con á chuẩn tắc và nhóm con tựa chuẩn tắc là sự tổng quát hoá của khái niệm nhóm con chuẩn tắc. Ta cũng định nghĩa một lớp nhóm con tổng quát hơn, đó là lớp nhóm con á tựa chuẩn tắc.
Nhóm con P được gọi là nhóm con á tựa chuẩn tắc (subpermutable) của G nếu tồn tại dãy hữu hạn các nhóm con P=N. trong đó N; tựa chuẩn tắc trong Ñ;_¡ với mỗi i € {1,. Việc đầu tiên là chúng ta phải khang định được nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát GL„(D) là có ý nghĩa. Cu thể hơn, về mặt tổng quát, ta phải chỉ ra được rằng trong GL,(D), lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc không chứa trong lớp các nhóm con á chuẩn tắc.
Bên cạnh đó, chúng ta cũng cần chỉ ra những trường hợp nào mà lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc nằm trong lớp các nhóm con á chuẩn tắc nhằm mục đích kế thừa các kết quả đã được nghiên cứu trước đó. Như vậy, chúng ta cần nghiên cứu sự tương đồng và sự khác biệt của lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc so với lớp các nhóm con á chuẩn tắc trong nhóm GL,,(D). Trước hết, ta nhắc lại mối liên hệ của lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc so với lớp các nhóm con á chuẩn tắc trong lý thuyết nhóm tổng quát. Từ các kết quả của O.
Ore trong [52] cho thấy mọi nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn đều á chuẩn tắc. Stonehewer chứng minh kết quả tổng quát hơn: Mọi nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn sinh đều á chuẩn tắc [60, Theorem BỊ. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, liệu mọi nhóm con tựa chuẩn tắc có A chuẩn tắc hay không? Câu trả lời là ‘khong’ khi K. Isawasa chứng minh được sự tồn tại các nhóm có nhóm con tựa chuẩn tắc nhưng không á chuẩn tắc [40, 55, 62].
Stonehewer chứng minh được rằng lớp các 15 nhóm con tựa chuẩn tắc của một nhóm nằm trong một lớp tổng quát hơn lớp các nhóm con á chuẩn tắc. Nếu N là nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm G thi N là nhóm con tăng trong G. Ta nhắc lại định nghĩa của nhóm con tăng (ascendant subgroup) của một nhóm. Khái niệm tự số được sử dụng trong định nghĩa này có thể được tham khảo trong [59].
Cho G là nhóm. Một chuỗi tăng (ascending series) trong nhóm G là họ các nhóm con (Na)a<p được đánh chỉ số theo các tự số nhỏ hơn một tự số ø thoả mãn các điều kiện sau: () Na, < Nas nếu ay S@2; (ii) No = (1) vaG = U Mạ: a<p (iii) Na 4 Nott; (iv) Ng = U No nếu đ là một tự số giới hạn. a<B Nhóm con N của G được gọi là nhém con tăng của G nếu N xuất hiện trong một chuỗi tăng nào đó của G. Lưu ý rằng, việc nghiên cứu các nhóm con tăng của một nhóm khá phức tạp.
Do đó, việc nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc theo hướng kế thừa các tính chất của nhóm con tăng hiện tại vẫn chưa khả thi. May mắn thay, trong luận án, ta có bổ đề sau rất hữu dụng, có thể hỗ trợ nhiều on oA ⁄4 z 2 ‹ cho việc nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc. Bổ dé A ([[V, Lemma 2. Cho G là nhóm va N là nhớm con tựa chuẩn tắc của G.
Khi đó, hoặc G căn trên N hoặc N á chuẩn tắc độ dài tối đa 2 trong G. Nhắc lại rằng, nhóm G căn trên nhóm con có nghĩa là với mỗi phan tử g € G, tồn tại số nguyên dương ny sao cho g”s € N. Bổ đề A cho thấy được mối liên hệ giữa lớp các nhóm con tựa chuẩn tắc và lớp các nhóm con á chuẩn tắc 16 trong trường hợp tổng quát. Bồ đề A là một trong những công cụ chính được sử dụng trong luận án khi nghiên cứu các nhóm con tựa chuẩn tắc.
Chúng ta trở lại vấn đề nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm GL„(D). Với sự hỗ trợ của Bổ đề A, chúng ta có thể kế thừa các tính chất của nhóm con A chuẩn tắc để nghiên cứu nhóm con tựa chuẩn tắc của GL„(D). Một số kết quả đáng lưu ý của nhóm con á chuẩn tắc trong GL„(D) đã được chứng minh: e Nếu n = 2 và D có ít nhất 4 phần tử hoặc n > 2 thì lớp các nhóm con á chuẩn tắc và lớp các nhóm con chuẩn tắc trùng nhau (xem [47]). e Trong vành chia các quaternion thực H, mọi nhóm con á chuẩn tắc của H* đều chuẩn tắc (xem [27]).
e Nếu n > 2 và D có vô hạn phần tử thì lớp các nhóm con gan 4 chuẩn tắc và lớp các nhóm con chuẩn tắc trong GL„(D) trùng nhau (xem [49]). Nhắc lại rằng, ta nói một nhóm con N của nhóm G là gan á chuẩn tắc (almost subnormal) nêu tồn tại dãy các nhóm con NE=N,<N,¡<---.<XM<M=G thoả mãn với mỗi i € {1,.,,r}, hoặc N; J M;_¡ hoặc [N;_¡ : Nj] hữu hạn. Trong luận án, chúng ta sẽ có một số kết quả ban đầu về nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm tuyến tính tổng quát GL„(D). Déi với trường hợp n > 2, ta có kết quả sau: Định lý B ([IV, Theorem 3.
Cho D là vanh chia va số nguyên n > 2. Khi đó, moi nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát GU„(D) đều ? Zz chuẩn tắc. Trong trường hợp GL,(D) không dang cấu với GLạ(F¿) và GLạ(Fs), ta có kết quả sau: 17 Định lý C ([VI, Theorem 1. Cho D là vanh chia, số nguyên n > 2 va N là nhóm con không nằm trong tâm của GUẠ(D).
Giả sử D có ít nhất bốn phan tử trong trường hop n = 2. Khi đó, các điều kiện sau tương đương: (1) N chúa nhóm tuyến tính đặc biệt SL„(D). Đối với trường hợp n = 1, nghĩa là GLị(D) = D* là nhóm nhân của vành chia D, nhìn chung việc nghiên cứu khá phức tạp. Trong trường hợp vành chia các quaternion thực H, ta có kết quả tương tự Dinh lý C: Dinh lý D ([VI, Theorem 1.
Cho H là vanh chia các quaternion thục uới nhóm các quaternion đơn vi Hy, = {a + bí + cj + dk eH | aŸ + bŠ + c2 + d2 = 1}. Cho N là nhóm con không nằm trong tâm của H*. Khi đó, các điều kiện sau tương đương: (1) N chứa Hy. (2) N chuẩn tắc trong H*.
(3) N á chuẩn tắc trong H*. (4) N tựa chuẩn tắc trong TH. (5) N á tựa chuẩn tắc trong TỪ. Định lý D đã đưa ra ví dụ về vành chia mà trong nhóm nhân của nó, tất cả các nhóm con tựa chuẩn tắc và nhóm con á tựa chuẩn tắc đều chuẩn tắc.
Tuy nhiên, tính chất này không đúng cho tất cả các vành chia.