Chương 1 Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách Chương này sẽ trình bày trình bày tổng quan các nghiên cứu về hệ BEC hai thành phần phân tách trong những năm vừa qua ở trong nước và trên thế giới; trình bày cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ BEC hai thành phần phân tách. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần Ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) được tiên đoán bằng lý thuyết bởi Bose và Einstein cách đây hơn 90 năm [16]. Thí nghiệm về BEC của khí boson siêu lạnh (87 Rb, 23 Na, 7 Li) được tạo ra sau đó 70 năm [1, 2, 17, 21, 42, 44]. Những kết quả thí nghiệm xác nhận sự tồn tại của BEC đã được ghi nhận bằng giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho E.
Ketterle vì những thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khí loãng của các nguyên tử kiềm [21]. Kể từ đó, kỹ thuật thực nghiệm về khí siêu lạnh phát triển rất mạnh mẽ, người ta đã tạo ra được BEC từ hai thành phần khí khác nhau. Phương pháp cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển được hầu hết các tham số quan trọng, chẳng hạn như cường độ tương tác giữa hai thành phần, nhằm tạo ra những trạng thái bất kỳ theo ý muốn [32]. Nhờ đó, nhiều hiện tượng lượng tử trong hệ BECs như các bất ổn định, sự hình thành các xoáy (votex), các vách ngăn (domain wall) giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực (monopole) [3, 6, 12, 20, 25, 26, 33, 41, 49, 58] đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm, tạo động lực mạnh mẽ cho các nhà khoa học nghiên cứu về loại vật chất đặc biệt này.
Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BEC được đánh dấu bởi thành công của Gross và Pitaevskii trong việc thiết lập hệ phương trình Gross-Pitaevskii (GPEs) dựa trên gần đúng trường trung bình (MFA) [22,42,44]. Thực nghiệm cũng đã xác nhận BEC có những tính chất tương tự với chất lỏng lượng tử (4 He). Từ đây mở ra một hướng nghiên cứu mới đầy triển vọng đó là nghiên cứu các hiện tượng lượng tử của BEC tương tự với các hiện tượng đã biết trong thủy động lực học cổ điển, trong đó có sức căng bề mặt và chuyển pha ướt. Để nghiên cứu đặc tính vật lý của hệ BECs, việc quan trọng đầu tiên là phải tìm được hàm sóng của hệ hạt ở trạng thái ngưng tụ thông qua lời 7 luan an giải của GPEs.
Tuy nhiên, GPEs là hệ phương trình vi phân bậc hai phi tuyến tính liên kết nên việc tìm được lời giải chính xác cho tới nay vẫn còn là một thách thức, ta chỉ giải quyết được trong một số trường hợp đặc biệt [30], chủ yếu vẫn phải dựa vào tính số kết hợp với các phương pháp gần đúng [4, 5, 30, 59]. Bằng giải pháp tuyến tính hóa các tham số trật tự ở mỗi phía của mặt phân cách, Ao và Chui đã tìm được nghiệm gần đúng của GPEs cho hệ BECs, từ đó tính được sức căng mặt phân cách của hệ có số hạt xác định bị giam trong một giếng thế hữu hạn [4]. Trên cơ sở xem xét các giới hạn phân tách yếu và phân tách mạnh của BECs, Barankov đã tìm được lời giải cho GPEs và xác định được sức căng mặt phân cách của hệ theo hàm sóng ngưng tụ [5]. Hiện tượng ngưng tụ bị hấp thụ bởi một bức tường quang học (optical wall), hay còn gọi là chuyển pha ướt trong hệ BECs, được Indekeu và Schaeybroeck đề cập trong [30], sau đó tiếp tục phát triển dựa trên các tính toán về sức căng bề mặt trong lý thuyết GP của Schaeybroeck [48], các nghiên cứu này đã được hoàn thiện trong [31].
Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao và Chui [4], Indekeu và các cộng sự đã xây dựng thành công phương pháp DPA [28], sau đó được mở rộng thành gần đúng ba parabol (TPA) [59], nhờ đó tìm được nghiệm giải tích gần đúng của GPEs. Từ đây, các tác giả đã tính toán một cách chi tiết về sức căng mặt phân cách, sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng, dựa trên qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyển pha ướt. So sánh với kết quả thu được từ các tính toán bằng lý thuyết GP cho thấy cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, giản đồ pha ướt trong DPA và TPA rất tiệm cận với kết quả tính số ở mọi trạng thái phân tách của hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh (strong segregation) [28, 59]. Để các nghiên cứu lý thuyết về BECs tiến gần với thực tế, các nhà khoa học đã đi nghiên cứu hệ BECs hai thành phần trong không gian bán vô hạn và hữu hạn [53–55] và đã thu được rất nhiều kết quả quan trọng 8 luan an có ý nghĩa vật lý như: tại tường cứng sẽ xảy chuyển pha ướt từ dính ướt một phần sang dính ướt hoàn toàn, khi hệ bị giam giữ bởi hai tường cứng thì xuất hiện của lực Casimir-like và tùy thuộc vào khoảng cách giữa các tường mà lực này có thể là lực hút hoặc lực đẩy, sức căng mặt phân cách trong tập hợp chính tắc lớn (GCE) và tập hợp chính tắc (CE) không còn liên hệ với nhau như đối với hệ vô hạn.
Bên cạnh những tính chất tĩnh nêu trên thì các tính chất động lực học, đặc biệt là động lực học mặt phân cách được chú ý đặc biệt bởi tính ứng dụng cao của nó trong các công nghệ hiện đại. Chỉ xét trường hợp hai thành phần hoàn toàn đối xứng, Mazet [37] chỉ ra rằng các sóng kích thích bề mặt có hai khả năng: sóng mao dẫn, ở đó năng lượng sóng tỉ lệ với vecto sóng dưới dạng ω ∝ k 3/2 hoặc một dạng kích thích khác với ω ∝ k 1/2. Tương tự như vậy, Brankov [5] cũng chứng minh được rằng hệ thức tán sắc cho kích thích bề mặt của hệ BECs cũng có hai khả năng như trên, tức là tồn tại cả ω ∝ k 3/2 và ω ∝ k 1/2. Gần đây nhất là công trình nghiên cứu Takahashi và cộng sự [50] đối với hệ BECs có kích thước tùy ý, hệ thức tán sắc khi kích thước hệ trở nên đủ lớn cũng có dạng của sóng mao dẫn.Bên cạnh hiệu ứng của sóng mao dẫn, các nghiên cứu cũng khảo sát các hiệu ứng khác như Kelvin-Helmholtz [51], Rayleigh-Taylor [47], Richtmayer-Meshkov [7].
Trên đây chúng tôi đã trình bày tổng quan những nghiên cứu lý thuyết về BECs trong và ngoài nước. Từ đây chúng tôi nhận thấy rằng có hai vấn đề rất thú vị mà chưa được nghiên cứu: • Khi hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng thì với các điều kiện khác nhau tại tường sẽ ảnh hưởng thế nào đến các tính chất vật lý của hệ, điều kiện biên nào tại tường sẽ khiến cho hệ ổn định. • Các nghiên cứu về tính chất động tại mặt phân cách mới chủ yếu diễn ra với hệ vô hạn trong khi tất cả các thực nghiệm, ứng dụng thực tế lại tiến hành trong không gian bị giới hạn. Vì vậy trong luận án này chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng parabol kép (DPA), phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) trong 9 luan an khuôn khổ lý thuyết GP để đi nghiên cứu hệ BEC hai thành phần trong không gian bị hạn chế với các điều kiện biên khác nhau với mục tiêu sẽ tìm ra một số hiệu ứng giới hạn mới, khảo sát sự ảnh hưởng của các điều kiện biên đến sự ổn định của hệ và tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn định.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ ngưng tụ Bose - Einstein 1. Phương trình Gross-Pitaevskii (GPE) Để mô tả trạng thái ngưng tụ của hệ N hạt boson, ta thiết lập GPE trong gần đúng trường trung bình (MFA) từ Lagrangian L = Ld~r R V [42, 44].2) 2m 2 là mật độ Hamiltonian, U (~x) là mật độ thế ngoài, G = 4π ~2 a/m là cường độ tương tác giữa các hạt, a là độ dài tán xạ sóng s (s-wave scattering length) xác định kiểu tương tác giữa các hạt (a > 0 ứng với tương tác đẩy, a < 0 ứng với tương tác hút). Tác dụng S của hệ được xác định bởi S = L dt. Trong phép biến đổi R trường Ψ → Ψ + δΨ, tác dụng S cũng biến đổi S → S + δS.
Các biến đổi này phải tuân theo nguyên lý tác dụng tối thiểu δψ δS = 0, biến đổi của tác dụng S gây nên bởi sự biến đổi của trường bằng 0. Từ đây ta có phương trình Euler-Lagrange ∂L ∂L − ∂ν = 0, (1.3) tìm được phương trình ~2 2 i~∂t Ψ = − ∇ Ψ + U (~x)Ψ + G|Ψ|2 Ψ (1.4) 2m gọi là GPE phụ thuộc thời gian. Nếu biểu diễn hàm sóng của hệ hạt dưới dạng Ψ = ψ(~r)e−iµt/~ , ψ(~r) là hàm thực, thì (1.5) 2m Phương trình (1.5) có dạng của phương trình Schrödinger dừng, trong đó mật độ thế tác dụng lên các hạt là tổng của mật độ thế ngoài U (~x) và thành phần phi tuyến G|ψ(~r)|2 , được gọi là GPE không phụ thuộc thời gian. Lời giải của (1.5) cho chúng ta hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệ hạt boson.
Hệ phương trình Gross-Pitaevskii Bằng cách tương tự, ta có thể xây dựng hệ phương trình Gross-Pitaevskii cho hệ BEC hai thành phần. Hệ ngưng tụ BEC hai thành phần được mô tả bởi Lagrangian L và hàm tác dụng S dưới dạng [42], Z Z S(Ψ1 , Ψ2 ) = dtL = dtd~rL, (1.6) với hàm mật độ Lagrange trong gần đúng trường trung bình có dạng X i~ L(Ψ1 , Ψ2 ) = (Ψ∗j ∂t Ψj − Ψj ∂t Ψ∗j ) − E(Ψ1 , Ψ2 ).7) j=1,2 2 Đại lượng E trong (1.7) được gọi là mật độ Hamilton, nó có dạng X ~2 g jj E = (Ψ1 , Ψ2 ) = |∇Ψj |2 + |Ψj |4 g12 |Ψ1 |2 |Ψ2 |2 , (1.8) j=1,2 2mj 2 ở đây, với thành phần j , Ψj = Ψj (~r, t) là hàm sóng, đóng vai trò của tham số trật tự; mj là khối lượng nguyên tử; gjj ′ = 2π ~2 ajj ′ (1/mj + 1/mj ′ ) > 0 11 luan an là hằng số tương tác, chúng được xác định qua ajj ′ là độ dài tán xạ sóng s. Bằng cách thực hiện phép biến thiên Ψ∗j → Ψ∗j + δΨ∗j và cực tiểu hóa tác dụng S theo điều kiện δS/δΨ∗j ta thu được hệ phương trình GP phụ thuộc thời gian ~2 2 2 2 i~ ∂ t Ψ 1 = − ∇ + g11 |Ψ1 | + g12 |Ψ2 | Ψ1 , (1.