Nghiên cứu đường cong elliptic trên trường hữu hạn và số hữu tỉ

• Tác giả: Hoàng Tùng
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Duy Tân
• Trường học: Học viện Khoa học và Công nghệ
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Nghiên cứu đường cong elliptic trên trường hữu hạn và số hữu tỉ
• Loại tài liệu: luận văn
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
• DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
• MỤC LỤC
• 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Đa tạp đại số
• 1.2. Đường cong đại số
• 1.3. Luật nhóm trên đường cong elliptic
• 1.4. Điểm có cấp hữu hạn
• 2. ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN
• 2.1. Một định lý của Gauss
• 3. ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG SỐ HỮU TỈ
• 3.1. Định lý Mordell yếu
• 3.2. Định lý Mordell trên Q
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• MỞ ĐẦU

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Đường Cong Elliptic Khái Niệm Ứng Dụng

Bài viết này tập trung vào việc nghiên cứu đường cong elliptic trên trường hữu hạn và trường số hữu tỉ. Đây là một chủ đề quan trọng trong lý thuyết số, có ứng dụng rộng rãi từ chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat đến mật mã học đường cong elliptic. Mục tiêu chính là tìm hiểu cấu trúc của tập các điểm hữu tỉ trên các trường hữu hạn và trường số hữu tỉ, đồng thời khám phá các định lý quan trọng như Định lý Hasse và Định lý Mordell-Weil. Nghiên cứu này cung cấp cái nhìn sâu sắc về số học của đường cong elliptic và vai trò của chúng trong toán học hiện đại.

1.1. Định Nghĩa và Phương Trình Đường Cong Elliptic

Đường cong elliptic được định nghĩa bởi phương trình y² = x³ + ax + b. Đây là một đối tượng quan trọng trong lý thuyết số. Chẳng hạn, nó được sử dụng trong chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Ngoài ra nó còn có ứng dụng trong lý thuyết mật mã (mật mã đường cong elliptic). Mục đích của luận văn này là nghiên cứu tập các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn và trên trường các số hữu tỉ.

1.2. Ứng Dụng Của Đường Cong Elliptic Trong Toán Học và Mật Mã

Đường cong elliptic không chỉ là một đối tượng nghiên cứu thuần túy trong lý thuyết số mà còn có nhiều ứng dụng thực tế. Một trong những ứng dụng quan trọng nhất là trong mật mã học, nơi chúng được sử dụng để xây dựng các hệ thống mã hóa an toàn. Ngoài ra, đường cong elliptic còn đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán số học khác, chẳng hạn như chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat.

II. Thách Thức Nghiên Cứu Đường Cong Elliptic Trên Trường Hữu Hạn

Nghiên cứu đường cong elliptic trên trường hữu hạn đặt ra nhiều thách thức đáng kể. Một trong những vấn đề quan trọng là xác định số điểm trên đường cong elliptic. Định lý Hasse cung cấp một chặn cho số điểm, nhưng việc tính toán chính xác số điểm này có thể rất phức tạp. Các thuật toán như thuật toán Schoof được phát triển để giải quyết vấn đề này, nhưng chúng đòi hỏi kiến thức sâu rộng về lý thuyết số và đại số.

2.1. Vấn Đề Tính Số Điểm Trên Đường Cong Elliptic

Việc tính toán số điểm trên đường cong elliptic trên trường hữu hạn là một vấn đề trung tâm trong nghiên cứu. Định lý Hasse cung cấp một chặn cho số điểm, nhưng việc tìm ra giá trị chính xác đòi hỏi các phương pháp phức tạp hơn. Các thuật toán như thuật toán Schoof được sử dụng để giải quyết vấn đề này, nhưng chúng có độ phức tạp tính toán cao.

2.2. Giới Hạn Của Định Lý Hasse và Sự Cần Thiết Của Thuật Toán Schoof

Định lý Hasse cung cấp một chặn cho số điểm trên đường cong elliptic, nhưng nó không cho phép tính toán chính xác số điểm. Để vượt qua giới hạn này, các nhà toán học đã phát triển các thuật toán phức tạp hơn, chẳng hạn như thuật toán Schoof. Thuật toán này cho phép tính toán số điểm một cách hiệu quả hơn, nhưng nó đòi hỏi kiến thức sâu rộng về lý thuyết số và đại số.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu Đường Cong Elliptic Trên Q Định Lý Mordell

Nghiên cứu đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ Q tập trung vào cấu trúc nhóm của các điểm hữu tỉ. Định lý Mordell-Weil là một kết quả quan trọng, khẳng định rằng nhóm các điểm hữu tỉ của một đường cong elliptic là một nhóm Abel hữu hạn sinh. Điều này có nghĩa là có một số hữu hạn các điểm cơ sở mà từ đó có thể tạo ra tất cả các điểm hữu tỉ khác thông qua phép cộng nhóm.

3.1. Cấu Trúc Nhóm Mordell Weil và Điểm Cơ Sở

Định lý Mordell-Weil khẳng định rằng nhóm các điểm hữu tỉ của một đường cong elliptic là một nhóm Abel hữu hạn sinh. Điều này có nghĩa là có một số hữu hạn các điểm cơ sở mà từ đó có thể tạo ra tất cả các điểm hữu tỉ khác thông qua phép cộng nhóm. Việc tìm kiếm các điểm cơ sở này là một vấn đề quan trọng trong nghiên cứu đường cong elliptic.

3.2. Ứng Dụng Của Định Lý Mordell Weil Trong Số Học

Định lý Mordell-Weil có nhiều ứng dụng quan trọng trong số học. Nó cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic, và nó cũng được sử dụng để giải quyết các bài toán số học khác. Ví dụ, định lý này có thể được sử dụng để tìm tất cả các nghiệm hữu tỉ của một phương trình Diophantine.

IV. Hàm L Của Đường Cong Elliptic Liên Hệ Với Giả Thuyết BSD

Hàm L của đường cong elliptic là một hàm số phức liên kết với đường cong. Nó chứa đựng thông tin quan trọng về số học của đường cong elliptic, bao gồm số điểm trên các trường hữu hạn khác nhau. Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer (BSD) là một trong những bài toán mở lớn nhất trong toán học, liên kết giá trị của hàm L tại s = 1 với rank của đường cong elliptic.

4.1. Định Nghĩa và Tính Chất Của Hàm L

Hàm L của đường cong elliptic là một hàm số phức liên kết với đường cong. Nó chứa đựng thông tin quan trọng về số học của đường cong elliptic, bao gồm số điểm trên các trường hữu hạn khác nhau. Hàm L được định nghĩa thông qua một tích Euler, và nó có nhiều tính chất quan trọng, chẳng hạn như tính giải tích và phương trình hàm.

4.2. Giả Thuyết Birch và Swinnerton Dyer BSD Bài Toán Mở

Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer (BSD) là một trong những bài toán mở lớn nhất trong toán học. Nó liên kết giá trị của hàm L tại s = 1 với rank của đường cong elliptic. Cụ thể, giả thuyết BSD dự đoán rằng rank của đường cong elliptic bằng với bậc của zero của hàm L tại s = 1. Việc chứng minh giả thuyết BSD là một trong những mục tiêu quan trọng nhất của lý thuyết số hiện đại.

V. Ứng Dụng Thực Tế Của Đường Cong Elliptic Trong Mật Mã Học

Đường cong elliptic có nhiều ứng dụng quan trọng trong mật mã học. Mật mã đường cong elliptic (ECC) cung cấp mức độ bảo mật cao với kích thước khóa nhỏ hơn so với các hệ thống mật mã truyền thống như RSA. Điều này làm cho ECC trở nên lý tưởng cho các ứng dụng trên thiết bị di động và các hệ thống nhúng.

5.1. Ưu Điểm Của Mật Mã Đường Cong Elliptic ECC

Mật mã đường cong elliptic (ECC) có nhiều ưu điểm so với các hệ thống mật mã truyền thống. ECC cung cấp mức độ bảo mật cao với kích thước khóa nhỏ hơn, giúp tiết kiệm băng thông và tài nguyên tính toán. Điều này làm cho ECC trở nên lý tưởng cho các ứng dụng trên thiết bị di động và các hệ thống nhúng.

5.2. Các Giao Thức Mật Mã Dựa Trên Đường Cong Elliptic

Có nhiều giao thức mật mã dựa trên đường cong elliptic, bao gồm trao đổi khóa Diffie-Hellman trên đường cong elliptic (ECDH) và chữ ký số đường cong elliptic (ECDSA). Các giao thức này được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng bảo mật, chẳng hạn như bảo mật email, giao dịch trực tuyến và kết nối VPN.

VI. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Về Đường Cong Elliptic và Số Học

Nghiên cứu về đường cong elliptic vẫn là một lĩnh vực hoạt động mạnh mẽ với nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng. Một trong những hướng quan trọng là tiếp tục khám phá giả thuyết BSD và các vấn đề liên quan đến số học của đường cong elliptic. Ngoài ra, việc phát triển các thuật toán hiệu quả hơn để tính toán số điểm và tìm kiếm các điểm cơ sở cũng là một mục tiêu quan trọng.

6.1. Các Bài Toán Mở và Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng

Nghiên cứu về đường cong elliptic vẫn còn nhiều bài toán mở và hướng nghiên cứu tiềm năng. Một trong những bài toán quan trọng nhất là chứng minh giả thuyết BSD. Ngoài ra, còn có nhiều vấn đề liên quan đến số học của đường cong elliptic mà chưa được giải quyết hoàn toàn, chẳng hạn như bài toán về rank và torsion points.

6.2. Phát Triển Thuật Toán Hiệu Quả Hơn Cho Tính Toán Trên Đường Cong Elliptic

Việc phát triển các thuật toán hiệu quả hơn để tính toán số điểm và tìm kiếm các điểm cơ sở là một mục tiêu quan trọng trong nghiên cứu đường cong elliptic. Các thuật toán này có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán mật mã và số học khác, và chúng cũng có thể giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của đường cong elliptic.