Chương 1 Hàm cộng tính và song cộng tính Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức về các hàm cộng liên tục, hàm cộng tính gián đoạn, một vài tiêu chuẩn khác cho hàm cộng tính, hàm cộng tính trên mặt phẳng phức và cuối cùng chúng tôi giới thiệu về hàm song cộng tính. Tài liệu được sử dụng chính cho chương này là [6].1 Hàm cộng tính liên tục Dinh nghia 1. Ham f :R > R được gọi là hờm cộng tính nêu và chỉ nếu nó thóa mãn phương trình hàm Cauchy fe + y) = fle) + fly) (1.1) véi moi x,y ER. Ham f :R—> R được gọi là hàm tuyến tính nêu và chỉ nêu nó có dạng f(z)=ma (vx eR) với mm là hằng số tùy ý.
Các ví dụ về hàm cộng tính dễ hiểu là các hàm tuyến tính. Vậy câu hỏi đặt ra là có hàm cộng tính nào khác hay không? Câu trả lời là chỉ có duy nhất các hàm cộng tính liên tục là tuyến tính. Đây là kết quả được chứng minh bởi Cauchy vào năm 1821. C5o hàm ƒ : R — R là hàm cộng tính liên tục.
Khi đó Ƒ là hầm tuyén tinh hay f(x) = ma vdi m la hang sé bat ki. Dau tiên, ta viết lại z và kết hợp với (1.1], ta được 1 f)= | f)Mu 0 1 -[ [/Œœ + ø)— f(w)]dy tái 1 = / J(u)du -| ƒ(u)dụ, ở đây u=+ + Do f là liên tục, ta có #) =/ƒ(+z)T— ƒ0).2) Từ tính cộng tính của ƒ, ta có #q++z) =ƒ@) + f(a) (1. Từ đó suy ra f(t) =mzr+e, (1.4) trong dé ¢ la hang sé.1) cho x = 0 ta thu duge ¢ = 2c do dé c= 0.1, chúng ta sử dụng tính liên tục của ƒ để kết luận rằng ƒ cũng khả tích. Tính khả tích của ƒ bắt buộc hàm cộng tính ƒ là tuyến tính.
Do đó mọi hàm cộng tính khả tích cũng là tuyến tính. Hàm ƒ : R —› R được gọi là khả tích địa phương khi và chỉ khi nó khả tích trên từng khoảng hữu hạn. Mọi hàm cộng tính khả tích địa phương đều tuyến tính. Chúng ta chứng mình điều này bằng cách sử dụng đối số được đưa ra bởi Shapiro (1973).
Giả sử ƒ là hàm cộng tính khả tích địa phương. Tt tính khả tích địa phương của ƒ, ta có wie) = [sos 5 Ụ -| [#z+z)~ /(2)]d: = ftom [pene =P peau [ronan fsa Vai trò của + và trong về phải là như nhau, do đó ta có UJ() =zƒ) véi moi x,y € R. Tt do, với z #0, ta thu được /) ——— =m, x với m là hằng số bất kì. Suy ra ƒ(z) = mz, Vx € R\{0}.Va vi f là hàm cộng tính nên ta có ƒ(0) = 0.
Cùng véi diéu kién nay, ta cé f(x) = ma, Va € R. L] Để làm rõ hơn hàm cộng tính, chúng ta bắt đầu với định nghĩa sau. Hàm ƒ :lR —› R được gọi là thuần nhất hữu tỉ khi f(re) = rf(w) (1.5) v6i moi x € R va moi sé hitu ti r. Định lý sau đây sẽ cho ta thấy mọi hàm cộng tính đều là thuần nhất hữu tỉ.
Cho ƒ:]lR — R là hàm cộng tính. Khi đó ƒ là thuần nhất hữu tỉ. Hơn nữa, ƒ là tuyến tính trên tập số hữu tí Q.1) va stt dung (1.6), ta thay f 1& ham lé trong R, hay f(-2) = —f(e) (17) với mọi z € lR. Chúng ta đã chỉ ra được hàm cộng tính là 0 tại z = 0 và nó là hàm lẻ.
Tiếp theo, chứng ta sẽ chứng minh hàm cộng tính là thuần nhất hữu ti. Với z bất kì ta có, ƒ(#) = fla +2) = fe) + ƒ(œ) = 2/(8): Từ đó ƒ(r) = fQx +2) = fx) + f(x) = 3f (a); tổng quát, ta có ƒ(me) = nƒ(œ) (1.8) với mọi số nguyên dương n. Nếu ø là số nguyên âm thì —n là số nguyên dương và do đó từ va (1.7), ta c6 (nx) = f(—(-n)x) = —f((-n)x) = —(—n) f(x) = nf (0) Từ đó ta có, ƒ(n#) = nƒ(+) với mọi số nguyên ø và mọi z e IR. Tiếp theo, cho + là một số hữu tỉ bất kì.
Ta có r= ~| > trong đó k là số nguyên và / 1a sé tu nhién. Hon nita, ka = U(rx). Sit dung tinh thuần nhất nguyên của ƒ, ta được f(x) = ƒ(ke) = ƒ0+)) = 17+) SUY ra k fre) = T1) = "f0 Do đó, ƒ là thuần nhất hữu tỉ. Hơn nữa, cho z = 1 trong phương trình trên và định nghĩa m = f(1), ta thấy f(r) =mr với mọi số hữu tỉ r e Q.
Vì vậy ƒ là tuyến tính trên tập số hữu tỉ và chứng minh được hoàn thành. Nếu hàm cộng tính liên tục tại một điểm thà nó liên tục mọi nơi. Cho ƒ là hàm liên tục tại £ và z là một điểm bất kì. Vì vậy, ta có lim f(y) = f(t).
Tiép theo, ta chứng ƒ liên tục tại +. Xét yo lim f(y) = Tim ƒu-xz+t+z—t) yor = lim f(y—a+t)+ f(a—-t) yor = „m „#0 —ø +) + ƒ(œ— f) Điều này chứng tỏ ƒ là liên tục tại x và do tính bất kỳ của x, do đó ƒ liên tục mọi nơi.2 Hàm cộng tính giấn đoạn Định nghĩa 1. Đồ thị của hàm số ƒ : IR — IR là một tap G = {(+. Dé thay rang đồ thi G của ham sé f : R > R 1A mot tập con cia R?.
Dé thi ctia moi ham cộng tính phá tuyến Ƒ : ]R — lR trù mật khắp noi trong R?. Do thi G cia hàm ƒ được cho bởi G= {(z,y)|c € Ry = ƒ()}. Từ ƒ là hàm cộng tính phi tuyến, với bất kì hằng số zn, tồn tại zạ € R, x2 4 0 sao cho f(z) 4 Plea) #1 %2 nếu không viết m = TỦ và cho x1 = z, ta sẽ có ƒ(#) = m+,V+ # 0, và từ ƒ(0) =0 điều này ngụ ý ƒ là hàm tuyến tính trái với giả thiết ƒ là hàm phi tuyến. Từ x1 f(x) Z0, x f(x) ta có vectd X1 = (a1, f(21)) va X2 = (#2, f(v2)) 1a doc lap tuyến tính và chúng sinh ra toan bé R?.
Từ đó, với bất kì veetơ X = (z, ƒ(z)), tồn tại số thực r¡ và ra sao cho X = 7X1, + 172Xo. 8 Nếu chỉ cho các số hữu tỉ øị, øs thì, bằng cách lựa chọn thích hợp, chúng ta có thể nhận được ø+Xị + øaX› tùy ý gần với bất kì vectơ X nào đã cho. Bây giờ, prX1 + poX2 = pr(er, Ƒ(#1)) + pa(#a, ƒ(z2)) = (011 + 022, pif (a1) + prof (x2) = (011 + Øa#2, ƒ(p1#1 + 0232)). Khi đó, tập G = {(x,y)|e = prvi + øa#2,U = (prvi + prea), pr, p2 € Qh là trù mật khắp nơi trong IR?.
Từ GCG, dé thi G cia ham cong tinh phi tuyén ƒ cũng trù mật khắp nơi trong IR2. Cho tập Š là tập hợp các số thực và Ö là tập con cia tap S. Khi đó Bö được gọi là mét co sé Hamel cha S nếu và chỉ nêu moi phần tử của S$ đều là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn duy nhất của Ö. Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa hàm cộng tính và cơ sở Hamel.
Để trình bày một hàm cộng tính ta chỉ cần cung cấp các giá trị của nó trên cơ sở Hamel là đủ, và các giá trị này được gán tùy ý. Dây là nội dung tiếp theo của định lý sau đây. Cho B la co sé Hamel doi vdi R. Néu hai ham cộng tính có cùng gid tri tai moi phần tử của B thà chúng bằng nhau.
Cho ƒị và ƒ; là hai hàm cộng tính có cùng giá trị tại mỗi phần tử của B. Khi đó ƒ¡ — ƒ› là cộng tính. Cho z là một số thực bất kì. Khi đó ta có các số bị, ba,.,b„ c Ð và các số hữu tỉ rị,ra,.r„ sao cho # = TỊbI + raba + - - - + rnDn,.
(riÖi + raba + - -- + rnÐn) f f (rib1) + f(rabe) +--+ + f(Tnbn) = rif (bt) + ref (be) +--+ +9nf (bn) =ri[filbs) — fo(b1)] + ral fi(b2) — fa(be)] +--+ + ral fi(bn) — fo(bn)] =0 Do đó, ta có fi = fa. Cho B là một cơ sé Hamel đối với R. Cho g : B —> R là một hàm tùy g xác định trên B. Khi đó tồn tại hàm cộng tính ƒ : ]Ñ > R sao cho f(b) = g(b) vdi moi be B.
V6i moi sé thuc x ta cé thé tim được bị,bạ,.,bạ € B va các số hữu tỈ r,ra,.,r„ sao cho # = TỊbI + rabÙa + - - - + run. Định nghĩa này là không rõ ràng vì, đối với mỗi z, cách chọn bị, bạ,.,r„ là duy nhất, ngoại trừ thứ tự mà b; và r¡ được chọn. Với mỗi b€ ðö, ta có ƒ(ð) = ø(b) bởi cách xác định ƒ. Tiếp theo, ta chứng minh ƒ là hàm cộng tính trên tập số thực.
Cho z, là hai số thực. Khi đó # = T161 +T20a +:-' + Tnữ„ U = sSIÙI + 52Ùa + --- + Snbn, VỚI T1,T2,. Hai bộ {ai, ae, ., an} va {b1, bo, .,bn} c6 thể có một số phần tử trùng nhau. Hợp hai tập này ta được tap {c1,c2,.
Khi d61< m+n, va U = uycy + ugeg +--+ + Uc U = U11 + 0262 +--- + tịd, VỚI MỊ, tạ,. 0„ là các số hữu tỉ, trong đó có một số số có thể bằng 0. Do đó ƒ là hàm cộng tính trén R. H Với sự trợ giúp của cơ sở Hamel, tiếp theo ta xây dựng cấu trúc cho hàm cộng tính phi tuyến.
Cho B 1A một sơ sở Hamel của tập số thực R. Cho be là một phần tử bất kì của Ö. Ta xác định 0 nếu zec P\{b} g(x) =. Từ Dinh ly tồn tai ham cong tinh f : R > R sao cho f(x) = g(x) véi mỗi « € B.
Cha ¥ ham f này không thé tuyén tinh vi « € B va x F b, ta c6 b Từ đó, ƒ là hàm cộng tính phi tuyến.3 Tiêu chuẩn khác cho tính tuyến tính Chúng ta có đồ thị của hàm cộng tính phi tuyến tính ƒ là trù mật trong mặt phẳng. Nghĩa là mỗi vòng tròn chứa một điểm (x,y) sao cho y = f(x). Chung ta cũng nhận thấy rằng một hàm cộng tính ƒ trở thành tuyến tính khi áp đặt tính liên tục trên ƒ. Chúng ta có thể làm yếu điều kiện liên tục về liên tục tại một điểm.
Trong mục này, chúng ta trình bày một số điều kiện chính quy nhẹ khác mà làm cho một hàm cộng tính là tuyến tính. Nếu một hàm cộng tính ƒ hoặc bị chặn từ một phía hoặc đơn điệu thà ƒ là tuyến tính. Giả sử ƒ không tuyến tính.