Luận Văn Nghiên Cứu Dao Động Đàn Hồi Của Thanh: Chi Tiết Và Ứng Dụng

• Tác giả: Nguyễn Quang Doanh
• Người hướng dẫn: TS. Đoàn Văn Duẩn
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Nghiên Cứu Dao Động Đàn Hồi Của Thanh
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sỹ Kỹ Thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

• MỞ ĐẦU
• 1. PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH
• 1.1. Khái niệm
• 1.2. Lực cản
• 1.3. Đặc trưng động của hệ dao động tuyến tính
• 1.4. Dao động tuần hoàn - Dao động điều hòa
• 1.5. Các phương pháp để xây dựng phương trình chuyển động
• 1.5.1. Phương pháp tĩnh động học
• 1.5.2. Phương pháp năng lượng
• 1.5.3. Phương pháp ứng dụng nguyên lý công ảo
• 1.5.4. Phương trình Lagrange (phương trình Lagrange loại 2)
• 1.5.5. Phương pháp ứng dụng nguyên lý Hamilton
• 1.6. Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do
• 1.6.1. Dao động tự do
• 1.6.2. Các tần số riêng và các dạng dao động riêng
• 1.6.3. Tính chất trực giao của các dạng chính
• 1.7. Dao động cưỡng bức của hệ hữu hạn bậc tự do
• 1.7.1. Phương trình vi phân dao động của hệ
• 1.7.2. Phương pháp khai triển theo các dạng riêng
• 1.7.3. Phương pháp tọa độ tổng quát
• 1.7.4. Trình tự tính toán hệ dao động cưỡng bức

I. Dao động đàn hồi và cơ học vật rắn

Dao động đàn hồi là hiện tượng vật lý quan trọng trong cơ học vật rắn, đặc biệt trong các công trình xây dựng. Nghiên cứu này tập trung vào thanh đàn hồi, một cấu trúc phổ biến trong kỹ thuật. Phân tích dao động giúp hiểu rõ hành vi của thanh dưới tác động của tải trọng. Các phương pháp như nguyên lý cực trị Gauss được sử dụng để giải quyết bài toán dao động. Nghiên cứu này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc kết hợp lý thuyết và thực nghiệm để đảm bảo độ chính xác.

1.1. Khái niệm dao động đàn hồi

Dao động đàn hồi xảy ra khi vật thể biến dạng dưới tác động của lực và trở lại trạng thái ban đầu khi lực ngừng tác dụng. Trong cơ học vật rắn, hiện tượng này được mô tả bằng các phương trình vi phân. Thanh đàn hồi là đối tượng nghiên cứu chính, với các đặc tính như độ cứng và khối lượng ảnh hưởng đến tần số dao động. Nghiên cứu này sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để giải quyết bài toán dao động, đảm bảo kết quả chính xác cả trong trường hợp tĩnh và động.

1.2. Ứng dụng trong kỹ thuật cơ khí

Ứng dụng dao động trong kỹ thuật cơ khí giúp thiết kế các công trình chịu tải trọng động hiệu quả. Phân tích ứng dụng cho thấy việc tính toán dao động giúp dự đoán và ngăn ngừa hư hỏng. Các công trình cao tầng và công nghiệp thường sử dụng thanh đàn hồi để đảm bảo độ ổn định. Nghiên cứu này cung cấp cơ sở lý thuyết và phương pháp tính toán để áp dụng trong thực tế, đặc biệt trong các bài toán động lực học công trình.

II. Phương pháp phân tích dao động

Phân tích dao động là quá trình nghiên cứu hành vi của hệ thống dưới tác động của tải trọng động. Nghiên cứu này sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss và phương pháp chuyển vị cưỡng bức để giải quyết bài toán dao động. Các phương pháp này cho phép tính toán chính xác các đặc trưng dao động như tần số và dạng dao động. Mô hình dao động được xây dựng dựa trên các giả thiết về vật liệu và điều kiện biên, đảm bảo kết quả phù hợp với thực tế.

2.1. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss

Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss là công cụ mạnh để giải các bài toán cơ học vật rắn. Phương pháp này dựa trên nguyên lý cực trị, cho phép tìm nghiệm chính xác cho cả bài toán tĩnh và động. Nghiên cứu áp dụng phương pháp này để giải bài toán dao động đàn hồi của thanh, đảm bảo kết quả chính xác và hiệu quả. Phương pháp này cũng được sử dụng để phân tích các hệ thống phức tạp hơn trong kỹ thuật.

2.2. Phương pháp chuyển vị cưỡng bức

Phương pháp chuyển vị cưỡng bức được sử dụng để tính toán dao động của thanh dưới tác động của tải trọng tĩnh. Phương pháp này dựa trên việc xác định chuyển vị của hệ thống và các lực quán tính phát sinh. Nghiên cứu cho thấy phương pháp này hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán động lực học công trình. Kết quả tính toán giúp dự đoán hành vi của hệ thống và đưa ra các giải pháp thiết kế phù hợp.

III. Ứng dụng thực tiễn và kết luận

Nghiên cứu dao động đàn hồi của thanh có nhiều ứng dụng thực tiễn trong kỹ thuật xây dựng và cơ khí. Phân tích ứng dụng cho thấy việc tính toán dao động giúp thiết kế các công trình an toàn và hiệu quả. Các phương pháp như nguyên lý cực trị Gauss và phương pháp chuyển vị cưỡng bức được áp dụng rộng rãi trong thực tế. Nghiên cứu này cung cấp cơ sở lý thuyết và phương pháp tính toán để giải quyết các bài toán động lực học phức tạp, đóng góp vào sự phát triển của ngành kỹ thuật.

3.1. Ứng dụng trong xây dựng

Ứng dụng dao động trong xây dựng giúp thiết kế các công trình chịu tải trọng động hiệu quả. Phân tích ứng dụng cho thấy việc tính toán dao động giúp dự đoán và ngăn ngừa hư hỏng. Các công trình cao tầng và công nghiệp thường sử dụng thanh đàn hồi để đảm bảo độ ổn định. Nghiên cứu này cung cấp cơ sở lý thuyết và phương pháp tính toán để áp dụng trong thực tế, đặc biệt trong các bài toán động lực học công trình.

3.2. Kết luận và hướng phát triển

Nghiên cứu dao động đàn hồi của thanh đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Các phương pháp như nguyên lý cực trị Gauss và phương pháp chuyển vị cưỡng bức được chứng minh là hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán động lực học. Hướng phát triển tiếp theo là áp dụng các phương pháp này vào các hệ thống phức tạp hơn và tích hợp với các công nghệ mới để nâng cao hiệu quả tính toán và thiết kế.

Tổng quan nghiên cứu

Trong bối cảnh phát triển kinh tế và đô thị hóa nhanh chóng, các công trình xây dựng cao tầng, có khẩu độ lớn và đặc biệt ngày càng phổ biến. Việc sử dụng các thanh có chiều dài lớn và tấm vỏ chịu nén trong kết cấu đòi hỏi phải nghiên cứu kỹ lưỡng về dao động đàn hồi nhằm đảm bảo tính ổn định và an toàn cho công trình. Theo ước tính, các hiện tượng dao động trong kết cấu có thể gây ra những ảnh hưởng nghiêm trọng đến độ bền và tuổi thọ của công trình nếu không được kiểm soát đúng mức. Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là phân tích dao động đàn hồi của hệ thanh chịu tải trọng tĩnh và động, sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp với phương pháp chuyển vị cưỡng bức để giải quyết bài toán dao động.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các thanh thẳng có tiết diện không đổi, khối lượng phân bố đều, chịu các dạng liên kết khác nhau như ngàm-tự do, hai đầu khớp, đầu ngàm-đầu khớp, hai đầu ngàm và đầu khớp-đầu tự do. Thời gian nghiên cứu chủ yếu tập trung vào các dao động tự do và dao động cưỡng bức trong điều kiện tải trọng tĩnh và tải trọng tuần hoàn. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các phương pháp tính toán chính xác tần số dao động riêng và dạng dao động riêng, từ đó góp phần nâng cao hiệu quả thiết kế và đánh giá an toàn kết cấu trong kỹ thuật xây dựng dân dụng và công nghiệp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình nghiên cứu sau:

• Nguyên lý cực trị Gauss: Được phát biểu cho hệ chất điểm, nguyên lý này cho phép xác định chuyển động thực của hệ bằng cách cực tiểu hóa lượng cưỡng bức, được định nghĩa là tổng các tích số giữa khối lượng và bình phương độ lệch gia tốc so với chuyển động tự do. Phương pháp này được áp dụng để thiết lập phương trình vi phân dao động của thanh chịu tải trọng động.

• Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli: Mô hình dầm chịu uốn thuần túy với giả thiết mặt cắt ngang không biến dạng phẳng và vuông góc với trục dầm, dùng để mô tả chuyển vị và nội lực trong thanh.

• Phương pháp chuyển vị cưỡng bức: Phương pháp này cho phép giải bài toán dao động tự do và cưỡng bức bằng cách giả thiết chuyển vị tại một điểm cố định trên thanh, từ đó xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng thông qua bài toán cực tiểu hóa lượng cưỡng bức với điều kiện ràng buộc.

• Các khái niệm chính: dao động tự do, dao động cưỡng bức, tần số dao động riêng, dạng dao động riêng, lực quán tính, lực cản, hệ số tắt dần, phương trình Lagrange, thừa số Lagrange.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các mô hình toán học và phương trình vi phân mô tả dao động của thanh trong các điều kiện liên kết và tải trọng khác nhau. Phương pháp phân tích bao gồm:

• Thiết lập lượng cưỡng bức theo nguyên lý cực trị Gauss, bao gồm thành phần mô men uốn, lực quán tính và lực tác động ngoài.

• Giả thiết dạng chuyển vị của thanh dưới dạng đa thức bậc cao (bậc 9) hoặc chuỗi lượng giác đơn, đảm bảo thỏa mãn điều kiện biên của từng loại liên kết.

• Sử dụng phương pháp chuyển vị cưỡng bức để đưa bài toán dao động về bài toán cực tiểu hóa lượng cưỡng bức với các điều kiện ràng buộc về chuyển vị và mô men tại các điểm liên kết.

• Giải hệ phương trình đại số tuyến tính thu được từ điều kiện cực trị của phiếm hàm Lagrange mở rộng bằng phần mềm Symbolic của Matlab để xác định các hệ số đa thức và thừa số Lagrange.

• Tính toán tần số dao động riêng từ các nghiệm của đa thức đặc trưng (đa thức bậc cao về biến k1 liên quan đến tần số) và xây dựng dạng dao động riêng tương ứng.

• Thời gian nghiên cứu tập trung vào các dao động ổn định, bỏ qua giai đoạn chuyển tiếp và các ảnh hưởng phi tuyến nhỏ.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng cho các loại liên kết thanh:

   • Thanh ngàm-tự do có tần số dao động riêng cơ bản khoảng $\omega_1 = 3.5160 \frac{EJ}{m l^4}$, với 3 tần số đầu tiên lần lượt là 3.5160, 22.0344 và 61.6968 (đơn vị chuẩn).
   • Thanh hai đầu khớp có tần số dao động riêng cơ bản $\omega_1 = 9.8695 \frac{EJ}{m l^4}$, với 3 tần số đầu là 9.8695, 39.4782 và 88.8300.
   • Thanh đầu ngàm - đầu khớp có tần số dao động riêng cơ bản $\omega_1 = 15.418 \frac{EJ}{m l^4}$, với 3 tần số đầu là 15.418, 49.964 và 104.266.
   • Thanh hai đầu ngàm có tần số dao động riêng cơ bản $\omega_1 = 22.373 \frac{EJ}{m l^4}$, với 3 tần số đầu là 22.373, 61.672 và 120.941.
   • Thanh đầu khớp - đầu tự do có tần số dao động riêng cơ bản $\omega_1 = 15.418 \frac{EJ}{m l^4}$, với 3 tần số đầu là 15.418, 49.964 và 104.253.

2. Ảnh hưởng của các điều kiện biên và liên kết đến tần số dao động:
   Các loại liên kết khác nhau làm thay đổi đáng kể tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của thanh. Ví dụ, thanh hai đầu ngàm có tần số dao động cơ bản cao hơn nhiều so với thanh ngàm-tự do, phản ánh độ cứng liên kết lớn hơn.

3. Hiệu quả của phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp chuyển vị cưỡng bức:
   Phương pháp này cho phép xây dựng hệ phương trình đại số tuyến tính với số ẩn vừa phải, dễ dàng giải bằng phần mềm tính toán, đồng thời cho kết quả tần số dao động và dạng dao động chính xác với sai số nhỏ hơn 3% so với các phương pháp truyền thống.

4. Mô hình toán học và giả thiết đa thức bậc cao:
   Việc sử dụng đa thức bậc 9 để xấp xỉ chuyển vị và lực cắt giúp thỏa mãn đầy đủ các điều kiện biên và ràng buộc, đồng thời đảm bảo tính chính xác cao trong việc xác định các tần số và dạng dao động riêng.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy nguyên lý cực trị Gauss là công cụ mạnh mẽ trong việc thiết lập phương trình dao động cho các hệ thanh có liên kết phức tạp. So với các phương pháp truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn hay phương pháp Rayleigh, phương pháp này có ưu điểm là giảm thiểu số lượng ẩn và dễ dàng áp dụng cho các dạng liên kết khác nhau.

Các tần số dao động riêng thu được phù hợp với các kết quả trong báo cáo ngành và các nghiên cứu gần đây về động lực học công trình. Việc phân tích dạng dao động riêng giúp hiểu rõ hơn về các vị trí và hình dạng biến dạng lớn nhất trong thanh, từ đó hỗ trợ thiết kế chống cộng hưởng và tăng cường độ bền kết cấu.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ tần số dao động riêng theo từng loại liên kết và các hình vẽ dạng dao động riêng tương ứng, giúp trực quan hóa sự khác biệt và ảnh hưởng của liên kết đến dao động của thanh.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss trong thiết kế kết cấu:
   Khuyến nghị các kỹ sư và nhà thiết kế sử dụng phương pháp này để tính toán tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của các thanh trong công trình, nhằm đảm bảo an toàn và hiệu quả thiết kế.

2. Phát triển phần mềm hỗ trợ tính toán:
   Đề xuất xây dựng hoặc tích hợp module tính toán dựa trên nguyên lý cực trị Gauss và chuyển vị cưỡng bức vào các phần mềm kỹ thuật hiện có, giúp tự động hóa quá trình phân tích dao động.

3. Mở rộng nghiên cứu cho các kết cấu phức tạp hơn:
   Khuyến khích nghiên cứu tiếp tục áp dụng phương pháp cho các hệ kết cấu nhiều bậc tự do, kết cấu phi tuyến và có ảnh hưởng của lực cản, nhằm nâng cao tính thực tiễn và ứng dụng rộng rãi.

4. Đào tạo và phổ biến kiến thức:
   Tổ chức các khóa đào tạo, hội thảo chuyên sâu về phương pháp nguyên lý cực trị Gauss và ứng dụng trong động lực học công trình cho các kỹ sư xây dựng và nghiên cứu viên.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Kỹ sư thiết kế kết cấu:
   Hỗ trợ trong việc tính toán tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của các thanh chịu tải trọng động, giúp thiết kế kết cấu an toàn và hiệu quả.

2. Nhà nghiên cứu và giảng viên đại học:
   Cung cấp cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu mới trong lĩnh vực động lực học công trình, phục vụ giảng dạy và nghiên cứu khoa học.

3. Chuyên gia kiểm định và đánh giá an toàn công trình:
   Sử dụng kết quả nghiên cứu để đánh giá khả năng chịu tải động và nguy cơ cộng hưởng trong các công trình hiện hữu.

4. Sinh viên kỹ thuật xây dựng:
   Là tài liệu tham khảo quan trọng giúp hiểu sâu về các phương pháp phân tích dao động và ứng dụng thực tế trong kỹ thuật xây dựng dân dụng và công nghiệp.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss có ưu điểm gì so với các phương pháp khác?
   Phương pháp này cho phép thiết lập bài toán dao động dưới dạng cực tiểu hóa lượng cưỡng bức, giảm số lượng ẩn và dễ dàng giải bằng phần mềm, đồng thời cho kết quả chính xác với sai số nhỏ.

2. Tại sao lại sử dụng đa thức bậc cao để xấp xỉ chuyển vị?
   Đa thức bậc cao giúp thỏa mãn đầy đủ các điều kiện biên và ràng buộc, đồng thời mô phỏng chính xác dạng dao động riêng của thanh trong các điều kiện liên kết khác nhau.

3. Làm thế nào để xác định tần số dao động riêng từ các nghiệm của đa thức đặc trưng?
   Các nghiệm của đa thức đặc trưng liên quan đến biến $k_1$ được sử dụng để tính tần số dao động riêng theo công thức $\omega = k_1^2 \sqrt{\frac{EJ}{m l^4}}$.

4. Phương pháp này có áp dụng được cho các kết cấu phi tuyến không?
   Mặc dù nghiên cứu chủ yếu tập trung vào hệ tuyến tính, nguyên lý cực trị Gauss có thể mở rộng để giải các bài toán phi tuyến phức tạp với sự điều chỉnh phù hợp.

5. Có thể áp dụng phương pháp này cho các công trình thực tế như thế nào?
   Phương pháp giúp xác định tần số dao động riêng và dạng dao động riêng của các thanh trong công trình, từ đó thiết kế chống cộng hưởng, lựa chọn vật liệu và liên kết phù hợp nhằm đảm bảo an toàn và bền vững.

Kết luận

• Nghiên cứu đã thành công trong việc áp dụng nguyên lý cực trị Gauss kết hợp phương pháp chuyển vị cưỡng bức để phân tích dao động đàn hồi của các loại thanh với nhiều dạng liên kết khác nhau.
• Đã xác định được các tần số dao động riêng và dạng dao động riêng cơ bản cho các trường hợp thanh ngàm-tự do, hai đầu khớp, đầu ngàm-đầu khớp, hai đầu ngàm và đầu khớp-đầu tự do.
• Phương pháp cho kết quả chính xác, có thể giải quyết các bài toán dao động phức tạp với số lượng ẩn vừa phải, thuận tiện cho việc ứng dụng thực tế.
• Kết quả nghiên cứu góp phần nâng cao hiệu quả thiết kế và đánh giá an toàn kết cấu trong kỹ thuật xây dựng dân dụng và công nghiệp.
• Đề xuất tiếp tục phát triển phần mềm hỗ trợ và mở rộng nghiên cứu cho các hệ phi tuyến và nhiều bậc tự do trong tương lai.

Quý độc giả và các chuyên gia trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng được khuyến khích áp dụng và phát triển thêm các kết quả nghiên cứu này nhằm nâng cao chất lượng và độ an toàn của các công trình xây dựng hiện đại.