CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TOPO VI PHAN & HINH HỌC VI PHAN Nội dung chủ yếu của luận văn này là chương 2 và chương 3 trình bày việc xây dựng các không gian có độ cong hằng. Tuy nhiên để đạt được điều đó, chúng ta bất đầu từ những khái niệm đơn giản nhưng hết sức cần thiết của Tôpô vi phân và hình học vi phân, đó là: Đa tạp khả vi, không gian phân thớ và liên thông trên các không gian phân thớ. §I ĐA TẠP KHẢ VI 1.1- Da tap kha vi: 1.1- Da tap kha vi n-chiéu: Một đa tạp khả vi n-chiéu là một không gian Hausdorff M cùng với ho (Ue ) + sao cho: aacea (a) Ugseea là một phủ mở của M; (b) My là phép đồng phôi của Uy lên một tập con mở của R”; (c) Nếu a, 8 A, thì ánh xạ 0;-0z` :Ø„(Ứ„xU,) > Øs(U„ ^Ua) ` cac ¬ ne n là một ánh xa khả vi lên một miền trong của R° ; (d) {(U ,@ ) } là họ tối đại có ba tính chất trên. a “øœe€Á Các tập hợp U, gọi là các lân cân tọa độ trong M.
Toa độ địa phương @„ trên Ư„ được cho bằng n hàm thực: 1 Pel X) = (Ø„(x),.Ø„(X)),x EU, Trong đó @),(X) là tọa độ địa phương của điểm x EU, Cặp (U„,Ø„) được gọi là một hệ tọa độ dia phương. Từ đây về sau ta coi các ánh xa là khả vi lớp C”, tức là ánh xạ trơn và đa tạp khả vi lớp C = gọi là đa tạp trơn.2- Anh xạ khả vi: Ánh xạ liên tục f : M —> MỸ” giữa các đa tạp gọi là ánh xạ khả vi nếu với mỗi (U,„-Ø„) trong M và mỗi (W¿„W/;) trong M’, sao cho ƒ( „) C Vg thì ánh xạ: là ánh xa khả vi. Š | % lê aa & : Š 3 Nều 1 genet” va V mm. là các hệ tọa độ địa phương ứng với _Ú va V5 thi f được biểu diễn thành các hàm khả vi: vì = ƒ`(w`,.,u") Ánh xa kha vi mà có ánh xa ngược khả vi gọi là một vi phôi.
Dễ thấy rằng tích các ánh xạ khả vi là một ánh xạ khả vi. Cho f :M —> M' là một ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp: khi M là một khoảng mở trong R thì f gọi là một đường cong trơn (kha vi) trong M’. Khi M là tập con mở của da tạp M’, còn M' là đường thẳng thực R. thì f gọi là hàm thực khả vi trên M cM".2- Trường vécto: 1.1- Véctơ tiếp xúc với M tại một điểm p € M ; không gian tiếp xúc: Giả sử 7(p)là đại số các hàm khả vi xác định trong lân cận của điểm p, x() là đường cong trơn trên M, sao cho x(t,) = p.
Véc tơ tiếp xúc với đường cong x(t) tại p là ánh xạ X: r(p)—> R được xác định như sau: X, =(4/(x())! dtyt, Nói cách khác X; là đạo hàm của f theo hướng của đường cong X(t) khi t = tạ. Véc tơ X thỏa mãn hai điều kiện: (1) X là ánh xạ tuyến tính từ r(?) vào R (2) XŒ&)=(AƒZ)g(p)+ ƒ(pX(Ag) với ƒ. Ta sé chứng tổ rằng tập hợp các véctơ tại p là một không gian véctơ với cơ sở là (ê/êu' )p».w là phương trình của nó trong hệ toa độ địa phương HÌ. Ngược lại, nếu đã cho tổ hợp tuyến nh Đ¿/(ô/ôw?) p> thì ta xét đường cong j được xác định như sau: uw = u/(p) " Et, j —) ee Khi đó vectơ tiếp xúc với đường cong đó tại t=0 là `Z !(ô!êu?) 5 j Để chứng minh (G/ Gu! ) pr+s(O/ Ou"), độc lập tuyến tính, ta giả sử: >ế/(ô1ôu?)„ =0 j Khi đó: 0 = DE (u* / du’), = E* với k=l.n i Điều này suy ra {(O/ Gu! ),} độc lập tuyến tính.
Tập hợp các vectơ tiếp xúc tại p € M ta ký hiệu là T,,(M), sọi là không gian tiếp xúc của đa tạp M tại p. Bộ n số thực `". gọi là bộ thành phần của vectơ Dé! (6/ du’), trong toa J độ địa phương rÌ suy .2- Trường vectơ trên da tạp: Trường vectơ X trên tập mở U C M là ánh xạ X: U © T(M). đặt tương ứng mỗi điểm p € với vectơ Ấp = T,(M).
Nếu f là hàm khả vi trên M, ta định nghĩa him Xf trên M như sau: (Xf)(p) =X, Trường vectơ X được gọi là khả vi nếu Xf là khả vi đối với mỗi hàm khả vi ƒ. Trong tọa độ địa phương rẻ ‹.„#” trường vectơ X được biểu diễn là: X=Y¿!(ô!âu) j trong đó ¬x là các hàm xác định trong lân cận tọa độ gọi là thành phần của X đối a. Nhu vay X kha vi khi va chi khi é/ khả vi với mọi j. Khi X là ánh xạ hằng thì trường vectơ X gọi là trường vee tơ song song.3- Trường mục tiêu: Trường mục tiêu trên tập hợp mở Ä là hệ gồm n trường vectơ {X),.,X,,} trên U sao cho với mỗi € U thì hệ {X),,,.,X,,)} là một cơ sở của 7,(M).
Nếu với mọi p € mà X;j,.X i, = dj thì {X;} được gọi là trường mục tiêu trực chuẩn. Nếu với moi i mà trường vectơ X, trên U là song song thì {X;} gọi là trường mục tiêu song song. Trong trường hợp nay, mỗi trường vectơ X trên U được biểu điển duy nhất đưới dang: ai i X=) @'X;, @ là các hàm kha vi.4- Dao ham của trường vectơ doc theo một trường vectdơ. Giả sử 7(M) là tập hợp các trường vectơ khả vi trên M, thì nó thành lập một không gian vectơ thực đối với phép cộng tự nhiên và phép nhân với một vô hướng.
Nếu X,Y € 7(M), ta định nghĩa các dấu móc [X,Y] là ánh xạ từ vành các hàm trên M vào chính nó như sau: [X.Y] cũng là một trường vectơ. Bie oi mae I z That vậy, trong tọa độ địa phương U "¬.Y]ƒ/ = Y(£*(ôêu) /du*) - ut (GE! ! êu*))(ô@f! du’) pik Điều đó có nghĩa là [X.Y] là một trường vectơ trên M, mà thành phần đối với 1 HẺv.n k Ở đây ta có thể xét Z(jM)là modul trên đại số T(M) của các hàm khả vi trên M như sau: Nếu f là hàm thuộc T(M), còn X là trường vectơ trên M, thì fX là trường vectơ trên M, được xác định như sau: (PX), = ƒ(p)X, vôi pe M Khi đó [fX,gY]= ƒg[X,Y]+ ƒ(Xe)Y - g(Yƒ)X. Đạo hàm thuận biến trên đa tạp M là ánh xạ 2(M)x z(M) > z(M).Y)bVyY đặt tương ứng với cặp trường vectơ (X. Với trường vectd VyY thỏa mãn 4 điều kiện như sau: (4) Vy(ƒY)= ƒ.VyY +(Xƒ)Y với mỗi ƒ € 7(M) Ở đây ta gọi VyY là đạo hàm của trường veetơ Y dọc theo trường vectơ X.
Giả sử f:M —> M' là ánh xạ khả vi của các đa tạp khả vi, và giả sử với p€M, x là đường cong trơn trên M với góc X(O) = p.X đường cong trơn trong M' với gốc (ƒ. Giả sử y là đường cong trơn khác trong M với gốc y(O) = p va giả sử x'(0) = y'(0). Khi đó, nếu biểu diễn f.x,y qua các hàm của tọa độ địa phương và theo quy tắc phép tính vi phân của hàm hợp, ta có: +(x(0))= fe(y'(0)) Điều đó chứng tỏ, ánh xạ f, :7,(M) > Tr„(M`) giữa các không gian tiếp xúc, hoàn toàn xác định là ánh xạ tuyến tính. Ánh xạ fs được đặt trưng như sau: Với mọi XE T,(M) và moi ham khả vi A tai f(p)eM’, ta có (f.f khả vi tại p được xác định bởi đẳng thức: (h.ƒ)(x) = h(f(x)) Nếu M' là không gian vectơ thì f, trùng với vi phân df.
Nếu X là trường vectơ trên tập mở € M, và trên ƒ(U)€ M' đã cho trường vectơ Y, sao cho f,X, = Vp, với mọi p,geU và Sf (p) = f(q). ta có: LX, = LX, Ngược lại, nếu đẳng thức trên đúng thi ta xác định được trường vectd Y trên ƒ(U) bởi đẳng thức Ÿ,„) = foX, Ta nói rằng ánh xạ f:M—>M' có hạng r tai DEM, nếu dim #Œ,(M)) =r. Nếu hạng của ƒ taip bing n= dim M, thì fi là một đơn ánh và dimM < dim M'. Nếu hạng của f tại p bằng n'=dimM', thì ƒ( là một toàn ánh và dim M > dim M'.
Ánh xạ : ă —> M' được gọi là phép nhúng nếu f, là đơn ánh đối với pe€ÌM.còn ƒ(M) là đa tạp con được nhúng trong M'. Nếu phép nhúng f là đơn ánh thì ƒ được gọi là phép lồng từ M vào M’ còn F(M) là đa tạp con được lồng trong M’. Vậy một đa tạp con của M’ có thể là tập con đóng hoặc mở của M’. Tất cả các tập con mở của M’ đều là tạp con của M’.1- Thí dụ: Giả sử ƒ là hàm được xác định trên đa tạp M’, M là tập hợp các điểm p € M', sao cho f(p)=0.
Nếu (4ƒ), z () tại mỗi p € M thì có thể đưa cấu trúc đa tạp kha vi vào M, sao cho M là đa tap con đóng trong M’, và gọi là siêu mặt tiếp xúc được xác định bởi phương trình f= 0. Tổng quát hơn nếu M là tập hợp các hàm không ƒq,., ƒ_ xác định trên 8#, nếu số chiều k của không gian con của T,(M') được định ra bởi (df,) po (df), là không đổi, trong lân cận tập hợp M CM’, thì M là đa tạp con đóng trong M' với số chiều là k.3- Trường tenxơ: 1.1- Tích tenxở: Tích tenxơ @ V của hai không gian vectơ hữu hạn chiều U và V trên R được các định như sau: Giả sử M(U,V) là một không gian vectơ có tập hợp U x V trên R được xác định như sau: (u+u'v)—(u,v)—(u',v),(u,v + #`)— (H,V) —(u,v') (ru,v)—r(u,v),(u,rv) — r(M,V) trong đó #,€ U và v. Ta đặt ®VW=M(U.V)/N Mỗi cặp (u,v) được xem là phần tử của M(U,V), ảnh của nó với phép toán là phép chiếu tự nhiên M(U,V)> @V gọi là ®w Ánh xạ @:ỮxV OU @V, (u,v) =u ®v, với (,9) € xV được gọi là ánh xạ song thuyến tính chính tắc. Với mỗi số nguyên dương r ta gọi 7” = V@V@.@V (r tích tenxơ) là không gian vectơ phản biến bậc z.
Mỗi phần tử của 7” gọi là một tenxo phản biến bậc r. Khi r=l thì 7’ là V. 7“ ta xem chính là trường cơ sở của R. Tương tự Ts=V*®V*&.
V* là không gian vectơ đối ngẫu của không gian vectơ V, gọi là không gian tecxơ hiệp biến (thuận biến) bậc s. các phần tử của nó gọi là tenxơ hiệp biến bậc s. Ta cũng có TÍ=V* và T” = R.e„ là một cơ sở trong V và cơ sở đối ngẫu e.„Í„ Sn} là cơ sở trong 7”. Mỗi tenxơ phản biến bậc z, K biểu diễn duy nhất là tổ hợp tuyến tính sau: K= ¥ Kh*z ®.xÍ, Trong đó K”*“ là các thành phan của K đối với cơ sở e\,.