MỞ ĐẦU Một trong những kết quả quan trọng trong lý thuyết của Einstein về sự khuếch tán (Einstein’s theory of diffusion) đó là sự khuếch tán của những hạt (particles) tuân theo chuyển động Brown (Hình 1) có thể được mô tả bởi phương ✓ - trình kliuêch tán cô điên lít (#, í) — DỈẰU (x, í) = 0, (0-1) với D là hệ số khuếch tán và u(x, t) là số lượng các hạt trên một đơn vị thể tích (hay còn gọi là nồng độ) tại vị trí X và thời gian t. Hình 1: Mô tả chuyển dộng Brown (Brownian motion) với 1000 bước và 10000 bước. chí ra rằng hệ số khuếch tán có thổ đitợc đặc trưng bởi (0.2) với Ộ5x2) là độ dịch bĩnh phương trung bình (mean square displacement) được định nghĩa bơi <kr2ự> (ổa?) (1 (ốt), (0.3) 1 với ộ là một hàm mật độ xác suất sao cho mồ tả xác suất các hạt đang ỏ vị trí < tại thời điểm t sẽ dịch chuyển một đoạn trong khoảng từ c đến ( + de trong khoảng thời gian ỗt tiếp theo.2), ta thấy rằng khi một hạt tuân theo chuyển động Brown, thì độ dịch bình phương trung bình sẽ có mối liên hệ tuyến tính với ôt. Khi ấy, ta.4) Ta cũng lưu ý rằng mối liên hệ tuyến tính (0.4) không phải lúc nào cũng xảy ra.
Có nhiều thí nghiệm trong thực nghiệm [35] đã chỉ ra rằng độ dịch bình phương trung bình có thể tỷ lệ với ổtK với K e (0,1). Tức là, {ỏx2} ~ ỗtK.5) Khi ấy, sự khuếch tán được mô tả bởi phương trình khuếch tán với đạo hàm bậc không nguyên theo biến thời gian t dịU (x, í) — Dtj.6) với dịU là ký hiệu đạo hàm Caputo bậc K theo biến t. Mặt khác, trong trường hợp sự chuyển động của các hạt tuân theo chuyển động Lévy (Hình 2) vơi hệ số 7 e (0,1), độ dịch bình phương trung bình không hội tụ. Sự khuếch tán khi đó (a) 1000 bước.
Hĩnh 2: Mô tả chuyển động Levy (Levy flight) với 1000 bước và 10000 bước. được mô tả bơi phương trình khuếch tán với Laplacian bậc không nguyên như 9 sau Ut (x, í) + DSF(-A)7U ộc, 0 = 0, (0.7) với (-△)"' là Laplacian bậc 7 e (0,1) được định nghĩa như trong (1. Phương trình khuếch tán với Laplacian bậc không nguyên có rất nhiều ứng dụng trong thực nghiệm, đơn cử như trong lý thuyết chất dẻo nhiệt [38], sinh thái học [18], địa chất thủy văn [6, 7], tài chính [19, 20, 42], vân vân. Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với toán tử Laplace bậc không nguyên trong trường hợp hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời gian và hàm nguồn Lipschitz toàn cục.
bài toán mà chúng tôi quan tâm được phát biểu như sau í Ut(x,i) + ợ(t)(-A)7w(x,t) = f X e e [0,T], I „ (°'8' I u(x.T) = g(x), X € với d e N là số chiều của không gian, 7 € (0,1) là bậc của Laplacian, g là dữ liệu cuối, f là hàm nguồn phi tuyến và q là hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời gian.8) là một bài toán không chỉnh theo nghĩa của Hadamard, tức là có ít nhất một trong ba trường hợp sau xảy ra: • Bài toán không có nghiệm. • Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất. • Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không ổn định. Hay nói cách khác, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dư liệu.
Vối một bài toán không chỉnh, một sai số rất nhỏ của dư liệu cũng có thể gây ra một sai lệch rất lớn về nghiệm. Diều này dần đến các tính toán số liệu trên nghiệm của một bài toán không chỉnh nhiều khả năng sẽ cho ra một kết quả không đáng tin cậy. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần các phương pháp chỉnh hóa nhằm dưa ra các xấp xỉ ổn định cho nghiệm của các bài toán không chỉnh đã nêu.8) là không chỉnh nên đã có khá nhiều các phương 3 pháp chỉnh hóa được đè xuất và áp dụng thành công vào ruột số trường hợp đặc biệt của bài toán. Ta có thể tóm tắt một số kết quả tiêu biểu như sau: • Trong trường hợp f — 0 và q — 1: Nhóm tác giả Guang-Hui Zheng và Quan- Guo Zhang đã.
áp dụng thành công các phương pháp chỉnh hóa như phương pháp Tikhonov bậc không nguyên [55], phương pháp logarithm [53], phương pháp hàm mũ âm [54] vào bài toán. • Trong trường hợp f = /(»,í) và <7=1: Tác giả Trict Le Minh cùng các cộng sự [36] đã áp dụng phương pháp Fourier đổ chỉnh hóa bài toán và thu về các ước lượng hội tụ dạng Holder. Một số kết quả về sự hội tụ của nghiệm khi hàm nguồn tiến về 0, hoặc khi bậc đạo hàm 7 tiến về 1 cũng được đưa ra. Bên cạnh đó, trong trường hợp 7=1, bài toán (0.8) được quy về bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán cổ điển.
Các bài toán dạng này đã được nghiên cứu rất sâu trong các công trình [3, 24, 25, 26, 27, 28, 39, 46, 47, 48, 50, 51] và các tài liệu liên quan. Trong luận án, chúng tôi áp dụng phương pháp hàm lọc để chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với Laplacian bậc không nguyên trong trường hợp hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời gian và trong không gian nhiều chiều (bài toán (0. Các kết quả đã đạt được cho bài toán này được chúng tôi công bố trong bài báo [P1 Trong năm 2020 và 2021, nhóm tác giả Serena Dipierro, Edoardo Proietti Lippi, và Enrico Valdinoci trong các công trình [12, 13, 14] đã đưa ra mô hình phương trình khuếch tán mới với toán tứ dạng hỗn hợp có ứng dụng trong việc mô hình sự biến động của một quần thổ sinh học. Toán tử dạng hôn hợp ở đây được hiểu là một sự kết hợp giữa Laplacian cổ dien và Laplacian bậc không nguyên như sau (0.9) với a,/3 > 0 là các hệ số khuếch tán và 7 e (0,1) là bậc không nguyên của 4 Laplacian.
Trong [14], các tác giả Serena Dipierro và Enrico Valdinoci đã chỉ ra rằng phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp Uf (.10) mô tả sự khuếch tán mà tại mỗi thời điểm, các hạt cơ bản có xác suất p := p(a,jỡ) e (0,1) tuân theo chuyển động Lévy và xác suất 1 - p(a,/3) tuân theo chuyển động Brown. Toán tứ dạng hỗn hợp (0.9) cũng có thế được xem như là một sự kết hợp giữa một toán tử địa phương (A (•)) và một toán tử không địa phương ((-△)”' (•))■ Ngoài ứng dụng trong lỉnh vực sinh học, việc kết hợp này còn có ứng dụng trong vật lý plasma [8] hay trong các mô hình phản ứng Belousov-Zhabotinsky [29, 37. Từ các nghiên cứu nền tảng trong [12, 13, 14], toán tử dạng hỗn hợp (0.9) đã được nghiên cứu ở rất nhiều khía cạnh khác nhau. Ta có thể liệt kê một số nghiên cứu tiêu biểu như các nghiên cứu về bài toán biên elliptic [2], các đánh giá phụ thuộc liên tục của nghiệm nhớt [4, 5, 30, 31], phương trình Allen-Cahn vối toán tử dạng hỗn hợp [9], phương trình Cahn-Hilliard với toán tử dạng hỗn hợp [10], phương trình sóng tắt dần bậc không nguyên [11], tính tắt dần của các phương trình tiến hóa với đạo hàm bậc không nguyên theo biến thời gian và toán tử dạng hỗn hợp [15] hay nghiên cứu về các tính chất định tính của bài toán điều kiện đầu liên kết với phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp [41].
Như đã đề cập ỏ trên, có rất nhiều khía cạnh khác nhau về toán tử dạng hỗn hợp hay các phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp đã được nghiên cứu trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, các bài toán ngược thời gian liên kết với phương trình dạng này vẫn còn chưa được nghiên cứu một cách hệ thống, kể cả trong trường hợp thuần nhất. Trong luận án, chúng tôi xét bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp trong 5 trường hợp tuyến tính. Cụ thê, chúng tôi xét bài toán sau Uf (z, í) — «Aíí (z, i) 4- /5(—A)"'u (x, í) = ( (z, i), X e Rd,t e [0,T], (0.1), ■ớ là dữ liệu cuối và ( là hàm nguồn tuyến tính.11) là không chỉnh, nên chúng tôi đề xuất áp dụng phương pháp hàm lọc bậc không nguyên để chỉnh hóa bài toán và thu về các ưởc lượng hội tụ phù hợp.
Các kết quả đạt được cho bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp trong trường hợp tuyến tính được công bố trong bài báo [P2]. Trường hợp hệ số khuếch tản phụ thuộc vào thời gian và hàm nguồn phi tuyến của bài toán (0.11) cũng được nghiên cứu trong luận án. Hàm nguồn phi tuyến trong bài toán được khảo sát có thể là một hàm có tính chất Lipschitz toàn cục hoặc Lipschitz địa phương. Cụ thể, chúng tôi xét bài toán sau I Ut (x, i) - a (í) ău (r, í) + /3 (t) (-Apu (x, í) — s (x, t, u), te [0, T], X e u (x, T) = <PT (z) > X 6 Rd, (0.12) với (—A)7 là Laplacian bậc không nguyên 7 € (0,1) như trong (1.1), là dữ liệu cuối, s là hàm nguồn phi tuyến và a(t),ịỉ(t) là các hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thòi gian.12) là một bài toán không chỉnh, nên chúng tôi áp dụng phương pháp hàm lọc để chỉnh hóa bài toán.
Trong trường hợp hàm nguồn s có tính chất Lipschitz địa phương, chúng tôi kết hợp kỹ thuật xấp xỉ bằng dãy hàm Lipschitz toàn cục dược phát triển gần đây bởi nhóm tác giả Dang Due Trong và Dinh Nguyen Duy Hai [23], Dang Due Trong và Nguyen Huy Tuan 50], Dang Due Trong cùng các cộng sự [44] với phương pháp hàm lọc để chỉnh hóa bài toán và thu về các ước lượng hội tụ dạng Holder hoặc Hõlder-Logarithm. Các kết quả đạt được cho bài toán ngược thòi gian cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp trong trường hợp hệ số phụ thuộc vào thời gian và 6 hàm nguồn phi tuyến được còng bố trong bài báo [P3]. Ngoài phần Mỏ đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được trình bày trong năm (05) chương theo trình tự từ các bài toán tuyến tính đến các bài toán phi tuyến theo bố cục như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức làm nền tảng cho việc nghiên cứu các nội dung chính của luận án trình bày lần lượt trong các Chương 2, Chương 3, Chương 4 và Chương 5.
Chương 2: Bài toán tuyến tính.