I. Giới thiệu về bài toán Dirichlet
Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère là một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân. Đặc biệt, bài toán này được nghiên cứu trong bối cảnh phương trình Monge-Ampère elliptic không đối xứng. Trước đây, các nghiên cứu đã chỉ ra rằng bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère đối xứng đã được giải quyết cho mọi chiều n. Tuy nhiên, đối với trường hợp không đối xứng, chỉ có n = 2 được xem xét. N. Trudinger và nhóm nghiên cứu của ông đã sử dụng các công cụ như tính lõm của hàm log(det ω) và nguyên lý so sánh để giải quyết vấn đề này. Luận án này mở rộng khái niệm nghiệm elliptic bằng cách giới thiệu khái niệm nghiệm δ-elliptic, từ đó thiết lập tính d-lõm cho hàm log(det R) trên tập hợp các ma trận không đối xứng. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho bài toán Dirichlet trong trường hợp không đối xứng.
1.1 Tính chất của phương trình Monge Ampère
Phương trình Monge-Ampère là một phương trình vi phân phi tuyến cổ điển, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như hình học, khí tượng học và cơ học chất lỏng. Đặc biệt, phương trình này có dạng tổng quát hơn khi xét đến các ma trận không đối xứng. Việc nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình này là rất cần thiết, vì nó không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của nghiệm mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực thực tiễn như tối ưu hóa và hình học bảo giác. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng việc thiết lập các đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm là một yếu tố quan trọng trong việc chứng minh tính giải được của bài toán.
II. Tính d lõm của hàm số kiểu Monge Ampère không đối xứng
Luận án đã thiết lập tính d-lõm cho hàm số kiểu Monge-Ampère không đối xứng, một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu nghiệm δ-elliptic. Tính d-lõm được định nghĩa cho hàm log(det R) trên tập hợp các ma trận không đối xứng, cho phép mở rộng các kết quả đã biết cho trường hợp đối xứng. Việc thiết lập tính d-lõm không chỉ giúp khẳng định tính chất của nghiệm mà còn tạo điều kiện cho việc áp dụng các phương pháp so sánh trong nghiên cứu nghiệm. Các kết quả này có thể được áp dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm δ-elliptic cho bài toán Dirichlet. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu tính d-lõm trong bối cảnh phương trình Monge-Ampère không đối xứng.
2.1 Các tính chất của lớp ma trận Dδ µ
Lớp ma trận Dδ,µ được định nghĩa là tập hợp các ma trận xác định dương không đối xứng với thành phần phản đối xứng nhỏ. Việc nghiên cứu các tính chất của lớp ma trận này là rất quan trọng trong việc thiết lập các đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm δ-elliptic. Các ma trận trong lớp này có thể được sử dụng để chứng minh tính d-lõm của hàm log(det R), từ đó khẳng định tính chất của nghiệm trong bài toán Dirichlet. Điều này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các bài toán thực tiễn liên quan đến tối ưu hóa và hình học.
III. Đánh giá tiên nghiệm trong C2 α Ω
Luận án đã thiết lập các đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm δ-elliptic của bài toán Dirichlet trong không gian C2,α(Ω). Các đánh giá này là cần thiết để chứng minh tính giải được của bài toán. Bằng cách áp dụng các kỹ thuật của N. Trudinger, luận án đã chứng minh rằng nghiệm δ-elliptic có thể được đánh giá đồng nhất với một lớp các ma trận phản đối xứng nhỏ. Điều này cho thấy rằng các đánh giá tiên nghiệm không chỉ giúp khẳng định tính chất của nghiệm mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán tương tự trong tương lai.
3.1 Nguyên lý so sánh cho phương trình kiểu Monge Ampère không đối xứng
Nguyên lý so sánh là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu nghiệm của các phương trình vi phân. Trong bối cảnh phương trình Monge-Ampère không đối xứng, nguyên lý này cho phép so sánh các nghiệm của phương trình với nhau, từ đó rút ra các kết luận về tính chất của nghiệm. Việc thiết lập nguyên lý so sánh cho nghiệm δ-elliptic là một bước quan trọng trong việc chứng minh tính giải được của bài toán Dirichlet. Điều này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các bài toán thực tiễn liên quan đến tối ưu hóa và hình học bảo giác.
IV. Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge Ampère không đối xứng
Luận án đã thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm δ-elliptic của bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng. Các điều kiện này được xây dựng dựa trên các đánh giá tiên nghiệm đã được thiết lập trước đó. Việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm δ-elliptic không chỉ khẳng định tính giải được của bài toán mà còn mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán tương tự trong tương lai. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng các phương pháp toán học vào các lĩnh vực thực tiễn như tối ưu hóa và hình học.
4.1 Một điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm δ elliptic
Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm δ-elliptic được thiết lập dựa trên các tính chất của ma trận phản đối xứng có mặt trong phương trình. Việc xác định điều kiện này là rất quan trọng, vì nó không chỉ giúp khẳng định tính chất của nghiệm mà còn tạo điều kiện cho việc áp dụng các phương pháp so sánh trong nghiên cứu nghiệm. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ trong bối cảnh bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère không đối xứng.
