Mô Phỏng Tính Chất Quang Học Của Tinh Thể Quang Tử Khuyết Tật Lục Giác

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu mô phỏng tính chất quang học của tinh thể quang tử khuyết tật lục giác, ứng dụng trong công nghệ hiện đại.

• Tác giả: Đinh Thị Mỹ Ngọc
• Người hướng dẫn: TS. Đinh Sơn Thạch
• Trường học: Đại học Quốc gia TP. HCM
• Chuyên ngành: Vật lý Kỹ thuật
• Đề tài: Mô Phỏng Tính Chất Quang Học Của Tinh Thể Quang Tử Khuyết Tật Lục Giác
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tinh Thể Quang Tử Khuyết Tật Lục Giác Tổng Quan Tiềm Năng

Tinh thể quang tử (Photonic Crystal - PC) là cấu trúc nhân tạo được thiết kế với hằng số điện môi thay đổi tuần hoàn, ảnh hưởng đến sự lan truyền của ánh sáng tương tự như cách mạng tinh thể ảnh hưởng đến electron trong chất bán dẫn. Cấu trúc này tạo ra các vùng cấm quang tử (Photonic Band Gap - PBG), nơi ánh sáng ở một số dải tần không thể lan truyền. Tinh thể quang tử hứa hẹn nhiều ứng dụng trong các thiết bị quang tử, từ ống dẫn sóng ánh sáng đến cảm biến quang và bộ lọc quang. Việc tích hợp khuyết tật vào cấu trúc lưới lục giác mở ra khả năng điều khiển ánh sáng linh hoạt hơn, tạo ra các hiệu ứng cộng hưởng và dẫn sóng độc đáo. Nghiên cứu này tập trung vào mô phỏng tính chất quang học của tinh thể quang tử khuyết tật lục giác, sử dụng các phương pháp số hiện đại để khám phá các ứng dụng tiềm năng.

1.1. Ứng Dụng của Tinh Thể Quang Tử trong Các Thiết Bị

Tinh thể quang tử đang được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Chúng được sử dụng để tạo ra các ống dẫn sóng quang nhỏ gọn, các bộ lọc quang có độ chọn lọc cao, và các cảm biến quang nhạy bén. Ngoài ra, tinh thể quang tử còn có tiềm năng lớn trong việc phát triển các laser hiệu suất cao và các thiết bị quang học phi tuyến tiên tiến. Theo luận văn gốc, khuyết tật điểm trong tinh thể quang tử có thể đóng vai trò như buồng cộng hưởng.

1.2. Khuyết Tật Lục Giác Vai Trò và Ảnh Hưởng

Việc tạo ra khuyết tật trong tinh thể quang tử cho phép kiểm soát các tính chất quang học của cấu trúc. Khuyết tật lục giác, đặc biệt, tạo ra các hiệu ứng cộng hưởng mạnh mẽ, làm tăng cường sự tương tác giữa ánh sáng và vật liệu. Bằng cách điều chỉnh kích thước khuyết tật và vị trí khuyết tật, người ta có thể tùy chỉnh phân bố mode quang và băng tần cấm quang tử của tinh thể.

II. Thách Thức Mô Phỏng Tinh Thể Quang Tử Khuyết Tật Lục Giác

Việc mô phỏng tính chất quang học của tinh thể quang tử khuyết tật lục giác đặt ra nhiều thách thức. Các cấu trúc này thường có kích thước nhỏ và độ phức tạp cao, đòi hỏi các phương pháp tính toán chính xác và hiệu quả. Các phương pháp mô phỏng như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp sai phân hữu hạn theo thời gian (FDTD) được sử dụng rộng rãi, nhưng cần được tối ưu hóa để đảm bảo độ chính xác và tốc độ tính toán. Bài toán này đòi hỏi phải xét đến nhiều yếu tố, bao gồm chiết suất của vật liệu, bước sóng của ánh sáng, và ảnh hưởng của khuyết tật lên sự lan truyền của sóng điện từ.

2.1. Độ Chính Xác và Hiệu Quả của Phương Pháp Mô Phỏng

Việc lựa chọn phương pháp mô phỏng phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo kết quả chính xác. Phương pháp FDTD thường được ưa chuộng vì khả năng mô phỏng các cấu trúc phức tạp và tính toán phân bố mode quang một cách trực tiếp. Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi tài nguyên tính toán lớn và thời gian mô phỏng dài, đặc biệt đối với các cấu trúc có kích thước lớn. Ngược lại, phương pháp FEM có thể hiệu quả hơn đối với các cấu trúc có hình dạng phức tạp, nhưng đòi hỏi nhiều kinh nghiệm trong việc thiết lập mô hình và giải bài toán.

2.2. Yêu Cầu Tài Nguyên Tính Toán cho Mô Phỏng

Việc mô phỏng các tinh thể quang tử hai chiều (2D) có khuyết tật đòi hỏi sức mạnh tính toán đáng kể. Các mô phỏng chi tiết thường yêu cầu nhiều bộ nhớ RAM và bộ xử lý mạnh mẽ để giải quyết các phương trình Maxwell. Việc tối ưu hóa mã mô phỏng và sử dụng các kỹ thuật song song hóa có thể giúp giảm thời gian tính toán.

III. Phương Pháp FDTD Mô Phỏng Tính Chất Quang Học Hiệu Quả

Phương pháp sai phân hữu hạn theo thời gian (FDTD) là một công cụ mạnh mẽ để mô phỏng tính chất quang học của tinh thể quang tử khuyết tật. Phương pháp này giải trực tiếp các phương trình Maxwell theo thời gian, cho phép mô phỏng sự lan truyền của sóng điện từ trong các môi trường phức tạp. FDTD đặc biệt phù hợp để nghiên cứu các hiện tượng như hiệu ứng cộng hưởng và dẫn sóng ánh sáng trong tinh thể quang tử 2D. Các phần mềm như Lumerical và MEEP cung cấp các công cụ FDTD mạnh mẽ, giúp người dùng dễ dàng thiết lập và thực hiện các mô phỏng.

3.1. Ưu Điểm của Phương Pháp FDTD Trong Mô Phỏng

FDTD có nhiều ưu điểm vượt trội trong mô phỏng. Nó có khả năng xử lý các cấu trúc phức tạp với độ chính xác cao. Phương pháp này cũng cho phép mô phỏng các hiện tượng phi tuyến và các hiệu ứng vật liệu một cách dễ dàng. Ngoài ra, FDTD còn có thể được sử dụng để mô phỏng các hệ thống quang học lớn với nhiều thành phần khác nhau.

3.2. Các Bước Thực Hiện Mô Phỏng FDTD Chi Tiết

Để thực hiện mô phỏng FDTD, cần phải xác định cấu trúc tinh thể quang tử, thiết lập các thông số mô phỏng, và chọn nguồn sáng phù hợp. Sau đó, chương trình mô phỏng sẽ tính toán sự lan truyền của sóng điện từ theo thời gian, và đưa ra kết quả về phân bố mode quang, hệ số truyền qua, và hệ số phản xạ. Việc phân tích kết quả mô phỏng giúp hiểu rõ hơn về các tính chất quang học của tinh thể quang tử.

3.3 Sử dụng Phần Mềm COMSOL và Lumerical cho Mô Phỏng

COMSOL Multiphysics và Lumerical FDTD là các phần mềm thương mại mạnh mẽ thường được sử dụng để mô phỏng các thiết bị quang tử, bao gồm cả tinh thể quang tử khuyết tật. COMSOL dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), trong khi Lumerical sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn theo thời gian (FDTD). Cả hai phần mềm đều cung cấp các công cụ mạnh mẽ để thiết kế, mô phỏng và phân tích hiệu suất của các thiết bị quang tử.

IV. Kết Quả Mô Phỏng Ảnh Hưởng của Khuyết Tật lên Tính Chất

Các kết quả mô phỏng cho thấy khuyết tật có ảnh hưởng đáng kể đến tính chất quang học của tinh thể quang tử. Khuyết tật tạo ra các mode cộng hưởng trong vùng cấm quang tử, cho phép ánh sáng lan truyền qua cấu trúc. Bằng cách điều chỉnh kích thước khuyết tật, vị trí khuyết tật, và loại khuyết tật, người ta có thể tùy chỉnh các tính chất quang học của tinh thể quang tử, mở ra các ứng dụng tiềm năng trong cảm biến, bộ lọc, và ống dẫn sóng.

4.1. Sự Hình Thành Mode Cộng Hưởng và Ảnh Hưởng

Các mode cộng hưởng được tạo ra bởi khuyết tật có tần số nằm trong vùng cấm quang tử. Sự tồn tại của các mode cộng hưởng cho phép ánh sáng lan truyền qua tinh thể quang tử ở các tần số nhất định. Độ truyền qua của tinh thể quang tử phụ thuộc vào kích thước khuyết tật, vị trí khuyết tật, và tính chất của vật liệu.

4.2. Ảnh Hưởng của Kích Thước Khuyết Tật Đến Băng Tần Cấm

Thay đổi kích thước của khuyết tật có thể làm thay đổi băng tần cấm quang tử của tinh thể quang tử. Kích thước khuyết tật cũng ảnh hưởng đến tần số và độ rộng của các mode cộng hưởng. Bằng cách điều chỉnh kích thước khuyết tật, người ta có thể tối ưu hóa tính chất quang học của tinh thể quang tử cho các ứng dụng cụ thể.

V. Ứng Dụng Tiềm Năng Của Tinh Thể Quang Tử Khuyết Tật Lục Giác

Tinh thể quang tử khuyết tật lục giác có nhiều ứng dụng tiềm năng trong các lĩnh vực khác nhau. Chúng có thể được sử dụng để tạo ra các cảm biến quang nhạy bén, các bộ lọc quang có độ chọn lọc cao, và các ống dẫn sóng ánh sáng nhỏ gọn. Ngoài ra, tinh thể quang tử còn có thể được sử dụng trong các thiết bị quang học phi tuyến, laser, và các hệ thống thông tin quang học.

5.1. Cảm Biến Quang Học Độ Nhạy Cao Sử Dụng Tinh Thể

Cảm biến quang dựa trên tinh thể quang tử có thể phát hiện sự thay đổi nhỏ trong chiết suất của môi trường xung quanh. Điều này cho phép tạo ra các cảm biến có độ nhạy cao đối với các chất hóa học, sinh học, và vật lý. Sự thay đổi về chiết suất sẽ làm thay đổi tần số của các mode cộng hưởng, và sự thay đổi này có thể được phát hiện bằng cách đo độ truyền qua của tinh thể quang tử.

5.2. Bộ Lọc Quang Điều Chỉnh Tần Số và Băng Thông

Bộ lọc quang dựa trên tinh thể quang tử có thể được thiết kế để lọc các bước sóng cụ thể của ánh sáng. Tần số và băng thông của bộ lọc có thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi kích thước khuyết tật, vị trí khuyết tật, và tính chất của vật liệu. Bộ lọc quang này có thể được sử dụng trong các hệ thống thông tin quang học và các thiết bị quang học khác.

VI. Tương Lai Mô Phỏng Phát Triển Tinh Thể Quang Tử Khuyết Tật

Nghiên cứu về tinh thể quang tử khuyết tật vẫn đang tiếp tục phát triển mạnh mẽ. Các nghiên cứu trong tương lai sẽ tập trung vào việc phát triển các phương pháp mô phỏng hiệu quả hơn, khám phá các ứng dụng mới, và chế tạo các thiết bị quang học dựa trên tinh thể quang tử. Sự kết hợp giữa mô phỏng và thực nghiệm sẽ giúp đẩy nhanh quá trình phát triển của lĩnh vực này.

6.1. Tối Ưu Hóa Phương Pháp Mô Phỏng Để Đạt Độ Chính Xác

Việc tối ưu hóa các phương pháp mô phỏng là rất quan trọng để đảm bảo độ chính xác và hiệu quả của các mô phỏng. Các phương pháp như FDTD, FEM, và phương pháp mặt phẳng sóng (PWM) cần được cải tiến để có thể mô phỏng các cấu trúc phức tạp với độ chính xác cao hơn và thời gian tính toán ngắn hơn.

6.2. Hướng Phát Triển Ứng Dụng Tinh Thể Quang Tử Mới

Các ứng dụng mới của tinh thể quang tử đang được khám phá liên tục. Các ứng dụng tiềm năng bao gồm cảm biến sinh học, cảm biến hóa học, thiết bị quang học phi tuyến, và hệ thống thông tin quang học lượng tử. Sự phát triển của các vật liệu mới và các kỹ thuật chế tạo tiên tiến sẽ giúp mở rộng phạm vi ứng dụng của tinh thể quang tử.

Trích đoạn nội dung tài liệu

LỜI MỞ ĐẦU Tinh thể quang tử được tạo thành từ các cấu trúc điện môi hoặc kim loại - điện môi được thiết kế để tác động lên sự lan truyền của sóng điện từ tương tự như cách các hố năng lượng tuần hoàn trong các tinh thể bán dẫn tác động lên chuyển động của electron, tức là tạo ra các cấu trúc vùng năng lượng trong tinh thể. Ở đây, có một vùng trống trong cấu trúc năng lượng photon là những kiểu lan truyền mà sóng điện từ không được phép, hay những dải bước sóng không lan truyền được. Điều này có thể ứng dụng để ngăn cản phát xạ tự phát, gương định hướng có độ phản xạ cao hay ống dẫn sóng có độ hao tổn thấp [1, 2]. Năm 1964, Purcell dự đoán rằng tốc độ phát xạ tự phát có thể bị ảnh hưởng bởi mật độ các trạng thái mode điện từ [3].

Từ thời điểm đó, sự thay đổi của phát xạ tự phát được nghiên cứu bằng số học bởi nhiều nhóm [4, 5]. Gần đây, phương pháp số học đơn giản thu được kết quả tốc độ phát xạ tự phát của lưỡng cực được đặt trong buồng cộng hưởng đã đựợc báo cáo [6,7]. Một phương pháp điều khiển phát xạ tự phát là tạo buồng có kích thước cỡ bước sóng trong tinh thể quang tử. Khi một khuyết tật được tạo ra trong tinh thể quang tử thì các mode cộng hưởng được hình thành bên trong vùng cấm quang tử [8, 10].

Có khá nhều các nghiên cứu liên quan đến việc tạo khuyết tật để khảo sát và tối ưu hóa độ truyền qua. Jeong-Ki Hwang [11] cùng nhóm nghiên cứu đã nghiên cứu trên khuyết tật tam giác trong tinh thể quang tử hai chiều dùng phương pháp FDTD (finite-difference timedomain method) và thu được kết quả là mode đơn cực không suy biến và vẫn giữ kết quả không suy biến thậm chí buồng cộng hưởng bất đối xứng; O. Painter khảo sát các đặc tính quang học của tinh thể quang tử hai chiều được tạo thành bởi dãy các lỗ khí lục giác với khuyết tật là lấp đầy một lỗ khí cũng bằng phương pháp FDTD [12]; hoặc công trình của H. Ryu cho khuyết tật mạng vuông [13]; Các nghiên cứu còn tập trung vào các vùng bước sóng quang học mà tinh thể quang tử hoạt động như vùng gần hồng ngoại [14, 15], vùng vực tím đến vùng ánh sáng xanh [16] và vùng ánh sáng khả kiến HVTH: Đinh Thị Mỹ Ngọc GVHD: TS.

Đinh Sơn Thạch Luận văn thạc sĩ 15 [17]. Ngoài ra các nghiên cứu thay đổi các thông số cấu trúc của tinh thể quang tử như bán kính lỗ, chu kỳ lỗ… cũng được khảo sát. Các tinh thể quang tử có thể được ứng dụng để điều khiển sự lan truyền của ánh sáng. Tinh thể quang tử một chiều đã và đang được dùng rộng rãi trong quang học màng mỏng; như tạo ra các lớp phủ lên bề mặt thấu kính hay gương để tạo ra độ phản chiếu thấp hay cao tuỳ ý; hay trong sơn đổi màu và in ấn bảo mật.

Các tinh thể quang tử hai chiều và ba chiều được dùng trong nghiên cứu khoa học. Ứng dụng thương mại đầu tiên của tinh thể quang tử hai chiều là sợi tinh thể quang tử, thay thế cho sợi quang học truyền thống trong các thiết bị quang học phi tuyến và dùng với các bước sóng đặc biệt (ở đó không có vật liệu truyền thống nào trong suốt ngoài không khí hay các chất khí). Tại Việt Nam, việc nghiên cứu về tinh thể photonic còn là một vấn đề rất mới mẻ, thu hút được sự quan tâm của nhiều viện nghiên cứu và các trường đại học. Đề tài này sẽ tập trung vào mục đích tìm hiểu cách sử dụng hai phần mềm MPB và MEEP của MIT, đồng thời khảo sát các thông số mạng của tinh thể quang tử có khuyết tật cho các tính chất quang học tối ưu….

Do vậy nội dung luận văn được chia làm ba phần. Phần 1 là tìm hiều tổng quan về tinh thể quang tử. Phần 2 là nghiên cứu các phương pháp tính toán và hai phần mềm mô phỏng cho tinh thể quang tử. Cuối cùng là kết quả mô phỏng đạt được và hướng phát triển của đề tài.

HVTH: Đinh Thị Mỹ Ngọc GVHD: TS. Đinh Sơn Thạch Luận văn thạc sĩ 16 CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ TINH THỂ QUANG TỬ. Định nghĩa tinh thể quang tử. Tinh thể quang tử là một loại vật liệu mà cấu trúc của nó là sự sắp xếp tuần hoàn của vật liệu có hằng số điện môi khác nhau trong không gian.

Sở dĩ nó được gọi là "tinh thể" vì nó được hình thành bởi một sự sắp xếp tuần hoàn các khối vật liệu cơ bản. Thuật ngữ "quang tử" được thêm vào vì tinh thể quang tử được thiết kế để tác động lên sự lan truyền của sóng điện từ trong tinh thể, tương tự như cách các hố thế tuần hoàn trong tinh thể bán dẫn tác động lên chuyển động của các electron. Nghĩa là trong tinh thể quang tử có sự tuần hoàn chênh lệch chiết suất lớn của các môi trường, hình thành nên những dải tần số mà sóng điện từ có thể lan truyền được hoặc không trong tinh thể. Các bước sóng lan truyền được phải gần bằng với hằng số mạng của tinh thể, được gọi là các mode, nhóm các mode lan truyền tạo thành dãi.

Dãi bước sóng không lan truyền được gọi là vùng cấm - không có trạng thái điện từ nào tồn tại. Độ rộng của vùng cấm tùy thuộc vào độ chênh lệch của sự tập trung năng lượng điện trường trong hai vùng, hay độ chênh lệch giữa hai hằng số điện môi của hai vùng đó.1: Tinh thể quang tử nhân tạo HVTH: Đinh Thị Mỹ Ngọc GVHD: TS. Đinh Sơn Thạch Luận văn thạc sĩ 17 Trong tự nhiên, tinh thể quang tử được phát hiện trên cánh của các loài côn trùng như bướm ở Amazon, bọ cánh cứng ở Brazil hay trên lông của chim công. Ngoài các màu sắc tự nhiên do sắc tố quy định thì ở chúng còn phản chiếu các màu sắc óng ánh khác thường.

Khi kiểm tra cấu trúc cánh của chúng thì các nhà khoa học đã tìm thấy một sự sắp xếp tuần hoàn trong cấu tạo của cánh và nhờ đó cho phép một dãi ánh sáng truyền qua và được khuếch đại, tạo nên màu sắc lấp lánh khác biệt.2: Tinh thể quang tử trong tự nhiên 1. Phân loại tinh thể quang tử. Dựa vào sự sắp xếp tuần hoàn của điện môi, ta có được ba loại tinh thể quang tử một chiều (1D), hai chiều (2D) và ba chiều (3D).3: Phân loại tinh thể quang tử: 1D, 2D và 3D HVTH: Đinh Thị Mỹ Ngọc GVHD: TS. Đinh Sơn Thạch Luận văn thạc sĩ 18 - Tinh thể quang tử 1D: các lớp điện môi sắp xếp xen kẽ nhau trong không gian, tuần hoàn theo một phương nhất định và đồng nhất trong mặt phẳng còn lại.

- Tinh thể quang tử 2D: vật liệu điện môi được sắp xếp tuần hoàn theo hai trục và đồng nhất theo trục thứ ba. - Tinh thể quang tử 3D: vật liệu điện môi sắp xếp tuần hoàn theo ba chiều trong không gian. Hiện nay tinh thể quang tử 2D được nghiên cứu phổ biến hơn vì nó dễ chế tạo cũng như dễ xử lý các khuyết tật hơn so với tinh thể quang tử 3D. Sóng điện từ trong tinh thể quang tử.

Khi tìm hiểu về tinh thể quang tử, ta tìm hiểu về sự tương tác của ánh sáng với tinh thể, mà ánh sáng là sóng điện từ, do đó ta khảo sát sự lan truyền của sóng điện từ trong tinh thể quang tử bằng cách giải hệ phương trình Maxwell cho môi trường điện môi. Hệ phương trình Maxwell tổng quát: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Trong đó: ⃗ ⃗ : vectơ cường độ điện trường, vectơ cường độ từ trường. ⃗ ⃗ : vectơ cảm ứng điện, vectơ cảm ứng từ. : mật độ điện tích tự do, mật độ dòng.

Bài toán trong tinh thể quang tử: vật liệu điện môi được sắp xếp tuần hoàn nên hằng số điện môi là một hàm của vectơ vị trí. Đồng thời, cấu trúc không biến HVTH: Đinh Thị Mỹ Ngọc GVHD: TS. Đinh Sơn Thạch Luận văn thạc sĩ 19 thiên theo thời gian, không có điện tích tự do hay dòng điện. Vậy ta sẽ giải hệ phương trình Maxwell với các điều kiện sau: Đầu tiên ta tìm mối liên hệ gần đúng của ⃗ với ⃗ và ⃗ với ⃗ trong bốn phương trình.

Yếu tố của ⃗ liên hệ với của ⃗ theo công thức: ∑ ∑ Với F/m là hằng số điện môi của chân không. Tuy nhiên, với nhiều vật liệu điện môi, có thể lấy gần đúng vì các lý do sau: - Giả sử độ lớn của trường đủ nhỏ để có thể xem là tuyến tính. Khi đó và các yếu tố bậc cao có thể bỏ qua. - Giả sử vật liệu là vĩ mô và đẳng hướng nên ⃗ và ⃗ liên hệ với nhau bằng ε0 nhân với hàm điện môi vô hướng gọi là hằng số điện môi tương đối.

- Bỏ qua sự phụ thuộc tần số của hằng số điện môi. Chọn giá trị của hằng số điện môi gần đúng với giới hạn tần số của hệ đang xét. - Tập trung vào vật liệu trong suốt nên xem là hàm thực và dương. Dùng các phép lấy gần đúng trên, ta có: ⃗ ⃗ Tương tự: ⃗ ⃗ với là độ từ thẩm của chân không.

Nhưng đối với một số vật liệu thì độ từ thẩm tỉ đối. Do đó: ⃗ ⃗ Tổng hợp các kết quả trên, hệ phương trình Maxwell trở thành: ⃗ [ ⃗ ] HVTH: Đinh Thị Mỹ Ngọc GVHD: TS. Đinh Sơn Thạch Luận văn thạc sĩ 20 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Cả ⃗ và ⃗ đều là những hàm phức tạp theo không gian và thời gian. Nhưng vì những phương trình Maxwell là tuyến tính nên ta có thể tách thành tích của hai hàm độc lập theo không gian và thời gian bằng cách mở rộng trường thành một chuỗi các mode sóng tuần hoàn.

Do đó, ta có thể viết theo hàm mũ phức của thời gian như sau: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Thay vào hai phương trình div trong hệ phương trình Maxwell ta được: ⃗ [ ⃗ ] Từ đây ta có thể giải thích không có nguồn điểm hay từ tích trong môi trường hay mô hình trường là tập hợp những sóng điện từ ngang. Thay vào hai phương trình còn lại: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (1.16a) * ⃗ + ⃗ HVTH: Đinh Thị Mỹ Ngọc GVHD: TS. Đinh Sơn Thạch Luận văn thạc sĩ 21 [ ⃗ ] ⃗ * ⃗⃗⃗ ⃗ + ( ) ⃗⃗⃗ ⃗ (1.17) ⃗ với là vận tốc ánh sáng trong chân không. √ Phương trình (17) được gọi là phương trình chủ lực.Với mỗi cấu trúc cho trước, giải phương trình chủ lực ta tìm được các mode ⃗ và các tần số tương ứng.