Tổng quan nghiên cứu

Trong các hệ thống kỹ thuật hiện đại, có hơn 75% thiết bị cơ điện tử như máy nén lạnh, hệ thống bơm áp lực tự động, máy giặt công nghiệp và công tơ điện vận hành dựa trên cơ chế rơle điều khiển đóng cắt. Tuy nhiên, hiện tượng trễ (hysteresis) xuất hiện phổ biến khi ngưỡng đóng mạch và ngưỡng ngắt mạch không trùng nhau, gây ra tính chất phi tuyến gián đoạn nghiêm trọng trong mô hình toán học. Các mô hình cổ điển dạng tường minh hoặc nửa tường minh thường biểu diễn bằng phương trình vi phân với vế phải gián đoạn, gây khó khăn lớn cho việc tính toán giải tích và phát sinh lỗi phân kỳ khi mô phỏng trên các phần mềm kỹ thuật số.

Nhằm giải quyết triệt để rào cản này, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài "Mô hình toán học cho rơle điều khiển và ứng dụng của mô hình" do học viên Phạm Thị Thanh Xuân thực hiện dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê Xuân Đại và Tiến sĩ Nguyễn Thị Hiên tại Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh đã tập trung xây dựng mô hình rơle dạng trơn (Smooth Relay Model). Công trình được nghiên cứu thực hiện từ ngày 11 tháng 02 năm 2019 đến ngày 02 tháng 06 năm 2019 và bảo vệ thành công vào ngày 20 tháng 07 năm 2019.

Mục tiêu cụ thể của luận văn là thiết lập hệ phương trình vi phân thường trơn thay thế cho mô hình gián đoạn, đồng thời kiểm soát chính xác độ sai lệch nghiệm thông qua hệ số khuếch đại K. Kết quả nghiên cứu mang ý nghĩa khoa học và thực tiễn sâu sắc khi chứng minh sai số hội tụ về 0 theo tốc độ tiệm cận tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của K, giúp giảm thiểu hơn 95% thời gian xử lý thuật toán số và mô tả chính xác 100% quỹ đạo tự dao động trong không gian 2 chiều.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn phát triển dựa trên 3 nền tảng lý thuyết toán học then chốt: Lý thuyết rơle có trễ phi tuyến, Lý thuyết định tính phương trình vi phân thường và Lý thuyết xấp xỉ nghiệm hệ động lực. Miền trạng thái cho phép của rơle được xác định trên mặt phẳng với ngưỡng ngắt dưới alpha và ngưỡng đóng trên beta thỏa mãn 0 < alpha < beta. Luận văn kế thừa và so sánh trực tiếp với 2 mô hình kinh điển: mô hình tường minh của Krassnosel'skii - Pokrovskii và mô hình nửa tường minh của Sadovskii - Pryadko.

Trong mô hình trơn đề xuất, nguồn ra trung gian w(t) nhận giá trị liên tục trong đoạn từ 0 đến 1 được thiết lập qua phương trình vi phân: đạo hàm của w theo thời gian t bằng K nhân hàm phần dương của hiệu số x trừ beta nhân với 1 trừ w, trừ đi K nhân hàm phần dương của hiệu số alpha trừ x nhân với w. Nguồn ra rời rạc ye(t) được làm mịn bằng hàm phần nguyên liên tục trái của w cộng 0,5. Hệ thống thỏa mãn đầy đủ 5 tính chất nền tảng của hệ động lực gồm: tính tự trị (autonom), tính duy nhất nghiệm, tính nửa nhóm, tính thống kê co giãn thời gian và tính điều khiển chuyển trạng thái bằng quỹ đạo parabol.

Phương pháp nghiên cứu

Về cỡ mẫu và không gian tham số, nghiên cứu tiến hành khảo nghiệm trên 5 bộ tham số động lực học trong không gian vector thực 2 chiều R2, với vector trạng thái ban đầu u0 = (1, 2) và dải ngưỡng cố định alpha = 1, beta = 3. Phương pháp chọn mẫu tham số tập trung vào việc biến thiên hệ số khuếch đại K từ mức thấp K = 50 đến mức siêu lớn K = 10.000.000, kết hợp quét các giá trị tần số góc theta trong và ngoài tập số hữu tỉ nhằm nhận diện ranh giới chuyển pha dao động.

Lý do lựa chọn phương pháp phân tích giải tích vi phân kết hợp mô phỏng số là vì phương trình vi phân thường có vế phải trơn tương thích hoàn toàn với các thuật toán tích phân số như Runge-Kutta bậc 4-5. Quy trình giải tích sử dụng kỹ thuật ước lượng khoảng cách không gian vi phân, định lý hàm ngược và bất đẳng thức vi phân để thiết lập chặn trên sai số. Toàn bộ quá trình tính toán và mô phỏng số được thực hiện trên phần mềm chuyên dụng Mathematica và Matlab trong mốc thời gian 4 tháng, từ tháng 2 năm 2019 đến tháng 6 năm 2019.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, luận văn đã chứng minh thành công Định lý về độ chính xác của mô hình rơle dạng trơn: Độ đo Lebesgue của tập hợp các thời điểm sai khác giữa nghiệm mô hình trơn và mô hình nửa tường minh tiến dần về 0 khi K tiến tới vô cùng. Sai số chuẩn giữa vector nghiệm u(t) của hệ thực và u_tilde(t) của hệ trơn được chặn trên bởi công thức C chia cho căn bậc hai của K. Khi tăng hệ số K từ 50 lên 10.000.000, độ chính xác xấp xỉ tăng hơn 447 lần, đưa sai số quỹ đạo về dưới ngưỡng 0,0001 đơn vị độ dài.

Thứ hai, nghiên cứu xác lập Định lý về sự tuần hoàn của hệ rơle điều khiển 2 chiều: Nghiệm của hệ động lực là một hàm tuần hoàn khi và chỉ khi hệ số góc theta thuộc tập hợp số hữu tỉ nhân với hằng số pi chia cho hiệu số logarit tự nhiên của beta và alpha. Khi điều kiện này thỏa mãn với tỷ số k/n, chu kỳ dao động tự kích đạt giá trị chuẩn xác T = 2nln(beta/alpha).

Thứ ba, thực nghiệm số kiểm chứng với alpha = 1, beta = 3 và theta = 2pi / (9ln 3) xác nhận quỹ đạo pha khép kín hoàn toàn với chu kỳ T = 18ln 3 (tương đương 19,775 giây). Ngược lại, khi chọn theta = 10 / (9ln 3) (không thuộc tập hữu tỉ hóa), nghiệm không tuần hoàn mà sau 50 giây đã quét dày đặc và lấp đầy 100% diện tích hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm bán kính r = 1 và R = 3.

Thảo luận kết quả

Bản chất của sự hội tụ nằm ở cơ chế phản ứng tức thời của biến trung gian w(t). Khi tín hiệu đầu vào x(t) vượt ngưỡng beta = 3, tốc độ tăng trưởng của w(t) tỷ lệ thuận với K, giúp chuyển trạng thái đóng mạch trong khoảng thời gian trễ cực ngắn không vượt quá 0,0005 giây tại K = 10.000.000. So với mô hình Sadovskii - Pryadko vốn bị gián đoạn dẫn đến hiện tượng dừng bước tích phân số (singularity chattering), mô hình trơn duy trì đạo hàm liên tục từng khúc, giúp giải quyết triệt để hiện tượng treo phần mềm tính toán.

Các kết quả mô phỏng số được biểu diễn trực quan thông qua đồ thị quỹ đạo không gian pha ParametricPlot và biểu đồ phân tích sai số f(t) theo thời gian từ 0 đến 50 giây. Bảng tổng hợp dữ liệu sai số cho thấy đường cong sai số giữa nghiệm ứng với K1 = 10.000.000 và K2 = 5.000.000 luôn tiệm cận sát trục hoành bằng 0 với biên độ dao động cực đại không vượt quá 0,00002, minh chứng cho tính ổn định tiệm cận vượt trội của phương pháp xấp xỉ trơn.

Đề xuất và khuyến nghị

Để chuyển giao và ứng dụng hiệu quả mô hình toán học rơle trơn vào thực tiễn kỹ thuật, 4 khuyến nghị chiến lược được đề xuất như sau:

Một là, xây dựng và đóng gói bộ công cụ Smooth Relay Toolbox tích hợp sẵn vào phần mềm Matlab/Simulink trong thời gian 6 tháng tới. Mục tiêu giảm 35% thời gian tính toán mô phỏng hệ thống điện cơ và loại bỏ hoàn toàn 100% lỗi dừng số học do gián đoạn bước nhảy. Chủ thể thực hiện: Nhóm nghiên cứu Mô phỏng Hệ thống tại các trường đại học khối kỹ thuật.

Hai là, chuẩn hóa quy trình cài đặt dải tham số K tối ưu từ 100.000 đến 10.000.000 cho các thuật toán điều khiển nhúng trong quý 4 năm 2019. Mục tiêu đạt độ chính xác điều khiển trên 99,9% mà không làm quá tải bộ nhớ và năng lượng tính toán của chip xử lý số DSP trong các thiết bị biến tần. Chủ thể thực hiện: Các kỹ sư phát triển phần mềm nhúng và tự động hóa công nghiệp.

Ba là, mở rộng nghiên cứu mô hình toán học cho hệ thống rơle trơn đa chiều và mạng lưới rơle ghép tầng trong lộ trình 12 tháng tiếp theo. Mục tiêu mô hình hóa thành công các hệ thống điều hòa không khí trung tâm và trạm bơm thủy lực phân tán quy mô từ 10 đến 20 rơle liên kết. Chủ thể thực hiện: Các viện nghiên cứu Toán ứng dụng và Tự động hóa quốc gia.

Bốn là, đưa chuyên đề "Mô hình hóa hệ động lực phi tuyến có trễ" vào chương trình đào tạo thạc sĩ ngành Toán ứng dụng và Kỹ thuật điều khiển từ năm học 2020. Mục tiêu giúp 100% học viên cao học làm chủ kỹ thuật làm trơn phương trình vi phân và nâng cao chất lượng công bố khoa học. Chủ thể thực hiện: Ban chủ nhiệm Bộ môn Toán ứng dụng và Khoa Khoa học Ứng dụng.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Công trình nghiên cứu mang giá trị học thuật và ứng dụng cao cho 4 nhóm đối tượng trọng tâm sau:

  1. Học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng, Cơ học kỹ thuật: Nắm vững phương pháp luận hiện đại về xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân không trơn, kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức vi phân ngược và phương pháp viết mã nguồn mô phỏng giải tích trên phần mềm Mathematica.

  2. Kỹ sư thiết kế hệ thống điều khiển tự động và thiết bị điện cơ: Vận dụng mô hình trơn để mô phỏng chính xác các hệ thống đóng cắt rơle trong máy nén lạnh, hệ thống bơm nước biến tần, giúp giảm thiểu 40% nguy cơ rung lắc đóng ngắt liên tục và nâng cao tuổi thọ khí cụ điện.

  3. Giảng viên và nhà khoa học trong lĩnh vực lý thuyết điều khiển phi tuyến: Sử dụng làm tài liệu tham khảo chuyên sâu phục vụ giảng dạy các học phần Hệ động lực, Điều khiển tối ưu và Lý thuyết tự dao động trong không gian pha.

  4. Chuyên gia phát triển phần mềm mô phỏng CAD/CAE: Ứng dụng cấu trúc phương trình vi phân trơn để cải tiến bộ giải tích phân số trong các phần mềm thương mại, nâng cao 30% độ ổn định khi xử lý bài toán quá độ của mạch điện có trễ.

Câu hỏi thường gặp

Mô hình rơle dạng trơn khác biệt gì so với các mô hình rơle cổ điển của Krassnosel'skii hay Sadovskii?

Mô hình Krassnosel'skii dựa vào giá trị hàm gián đoạn quá khứ, còn mô hình Sadovskii dùng vi phân phi chuẩn. Ngược lại, mô hình trơn chuyển hóa quy luật đóng cắt thành một phương trình vi phân thường với biến w(t) liên tục. Điều này cho phép xác định trực tiếp vận tốc biến thiên nguồn ra qua giá trị tức thời, tương thích 100% với các phần mềm Matlab hay Mathematica.

Ý nghĩa thực tế của hệ số khuếch đại K trong mô hình trơn là gì?

Hệ số K đóng vai trò tham số điều khiển tốc độ chuyển đổi trạng thái của biến w(t). Khi K càng lớn, nghiệm của mô hình trơn càng tiệm cận sát với nghiệm thực tế của rơle lý tưởng theo bậc sai số tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của K. Trong thực nghiệm số, việc thiết lập K = 10.000.000 đảm bảo sai số gần như triệt tiêu hoàn toàn.

Điều kiện để nghiệm của hệ rơle điều khiển 2 chiều xuất hiện dao động tuần hoàn là gì?

Theo Định lý 3 của luận văn, nghiệm của hệ 2 chiều chỉ tuần hoàn khi hệ số tần số góc theta thuộc tập hữu tỉ nhân với pi chia cho logarit của tỷ số beta trên alpha. Khi đó, quỹ đạo pha khép kín với chu kỳ xác định chính xác bằng 2*n nhân với logarit tự nhiên của tỷ số beta trên alpha.

Hiện tượng gì xảy ra khi hệ số theta không thỏa mãn điều kiện hữu tỉ hóa?

Khi theta là số vô tỉ so với tỷ số pi trên logarit của beta chia alpha, chẳng hạn theta = 10 / (9*ln 3), hệ mất tính tuần hoàn hoàn toàn. Quỹ đạo pha không bao giờ tự đóng kín mà sau khoảng thời gian T = 50 giây sẽ chuyển động hỗn loạn và lấp đầy 100% diện tích hình vành khăn giữa hai bán kính ngưỡng.

Tại sao giá trị K quá nhỏ như K = 50 lại khiến mô hình mất đi tính chính xác?

Khi K = 50, tốc độ biến thiên của biến trung gian w(t) không đủ nhanh để theo kịp bước nhảy tín hiệu vào. Sai số ước lượng C chia căn bậc hai của 50 rất lớn, khiến rơle chuyển mạch trễ nhịp và quỹ đạo pha bị biến dạng méo mó, không thể mô phỏng đúng đặc tính vật lý của hệ thống.

Kết luận

Công trình luận văn thạc sĩ của tác giả Phạm Thị Thanh Xuân đã hoàn thành xuất sắc các mục tiêu nghiên cứu thông qua 5 đóng góp cốt lõi:

  • Xây dựng thành công mô hình giải tích rơle trơn dựa trên phương trình vi phân thường, khắc phục triệt để nhược điểm gián đoạn của mô hình cổ điển.
  • Chứng minh chặt chẽ định lý xấp xỉ nghiệm với chặn trên sai số hội tụ O(1 chia căn bậc hai của K) khi K tiến đến vô cùng.
  • Khám phá và xác lập điều kiện cần và đủ cho tính tự dao động tuần hoàn trong không gian 2 chiều với chu kỳ chuẩn T = 2nln(beta/alpha).
  • Thực hiện mô phỏng số học hoàn hảo trên môi trường Mathematica với dải tham số K từ 50 đến 10.000.000, kiểm chứng sự chuyển pha giữa dao động tuần hoàn và lấp đầy vành khăn.
  • Đề xuất khung ứng dụng khả thi cho các bài toán điều khiển tự động hóa và tối ưu hóa hệ thống điện cơ công nghiệp.

Kế hoạch phát triển tiếp theo sẽ mở rộng thuật toán sang hệ thống đa biến từ quý 1 năm 2020. Quý độc giả, nhà khoa học và kỹ sư quan tâm có thể tham khảo toàn văn luận văn tại Thư viện Đại học Bách Khoa - ĐHQG TP.HCM để cùng hợp tác phát triển các giải pháp điều khiển tối ưu hóa trong tương lai.