Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Xét không gian xác suất cơ sở (Ω, F, P ), trong đó: (i) Ω là không gian mẫu gồm tất cả các kết cục có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên. Mỗi kết cục ω ∈ Ω được gọi là một điểm mẫu hay một biến cố sơ cấp. Người ta cũng còn gọi Ω là không gian các biến cố sơ cấp. Tức là F là một họ các tập con của Ω thỏa mãn ba điều kiện sau: Ω ∈ F, nếu A ∈ F thì Ω\A = Ac = A ∈ F , S∞ nếu A1 , A2 ,.
∈ F và Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) thì n=1 An ∈ F. Mỗi tập A ∈ F gọi là một biến cố. (iii) P là độ đo xác suất xác định trên F. Tức là ánh xạ P : F → R thỏa mãn 3 điều kiện sau: P (A) ≥ 0 với mọi A ∈ F , P (Ω) = 1,Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên X là ánh xạ X : Ω → R sao cho {X < x} = {ω ∈ Ω | X(ω) < x} ∈ F, ∀x ∈ R.
∈ F và Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) thì P P An = P (An ). n=1 n=1 Xét hàm giá trị thực (hoặc phức) X(ω, t) với ω ∈ Ω và t ∈ T. Nếu cố định t ∈ T thì ta được X(ω, ·) là một đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên. Nếu cố định ω ∈ Ω thì ta được X(·, t) là một hàm của biến t ∈ T.
Khi T ⊆ R thì người ta gọi X(t) là quá trình ngẫu nhiên với t là biến thời gian và T là tập chỉ số thời gian. Giả sử X(t), t ∈ T là một quá trình ngẫu nhiên, trong đó T là tập chỉ số thời gian. Tập chỉ số T có thể là R = (−∞, +∞), R+ = [0, +∞), Z = {0, ±1, ±2,. Nếu T = R hoặc T = R+ thì ta có một quá trình với thời gian liên tục.
Nếu T = Z hoặc T = Z+ thì ta có một quá trình với thời gian rời rạc, còn gọi là một dãy ngẫu nhiên. Quá trình X(t), t ∈ T được gọi là một quá trình cấp 2 nếu E|X(t)|2 < ∞, ∀t ∈ T. Hàm trung bình m(t) được định nghĩa bởi công thức sau m(t) = EX(t). Hàm tự tương quan r(s, t) được định nghĩa bởi công thức sau r(s, t) = cov[X(s), X(t)] = E(X(s) − m(s))(X(t) − m(t)) = EX(s)X(t) − m(s)m(t).2 Quá trình dừng Định nghĩa 1.
Giả sử X(t), t ∈ R, là một quá trình cấp 2. X(t) được gọi là một quá trình dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số (không phụ thuộc vào t) và hàm tự tương quan r(s, t) chỉ phụ thuộc vào s − t. 13 Quá trình X(t), t ∈ R được gọi là quá trình dừng mạnh (dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h ∈ R và với mọi t1 < t2 ,. < tn phân phối đồng thời của {X(t1 + h), X(t2 + h), ., X(tn )} là như nhau.
Ví dụ về chuỗi thời gian dừng và chuỗi thời gian không dừng: Hình 1.1: Thay đổi hàng ngày về giá cổ phiếu của Google năm 2015 là một chuỗi thời gian dừng.2: Giá cổ phiếu đóng cửa của Google năm 2015 là một chuỗi thời gian không dừng. Dãy đại lượng ngẫu nhiên {W (n)}∞ n=−∞ được gọi là một dãy 2 “nhiễu trắng”, kí hiệu là {W (n)} ∼ WN(0, σ ) nếu EW (n) = 0 và ( 0 nếu n ̸= m, ⟨W (n), W (m)⟩ = δnm = 1 nếu n = m. 14 Hàm tự tương quan của dãy {W (n)} là ( 0 nếu n ̸= m, r(m, n) = 1 nếu n = m.3 Chuỗi thời gian Định nghĩa 1. Chuỗi thời gian X(t), t ∈ T , là tập hợp các giá trị quan sát theo thời gian t ∈ T với T là tập chỉ số thời gian.
Chuỗi thời gian X(t) được gọi là dừng nếu X(t) là quá trình dừng.4 Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng phần Cho {X(t)} là chuỗi thời gian dừng. Hiệp phương sai bước k của {X(t)} là γk = cov(X(t); X(t + k)) = E[X(t) − E(Xt )][X(t + k) − E(Xt+k )]. Dãy {γk } còn gọi là hàm tự hiệp phương sai của {X(t)}. Đặc biệt, γ0 = E(Xt − EXt )2 không phụ thuộc vào t.
Hệ số tương quan bước k của {X(t)} là γk ρk =. γ0 Dãy {ρk } còn gọi là hàm tự tương quan (ACF) của {X(t)}. Hàm tự tương quan mẫu 1 n−k P (Xt − X)(Xt+k − X) n − k t=1 rk = n 1P (Xt − X)2 n t=1 n trong đó, n là độ dài chuỗi thời gian nghiên cứu, k = 0, 1, ., K , thường K ≤ , 4 1Pn X= Xt. Hàm tự tương quan riêng phần (PACF) kí hiệu là rkk và được tính theo công thức rkk = Corr (Xt , Xt−k | Xt−1 , Xt−2 , .5 Phương pháp Box–Jenkins Phương pháp Box–Jenkins là một phương pháp dùng để mô hình hóa và dự báo các chuỗi thời gian, được đặt theo tên của hai nhà thống kê người Anh đã phát triển nó là George Box và Gwilym Jenkins.
Phương pháp này đã được công bố lần đầu tiên trong một cuốn sách của họ mang tên “Time Series Analysis: Forecasting and Control” (1970), đó là một trong những tài liệu cơ bản nhất trong lĩnh vực dự báo chuỗi thời gian. Phương pháp Box–Jenkins đã đưa ra một khung công việc toàn diện cho việc mô hình hóa và dự báo các chuỗi thời gian, bao gồm ba giai đoạn chính là Phân tích chuỗi thời gian, Ước lượng các tham số và kiểm định mô hình, cuối cùng là Dự báo. Phương pháp này đã trở thành một trong những phương pháp phổ biến nhất để dự báo các chuỗi thời gian và vẫn được sử dụng rộng rãi cho đến ngày nay. Đây được xem là một trong những kỹ thuật có hiệu quả cao, đưa ra những thông tin giúp nhà phân tích chuỗi thời gian lựa chọn mô hình phù hợp với dữ liệu quan sát được.
Theo phương pháp Box–Jenkins, dự báo chuỗi thời gian được tiến hành theo lược đồ như sau: Hình 1.3: Sơ đồ các bước dự báo Chuỗi thời gian theo Phương pháp Box-Jenkins 16 1.1 Nhận dạng mô hình Nhận dạng mô hình là lựa chọn một mô hình được cho là tốt nhất trong nhiều mô hình ARIMA(p, d, q) được xây dựng từ dữ liệu chuỗi thời gian. Rõ ràng có nhiều cách kết hợp bậc p, d, q tạo ra nhiều mô hình ARIMA(p, d, q) khá nhau. Công cụ chủ yếu để nhận dạng mô hình là tương quan ACF và tương quan riêng phần PACF được tính toán từ chuỗi thời gian. Để nhận dạng được mô hình, đầu tiên ta phải kiểm tra tính dừng của chuỗi.
Nếu chuỗi chưa dừng, tiến hành lấy sai phân hoặc sử dụng hàm biến đổi thành chuỗi dừng trước khi thực hiện phân tích. Xem xét đồ thị hàm tự tương quan ACF và tự tương quan riêng phần PACF của chuỗi dừng để xác định bậc hồi quy p và bậc trung bình trượt q. Không chỉ dựa vào các đặc điểm nêu trên để lựa chọn giá trị cho các tham số p, d, q của mô hình, việc lựa chọn mô hình phù hợp phụ thuộc phần lớn vào kinh nghiệm cũng như tri thức sâu rộng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của người xây mô hình. Vì thế, mỗi chuối thời gian sẽ có nhiều tham số p, d, q khác nhau được lựa chọn dẫn đến có một lớp các mô hình ARIMA khác nhau và nhiệm vụ của người xây mô hình là chọn ra được mô hình tốt nhất trong các mô hình đó.
Để xác định được sai phân bậc d của mô hình, trước tiên ta cần kiểm tra tính dừng của chuỗi thời gian. Bước đầu tiên là xem xét đồ thị chuỗi thời gian. Đồ thị sẽ cung cấp những đánh giá sơ lược ban đầu về chuỗi dữ liệu như: sự biến thiên của chuỗi theo thời gian, tính chu kỳ, tính mùa vụ của chuỗi,. Trên cơ sở đó, quyết định thực hiện các phép biến đổi sơ bộ để làm trơn chuỗi khiến cho sự dao động trong chuổi trở nên ổn định.
Tuy nhiên, việc xác định tính dừng của một chuỗi thời gian chỉ bằng cách quan sát đồ thị là không đủ, ta cần sử dụng các phương pháp thống kê để kiểm định chính xác tính dừng của chuỗi thời gian. Một số kiểm định thống kê được thực hiện kể kiểm tra tính dừng của chuỗi như: Ljung-Box Test: Kết quả của kiểm định Ljung-Box sẽ bao gồm giá trị của thống kê kiểm định (Q statistic) và giá trị p-value. Nếu giá trị p-value nhỏ hơn mức ý nghĩa thống kê (ví dụ: 0.05), ta có thể kết luận rằng có sự tồn tại của tương quan không gian trong chuỗi thời gian. Augmented Dickey-Fuller (ADF) Test: Nếu giá trị p (p-value) nhỏ hơn mức ý nghĩa thống kê, thì chúng ta có thể bác bỏ giả thuyết rằng chuỗi thời gian là không dừng, và do đó, chuỗi thời gian là dừng.
Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) Test: Nếu giá trị p nhỏ hơn mức ý nghĩa thống kê, chuỗi thời gian là không dừng. 17 Tùy vào trường hợp cụ thể, chúng ta có thể sử dụng một hoặc nhiều phương pháp trên để xác định tính dừng của chuỗi thời gian.2 Ước lượng tham số Sau khi đã nhận dạng được mô hình, ta thực hiện ước lượng các tham số tự hồi quy cho mô hình tự hồi quy AR(p) và các tham số trung bình trượt cho mô hình trung bình trượt MA(q) trong mô hình gộp ARIMA dựa trên chuỗi dữ liệu. Để ước lượng các tham số, ta sử dụng phương pháp ước lượng tối đa hợp lý (maximum likelihood estimation). Phương pháp này tìm kiếm bộ tham số tối ưu để mô hình có thể giải thích tốt nhất dữ liệu đã cho.
Cuối cùng, ta kiểm tra tính phù hợp của mô hình đã ước lượng bằng cách kiểm tra phần dư của mô hình (residuals) có phải là nhiễu trắng hay không. Nếu phần dư của mô hình có tính chất ngẫu nhiên và không có xu hướng thì mô hình được coi là phù hợp và tiếp tục sang bước tiếp theo. Nếu phần dư có xu hướng hoặc không ngẫu nhiên, thì mô hình sẽ cần được ước lượng lại tham số hoặc chọn mô hình khác để thử nghiệm. Bước này sẽ được lặp lại cho các mô hình khác nhau cho đến khi tìm ra mô hình phù hợp nhất cho dữ liệu.3 Kiểm định mô hình Trong bước này, các đánh giá khác nhau được sử dụng để kiểm tra sự phù hợp của mô hình thử nghiệm.
Nếu cần thiết, mô hình mới tốt hơn được đề xuất như một mô hình thử nghiệm mới.