Chương 1 Tóm tắt lý thuyết tán xạ 1.1 Tán xạ với một thế Bài toán chuyển động của một bạt tới trong trường xuyên tâm, nghĩa là hàm thế năng V(r) không phụ thuộc vào góc mà chỉ phụ thuộc vào tọa độ bán kính. Khi thế tướng tác có dạng đối xting cit, Hamiltonian của hệ có thể viết dưới dạng f= -Tasver), ay trong đó, toán tử Laplace được viết trong tọn độ cầu (r Ø,ở) như sau 1đ a 122 ) d2 sin 90°36 in? 8 26) ngoài ra toán tử bình phương moment động lượng quỹ đạo Ê* có dạng 2( 12 ing 2, 1 2 'ề( 082890918" apgag? a “Tự hai biểu thức (1.3), ta viết lại Hamiltonian như sau a4) từ đó, phương trình Schrödinger dừng mô tả chuyển động của hạt có thể đưa về phướng trình sau t2 2 (8.0) 2m as) Poa Be Re viol} vere ®) “Ta đễ dàng chứng minh được Hamiltonian fY giao hoán với ÊŸ, Ê. Vì vậy ta sẽ tìm. cđược hầm sóng vừa là nghiệm của phương tình Schrödinser vừa là nghiệm riêng của fe toán từ 2 và , Mặt khác ta thấy phương trình (1.5) có sự tách biển nên nghiệm tổng quát của hàm sóng có dạng như sau Ví9,ð) = Rír)Yiy(9,6).ð) “Thay biểu thức (1.6) vào phương trình (1.3), khi đó hàm bán kính Ñ(z) phải thỏa mãn phương trình sau L2 {az ;2 1+) FT 2m vini bam - =o Te an Để đơn giản hon ta đặt uự) =rR(r) as) khi đó, phương trình (L7) được viết ai {Š-!Đ+e-vialda=s a» hay Re FS ne an evenutr) (10) Phương trình (1.10) dược ta sử dụng trong phần (1.2 Khai triển sóng riêng phần "Độ lệch pha bất đầu với một ý tưởng rằng, khi một hạt ở xa phạm vỉ tướng tác hay hạt sẽ tự do, dồi với các hạt có động lượng tương đổi bằng 0, nghĩa là moment động lượng quỹ đạo ý = 0 (còn gọi là sóng s) thi diéu này giúp ta thu được các hàm sóng.
don giản có dạng hàm sine hoi cosine. Tuy nhí „ nêu chúng ta có một thể tấn xạ thì khi ở ngoài pham vỉ tương tác của thể này thì ta vẫn có thể coi hạt là tự do nhưng pha của hàm sóng lúc bẩy giờ đã bị ch. Ở phần này chúng ta sẽ trình bày ngắn gon những bit v8 độ lệch pha và cách mà độ lệch pha ảnh hưởng dễn tiết điện như thể nào. Ý tưởng cơ bản của qhá tình tín xạ là ao choở một khoảng cách nào đổ hạt tn xa it do.
Phuong trinh SchrOdinger xuyén tim cho một hạt có khối lượng „là wa /(£+ 1) ama one u(r) +V (rar) = Ar) d1) trong đó, £là moment động lượng quỹ đạo. Đầu tên ta xét trường hop moment động lượng quỹ đạo # = 0, tức tấn xạ sóng s. Đối với một hạt tự do, V = 0, nghiệm. của phương trình Schrödinger là tổ hợp tu) tính của him sine va cosine, u(r) = Asin (kr) + Beos (kr), (zy trong đó, k = p/h = Im /h fa sb song.
Trong trig hợp không tồn tạ thể tín xạ ở mọi nơi, khi đó điểu kiện biên đuy nhất là ø(0) = 0. Giải điểu kiện biên đó ta thấy bầm sóng bị phụ thuộc vào hàm sine hayB = 0 Bay giờ ta giá sử một thể tấn xạ V(z) Z 0 với z trong khoảng cách bán kính R nio đó. Như vậy, với r > 0 ta vẫn tổn tại hạt tự do, khi đó không còn điều kiện biển quy định 8 = 0 nữa Sử dụng các biểu thức lượng giéc: A = Coos 8, B = Csin ổ, và cuối cùng là tanö — B/A, ta viết lại một cách tổng quát hơn biểu thức (1. u(r) = Csin (Kr + ð) (113) Đối với trường hợp moment động lượng > 0, nghiệm của phương trình Scbrödinger cho hại tự do có dạng hầm cầu Bessel va him ef Neumann 8y) =Arj() ~ Brn (kr) (4) “Trong phạm vì nghiên cứu của khóa luận chúng tối không tình bày các tính chất HV "Hình 1.
Minh hoa su dich chuyển của hàm sóng s (f = 0) do thé cầu cứng có r = 2 (đường thẳng đứng nét đứt màu đỏ). Đường liễn nét màu đen là hàm sóng hạt “tự đơ”, ‘rong khi đường chấm màu xanh lam đành cho bạt có sự hiện diện của quả cầu cứng. cia him clu Bessel, mit chi ip dung rằng dela) (as) n(x) = —————^ (116) từ đó, chúng ta có thể khái quát hóa đô lệch pha cho bắt kỳ giá tri mio cia moment động lượng / xÁr)= Crj: KH) (47) `. | aay trong d6, ee he $6 Ae, Br, Cr hay C} duse xéc din tit cic digu kign bien.
$6 hang tổ; được gọi là độ lệ pha (phase shift) vi duce xae định bằng tổ CC By (119) 1.3 Dé léch pha va tiét dién phan ting “Chúng ta đã phân tách him sóng thành các hàm sóng riêng phần với céc moment động lượng quỹ đạo£. Trong trường hợp không tồn tại thể tần xạ, tổng tắt cả các sóng riêng phần của hạt tới là sóng phẳng. Khi tổn tại thế tán xạ, các sóng riêng phần phải. trải qua sự lệch pha và xác suất thu được phụ thuộc vào góc và tiết diện.
Đầu n hãy bắt dầu với một sóng phẳng tối và giả sử rằng hạt có động lượng và vector sb séng Ế đều theo hướng z. Khi đó sóng phẳng được viết là explik-7) = exp(ike) — exp(ikreos) (120) ‘bude cudi cig ta đã chuyển sang toa độ cầu. Ta có thể khai triển bắt kỹ hầm nào trong tọa độ cầu thành các hầm cầu, nghĩa là exp(ikrcos6) = 3 :,m(r)Yi „(9,9). 420 giả sử ta bỏ qua sự phụ thuộc ở, vi vay ta cho mr = Ú, và Yi„(9,6) = P.(cosØ) là các đa thức Legendre, do đó.
(22) “Chứng tabiễtrằng nghiệm của phương trình Schrödinger cho hạt tự do vồi moment động lượng quỹ đạo £ là các hàm cầu Bessel và hàm câu Neumamn, và chỉ có hàm cầu Bessel la không kì dị tại gốc toa độ. Do đó ta có explikrcos®) = Pexjr(kr) (cos) (123) Ta din dén bigu thie explikreos) = Pi" (2+ 1) jo(kr)Pr(cos@). (124) Vige khai tiển này rắt quan trọng, không chỉ vì nó sẽ dẫn dến độ lệch pha mà còn bởi vì ta sẽ sử dụng khai triển này để chuẩn hóa tiệm cận cho các trang thấ tấn xa “Tiếp theo, ta thiết lập biên độ tin xạ /(6) theo cách tương tự: (8) = (21+ 1)a(k)(eos8) (125) trong đồ a/(k) là biên độ tấn xạ riêng phân. Bởi vì tiết điện tán xạ vi phân là do fa =O? (1.26) nêu ta khai triển biên độ tấn xa riêng phân và lẫy tích phân rên toàn miễn 6, hay chính xác hơn là x = cos8 và sử dụng 1 hPG)Pb)= gọi [,R@If69= SẺ 2 z an ta thụ được tế điện toàn phận Tà 2= = [ a[#8aa=4z} Đai) ; 38da= 4z (0+0+ 1a)? 028)2 “Trong khai triển, ta xét diy đủ hàm sóng tấn xạ, bao gdm diy đủ cả sóng tối và Sống tán xa ti khoảng cách rất lớn on Vocal + /(8) Ler vp, (cosa (129) "Nhưng ở khoảng cách lớn, ta đã biết th) _—- 5 ry Win (tr—B) GY =F _L (gu (er v2ae te 130) Kết hợp các khai triển trên ta thu được sỉ galt ot ET [+ ake "“——.33) Đồng nhất các số hạng trong (1.33) đứng trước sóng cầu tối exp(—ikr)/r, “chúng ta thủ được, š- 5ts((s+2)) dán CCuỗi cùng, đồng nhất các số hạng phía rước khá triển sóng cầu tần xa exp(+ifr) và sử dụng (1.34), ta đi đến 1+2ia,(k) = 258) (1.35) “Thông thường chúng ta gọi ¿”hay tổng quất hơn là ma trận tán xa 8.
Mie di n6 có vẻ trừu tượng nhưng nó có nhiễu tính chất quan trọng mà a có thể khai thác. Tính toán tiếp cho biển d6 tin xa rigng phiin i(k) = (136) Đây giờ ta có thể thấy biên độ tin xa f(0) 1a su giao thoa giữa sóng phẳng tới xối sóng cầu tấn xạ cũng với độ ch pha. Nếu độ lệch pha độ in xa bằng không. Chúng ta có thể viết hi tiết điện như sau sin? eit = =Ÿ40+1 Paneer yy it) _ goi yest aan Lưu ý rằng với bắt kỳ moment động lượng quỹ đạo £ thi déng góp lớn nhất xây ra khi5 x2 nz.
Đây được gọi là giới han unitary và nó quan trong khi chúng ta nói xŠ công hưởng và các chủ dB ign quan, “Chứng ta có thể viết lại biên độ tán xạ riêng phẫn theo nhiều cách khác nhau miễn chúng phục vụ mục dich sit dung của chúng ta. Ví dụ, sin dik) _ snổ(k xô(8) 1 a’ Ke 8 ~ Klcosdy—isind) ~ keotd()— a (i38) và chúng ka có thể viết ai biểu thức tiết điện như sau 48(f+ 2t 1) (139) By Reot i(k) 1.4 Kết quả tán xạ cho hồ thế vuông Ta sẽ sử dụng các kết quả trên để ấp dụng cho một bài toán đã rit guen thuộc, tín xa cho hồ thể vuông hữu hạn “Xết một hỗ thể vuông hữu han 66 dd siu —Vy vin kinh R, r<R ` (40) r>R Đầu tên ta sẽ thực hiện bài toán này đối với ý — hay tn xa song Để giải bài toán một cách tốt nhất, chúng ta cha và nh toán cho hai vùng: vùng Ï là 0 < r < Ñ, và ving 2 là /# < r < e; các hàm sóng xuyên tâm wạ z{r) và đạo hàm bậc nhất c chứng phẫ liên tụe tại z = Ñ. Trong cả ha trường hợp, kết quả thu được đễu là các him sine “rong vùng 1, với diễu kiện biên là ạ(0) = 0, ta thú được u(r) = Asin, 4p trong dé E = f?K?/2m + Vụ, do đó, (142) và trong vùng 2, chúng ta cũng có thể thu được các hàm theo sine và cosine, hoặc một cách trực quan hơn ta có thể viết hàm sine với độ lệch pha u(r) = sin(kr +8), (143) trong đó = vÕmE/(ñ. Ta sẽ phẫi lưu ý rằng, ta không đặt tham số chuẩn hóa cho hàm sóng ro(7).
Ta chỉ cn sự chuẩn hóa giữa ¡ và ọ, ham số chuẩn hồa tuyệt đối sho các sống tấn xạ sẽ không đ cập trong phạm vi nghién cứu của khóa luận này Để tìm độ lệch pha ổ, ta cần đồng nhất c hai hàm sóng tại r AsinKR = sin(KR + ð), (144) 4 Va dao him bac nhit cia chting, w/(R) = us(R), AKcosKR = kcos(kR + ô) (145) “Cuối cùng ta chỉa (1.45) để triệt tiêu hing s6 A và thủ được ktanKR = Ktan(kR +6), “Giải phương trình trên, ta tim được 5 =-aR van! (Frank) K (146) inh 1.2 cho ching ta thấyđộ lệ th pha trong tring hop 0 đổi với hỗ thể vuông có m = h= 1 va bain kinh Ñ = 1, đối với các độ sâu Vạ khác nhau. Lưu ý rằng, tại Yj = 1 độ lệch pha tăng nhanh chóng, tong khi với Vị = 1.5 thì độ lệch pha bắt đâu “Tính gián đoạn của độ ch pha trong trường hợp Vo = 1.