Luận Văn Tốt Nghiệp: Khám Phá Trạng Thái Giả Liên Kết Trong Graphene

Luận văn tốt nghiệp khám phá trạng thái giả liên kết trong graphene, phân tích cấu trúc và ứng dụng tiềm năng trong công nghệ nano.

• Tác giả: Nguyễn Hải Châu
• Người hướng dẫn: GS. Nguyễn Văn Liễn
• Trường học: Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
• Đề tài: Nghiên cứu trạng thái giả liên kết trong Graphene
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA GRAPHENE
• 1.1. Cấu trúc tinh thể
• 1.2. Cấu trúc vùng năng lượng
• 1.3. Phương trình Dirac. Các trạng thái giả liên kết
• 1.4. Giải phương trình Dirac với thế một chiều bằng phương pháp T-ma trận
• 1.5. Các trạng thái giả liên kết
• 1.6. Giải thích hiện tượng bằng mô hình liên kết mạnh một chiều
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Graphene và trạng thái giả liên kết

Luận Văn Tốt Nghiệp: Nghiên Cứu Trạng Thái Giả Liên Kết Trong Graphene tập trung vào việc khám phá các tính chất điện tử độc đáo của Graphene, một vật liệu hai chiều có cấu trúc tinh thể đặc biệt. Graphene được xem là nền tảng lý thuyết cho các cấu trúc nano Carbon như ống nano và dải nano. Nghiên cứu này nhấn mạnh vào trạng thái giả liên kết, một hiện tượng quan trọng trong vật lý lượng tử, đặc biệt là trong các hệ thống hai chiều. Trạng thái giả liên kết là các trạng thái lượng tử có thời gian sống hữu hạn, thường xuất hiện trong các hệ thống có thế năng không đối xứng hoặc không hoàn hảo. Nghiên cứu này sử dụng phương pháp T-ma trận để giải phương trình Dirac, mô tả hành vi của các electron trong Graphene.

1.1. Tầm quan trọng của Graphene trong công nghệ nano

Graphene được coi là vật liệu tiềm năng để thay thế Silicon trong công nghệ bán dẫn. Với cấu trúc tinh thể độc đáo, Graphene có khả năng dẫn điện cực tốt và tính linh hoạt cao. Nghiên cứu về trạng thái giả liên kết trong Graphene không chỉ giúp hiểu rõ hơn về các hiện tượng lượng tử mà còn mở ra hướng ứng dụng trong việc chế tạo các linh kiện nano. Các Quantum Dot (chấm lượng tử) dựa trên Graphene có thể trở thành nền tảng cho các thiết bị điện tử thế hệ mới.

1.2. Phương pháp nghiên cứu và mục tiêu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp T-ma trận để giải phương trình Dirac trong Graphene, tập trung vào việc tính toán các trạng thái giả liên kết. Mục tiêu chính là xác định thời gian sống và độ rộng mức năng lượng của các trạng thái này. Phương pháp này cho phép mô tả chính xác hành vi của các electron trong các hệ thống có thế năng phức tạp, đặc biệt là trong các Quantum Dot một chiều và hai chiều.

II. Cấu trúc tinh thể và tính chất điện tử của Graphene

Graphene có cấu trúc tinh thể hai chiều, bao gồm các nguyên tử Carbon sắp xếp theo mạng lục giác. Cấu trúc này tạo ra các tính chất điện tử độc đáo, đặc biệt là sự tồn tại của các điểm Dirac trong vùng Brillouin. Tại các điểm này, các electron trong Graphene được mô tả bằng phương trình Dirac, tương tự như các hạt tương đối tính không khối lượng. Nghiên cứu này sử dụng phương pháp gần đúng liên kết mạnh để tính toán cấu trúc vùng năng lượng của Graphene, từ đó làm rõ các tính chất điện tử cơ bản.

2.1. Cấu trúc mạng và vùng Brillouin

Cấu trúc mạng của Graphene bao gồm hai mạng tinh thể tam giác lồng vào nhau, tạo thành mạng lục giác. Vùng Brillouin của Graphene cũng có dạng lục giác, với hai điểm Dirac không tương đương. Các điểm này là nơi các electron có năng lượng bằng không, tạo ra các hiện tượng lượng tử đặc biệt như hiện tượng chui ngầm Klein.

2.2. Phương trình Dirac và khí điện tử hai chiều

Các electron trong Graphene được mô tả bằng phương trình Dirac, cho thấy chúng có hành vi tương tự các hạt tương đối tính. Khí điện tử hai chiều trong Graphene là khí điện tử giả tương đối tính, với các tính chất khác biệt so với các hệ điện tử hai chiều thông thường. Điều này làm cho Graphene trở thành một hệ thống lý tưởng để nghiên cứu các hiện tượng lượng tử mới.

III. Trạng thái giả liên kết và ứng dụng

Trạng thái giả liên kết là các trạng thái lượng tử có thời gian sống hữu hạn, thường xuất hiện trong các hệ thống có thế năng không đối xứng. Trong Graphene, các trạng thái này được nghiên cứu thông qua việc giải phương trình Dirac với các thế năng khác nhau. Nghiên cứu này chỉ ra rằng các trạng thái giả liên kết có thể được sử dụng để tạo ra các Quantum Dot với các tính chất điện tử đặc biệt, mở ra hướng ứng dụng trong công nghệ nano.

3.1. Hiện tượng chui ngầm Klein

Hiện tượng chui ngầm Klein là một hiện tượng lượng tử đặc biệt trong Graphene, nơi các electron có thể chui qua các rào thế cao mà không bị phản xạ. Hiện tượng này làm cho việc cầm tù các electron trong Graphene trở thành một thách thức lớn, đồng thời mở ra các ứng dụng tiềm năng trong việc chế tạo các linh kiện điện tử lượng tử.

3.2. Ứng dụng trong công nghệ nano

Các trạng thái giả liên kết trong Graphene có thể được sử dụng để thiết kế các Quantum Dot với các tính chất điện tử đặc biệt. Các linh kiện nano dựa trên Graphene có thể trở thành nền tảng cho các thiết bị điện tử thế hệ mới, với hiệu suất cao và kích thước nhỏ gọn.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Graphene, một lớp nguyên tử carbon đơn lớp với cấu trúc mạng lục giác, đã trở thành tâm điểm nghiên cứu trong lĩnh vực vật lý vật liệu nano nhờ những tính chất điện tử độc đáo và tiềm năng ứng dụng trong công nghệ nano. Từ năm 2004, khi lớp graphene đơn nguyên tử được tạo thành trên đế SiO2, các nghiên cứu đã tập trung vào việc hiểu rõ các tính chất điện tử cơ bản và các trạng thái liên kết trong vật liệu này. Vấn đề nghiên cứu chính của luận văn là khảo sát các trạng thái giả liên kết của electron Dirac trong các cấu trúc Quantum Dot graphene, đặc biệt là tính toán thời gian sống và độ rộng mức năng lượng của các trạng thái này bằng phương pháp T-ma trận. Mục tiêu cụ thể là phân tích ảnh hưởng của các tham số như xung lượng ngang, khối lượng hiệu dụng, và hình dạng bờ thế đến các trạng thái giả liên kết trong hệ một chiều. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các hệ Quantum Dot graphene với các dạng bờ thế một chiều như bờ thế vuông góc và bờ thế hình thang, trong khoảng thời gian nghiên cứu từ năm 2004 đến 2008 tại Viện Vật lý lý thuyết và Điện tử, Đại học Quốc gia Hà Nội. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp hiểu biết sâu sắc về cơ chế cầm tù electron Dirac trong graphene, góp phần phát triển các linh kiện nano dựa trên vật liệu carbon với hiệu suất và tính năng vượt trội.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai khung lý thuyết chính: mô hình liên kết mạnh (tight-binding) và phương trình Dirac hai chiều cho electron trong graphene. Mô hình liên kết mạnh được sử dụng để tính toán cấu trúc tinh thể và vùng năng lượng của graphene, trong đó mạng tinh thể graphene được mô tả là mạng tam giác gồm hai mạng con A và B xen kẽ, với hằng số mạng a ≈ 3acc (acc là độ dài liên kết Carbon-Carbon). Phương trình Dirac hai chiều được áp dụng để mô tả các giả hạt electron không khối lượng trong hệ, thể hiện tính chất giả tương đối tính đặc trưng của electron trong graphene. Các khái niệm chính bao gồm: điểm Dirac (nơi vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp xúc), trạng thái giả liên kết (quasi-bound states) với thời gian sống hữu hạn, hiện tượng chui ngầm Klein (Klein tunneling) đặc trưng cho electron Dirac, và phương pháp T-ma trận dùng để giải phương trình Dirac trong thế một chiều không đổi từng đoạn. Ngoài ra, mô hình liên kết mạnh một chiều được sử dụng để giải thích các hiện tượng cầm tù electron và sự xuất hiện của các trạng thái giả liên kết trong hệ.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chính là các phép tính lý thuyết và mô phỏng số dựa trên phương pháp T-ma trận để giải phương trình Dirac trong các thế một chiều mô phỏng Quantum Dot graphene. Cỡ mẫu nghiên cứu là các hệ một chiều với các dạng bờ thế khác nhau: bờ thế vuông góc, bờ thế hình thang với các độ dày thành nghiêng khác nhau. Phương pháp chọn mẫu là lựa chọn các dạng thế điển hình đại diện cho các cấu trúc nano graphene thực tế. Phân tích được thực hiện bằng cách tính toán ma trận truyền T(n,0) liên kết các miền thế không đổi, từ đó xác định phổ năng lượng phức của các trạng thái giả liên kết thông qua điều kiện T22(E) = 0. Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng năm 2004-2008, với các bước chính gồm: xây dựng mô hình lý thuyết, phát triển thuật toán tính toán T-ma trận, thực hiện tính toán số và phân tích kết quả, so sánh với các mô hình bán cổ điển và các nghiên cứu trước đó.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phổ năng lượng và trạng thái giả liên kết trong Quantum Dot graphene: Kết quả tính toán cho thấy phổ năng lượng của các trạng thái giả liên kết có phần thực nằm trong khoảng 80-110 meV với các trạng thái bền nhất, trong khi các trạng thái năng lượng thấp có phần ảo lớn, biểu thị thời gian sống ngắn. Điều này trái ngược với hệ electron Schrodinger cổ điển, nơi trạng thái giả liên kết bền thường có năng lượng thấp hơn.
2. Ảnh hưởng của xung lượng ngang và khối lượng hiệu dụng: Khi tăng xung lượng ngang (k_y) và khối lượng hiệu dụng electron, phần ảo của năng lượng các trạng thái giả liên kết giảm, dẫn đến thời gian sống tăng lên, cải thiện khả năng cầm tù electron.
3. Hiện tượng chui ngầm Klein và cầm tù electron: Với xung lượng ngang bằng không và khối lượng hiệu dụng bằng không, electron Dirac có xác suất chui ngầm gần như đơn vị qua mọi bờ thế, khiến việc cầm tù electron trở nên khó khăn. Tuy nhiên, sự xuất hiện của các trạng thái giả liên kết vẫn có thể xảy ra với các giá trị xung lượng ngang và khối lượng khác không.
4. Ảnh hưởng của hình dạng bờ thế: Bờ thế hình thang với thành nghiêng thoai thoải làm tăng độ dày miền cấm bán cổ điển, giảm sự chui ngầm và kéo dài thời gian sống của các trạng thái giả liên kết so với bờ thế vuông góc. Các tính toán với độ dày thành nghiêng d = 5, 50, 100 nm cho thấy sự dịch chuyển và thay đổi độ rộng mức năng lượng rõ rệt.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của các phát hiện trên bắt nguồn từ tính chất giả tương đối tính của electron trong graphene, được mô tả bằng phương trình Dirac hai chiều. Sự khác biệt về phổ năng lượng so với electron Schrodinger cổ điển được giải thích bởi hiện tượng chui ngầm Klein, trong đó electron không khối lượng có thể xuyên qua rào thế cao với xác suất gần 1 khi xung lượng ngang bằng 0. Các kết quả tính toán được minh họa qua đồ thị contour của hàm |T22(E)| trên mặt phẳng phức, cho thấy các cực tiểu tương ứng với các trạng thái giả liên kết. So sánh với các nghiên cứu trước đây cho thấy sự phù hợp về mặt định tính, đồng thời bổ sung thêm các phân tích về ảnh hưởng của hình dạng bờ thế và các tham số vật lý khác. Ý nghĩa của các kết quả này là cung cấp cơ sở lý thuyết vững chắc cho việc thiết kế các linh kiện nano dựa trên graphene, đặc biệt là các Quantum Dot với khả năng điều khiển trạng thái điện tử hiệu quả.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các cấu trúc Quantum Dot graphene với bờ thế hình thang có thành nghiêng tối ưu nhằm tăng thời gian sống của các trạng thái giả liên kết, nâng cao hiệu suất cầm tù electron. Thời gian thực hiện: 1-2 năm; chủ thể: các nhóm nghiên cứu vật liệu nano và thiết kế linh kiện.
2. Tăng cường nghiên cứu ảnh hưởng của xung lượng ngang và khối lượng hiệu dụng qua điều chỉnh kích thước và hình dạng dải nano carbon để kiểm soát phổ năng lượng và trạng thái liên kết. Thời gian: 1 năm; chủ thể: các phòng thí nghiệm vật lý lý thuyết và thực nghiệm.
3. Ứng dụng phương pháp T-ma trận kết hợp mô phỏng số cao cấp để khảo sát các hệ phức tạp hơn như Quantum Dot đa bờ thế hoặc có từ trường ngoài nhằm mở rộng hiểu biết về các trạng thái giả liên kết trong graphene. Thời gian: 2-3 năm; chủ thể: các viện nghiên cứu và trung tâm tính toán khoa học.
4. Khuyến khích hợp tác đa ngành giữa vật lý lý thuyết, vật liệu và kỹ thuật để phát triển các linh kiện nano graphene có tính năng điều khiển trạng thái điện tử chính xác, phục vụ cho công nghệ bán dẫn thế hệ mới. Thời gian: liên tục; chủ thể: các trường đại học, viện nghiên cứu và doanh nghiệp công nghệ.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nhà nghiên cứu vật lý lý thuyết và vật liệu nano: Nắm bắt các phương pháp tính toán tiên tiến và các hiện tượng vật lý đặc trưng của electron Dirac trong graphene, phục vụ cho nghiên cứu cơ bản và ứng dụng.
2. Kỹ sư phát triển linh kiện bán dẫn và nano: Áp dụng kiến thức về trạng thái giả liên kết và thiết kế bờ thế để tối ưu hóa các linh kiện nano graphene, nâng cao hiệu suất và độ ổn định.
3. Sinh viên và học viên cao học ngành vật lý và công nghệ vật liệu: Học tập các phương pháp giải tích và số trong vật lý chất rắn, đặc biệt là mô hình liên kết mạnh và phương trình Dirac trong hệ nano.
4. Các nhà quản lý và hoạch định chính sách khoa học công nghệ: Hiểu rõ tiềm năng và thách thức trong nghiên cứu graphene, từ đó định hướng đầu tư và phát triển công nghệ nano trong nước.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao electron trong graphene được mô tả bằng phương trình Dirac thay vì Schrodinger?
   Electron trong graphene có tính chất giả tương đối tính với vận tốc Fermi cao và không khối lượng nghỉ, do đó phương trình Dirac hai chiều mô tả chính xác hơn các trạng thái và phổ năng lượng gần điểm Dirac so với phương trình Schrodinger cổ điển.

2. Hiện tượng chui ngầm Klein ảnh hưởng thế nào đến khả năng cầm tù electron trong Quantum Dot graphene?
   Chui ngầm Klein làm cho electron với xung lượng ngang bằng không có xác suất xuyên qua rào thế gần như 1, khiến việc cầm tù electron trở nên khó khăn, đặc biệt là các trạng thái năng lượng thấp không bền.

3. Phương pháp T-ma trận được sử dụng như thế nào trong nghiên cứu này?
   Phương pháp T-ma trận cho phép mô tả liên hệ biên độ sóng giữa các miền thế không đổi trong hệ một chiều, từ đó xác định phổ năng lượng phức và các trạng thái giả liên kết thông qua điều kiện T22(E) = 0.

4. Ảnh hưởng của hình dạng bờ thế đến các trạng thái giả liên kết là gì?
   Bờ thế hình thang với thành nghiêng thoai thoải làm tăng độ dày miền cấm bán cổ điển, giảm sự chui ngầm và kéo dài thời gian sống của các trạng thái giả liên kết so với bờ thế vuông góc.

5. Làm thế nào để tăng thời gian sống của các trạng thái giả liên kết trong graphene?
   Tăng xung lượng ngang, khối lượng hiệu dụng electron và thiết kế bờ thế có thành nghiêng thoai thoải là các giải pháp hiệu quả để kéo dài thời gian sống, cải thiện khả năng cầm tù electron trong Quantum Dot graphene.

Kết luận

• Luận văn đã hoàn thành việc tính toán thời gian sống và độ rộng mức năng lượng của các trạng thái giả liên kết electron Dirac trong Quantum Dot graphene bằng phương pháp T-ma trận.
• Phát hiện sự khác biệt cơ bản giữa electron Dirac và electron Schrodinger trong khả năng cầm tù và phổ năng lượng các trạng thái giả liên kết.
• Xác định vai trò quan trọng của xung lượng ngang, khối lượng hiệu dụng và hình dạng bờ thế trong việc điều khiển các trạng thái giả liên kết.
• Đề xuất các giải pháp thiết kế Quantum Dot graphene tối ưu nhằm nâng cao hiệu suất cầm tù electron phục vụ công nghệ nano.
• Khuyến khích tiếp tục nghiên cứu mở rộng về các hệ phức tạp và ứng dụng thực tế trong lĩnh vực vật liệu và linh kiện nano graphene.

Triển khai các mô hình tính toán nâng cao, thực hiện thí nghiệm xác nhận các dự đoán lý thuyết, và phát triển các linh kiện graphene ứng dụng trong công nghệ nano hiện đại.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Các tính chất điện tử cơ bản của Graphene Bắt đầu từ cấu trúc mạng của Graphene ta đi vào khảo sát các tính chất của mạng thuận và mạng đảo của Graphene. Cấu trúc vùng của Graphene được tính toán với phương pháp gần đúng liên kết mạnh (tight-binding). Cuối cùng thực hiện khai triển gần đúng khối lượng hiệu dụng sẽ cho phương trình Dirac mô tả các giả hạt electron trong mạng Graphene.

Cấu trúc tinh thể Trước tiên ta bắt đầu từ việc khảo sát cấu trúc tinh thể của Graphene. Tinh thể Graphene là một mạng hai chiều các nguyên tử Carbon sắp xếp tại đỉnh các ô lục giác của mặt phẳng giống như bề mặt tổ ong. Ba trong số bốn điện tử hóa trị của Carbon hình thành ba orbital lai hóa sp 2 , thực hiện các liên kết sigma (  ) với các nguyên tử lân cận bảo đảm sự bền vững của mạng, điện tử cuối cùng thực hiện liên kết pi (  ) không định xứ (còn gọi là liên kết liên hợp pi (  )) trên toàn mạng quyết định các tính chất Hình 5. Mô hình mạng tinh thể Graphene.

điện của Graphene. Mạng tinh thể của  Graphene là mạng tam giác với các vector tịnh tiến cơ sở a1  a( 3 / 2,1 / 2 ) ,  a 2  a( 3 / 2, 1 / 2 ) với gốc mạng gồm hai nguyên tử Carbon ( A,B ) (xem Hình 5 và 6), trong đó a là hằng số mạng. Dễ dàng thấy rằng a  3acc trong đó acc là độ dài liên kết Carbon-Carbon quen thuộc trong hóa học hữu cơ. Từ các vector tịnh tiến cơ sở ta có thể xây dựng các vector mạng đảo và vùng Brillouin thứ nhất của Graphene một cách dễ dàng như chỉ ra trên Hình 7.

Vùng Brillouin thứ nhất của Graphene có dạng lục giác đối xứng với trục quay bậc 6 qua điểm . Trong sáu đỉnh của vùng Brillouin chỉ có hai đỉnh ( K , K ') là không tương đương, các đỉnh còn lại thu được bằng cách tịnh tiến các điểm này -7- Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 n Sv.Nguyễn Hải Châu Trường Đại học khoa học Tự nhiên một vector mạng đảo. Có thể tưởng tượng mạng tinh thể Graphene gồm hai mạng tinh thể tam giác giống nhau A và B lồng vào nhau. Như trong tính toán cấu trúc vùng dưới đây chỉ ra chi tiết, sự đồng nhất về cấu trúc của hai mạng thành phần dẫn đến một hệ quả quan trọng là sự suy biến của trạng thái electron trong tinh thể tại các đỉnh của vùng Brillouin.

Chính do sự suy biến đó, kết quả phép gần đúng khối lượng hiệu dụng cho thấy electron trong tinh thể Graphene được mô tả bằng phương trình Dirac. Vì vậy các điểm này còn được gọi với tên “điểm Dirac”. Cấu trúc vùng năng lượng Trên cơ sở các hiểu biết về cấu trúc tinh thể, ta tiến hành khảo sát cấu trúc vùng năng lượng (band-structure) của electron trong Graphene. Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene đã được nghiên cứu khá chi tiết bằng tính toán với gần đúng Hình 6.

Các vector tịnh Hình 7. Các vector mạng đảo và vùng Brillouin tiến cơ sở. liên kết mạnh (tight-binding) và ab-initio [5]. Ở đây ta nêu ra tính toán bằng phương pháp gần đúng liên kết mạnh và kết quả so sánh với phương pháp ab-initio trích dẫn từ [5].

Như đã nói, ba điện tử hóa trị của nguyên tử Carbon tham gia vào liên kết cộng hóa trị với lai hóa sp 2 , điện tử hóa trị thứ tư tham gia vào hình thành vùng dẫn của Graphene. Thực chất là ta sẽ thu được liên kết liên hợp pi (  ) trên toàn mạng hai chiều Graphene, electron thứ tư của tất cả các nguyên tử Carbon tạo thành lớp khí điện tử hai chiều trên mặt Graphene gây nên các tính chất điện đặc thù của Graphene. -8- Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 n Sv.Nguyễn Hải Châu Trường Đại học khoa học Tự nhiên Hàm sóng của electron trong gần đúng liên kết mạnh được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai hàm Block liên kết mạnh trên hai mạng thành phần:   C A A  CB B (1.1) Trong đó:  1       A ( k ,r )   N0 R e ik R p z ( r  RA  R )  1       B ( k ,r )   N0 R e ik R p z ( r  RB  R )  Với pz ( r ) là hàm nút nguyên tử quen thuộc trong vật lý chất rắn (thông  thường ta lấy pz ( r ) chính là Orbital pz của nguyên tử Carbon), N0 là số ô nguyên tố mà trên đó ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn Born-Von Karman. Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng của trạng thái electron là trị riêng của Hamiltonian liên kết mạnh (điều này tương ứng với việc ta coi các hàm cơ sở là trực giao, tức là bỏ qua các tích phân phủ theo tinh thần của phương pháp LCAO-trực giao): H H AB  H   AA  (1.2)  H BA H BB  Các yếu tố ma trận được tính trực tiếp theo định nghĩa:      H AA  1 / N0    ei k( R'  R ) pz A,R  pz A,R' R ,R'      H AB  1 / N0    ei k ( R'  R ) pz A,R  pz B ,R' R ,R'     Trong đó ta ký hiệu pz A / B ,R  pz ( r  R A / B  R ).

Thực hiện tính toán đối với các mạng vô hạn ( N0   ) (một cách chặt chẽ là các mạng đủ lớn sao cho số lượng các nguyên tử ở biên là không đáng kể với số lượng các nguyên tử của toàn mạng), ta lưu ý rằng trong các biểu thức trên, khi cho   một trong hai chỉ số ( R , R' ) biến đổi ta thấy tổng có tính đối xứng đối với tất cả các vị trí khác nhau trên mạng của chỉ số kia, kết quả là thừa số 1/ N 0 sẽ tự động triệt tiêu khi thực hiện lấy tổng theo một chỉ số, do đó có thể viết lại các số hạng này -9- Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 n Sv.Nguyễn Hải Châu Trường Đại học khoa học Tự nhiên dưới dạng :    H AA    eik R' pz A,0  pz A,R' R'    H AB    ei k R' pz A,0  pz B ,R' R' Khai triển hệ thức trên, giữ lại đến các phối trí cấp hai: 6    H AA  pz A,0 | H | pz A,0   ei k R p pz A,0 | H | pz A,R p (1.3) p 1     H AB  pz A,0 H pz B ,0  e  i k .4) Trong đó biểu thức của H AA gồm một số hạng cấp không và sáu số hạng cấp hai, tương ứng với năng lượng nút và số hạng tích phân phủ của sáu nguyên tử cùng loại gần nhất, biểu thức của H AB gồm ba số hạng cấp một tương ứng với ba số hạng tích phân phủ của ba nguyên tử khác loại gần nhất. Ngoài ra ta có H BB  H AA do tính đối xứng của hai mạng thành phần, và H AB  H BA* do tính liên hợp Hermite của toán tử Hamilton. Như đã nói, với phương pháp LCAO-trực giao, ta không cần tính các số hạng xen phủ của hàm sóng. Đặt:   pz A,0 | H | pz A,0    pz A,0 | H | pz A,R p     pz A,0 | H | pz B ,0  pz A,0 | H | pz B , a1  pz A,0 | H | pz A, a2 Ta có: 6   H AA  H BB      ei k R p (1.6) Hamiltonian liên kết mạnh như vậy có thể chéo hóa dễ dàng, kết quả là ta thu được hệ thức tán sắc dưới dạng: - 10 - Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 n Sv.Nguyễn Hải Châu Trường Đại học khoa học Tự nhiên    E( k )     f ( k )   3  f ( k ) (1.8) Hoặc khai triển theo các tọa độ trực giao:  3k x a kya kya f ( k )  4(cos cos  cos 2 ) 2 (1.9) 2 2 2 Ta thấy ngay  xấp xỷ bằng thế ion hóa của electron p trong nguyên tử Carbon khi ba điện tử còn lại ở trong trạng thái lai hóa sp 2.

Trong các tính toán vật lý quan tâm đến dạng của cấu trúc vùng, ta có thể lấy  làm gốc tính năng lượng do đó trong công thức trên ta đặt   0. Theo số liệu từ [4]   0. Thông thường các đóng góp của các phối trí cấp hai là nhỏ nên nói chung ta dừng lại ở các phối trí cấp một và đặt   0 , kết quả thu được hệ thức đơn giản dưới Hình 8. Cấu trúc vùng năng lượng Hình 9.

Mặt Fermi gồm các điểm rời của Graphene. rạc của Graphene. Trong công thức, dấu cộng mô tả cấu trúc vùng dẫn nằm ngay trên vùng hóa trị mô tả bởi dấu trừ. Vùng Brillouin của Graphene có dạng lục giác mô tả trên Hình 7.

Vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp xúc nhau ở sáu đỉnh của vùng Brillouin (Hình 8, 9), trong đó ta nhắc lại rằng chỉ có hai điểm K và K ' là không tương đương. Tại các điểm này (điểm Dirac) hàm sóng của electron suy biến tương ứng với hai trạng thái cơ sở trên mạng A và B. Như thấy rõ từ phương pháp gần đúng liên kết mạnh, toán tử Hamilton khi đó suy biến bội hai đối với hai hàm cơ sở. Đối với Graphene tinh khiết, vùng hóa trị hoàn toàn lấp đầy bởi các - 11 - Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 n Sv.Nguyễn Hải Châu Trường Đại học khoa học Tự nhiên điện tử đóng góp từ các nút, trong khi đó vùng dẫn hoàn toàn trống, và như vậy mặt Fermi của Graphene là tập rời rạc gồm hai điểm K và K '.

Như vậy, Graphene chính là một bán kim điểm hình. Ta lưu ý rằng khi tính đến bổ chính cấp hai như vậy, cấu trúc vùng của Graphene không còn tính đối xứng giữa vùng dẫn và vùng hóa trị qua mặt Fermi. Tuy nhiên như đã nói thông thường trong tính toán hầu hết các hiện tượng ta chỉ giữ Hình 10.