Chương 1. Các khái niệm cơ bản 1. Ký hiệu Bra-Ket Trong luận văn này, tôi sẽ sử dụng ký hiệu Bra-ket, đƣợc đƣa ra bởi Paul Dirac (do vậy còn đƣợc gọi là ký hiệu Dirac) (tham khảo chi tiết tại [20, 23] hoặc tại địa chỉ http://en.org/wiki/Dirac_notation). Ký hiệu Bra-ket là ký hiệu chuẩn đƣợc sử dụng rộng rãi trong vật lý lƣợng tử, dùng để mô tả trạng thái lƣợng tử trong lý thuyết cơ học lƣợng tử.
Trong cơ học lƣợng tử, trạng thái của một hệ vật lý đƣợc mô tả bởi một vector trong không gian Hilbert phức (sẽ nói rõ hơn ở phần sau), mỗi vector đó đƣợc gọi là ket và ký hiệu là (đọc là psi ket). Ứng với mỗi ket có một bra và ký hiệu là (đọc là psi bra) là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert phức tới không gian số phức đƣợc định nghĩa bởi | ( , ) với mọi ket . Trong đó ( , ) là tích vô hƣớng trong không gian Hilbert . Trong ngôn ngữ ma trận, bra là ma trận chuyển vị liên hợp với ket và ngƣợc lại.
Ký hiệu | đƣợc gọi là tích bra-ket (hay bracket). Tính chất của bra-ket: - Tính tuyến tính của bra và ket: với c1 và c2 là các số phức, ta có o c1 1 c2 2 c1 | 1 c2 | 2 o c c c | c | 1 1 2 2 1 1 2 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 - Cho ket 1 và 2 bất kỳ, c1 và c2 là các số phức, từ tính chất của tích vô hƣớng ta có c1 1 c2 2 là vector đối ngẫu với c1* 1 c*2 2 trong đó c1* và c2* là các số phức liên hợp với c1 và c2 - Cho bra và ket bất kỳ, từ tính chất của tích vô hƣớng trong không gian Hilbert ta có | | * 1. Nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử Trong cơ học cổ điển (hay cơ học Newton), trạng thái của một hệ n phần tử tại thời điểm t0 đƣợc xác định bởi vị trí {x1(t0), x2(t0), …, xn(t0)} và vận tốc của hệ là đạo hàm bậc nhất của các phần tử {x1’(t0), x2’(t0), …, xn’(t0)}. Nếu trạng thái khởi đầu đƣợc xác định, nhờ các định luật về cơ học cổ điển của Newton, chúng ta có thể hoàn toàn xác định (ít nhất là về mặt nguyên lý) trạng thái của hệ tại bất cứ thời điểm t nào.
Tuy nhiên, cơ học lƣợng tử hoàn toàn dựa trên một nền tảng toán học hoàn toàn khác so với cơ học cổ điển. Dƣới đây, tôi sẽ đề cập đến một số tiên đề cơ sở của cơ học lƣợng tử. Trạng thái của một hệ vật lý S được mô tả bằng một vector đơn vị |, được gọi là vector trạng thái hoặc hàm sóng, nằm trong một không gian Hilbert S gắn liền với hệ vật lý. Sự tiến triển theo thời gian của vector trạng thái | của hệ tuân theo phương trình Schrödinger trong đó H là toán tử tự liên hợp của hệ thống (còn gọi là toán tử Hamiltonian) và ħ là hằng số Planck-Dirac (hay còn gọi là hằng số Planck đơn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 giản), ħ=h/2π, với h là hằng số Planck.
Giá trị của h ≈ 6.s (J là Joule và s là giây) được xác định bằng thực nghiệm. Nhƣ ta thấy ở trên, phƣơng trình Schrödinger là phƣơng trình vi phân tuyến tính bậc nhất. Do đó ta có thể áp dụng nguyên lý siêu trạng thái (Superposition principle): Nếu |1(t) và |2(t) là nghiệm của phƣơng trình Schrödinger, khi đó siêu trạng thái |(t) = α|1(t) + β|2(t) (với α β là số phức) cũng là nghiệm của phƣơng trình. Do vậy toán tử phát triển theo thời gian của hệ sẽ là: |(t) = U (t, t0) |(t0) và U là toán tử tuyến tính.
Theo [3, 11] U sẽ là toán tử Unita. Chính vì vậy trong mô hình toán học cho cơ học lƣợng tử, chúng ta sẽ sử dụng các phép biến đổi Unita. Trạng thái của một hệ vật lý S được mô tả bằng một vector đơn vị |, được gọi là vector trạng thái hoặc hàm sóng, nằm trong một không gian Hilbert HS gắn liền với hệ vật lý. Nguyên lý bất định Heisenberg.
Cho A và B là hai toán tử Hermiltian gắn liền với các quan sát, A B là hai toán tử không giao hoán và | là hàm sóng gắn liền với trạng thái lượng tử. Khi đó bất đẳng thức sau luôn thoả mãn: | A, B | AB 2 trong đó [A,B] = AB - BA Nguyên lý Heisenberg cho ta biết rằng khi đo một trạng thái lƣợng tử theo hai đại lƣợng (như vị trí và vận tốc của hạt cơ bản), ta không thể đo chính xác đƣợc đồng thời cả hai giá trị đó. Nguyên lý Heisenberg đƣợc ứng dụng trong các hệ phân phối khoá lƣợng tử nhƣ BB84 mà chúng ta sẽ xem xét ở phần sau. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Qubit và thanh ghi lượng tử 1. Khái niệm Qubit Trƣớc hết ta xét cách quan niệm mới về bit - đơn vị thông tin cơ bản trong mô hình mới này: đó là qubit. Nhƣ ta đã biết: 1 bit cổ điển có thể biểu diễn một trong hai trạng thái: 0 hoặc 1 (ở tại một thời điểm xác định). Do đó, n bit có thể biểu diễn 2n trạng thái khác nhau.
Nhƣng theo cách quan niệm cổ điển, nếu một thanh ghi đƣợc tạo nên từ n bit cổ điển, tại một thời điểm, nó chỉ có thể biểu đúng một giá trị nguyên trong khoảng từ 0 2n 1. Theo quan niệm mới về mô hình tính toán lƣợng tử dựa trên nền tảng vật lý lƣợng tử, chúng ta thấy rằng tại một thời điểm một thanh ghi lƣợng tử có thể chứa đƣợc tổ hợp nhiều giá trị. Xét theo mô hình vật lý, qubit là một vi hạt có hai trạng thái, nó có thể là: spin hạt nhân trong phân tử, ion bị bẫy (trapped ions), …. Chúng ta quan tâm đến hai trạng thái đặc biệt đƣợc ký hiệu là 0 & 1 , đƣợc coi là hai trạng thái cơ sở tính toán.
Theo mô hình toán học, xét không gian Hilbert 2 ( là trƣờng số phức). Nó có cơ sở trực giao là (1, 0) và (0, 1), ta ký hiệu tƣơng ứng là 0 & 1. Qubit cơ sở bao gồm hai dạng 0 hoặc 1. Khi đó, một 1-qubit tổng quát biểu diễn một vector đơn vị trong không gian 2 , trong đó trạng thái 0 ứng với vector (1, 0), còn trạng thái 1 sẽ ứng với vector (0, 1) đồng thời thoả mãn điều kiện chuẩn hoá về xác suất.
Nhƣ vậy, dạng tổng quát của một 1-qubit là: 0 1 , LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 14 Đối với qubit có trạng thái tổng quát là 0 1 , chúng ta có thể tiến hành đo (sẽ nói rõ hơn ở phần sau) trạng thái của qubit. Khi đó, theo các nguyên lý của cơ học lƣợng tử thì xác suất để nhận đƣợc trạng thái 0 là α2, xác suất để nhận đƣợc trạng thái 1 là β2, do đó α, β phải thoả mãn điều kiện xác suất α2 + β2 = 1. Nhƣ vậy sử dụng 0 & 1 ta có thể biểu diễn trạng thái của một qubit, cũng giống nhƣ 0 & 1 biểu diễn trạng thái của bit cổ điển. Để đi đến khái niệm thanh ghi lƣợng tử (quantum register), ngƣời ta mở rộng không gian trạng thái bằng cách sử dụng tích tensor [6,23] của các không gian 2.
Khái niệm thanh ghi lượng tử Định nghĩa: Một thanh ghi lƣợng tử (quantum register) biểu diễn một vector trong không gian Hilbert = ( 2 ) n , đã đƣợc chuẩn hoá.1 in 2n 1 nên trạng thái tổng quát của một thanh ghi n-qubit X có dạng: n 2 1 X ci i i0 ci ; i 0,2 1 n 2n 1 2 ci 1 i0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 15 X có toạ độ trong không gian Hilbert là (c0, c1, c2, …, cn) Trạng thái lƣợng tử đƣợc biểu diễn một thanh ghi đƣợc gọi là một siêu trạng thái (Superposition). Ta cũng thấy rằng một quantum register có thể lƣu trữ đồng thời 2 n thông tin khác nhau: 0 2n 1. Tồn tại siêu trạng thái của thanh ghi có thể mô tả bởi: X i1 i2 in ; trong đó i j là qubit thứ j. Tuy nhiên cũng có những siêu trạng thái không thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng nhƣ vậy.
Ta xét hai ví dụ với thanh ghi 2-qubit có thể biểu diễn đƣợc bằng tích tensor của hai 1-qubit: Ví dụ: 1 1 1 1 X 0 2 00 10 0 1 0 q1 q 2 2 2 2 2 Nhƣ vậy, trạng thái của X đƣợc viết dƣới dạng tích của trạng thái hệ thống 1 con: q1 2 0 1 và q2 0. Với những trạng thái nhƣ thế này, các phép biến đổi Unita, các phép đo chỉ làm thay đổi trạng thái của hệ thống con mà không làm ảnh hƣởng đến các hệ thống còn lại. Ví dụ, khi tiến hành đo qubit thứ nhất đƣợc giá trị 0 hay 1 thì qubit thứ hai luôn đo đƣợc kết quả 0. Có thể so sánh với trạng thái rối lƣợng tử ở mục sau.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Phép biến đổi Unita và phép đo. Đối với tính toán lƣợng tử, có 2 loại phép biến đổi cơ bản là phép biến đổi Unita và phép biến đổi không Unita. Đối với lớp phép biến đổi không Unita chỉ có phép đo.
Các phép biến đổi Unita là các phép biến đổi không mất năng lƣợng. Do vậy các phép biến đổi Unita là các phép biến đổi khả nghịch. Về mặt toán học có thể coi là các ánh xạ trong các không gian Hilbert đẳng cấu. U:' trong đó và ’ là hai không gian Hilbert có cùng số chiều (ở đây chúng ta chỉ xét đến không gian Hilbert hữu hạn chiều, với các không gian Hilbert vô hạn chiều, sẽ có cách tiếp cận khác không đƣợc đề cập đến trong luận văn này) Còn phép đo là phép biến đổi mất năng lƣợng, do đó phép đo là phép biến đổi bất khả nghịch.