Chương 1 TONG QUAN VE VAT LIEU GRAPHENE Trinh bay nhitng kiến thức tổng quan vé graphene như giới thiệu chưng, mô tả cấu trúc mạng tỉnh thể của graphene, cầu trúc điện tử (năng lượng tà hàm sóng) của electron trong graphene hai lớp. Giới thiệu chung 1. Định nghĩa Graphene là cấu trúc gồm các nguyên tử cacbon xếp thành một lớp đơn nguyên tử trong mặt phẳng hai chiều (2D)[10] có dạng tổ ong. Graphene có thể bọc lại thành những fulleren (0D), cuộn lại thành ống, nanocacbon (1D)|9] hoặc xếp thành than chi (3D).
Graphene được phát hiện bởi Andre Geim và Kostya Ñovoselov vào năm 2004 [13].1: Graphene là cấu trúc cơ bản của các cấu trúc nanocacbon khác. Tính chat cia graphene Graphene 1a vật liệu có nhiều tính chất đặc biệt bao gồm tính chất điện và nhiệt, tính chất trong suốt quang học và độ bền cơ học [S]. Về tính chất điện, graphene là vật liệu dẫn điện và dẫn nhiệt tốt nhất hiện nay, đặc biệt khi ở dạng tỉnh khiết. Vật liệu này có thể truyền tải điện năng tốt hơn đồng gấp một triệu lần.
Sử dụng bề dày lớp, ta có độ dẫn khối là 0, 96.108 Wm—† [16] cho graphene. Giá trị này có phần cao hơn. độ dẫn cita ddng 1a 0,6. Su din nhiét ciia graphene bị chỉ phối bởi các phonon và đã được đo xấp xi 14 5000 W~'m" [16].
Đồng ở nhiệt độ phòng có độ dẫn nhiét 400 W~'m [16]. Như thé, graphene dẫn nhiệt tốt hơn đồng 10 lần [16]. Hơn thế nữa graphene hầu như trong suốt, nó hấp thụ chỉ 2,3 cường độ ánh sáng, độc lập với bước sóng trong, vùng quang học. Con số này được cho bởi pa, trong đó a là hằng số cấu trúc tỉnh tế.
Như vậy, miếng graphene lơ lửng không có màu sắc [16]. Về độ bền, graphene có sức bền 42 N/m (16]. Thép có sức bền trong ngưỡng 250 — 1200 MPa = 0,25 — 1,210? Nn? [16]. Với một màng thép giả thuyết có cùng bề dày như graphene (có thể lấy bằng 335 A = 3, 35.
Tóm lại, graphene bền hơn. thép cứng nhất hơn 100 lần [16]. Cấu trúc mạng tinh thé cia graphene Màng graphene được tạo thành từ các nguyên tử cacbon sắp xếp. theo cấu trúc lục giác trên cùng một mặt phẳng (hay còn gọi là cấu trúc tổ ong) như Hình 1.2: Cầu trúc tổ ong của graphene đơn lớp.
Cấu trúc mạng graphene là sự tổ hợp của các mạng con. Do đó cấu trúc của mạng này có thể được mô tả bằng các vectơ đơn vị của các mạng. con [7] như Hình 1.2) trong đó d là khoảng cách giữa các nguyên tử cacbon gần nhất, dz~ 1,42Ä. Cấu trúc tỉnh thể của graphene đơn lớp như Hình 1.2 bao gồm hai mạng, lục giác lồng vào nhau, mỗi nguyên tử cacbon của mạng này (kí hiệu nguyên tử màu xanh) có ba nguyên tử cacbon lân cận khác (kí hiệu nguyên tử màu đỏ)|2}.
Do vậy mỗi ô nguyên tố trong mạng thực của 11 graphene sẽ chứa hai hai loai nguyén tit cacbon (mau xanh và màu đỏ) như Hình 1. Vị trí của nguyên tử cacbon trong mạng chứa hai loại nguyên tử này được liên hệ thông qua các vectơ tương ứng Hình 1.4: Ba vectơ lân cận gần nhất.5) Bây giờ ta xét trong không gian mạng đảo Brillouin, các vectơ mạng đảo được xác định bởi điều kiện Kil; = 276,;, (1.6) lúc này ta tính được ~ on = 3ạ(: V3): (1. (18) Ngoài ra trong không gian mạng đảo, vị trí của các điểm góc K và K" của vùng Brillouin thứ nhất được xác định thông qua các vectơ Ñ và Ấ' như Hình 15. 12 Hình 1 Vùng Brillouin thứ nhất.
Hai điểm K và K' này đóng vai trò quan trọng trong tính chất điện của graphene. Các điểm này được gọi là các điểm Dirac, có vectơ tọa độ trong không gian xung lượng như sau = 2, 1 R= Fz) (1. Cấu trúc điện tử trong graphene hai lớp 1. Hamiltonian liên kết mạnh Xét graphene hai lớp gồm hai tấm phẳng graphene đặt song song với nhau được đánh số bởi chỉ số z» = 1,2 (4|.
Kí hiệu a„„; hoặc bạ„; và đạn, hoặc bộ, là toán tử hủy và sinh của spinless fermion từ mạng con A. và B tại vị trí #8; hoặc fŸ; trong tấm khối lượng m |5]. Hamiltonian liên 13 kết mạnh của hệ được biểu diễn theo công thức H= 5. mat? “ip (L1) -7 {= dùas+ 3 ajau + ^bŸbạj+ > tu} : i i 7 7 với f là năng lượng liên kết giữa hai nguyên tử gần nhất trong một lớp, + là năng lượng liên kết giữa hai nguyên tử cùng loại của hai lớp.
Hamiltonain hiệu dụng trong biểu diễn xung lượng gồm hai phần H= HỆ) + H), (1.12) trong do H) va H®) duge xay dựng từ trạng thái lượng tử có xung lượng È gần với các vectơ Ế, l”' tương ứng trong không gian mạng đảo. Biểu thức của /(Ế) thành phần thứ nhất của Halmintonian có dang HO®)< = xe (9 \+. (113) : trong đó 0 upk 0 32dkh ñ„_| Ế 0 Bak 0 0 3ydk 0 ork #ydk 0 opk* 0 k= kị +; = |k|e6), kt = ky — thy = |k|e— 96), 14 Ở đây, kị và ky là hai thành phần của vectơ thực Ê, xz(Ê) là mot ham sóng bốn thành phần (1.14) Dé thuận tiện cho việc tính toán, ta sử dụng phép biến đổi unita T thích hợp 0100 1000 T=T*= carol: (1.15) 0001 khi đó chúng ta thực hiện phép biến đổi unita T lên xg(È) ta được hàm. sóng mới Œ) ) K(k)= TX¡ ()= cŒ)9 ) (116) 15 Tuong tit, thy hién phép bién déi unita T len todn tit Hamiltonian Ax ta cũng thu duge Hamiltonian mới Hy =THxT 0100 0 vpk 0 3ydk*\ [0100 1000] | vpk* 0 3ydk* 0 1000 0010 0 3„dk 0 0pk 0010 0001) \3ydk 0 upk* 0 0001 0 øpk* 3ydk* 0 upk 0 0 3ydk* Hy=| ’ .17) Bodk 0 0 ok 0 3ydk vek* 0 Ta dat ma{° oF) pee ork 0 , 3ydk* 0 3ydk 0 nẸ- |” „ n„= |” - (118) 0 334k" 0 334k Hamiltonian được viết lại như sau HR HP Hy = kowK |.19) Hy He Ta đưa vào hàm sóng giả spinơ [LI] hai thành phần như sau #„„z (Ê) = R l ) .20) 16 trong đó m — 1,2, từ đó hàm sóng bồn thành phần trong công thức (1.16) được đưa về dưới dạng wz ()= “tu 9 (8) .21) Lúc này thành phần thứ nhất /7ứÖ của Hamiltonian được viết lại như sau £ ~ HO = Sve(B) HRY ( (1.22) mare E trong đó HỊ = uyðF, HBae = 3ydk", (1.23) HR = uro*k, HH?! = 3ydk.
Tuong ty thành phần thứ hai #Œ”) của Hamiltonian cũng có biểu thức er + - HE) = Ov, (8) mữ"9,„ (Ÿ).24) mami E trong đó Hi, = urdk, Hi2 = 3ydk*, (125) HP, = rok, HỆ) — 3xdk. Ở đây, ta nên sử dụng biểu thức Hamiltonian trong biểu diễn tọa độ, tức là bây giờ ta thay hàm sóng trong (1.21) bằng hàm sóng tương ứng theo # we= (8 ), (1.27) Bou (= Oma (7) Sau đó, biểu thức (1.22) trở thành HS) =~ [event (_:Ÿ) w„x Œ.28) mai? trong đó HỊ (-:¥) = vp -ia¥), HB (i) = 3yd(-7 HR (-i¥) = ur Hp (-i¥) = với vue ie, Tuong tự, biểu thức Œ*? có dạng HE) = S” / dF, gi) HR? (1) Ve (7), (1.29) mate trong đó Hi (-i¥) = 0r(—iø*Ÿ), H}B(-i¥) = 3›d(—iV) H(SiŸ) = ur(~iZŸ), Hy(-i¥) = 39d(-iV") 1. Hàm sóng và năng lượng của fermion Dirac trong graphene hai lớp Từ biểu thức (1.28) của thành phần thứ nhất Œ) của Hamiltonian ta có thể suy ra hệ hai phương trình khác nhau cho hai hàm sóng giả 18 spind Unk (7), m = 1,2 như sau {re 9ụg (0) Sd HT) VaR = PED soy Byd (—1V) yg (7) + ve (— iV) Wy (7) = BY,2 (7), trong đó hàm sóng 1„ (7) ứng với trạng thái lượng tử có xung lượng F có dạng Vina ( ñ) = chu (1.30) ta duge up (-ia¥) use (8) + 39d 10") egg ( `".34) Giải phương trình này ta thu được E? = (0È + 9324) |k + 6r+d || kì, (1.36) Từ đó ta thu được biểu thức năng lượng của fermion Dirac trong graphene hai lớp như sau Eys = V (0$ + 9324) |k| + (—1)7~ 66r+d |E| kì, (137) trong đó, v = 1,2. 20 Bay gid ta tiền hành tìm hàm sóng cita fermion Dirac trong grapheme hai lớp.8) Ta có ty (E), tạý ) là hàm sóng hai thành phần nên ta đặt 2 „+ (Ê " (1.
(É)(') } 'Từ hệ phương trình (1.33) ta viết lại phương trình thứ nhất như sau [E2: + tz (kĩ — kỹ) — 9324? (kĩ + kỹ) — 2iup.39) Lai có Cradys = Dysbys, (1. So sánh với (1.39) ta có Ds = 2E,svpky a LD„:| = +2|E,+| ve 1 |ki|= ikl 1 Œ; = [EŠ, + v‡ (KỆ — KỆ) ~ t2 (KỶ + Độ — => Cys = [EỀ, + u (kỉ — kŠ) — 9424? (kỹ + kệ) + 2iu#Rila]. vào phương tình trên ta được Cys = Quek (ves + (=1)" 139d || +ivpke) .42) Lấy modun bình phương của Œ„. ta được [Coa? = 40242 (v2k2 + 9324P|k + (—1)7—'66p+d|k|kị + oậkệ = 4uỆk} [e? + 9324?) |EÊ + (—1)f—ˆ6ø2d |R| hi] kT ERS.43) 2 Mặt khác Dys = 2Eyzvpky, \Caf = DBs.42) ta đặt rk + (-1)’"'3yd|k| = cos gre, uphy = sin gv, suy ra Crs = |Crale’ (1.40) ta duge I6~le*“a„x (E)= +ẩy ID„~I9„+ (F) lG~le 22+ (Ÿ) = +f |Dvel ave (F) esa, () = +‡ub+ (Ê ° z6 fib (8) (146) ete (FE (8 đục (2) =4 bya () =+ ° — d,.
(Ẽ Thay hàm sóng w„¿ = | “Ý È 4 Ì vào phương trình 12. (R) 34k" ak) uj ta duge Bydk'al, yan ays = y+Bays —— UF! vpk*by + (1.y = Ebys — vpk ays. 22 Nhân phương trình đầu với 2øz&\ và thay C7, b„: = 2E„+urpki ta được 3ydk*al,. = E,sa„> — upk bys © 6upydk* kya), = 2E,zupk, — WpK kbps = Gupydk* kai, = [Cy — [20% (ki — tke) ka] be © G6upydk" kya.
Thay C*„¿ vào ta được 6ur+dk*kia,„. = +6ør+d |E| b„+ © 460r+d|k|e “kia = +60r+d |E|b„+ ed, = te bys.48) Thực hiện các bước tương tự cho phương trình thứ hai trong hệ (1.33) ta được UL.49) suy ra n= te”.50) Nhu vay Lk eivel2 =e1,— .51) V2 \kil spe tel Tóm lại biểu thức năng lượng và hàm sóng tương ứng của graphene hai lớp thu được là ñ Bys= +|t# + 9324?) |kẺ + (—1)—'6wz+d|È| h| , 23 he & 1 piv /2 (1.53) Tính toán tương tự đối với thành phần thứ hai (2 của Hamiltonian ta cũng thu được năng lượng và hàm sóng tương ứng như sau 1 Bs = £[ (uf + 935) | + (1) 46vera [al kr]? (1.54) Mau, = € (155) Từ biểu thức năng lượng (1.37) ta vẽ được cấu trúc vùng năng lượng của graphene hai lớp như sau -x09 0 S10? “Se số Hình 1.