CHƯƠNG 1 CÁC KIÊN THỨC CƠ SỞ Trong nội dung của chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về trạng thái kết hợp, trạng thái Fock và toán tử dịch chuyển. Ngoài ra chúng tôi sẽ trình bày tiêu chuẩn đan rồi Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn đan rồi Huynchul Nha cũng như mô hình viễn tải biến liên tục để áp dụng cho việc khảo sát tính đan rồi và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(2) chan. Trạng thái kết hợp 1. Định nghĩa Trạng thái kết hợp kí hiệu |œ), là trạng thái được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển Ö„(œ) lên trạng thái chân không |0), nghĩa là lø) =8,(a) l0).
at) trong đó Ö„(œ) =exp(œ8* — œ*â) là toán tử dịch chuyển của @ véi d6 dich chuyén œ; œ = r.exp(—i0) là tham số kết hợp với r là số thực gọi là biên độ kết hợp và @ được gọi là pha két hop; @ va đ lần lượt là toán tử sinh (hủy) photon của trường điện từ. Trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn |a) = exp(aa* — ø*4) |0). Sử dụng đồng nhất thức Baker - Hausdorff với  và ổ là hai toán tử bắt kỳ ta có exp(A+8) =exp(Â)exp(8)exp(—zIÊ.2) nên ta có thể khai triển toán tử địch chuyển dưới dạng sau § Bla) =exp(a8*)exp(—œ"8)exp(— le", —ør8) (13) Theo khai triển Taylor at aty2 (œ8*)` exp(aa*) = 14+ (og ) got = De (4) va aa, (a*a)? (ata)? exp(—a*@) = 1— (15) I! 2! 3! Mặt khác toán tử sinh hạt @* va toán tử hủy hạt Z tuân theo hệ thức giao hoán tâ=1, nên 1 1 ~ 1 «xp(~g|œ8*,~øœ'ä) = exp(—gle|J8,8*]) = exp(—z|ø).6) Luu ý rằngdo cote on a2, exp(—ø°4)|0)= x —— 4" 0) = (l-a@*at sa +. Nên |ø) = P(ø) |0) q2) _ (417 = LM exp fia) 0) xi 1 oFini expat?)0), trong d6 (18) là vect trạng thái chứa n hat boson (cdn gọi là trạng thái Fock) và |0) là vectơ trạng thái chân không của hệ hạt.
Nên trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn la) =e (-Hial*)Ls È In).10) Chứng minh công thức (1. (dpem) Bây giờ ta lấy liên hợp Hermite biểu thức (1.10) thì ta được (alat = œ'* (ơ|. (11) Như vậy trạng thái kết hợp (œ|* có chứa photon không xác định và toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này. Các tính chất của trạng thái kết hợp Để hiểu rõ về trạng thái kết hợp ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của trạng thái này.
'Tính chất 1: Số hạt boson trung bình của trạng thái kết hợp |ơ) chính bằng bình phương biên độ kết hợp z nghĩa là (f) = 7°. 10 Mặt khác Glo) = ala), (œ|⟠= (œ|œ*, œ= rexp(i@). “Tính chất 2: Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái lœ) là Vn= |d|Ệ.13) Chứng minh công thức (1.14) cho thấy rằng, trong trạng thái Fock số hạt có thể đo. được một cách chính xác nhưng trong trạng thái |œ) phép đo này phải chịu mội sai số tỷ lệ với trung bình số hạt.
Với các hệ có số hạt như hệ photon trong các chùm laser, hệ exition ở mật độ cao. việc xác định chính xác số hạt là không thể làm được. Bù vào đó, theo nguyên tắc bất định, với độ bắt định tối thiểu trong trạng thái |œ), sự thăng giáng theo pha của hạt là rất nhỏ: Các hạt trong trạng thái |œ) hầu như có cùng một pha, trái ngược với sự hoàn toàn không xác định về pha của các hạt trong trạng thái Fock. Với ý nghĩa đó |œ) được gọi là trạng thái kết hợp.
“Tính chất 3: Tập hợp tắt cả các trạng thái kết hợp |œ) là một tập hợp đủ, =1 | \a)(a\a?a=1.15) That vay trong đó a = rexp (ig). Chuyén sang toa dé cuc ta được Œ = rdrdọ, suy ra ; primgiln—mp fia) (ala a= J fave LS Sar Mặt khác Qn Jen m%ao =2tồm, 0 nên [ie (a|d2a= [or yr e— Po in (a 00 = rsh wife Na 'Ta nhận thấy rằng. Hay =1 /lay(ald 2 a=1. Tính chất 4: Mặc dù các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa, nghĩa là (ơ|œ) = 1 nhưng chúng lại không trực giao với nhau.
Hệ quả của tính chất không trực giao của trạng thái kết hợp là bất kỳ một trạng thái kết hợp nào cũng có thể được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, cụ thể là [la (a\a'yaa (1. Điều này cho thấy rằng tập hợp tắt cả các trạng thái kết hợp tạo thành hệ quá đủ (overcomplete). Các trạng thái kết hợp chẵn và lẻ 'Trạng thái kết hợp chẵn và trạng thái kết hợp lẻ [6] đã được Dodonov và cộng sự đưa ra bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1973. Bắt đầu từ biểu thức của trạng.
thái kết hợp |œ) = Ôa()|0), với Ô„(œ) là toán tử dịch chuyển đã biết ở trên, ta định nghĩa trạng thái kết hợp chăn l#)„ = Ca(lg)+|~=)) = Ca [Ôa(g)+Ô¿(=ø)]|0), 0A7) và trạng thái kết hợp lẻ la),= G(|œ) — |—ø)) = Œ¡ [Ôu(ø)= B„(—ø)] l0).18) Rõ ring |q),,, !& ham chin va cr), 18 ham lẻ theo @, nghia 1a \or).19) Nếu biểu diễn theo các trạng thái Fock, ta có |e), = Calexp (-lal?/2) ©cm! con (C82) no nao V(n)! on = ¬ (120) ja), = «ifes(-Ial?/2) È = 2Cyexp (-lal?/2) } vna 2 +1).21) Ta thay rang khi biểu diễn sang trạng thái Fock thì các trạng thái kết hợp chẵn (lẻ) là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt là chẫn (lẻ). Tiền hành chuẩn hóa các trạng thái kết hợp chăn ta được a(|ø)„,=4. 4 Lầm tương tự cho trạng thái kết hợp lẻ, ta được Cy = (1/2) exp(|ø|2) /sinh(|ơ|2). Có thể dé dàng rút ra một số tính chất của các trạng thái kết hợp chăn và kết hợp.
lẻ như sau a) Các trạng thái kết hợp chin và kết hợp lẻ không trực giao với nhau nhưng các trạng thái kết hợp chăn lại trực giao với trạng thái kết hợp lẻ. That vay en | B) y= 4Con(@)Con(B) exp(—5| Fia?)exp(—416)?) 2 2 = vườn “hư Tôm <|2m> = HN pe ae" = (a*B)" 4C(0)Caa(B) exe SI") exp 518) rs ni = 4Con( or) Ca(8)exp(—søl2)ese(-5I8)) ) cosh(œ*). “Tiến hành tương tự ta được. (|), = 4GI(@)GIB)exp(~s!0|°)exp(—g|B)sinh(@'B), và ae |), =4Ca(8)G(B)exp(—zlel?)exp(—l8”) co oo Beret ae" xy Lanai van nlm > Tổng quát l(0|a),—=ỗj, bj= chị.
(122) 15 b) Các trạng thái kết hợp chăn và kết hợp lẻ có thể được chuyển đổi qua lại lẫn nhau bằng cách tác dụng toán hủy đ lên chúng. That vay on đồ, =2, =2caep(~IS — Lar La hang | 2n—1) Hoàn toàn tương tự Điều này có nghĩa là toán tử hủy â có tác dụng như là một toán tử quay giữa | đ) „ va | a). ©) Khác với các trạng thái kết hợp là hàm riêng của â, các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ là hàm riêng của á? ứng với các trị riêng œ2 Thật vậy '|0)„ = 2Caexp( ys aT @ | 2n) = 2Cy,exp ne eral(2n—1)|2n—2) 2 an? = 20°C, Vora? Oat = o|\a),,.24) 16 d) Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp chăn và kết hợp lẻ tạo thành một hệ di, nghĩa là 1 zl, = Jor). Tính chất của toán tử dịch chuyển “Tính chất 1: Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu  và Ö là hai toán tử bắt kỳ có [[â.
Chứng minh công thức (1.26): Ta sử dụng công thức trung gian là hàm của ễ sau FG) = ee (a) % — cŠÂÂcÈÊ _, clÄšBệ — ÂcEÄš8 + „EÃ,šÊ§ — ¿šÃ¿£Â _„ ,šÂg„šB ÂešÂošñ + ¿Â§e~šÂø‡Ãøšñ — ( + ešÂ8e~Š) ƒ(6)_ (b) Đặt ø(É) = ešÂ8e~šÂ (vi theo gid thiét [A,B] 4 0) ø(š)= |Â.8|š+com 0(0) = const = Š 1 Suy ra Đặt (c) vào (b), ta có 3£ tâ+|Ä. Suy ra Cho  = ơâ* và 8Ñ = —œ*4, theo do [A,B] ,â*] = |œ|?.26), suy ra Bale) = exp (-Iz/2) cxp (gâ*) exp(~ø*â) =exp (œâ* — aa) (127) = exp ([a/?/2) exp(—œ'4)exp (ø4*). Ta có thé vận dụng một trong ba dạng này của Ô„(œ) để tính toán sao cho thuận lợi nhất. “Tính chất 2: Vận dụng dạng thứ hai trong (1.28) Chứng minh công thức (1.29) Đối với hai toán tử bất kỳ và Ê ta luôn có 2 exp (—øÂ)8exp (øÂ) — 8~ ø|Â.30) Chứng minh công thức (1.30): Biến đổi về trái ta được exp (_—øÂ) 8exp (øÂ) ậ 2 _ ! + ca) + (cad) +] B [ +69; | 2 Ê(œÂ) Bad)” | (-aA) y | (-ad) Bad) , (—aA) (aA) = B+ 2 1! TT TH Tt (-ady, (_-øÂ) B(øœÂ) , (_œÂ) 8(œÂ)” nh 2 at ; , [B(a@A) (—aA).
(132) Chứng minh công thức (1.31): Ta có Bao) = exp(-4e") exp (đâ*) exp(—ø*4) Mà D¿!(œ) = D„(—ø) và từ (1.18) ta được Ô;¿!(ø) = exp (41a?) exp (a*4) exp (—aa*) Vi vay Ð~!(œ)â (œ) = exp (œ*â) exp (—œâ*) âexp (œâ*) exp(—#*â) _ (+) Sử dụng công thức (1.21), ta có với 2 toán tử bắt kỳ  và B thi exp (—aa* Thay (**) vao (*), ta có DB! (a) ab (a) = exp (a*4) (4+ œ)exp(—œ*â) = exp (0*4) âexp (—øœ*â) + œexp (œ*â)exp (—ø*4) =â+đ'|â,ãâ|+œ =4+a. (dpem) G day ta bỏ qua các số hạng bậc cao khi khai triển công thức (1. chứng minh tương tự cho (1. Các về phải của (1.32) theo thứ tự bị dịch đi một lượng bằng œ và œ* so với các về trái tương ứng.
Do vậy, toán tử Ô„(œ) được gọi là toán tử dịch chuyển.32) được dùng nhiều trong các tính toán lý thuyết.33) 20 Chứng minh công thức (1.33): “Thật vậy, ta đặt D(a) = exp (aa* —a*4) = exp (4) : D(B) = exp (Ba* — B*€) = exp (8). Ta có exp (â +8) exp(Â)exp(8)exp(—sIÂ. và exp (4+8) = exp (ad* —a*a+ Ba* — B*a) = exp [(a+B)a* — (ø* + B*)đ] =D(a+B), nên D(a)D(B) = B(a-+B) exp (34. Các tiêu chuẩn đan rối 1.
Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Tiêu chuẩn đan rồi Hillery-Zubairy đưa ra năm 2006 [ 10] là một lớp bắt đẳng thức mà sự vi phạm của chúng chỉ ra sự hiện diện của đan rối trong các hệ hai mode. Các bắt đẳng thức này phát sinh từ việc kiểm tra các hệ thức bắt định. Xét hai mode của trường điện từ là ø và ở, với â* và â tương ứng là toán tử sinh và 21 toán tử hủy của mode thứ nhất, 6+ va Ô tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy. của mode thứ hai.
Ta định nghĩa các toán tử như sau Tính phương sai của các biến và cộng chúng lại ta thu được (a£,”) + (af;) ) =2[((Ñ„+ ĐẨu) + ((Ñ,+ Du) —2 (aby), với Ñ, = +4 va Ny = b+. Bay gid, trạng thái ta đang xét là tích của mode ø trong. trạng thái này với mode ở trong trạng thái khác. Chú ý rằng bắt đẳng thức Schwarz cho ta |(@)|? < @&) và |(ô)|Ÿ<(a), với một trang thái tích ta nhận thầy (ei)<(efa) >3(8)+(®).
Xét hệ thức bắt định tuân theo ?¡ và 72, ta có (au)) ((af2)) > |(Ñu—Ñ/)|.