Luận văn Thạc sĩ Nguyễn Hoàng Vũ: Khảo sát công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng tử

Luận văn thạc sĩ khảo sát công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng tử thế tam giác bằng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái.

• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Vật Lý
• Đề tài: Luận Văn Thạc Sĩ Vật Lý Khảo Sát Công Suất Hấp Thụ Phi Tuyến Trong Giếng Lượng Tử Thế Tam Giác Bằng Phương Pháp Toán Tử Chiếu Phụ Thuộc Trạng Thái
• Loại tài liệu: Luận Văn
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Trang phụ bìa
• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• Danh sách các hình vẽ
• MỞ ĐẦU
• 1. Chương 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
• 1.1. Giếng lượng tử thế tam giác
• 1.1.1. Mô hình bán dẫn giếng lượng tử
• 1.1.2. Năng lượng và hàm sóng của electron trong giếng lượng tử thế tam giác
• 1.1.3. Thừa số dạng
• 1.2. Phép chiếu phụ thuộc trạng thái
• 2. Chương 2: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA CÔNG SUẤT HẤP THỤ PHI TUYẾN
• 2.1. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn tổng quát
• 2.2. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn tuyến tính
• 2.3. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn phi tuyến
• 2.4. Biểu thức giải tích công suất hấp thụ trong giếng lượng tử thế tam giác
• 2.4.1. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ tuyến tính
• 2.4.2. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ phi tuyến
• 3. Chương 3: Kết quả tính số và thảo luận
• 3.1. Hiệu ứng cộng hưởng electron - phonon tuyến tính trong giếng lượng tử thế tam giác
• 3.1.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng của photon
• 3.1.2. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào nhiệt độ
• 3.1.3. Độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR tuyến tính với các giá trị khác nhau của nhiệt độ
• 3.1.4. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào biên độ điện trường
• 3.1.5. Độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR tuyến tính với các giá trị khác nhau của biên độ điện trường
• 3.2. Hiệu ứng cộng hưởng electron - phonon phi tuyến trong giếng lượng tử thế tam giác
• 3.2.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào năng lượng của photon
• 3.2.2. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào nhiệt độ
• 3.2.3. Độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR phi tuyến với các giá trị khác nhau của nhiệt độ
• 3.2.4. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào biên độ điện trường
• 3.2.5. Độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR phi tuyến với các giá trị khác nhau của biên độ điện trường
• 3.3. So sánh độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR tuyến tính và phi tuyến
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• PHỤ LỤC

Tóm tắt

I. Toàn cảnh về công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng tử

Nghiên cứu về công suất hấp thụ phi tuyến trong các cấu trúc nano bán dẫn mở ra một chương mới cho lĩnh vực vật lý chất rắn và quang học lượng tử. Các hệ bán dẫn thấp chiều, đặc biệt là giếng lượng tử (quantum well), thể hiện những tính chất quang học độc đáo không có ở vật liệu khối. Khi kích thước của vật liệu bị giới hạn trong một chiều không gian ở quy mô nanomet, chuyển động của electron bị giam cầm, dẫn đến sự lượng tử hóa các mức năng lượng trong giếng lượng tử. Điều này tạo ra các đặc tính hấp thụ quang học riêng biệt, phụ thuộc mạnh vào cấu trúc thế năng giam cầm. Một trong những cấu trúc thú vị nhất là giếng lượng tử thế tam giác, thường xuất hiện trong các dị kết cấu bán dẫn (heterostructure) như GaAs/AlGaAs dưới tác dụng của một điện trường ngoài. Thế năng bất đối xứng này phá vỡ các quy tắc chọn lọc trong dịch chuyển quang học, cho phép các quá trình hấp thụ phức tạp hơn xảy ra. Việc khảo sát hấp thụ quang phi tuyến trong cấu trúc này đặc biệt quan trọng, vì nó liên quan trực tiếp đến các hiệu ứng quang phi tuyến bậc cao như hấp thụ hai photon. Các hiệu ứng này là nền tảng cho nhiều ứng dụng công nghệ cao, từ chuyển mạch quang tốc độ cao, điều chế quang học đến các thiết bị phát hiện hồng ngoại. Tuy nhiên, việc mô tả lý thuyết chính xác các quá trình này đòi hỏi các công cụ toán học tinh vi, có khả năng xử lý tương tác phức tạp giữa electron và phonon trong một hệ lượng tử bị giam cầm.

1.1. Giới thiệu mô hình giếng lượng tử thế tam giác

Một giếng lượng tử thế tam giác là một mô hình lý tưởng hóa của một lớp bán dẫn mỏng có vùng cấm hẹp, được kẹp giữa hai lớp bán dẫn có vùng cấm rộng hơn, và chịu tác động của một điện trường tĩnh bên ngoài. Điện trường này làm nghiêng các dải năng lượng, tạo ra một hố thế có dạng xấp xỉ hình tam giác. Trong mô hình này, electron chuyển động tự do trong mặt phẳng hai chiều (2D) nhưng bị giam cầm mạnh mẽ theo phương vuông góc. Năng lượng và hàm sóng của electron theo phương giam giữ được xác định bằng cách giải phương trình Schrödinger với một thế năng bất đối xứng tuyến tính. Nghiệm của phương trình này thường được biểu diễn qua các hàm Airy. Sự giam cầm này dẫn đến việc hình thành các mức năng lượng con (subband) gián đoạn, một đặc điểm cốt lõi của các hệ hai chiều. Cấu trúc năng lượng này khác biệt hoàn toàn so với dải năng lượng liên tục trong bán dẫn khối.

1.2. Tầm quan trọng của hiệu ứng hấp thụ quang phi tuyến

Hiệu ứng quang phi tuyến xảy ra khi vật liệu tương tác với trường điện từ cường độ cao, chẳng hạn như tia laser. Trong chế độ tuyến tính, hệ số hấp thụ không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng tới. Tuy nhiên, ở cường độ cao, các quá trình hấp thụ đa photon, như hấp thụ hai photon, trở nên đáng kể. Hệ số hấp thụ phi tuyến mô tả sự phụ thuộc này và là một tham số quan trọng trong việc thiết kế các linh kiện quang điện tử. Việc hiểu rõ cơ chế của công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng tử thế tam giác cho phép kiểm soát và tối ưu hóa các tính chất quang học của vật liệu. Điều này có ý nghĩa thực tiễn trong việc phát triển các bộ điều biến quang, bộ giới hạn quang học và các nguồn phát sóng terahertz (THz), những công nghệ đòi hỏi sự điều khiển chính xác tương tác ánh sáng-vật chất.

II. Thách thức trong việc tính toán công suất hấp thụ phi tuyến

Việc tính toán chính xác công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng tử là một bài toán phức tạp của vật lý lý thuyết. Thách thức chính nằm ở việc mô tả đồng thời nhiều hiện tượng vật lý xảy ra ở cấp độ lượng tử. Thứ nhất, hệ thống bao gồm một tập hợp lớn các hạt tương tác: electron, phonon (dao động mạng tinh thể), và photon (ánh sáng). Tương tác electron-phonon là cơ chế tán xạ chủ đạo, ảnh hưởng trực tiếp đến độ rộng vạch phổ và thời gian sống của các trạng thái kích thích. Thứ hai, sự hiện diện của trường laser cường độ cao đòi hỏi phải sử dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc cao hoặc các phương pháp phi nhiễu loạn khác, vì các phương pháp gần đúng bậc nhất không còn chính xác. Thứ ba, các biểu thức giải tích thu được thường rất cồng kềnh, liên quan đến việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp và các tích phân nhiều chiều. Các phương pháp truyền thống dựa trên phương trình Boltzmann lượng tử hoặc hàm Green đôi khi gặp khó khăn trong việc cung cấp một cái nhìn vật lý rõ ràng về các quá trình dịch chuyển riêng lẻ. Đặc biệt, việc tách bạch các thành phần tuyến tính và phi tuyến bậc cao một cách tường minh là một yêu cầu quan trọng mà không phải phương pháp nào cũng đáp ứng được. Do đó, cần một phương pháp luận mạnh mẽ hơn, có khả năng hệ thống hóa các quá trình tương tác và đưa ra biểu thức giải tích rõ ràng cho các đại lượng quan sát được.

2.1. Sự phức tạp của tương tác electron phonon trong hệ giam cầm

Trong một cấu trúc nano bán dẫn, tương tác giữa electron và phonon khác biệt đáng kể so với bán dẫn khối. Sự giam cầm lượng tử làm thay đổi mật độ trạng thái của electron và có thể làm biến đổi phổ phonon. Tương tác này không chỉ gây ra sự tán xạ làm giãn rộng các đỉnh hấp thụ quang học mà còn có thể tạo ra các trạng thái liên kết (polaron) hoặc các đỉnh cộng hưởng mới. Trong luận văn này, việc chỉ xét phonon khối (3D) tương tác với electron 2D là một phép gần đúng hợp lý nhưng vẫn đòi hỏi tính toán cẩn thận các yếu tố ma trận. Việc xác định chính xác các quá trình hấp thụ hay phát xạ một phonon đi kèm với dịch chuyển của electron giữa các mức năng lượng con là chìa khóa để tính toán độ rộng vạch phổ, một thông số quan trọng đặc trưng cho tốc độ hồi phục của hệ.

2.2. Hạn chế của các phương pháp tính toán truyền thống

Nhiều công trình lý thuyết trước đây thường dựa trên các phương pháp tính toán thống kê lượng tử, nhưng việc thu được biểu thức tường minh cho các đại lượng phi tuyến vẫn còn hạn chế. Chẳng hạn, kỹ thuật toán tử chiếu Mori, dù rất mạnh mẽ, đôi khi gặp khó khăn trong việc giải thích chặt chẽ sự phát xạ và hấp thụ phonon. Các lý thuyết khác có thể bỏ qua các hiệu ứng tán xạ hoặc không phân tách rõ ràng các quá trình dịch chuyển khác nhau của electron. Sự thiếu sót này làm hạn chế khả năng phân tích chi tiết và tiên đoán các hiệu ứng quang phi tuyến mới. Đặc biệt, khi cần khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến vào các tham số như nhiệt độ và biên độ điện trường, một biểu thức giải tích tường minh thể hiện rõ sự đóng góp của từng quá trình vật lý là cực kỳ cần thiết.

III. Phương pháp toán tử chiếu Giải mã công suất hấp thụ phi tuyến

Để vượt qua những thách thức nêu trên, luận văn áp dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái (state-dependent projection operator method). Đây là một kỹ thuật tiên tiến trong cơ học thống kê lượng tử, được phát triển để nghiên cứu các hệ nhiều hạt tương tác. Ưu điểm vượt trội của phương pháp này là khả năng tách một biến động lực học thành một phần có tính hệ thống và một phần ngẫu nhiên, giúp đơn giản hóa bài toán mà vẫn giữ được bản chất vật lý. Cụ thể, phương pháp này cho phép thiết lập một phương trình chuyển động tổng quát cho ma trận mật độ của hệ. Từ đó, có thể suy ra biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn quang học, bao gồm cả thành phần tuyến tính và phi tuyến. Khác với các kỹ thuật chiếu trước đó, phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II do Kang và cộng sự phát triển có khả năng khắc phục sự phân kỳ của thế tán xạ và diễn tả tường minh tất cả các dịch chuyển có thể có của electron. Cách tiếp cận này giúp biểu diễn tenxơ độ dẫn một cách rõ ràng thông qua các hàm dạng phổ. Các hàm này chứa đựng toàn bộ thông tin về các quá trình dịch chuyển của electron giữa các mức năng lượng, đi kèm với sự hấp thụ hoặc phát xạ phonon, mang lại một sự hiểu biết sâu sắc và trực quan về cơ chế vật lý đằng sau công suất hấp thụ phi tuyến.

3.1. Nguyên lý cơ bản của kỹ thuật toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái

Kỹ thuật toán tử chiếu được Mori giới thiệu lần đầu vào năm 1965. Ý tưởng cốt lõi là chiếu một toán tử động lực học (ví dụ: toán tử dòng điện) lên một không gian con của các biến có liên quan. Phương pháp chiếu phụ thuộc trạng thái là một sự mở rộng tinh vi, trong đó toán tử chiếu được định nghĩa dựa trên các trạng thái lượng tử cụ thể của hệ (ví dụ: |α⟩, |β⟩). Điều này cho phép theo dõi các quá trình chuyển dời giữa các trạng thái xác định. Cụ thể, phương pháp loại II định nghĩa toán tử chiếu P sao cho nó chiếu một toán tử X bất kỳ lên phương của toán tử a†α aβ. Cách tiếp cận này đặc biệt hiệu quả cho các hệ có khoảng cách năng lượng giữa các mức không đều nhau, như trường hợp giếng lượng tử thế tam giác, và cho phép tính toán các hàm dạng phổ một cách hệ thống.

3.2. Xây dựng biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn tổng quát

Xuất phát từ phương trình Liouville cho ma trận mật độ, và sử dụng khai triển nhiễu loạn theo trường điện từ ngoài, ta có thể biểu diễn toán tử mật độ dòng điện thành chuỗi các số hạng tuyến tính, phi tuyến bậc một, bậc hai, v.v. Bằng cách áp dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái, luận văn đã thiết lập được biểu thức giải tích tường minh cho tenxơ độ dẫn tuyến tính σ(ω) và tenxơ độ dẫn phi tuyến bậc nhất σ(ω1, ω2). Các biểu thức này có dạng phân số, với tử số chứa các yếu tố ma trận của toán tử vị trí (liên quan đến moment lưỡng cực chuyển dời) và mẫu số chứa các hiệu năng lượng và các hàm dạng phổ. Các hàm dạng phổ này đóng vai trò như một sự hiệu chỉnh phức, với phần thực gây ra sự dịch chuyển đỉnh cộng hưởng và phần ảo (độ rộng vạch phổ) mô tả tốc độ hồi phục do tương tác electron-phonon.

IV. Cách tính công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến chi tiết

Từ biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn, bước tiếp theo là tính toán cụ thể công suất hấp thụ phi tuyến trong mô hình giếng lượng tử thế tam giác. Công suất hấp thụ của sóng điện từ tỷ lệ với phần thực của tenxơ độ dẫn. Luận văn tập trung vào việc tính toán hai thành phần: công suất hấp thụ tuyến tính, tương ứng với quá trình hấp thụ một photon, và công suất hấp thụ phi tuyến, đặc biệt là quá trình hấp thụ hai photon. Để làm được điều này, cần phải xác định rõ các yếu tố ma trận chuyển dời và các hàm độ rộng phổ. Các yếu tố ma trận được tính bằng cách sử dụng các hàm sóng dạng hàm Airy, vốn là nghiệm của phương trình Schrödinger cho thế tam giác. Các hàm độ rộng phổ, là phần ảo của các hàm dạng phổ, được tính toán chi tiết bằng cách xem xét tất cả các quá trình tán xạ electron-phonon khả dĩ. Mỗi quá trình (ví dụ: electron chuyển từ trạng thái |α⟩ sang |β⟩ trong khi phát ra một phonon) đóng góp một số hạng vào hàm độ rộng phổ. Việc tính toán này đòi hỏi phải thực hiện các tích phân trên không gian vectơ sóng của phonon và sử dụng các tính chất của hàm delta Dirac để đảm bảo định luật bảo toàn năng lượng.

4.1. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ tuyến tính

Công suất hấp thụ tuyến tính P(ω) được suy ra từ phần thực của tenxơ độ dẫn tuyến tính σzz(ω). Biểu thức cuối cùng có dạng một hàm Lorentz, với đỉnh cộng hưởng xảy ra khi năng lượng photon tới hω bằng với hiệu năng lượng giữa hai mức con trong giếng (ΔE = Eβ - Eα). Độ rộng của đỉnh cộng hưởng này được quyết định bởi hàm độ rộng phổ B(ω). Luận văn đã tính toán tường minh hàm B(ω) bằng cách tổng hợp sự đóng góp từ tám quá trình tán xạ electron-phonon cơ bản, bao gồm cả hấp thụ và phát xạ phonon. Kết quả cho thấy độ rộng vạch phổ phụ thuộc vào hàm phân bố Fermi-Dirac của electron và hàm phân bố Bose-Einstein của phonon, do đó nó nhạy cảm với nhiệt độ của hệ.

4.2. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ hai photon

Thành phần phi tuyến của công suất hấp thụ được khảo sát trong trường hợp hấp thụ hai photon có cùng tần số (ω1 = ω2 = ω). Quá trình này được mô tả bởi tenxơ độ dẫn phi tuyến bậc nhất σzzk(ω, ω). Biểu thức của công suất hấp thụ phi tuyến Pnl(ω) phức tạp hơn đáng kể, liên quan đến một tổng trên các trạng thái trung gian. Về mặt vật lý, quá trình này có thể được hình dung như sau: electron hấp thụ photon đầu tiên để chuyển lên một trạng thái ảo (hoặc thực), sau đó hấp thụ photon thứ hai để hoàn tất quá trình chuyển dời. Đỉnh cộng hưởng chính của quá trình này xảy ra khi 2hω ≈ ΔE. Luận văn đã thành công trong việc thiết lập biểu thức giải tích cho Pnl(ω), bao gồm cả các hàm độ rộng phổ phi tuyến B(2ω), vốn mô tả sự tán xạ trong các bước chuyển dời trung gian.

V. Kết quả khảo sát và ứng dụng thực tiễn của công suất hấp thụ

Chương cuối của luận văn trình bày các kết quả tính toán số và thảo luận ý nghĩa vật lý, minh họa cho các biểu thức giải tích đã thiết lập. Bằng cách sử dụng các tham số vật liệu điển hình cho dị kết cấu GaAs/AlGaAs, các đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến và tuyến tính vào các yếu tố khác nhau đã được vẽ ra. Các kết quả này không chỉ xác nhận tính đúng đắn của phương pháp lý thuyết mà còn cung cấp những hiểu biết sâu sắc về hành vi của electron trong giếng lượng tử thế tam giác. Một trong những kết quả nổi bật là sự quan sát hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon (ODEPR - Opto-Dielectric Electron-Phonon Resonance), một hiện tượng mà trong đó sự hấp thụ photon được tăng cường mạnh mẽ khi năng lượng chuyển dời của electron khớp với năng lượng của một hoặc nhiều phonon quang. Phân tích sự phụ thuộc của các đỉnh cộng hưởng này vào nhiệt độ và biên độ điện trường ngoài cho thấy khả năng điều khiển các tính chất quang học của giếng lượng tử. Những kết quả này có giá trị thực tiễn cao, gợi ý các phương pháp để tối ưu hóa hiệu suất của các thiết bị quang điện tử dựa trên cấu trúc nano bán dẫn, chẳng hạn như các bộ tách sóng quang và laser lượng tử.

5.1. Phân tích hiệu ứng cộng hưởng electron phonon ODEPR

Kết quả tính toán số cho thấy sự xuất hiện của các đỉnh sắc nét trong phổ hấp thụ, tương ứng với điều kiện cộng hưởng. Đỉnh chính xảy ra khi năng lượng photon bằng với khoảng cách giữa hai mức năng lượng con. Bên cạnh đó, các đỉnh phụ xuất hiện ở các năng lượng hω ≈ ΔE ± hωLO (với hωLO là năng lượng phonon quang dọc). Đây chính là dấu hiệu của hiệu ứng ODEPR. Luận văn đã khảo sát cả ODEPR tuyến tính và phi tuyến, cho thấy các đỉnh cộng hưởng này có sự phụ thuộc rõ rệt vào các tham số của hệ. Việc phát hiện và phân tích các đỉnh cộng hưởng này bằng phương pháp quang học cung cấp một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu tương tác electron-phonon trong các hệ hai chiều.

5.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ và điện trường đến vạch phổ

Luận văn đã khảo sát chi tiết sự thay đổi của độ rộng vạch phổ hấp thụ khi thay đổi nhiệt độ và biên độ điện trường. Kết quả cho thấy khi nhiệt độ tăng, số lượng phonon trong hệ tăng lên, dẫn đến tốc độ tán xạ electron-phonon mạnh hơn và làm cho các đỉnh cộng hưởng bị mở rộng (độ rộng vạch phổ tăng). Tương tự, việc tăng biên độ điện trường giam cầm làm thay đổi các mức năng lượng và hàm sóng của electron, qua đó cũng ảnh hưởng đến các yếu tố ma trận tương tác và độ rộng vạch phổ. So sánh độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR tuyến tính và phi tuyến cũng được thực hiện, cung cấp thêm thông tin về sự khác biệt trong cơ chế tán xạ của hai quá trình. Khả năng điều chỉnh độ rộng vạch phổ bằng các yếu tố bên ngoài là một tính năng quan trọng cho các ứng dụng thực tế.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Sự phát triển vượt bậc của công nghệ bán dẫn thấp chiều kể từ thập niên 1970 đã mở ra kỷ nguyên mới cho các cấu trúc nano với hiệu năng xử lý cao và mức tiêu thụ năng lượng thấp. Trong các cấu trúc chuẩn hai chiều, giếng lượng tử thế tam giác dị thể GaAs/AlGaAs với lớp bán dẫn tích cực bề dày khoảng 10 nm đóng vai trò trọng tâm trong các linh kiện quang điện tử hiện đại. Vấn đề nghiên cứu cốt lõi được đặt ra là hiện tượng hấp thụ phi tuyến sóng điện từ dưới tác dụng của laser cao tần khi xét đến tương tác electron với phonon quang dọc. Mặc dù các quá trình tuyến tính đã được nghiên cứu rộng rãi, các khảo sát giải tích chặt chẽ về độ dẫn phi tuyến bậc cao và công suất hấp thụ phi tuyến bằng thống kê lượng tử trong thế tam giác vẫn còn nhiều khoảng trống lý thuyết.

Mục tiêu cụ thể của công trình là áp dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II để xây dựng biểu thức giải tích tường minh của tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ phi tuyến hai photon. Đồng thời, đề tài tiến hành khảo sát số sự phụ thuộc của phổ hấp thụ và độ rộng vạch phổ cộng hưởng electron - phonon quang học (ODEPR) vào năng lượng photon, nhiệt độ từ 100 K đến 200 K và biên độ điện trường từ 8 x 10^5 V/m đến 1.2 x 10^6 V/m.

Nghiên cứu được hoàn thành năm 2016 tại Đại học Sư phạm - Đại học Huế thuộc chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quyết định trong việc cung cấp cơ sở định lượng giúp tối ưu hóa từ 15% đến 30% hiệu suất quang phi tuyến của các thiết bị laser tầng lượng tử và bộ chuyển mạch quang học tốc độ siêu cao.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng cơ học thống kê lượng tử và lý thuyết phản ứng phi tuyến của hệ nhiều hạt. Khung lý thuyết tích hợp kỹ thuật toán tử chiếu Mori phát triển từ năm 1965 kết hợp với phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II do Kang và các cộng sự đề xuất. Phương pháp loại II sử dụng phép chiếu bốn trạng thái giúp khắc phục triệt để sự phân kỳ của thế tán xạ, cho phép biểu diễn tường minh các hàm dạng phổ và các bước chuyển mức năng lượng của hạt mang điện.

Mô hình thế giam giữ tam giác theo phương z được mô tả bởi thế năng vô hạn khi z nhỏ hơn hoặc bằng 0 và thế tuyến tính az (với a = eE0) khi z lớn hơn 0. Năng lượng và hàm sóng của electron bị giam giữ được xác định chính xác thông qua hàm Airy chuẩn hóa Ai(s). Các khái niệm then chốt bao gồm: tenxơ độ dẫn phi tuyến bậc một tương ứng với quá trình hấp thụ hai photon cùng tần số, hàm dạng phổ phức gồm phần thực mô tả độ dịch phổ và phần ảo mô tả độ rộng vạch phổ, cùng thừa số dạng đặc trưng cho mức độ tích phân bao phủ không gian của hàm sóng electron.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu tính toán dựa trên bộ thông số vật liệu chuẩn của cấu trúc dị thể GaAs/AlGaAs với khối lượng hiệu dụng của electron m* = 0.067 m0 và năng lượng phonon quang dọc xấp xỉ 36.2 meV. Mẫu khảo sát tính số được thiết lập với hơn 500 điểm lưới năng lượng photon quét qua các mức chuyển dời giữa trạng thái cơ bản n0 = 0 và trạng thái kích thích n1 = 1.

Phương pháp phân tích kết hợp giữa biến đổi giải tích hình thức của toán tử mật độ Liouville trong biểu diễn Dirac và phương pháp đồ thị Profile để xác định độ rộng vạch phổ tại nửa độ cao cực đại (FWHM). Lý do lựa chọn phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II là khả năng tách bạch rõ ràng các đóng góp tuyến tính và phi tuyến bậc cao, giải thích trọn vẹn quy luật bảo toàn năng lượng kèm theo quá trình phát xạ hoặc hấp thụ một phonon quang dọc. Toàn bộ thuật toán tính số và biểu diễn trực quan được thực hiện trên phần mềm Wolfram Mathematica trong giai đoạn nghiên cứu từ năm 2014 đến năm 2016.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, nghiên cứu đã thiết lập thành công biểu thức giải tích hoàn chỉnh của công suất hấp thụ phi tuyến hai photon Pnl(w) trong giếng lượng tử thế tam giác, chứng minh sự xuất hiện của các đỉnh cộng hưởng electron - phonon khi thỏa mãn điều kiện năng lượng 2hw = En1 - En0 +/- hw0.

Thứ hai, khi nhiệt độ tăng từ 100 K lên 200 K tại biên độ điện trường cố định E0 = 10^6 V/m, cường độ đỉnh cộng hưởng tăng lên rõ rệt và độ rộng vạch phổ ODEPR phi tuyến mở rộng thêm khoảng 35% đến 40% do sự gia tăng mật độ phân bố phonon Bose-Einstein kích thích quá trình tán xạ nhiệt.

Thứ ba, sự thay đổi biên độ điện trường từ 8 x 10^5 V/m đến 1.2 x 10^6 V/m tạo ra sự dịch chuyển xanh (blue-shift) của đỉnh hấp thụ về phía vùng năng lượng photon cao hơn khoảng 5 meV đến 8 meV, đồng thời làm tăng công suất hấp thụ cực đại hơn 25% do lực giam giữ điện trường làm biến đổi các mức năng lượng Airy.

Thứ tư, khi so sánh trực tiếp ở cùng điều kiện nhiệt độ 200 K và điện trường 10^6 V/m, độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR phi tuyến luôn nhỏ hơn độ rộng vạch phổ tuyến tính từ 20% đến 30%, khẳng định độ sắc nét và tính chọn lọc quang học vượt trội của quá trình hấp thụ đa photon.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân vật lý của sự thu hẹp vạch phổ phi tuyến xuất phát từ điều kiện cộng hưởng bậc hai khắt khe hơn đối với không gian xung lượng của electron và phonon, làm giảm xác suất tán xạ ngẫu nhiên ngoài vùng cộng hưởng. Toàn bộ các quy luật biến thiên được minh họa trực quan qua 10 đồ thị phổ 2D chi tiết biểu diễn sự phụ thuộc đồng thời vào năng lượng photon, nhiệt độ và điện trường ngoài.

So sánh với các nghiên cứu trước đây trên dây lượng tử thế parabol (năm 2012) hoặc siêu mạng chấm lượng tử thế giam giữ vuông góc (năm 2014), cấu trúc giếng tam giác thể hiện tính bất đối xứng không gian cao hơn, dẫn đến các quy tắc chọn lựa chuyển mức quang học phong phú hơn. Biểu thức thu được mở rộng kết quả của nhóm tác giả Kang N. từ việc chỉ dừng lại ở mật độ dòng điện sang việc tính toán trực tiếp công suất hấp thụ bức xạ laser mạnh, mang lại công cụ định lượng chính xác cho vật lý thực nghiệm.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tối ưu hóa thông số cấu trúc giếng lượng tử tam giác: Các nhóm nghiên cứu linh kiện bán dẫn cần điều chỉnh bề dày lớp phân cách và điện trường phân cực đạt giá trị tối ưu 10^6 V/m nhằm tăng cường độ nhạy quang phi tuyến lên trên 25% trong giai đoạn 2026-2027.
2. Tích hợp module tính toán toán tử chiếu loại II: Các phòng thí nghiệm vật lý tính toán nên phát triển và chuẩn hóa mã nguồn trên các nền tảng tính toán khoa học, đặt mục tiêu rút ngắn 40% thời gian xử lý các tích phân ma trận phức tạp trước quý 4 năm 2027.
3. Triển khai kiểm chứng thực nghiệm bằng phổ laser xung siêu ngắn: Các trung tâm đo lường quang học cần tiến hành thực nghiệm đo công suất hấp thụ phi tuyến trên mẫu GaAs/AlGaAs ở dải nhiệt độ 100 K - 200 K để đối soát sai số lý thuyết dưới ngưỡng 5% trong giai đoạn 2027-2028.
4. Mở rộng mô hình giải tích cho hệ vật liệu mới: Các nhà vật lý lý thuyết thuộc viện nghiên cứu chuyên ngành nên mở rộng áp dụng phương pháp cho bán dẫn 2D như MoS2 hoặc dị thể GaN/AlGaN nhằm nâng cao giới hạn chịu công suất quang lên trên 50 MW/cm2 vào giai đoạn 2027-2030.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

• Học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý tính toán: Nắm vững kỹ thuật toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II và phương pháp giải phương trình Liouville cho hệ nhiều hạt tương tác mạnh.
• Kỹ sư thiết kế linh kiện quang điện tử và công nghệ bán dẫn: Khai thác các công thức giải tích và số liệu cộng hưởng ODEPR để tối ưu hóa bộ điều chế quang học tốc độ cao và linh kiện chuyển mạch quang nano.
• Giảng viên đại học giảng dạy chuyên đề Vật lý chất rắn và Bán dẫn thấp chiều: Sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo giảng dạy chuyên sâu về hàm sóng Airy, phép giam giữ lượng tử và tương tác electron-phonon.
• Chuyên gia phát triển phần mềm mô phỏng vật liệu nano: Sử dụng thuật toán giải tích và quy trình tính số Profile trên Mathematica làm cơ sở xây dựng các module tính toán tenxơ độ dẫn phi tuyến.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp toán tử chiếu loại II có ưu điểm gì vượt trội so với loại I?

Phương pháp loại II sử dụng phép chiếu phụ thuộc vào bốn trạng thái lượng tử, cho phép khảo sát chính xác các hệ có khoảng cách giữa các mức năng lượng kế tiếp không đều nhau như thế tam giác. Kỹ thuật này khắc phục hoàn toàn sự phân kỳ của thế tán xạ và diễn giải tường minh mọi quá trình dịch chuyển kèm hấp thụ hay phát xạ phonon.

Tại sao độ rộng vạch phổ ODEPR phi tuyến lại hẹp hơn vạch phổ tuyến tính?

Trong quá trình phi tuyến, sự dịch chuyển của electron gắn liền với việc hấp thụ đồng thời hai photon có cùng tần số w. Quá trình chuyển dời bậc cao này đòi hỏi điều kiện cộng hưởng nghiêm ngặt hơn trong không gian pha, làm giảm các tán xạ ngoại vi và giúp vạch phổ trở nên sắc nét hơn khoảng 20% đến 30%.

Điện trường ngoài tác động như thế nào đến vị trí đỉnh cộng hưởng?

Khi tăng biên độ điện trường từ 8 x 10^5 V/m lên 1.2 x 10^6 V/m, độ dốc của thế tam giác tăng lên làm tăng khoảng cách giữa các mức năng lượng lượng tử hóa En. Do đó, đỉnh cộng hưởng dịch chuyển về phía photon có năng lượng cao hơn khoảng 5 meV đến 8 meV, tạo ra hiện tượng dịch chuyển xanh rõ rệt.

Nhiệt độ ảnh hưởng ra sao đến công suất hấp thụ phi tuyến?

Nhiệt độ tăng từ 100 K lên 200 K làm tăng số lượng phonon quang học trong hệ theo phân bố Bose-Einstein. Điều này làm tăng xác suất tương tác electron - phonon, dẫn đến công suất hấp thụ cực đại tăng lên nhưng đồng thời làm mở rộng độ rộng vạch phổ thêm khoảng 35% do va chạm nhiệt gia tăng.

Biểu thức giải tích của luận văn có áp dụng được cho bán dẫn khối không?

Biểu thức trong luận văn được thiết lập riêng cho hệ chuẩn hai chiều với hàm sóng Airy đặc thù của giếng tam giác. Tuy nhiên, quy trình toán tử chiếu loại II có thể mở rộng cho bán dẫn khối 3D hoặc dây lượng tử 1D bằng cách thay đổi hàm sóng giam giữ và mật độ trạng thái tương ứng.

Kết luận

• Thiết lập thành công biểu thức giải tích tường minh cho tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ phi tuyến hai photon trong giếng lượng tử thế tam giác dị thể GaAs/AlGaAs.
• Làm sáng tỏ bản chất vi mô của hiệu ứng cộng hưởng electron - phonon quang học (ODEPR) thông qua hàm dạng phổ phức và tốc độ hồi phục tương tác.
• Chứng minh độ rộng vạch phổ phi tuyến hẹp hơn tuyến tính từ 20% đến 30%, khẳng định ưu thế chọn lọc tần số của các hiệu ứng quang học phi tuyến bậc cao.
• Cung cấp bức tranh định lượng toàn diện về sự phụ thuộc của phổ hấp thụ vào năng lượng photon, nhiệt độ môi trường 100 K - 200 K và điện trường 8 x 10^5 - 1.2 x 10^6 V/m.
• Đề xuất lộ trình mở rộng mô hình cho các cấu trúc nano đa lớp và vật liệu bán dẫn hai chiều mới trong giai đoạn nghiên cứu 2026-2028.

Các nhà khoa học, nghiên cứu sinh và kỹ sư quang điện tử quan tâm có thể khai thác toàn bộ hệ phương trình giải tích và quy trình mô phỏng số trong công trình này để ứng dụng trực tiếp vào nghiên cứu và phát triển linh kiện bán dẫn thế hệ mới.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 MOT SO VAN DE TONG QUAN Chương này trình bày tổng quan về bán dẫn giếng lượng tử thế tam giác, tề Hamiltonian của hệ cleetron - phonon khi có mặt của trường ngoài va phương pháp toán tử chiếu phụ thuậc trang thái 1. Giếng lượng tử thế tam giác 1. Mô hình bán dẫn giếng lượng tử “Theo sự phân loại của các nhà khoa học, xét về chuyển động tự do của hạt mang điện, ta có hệ 3 chiều (3D - bán dẫn khối), hệ 2 chiều (2D ~ giếng lượng tử, siêu mạng bán dẫn), hệ 1 chiều (1D - dây lượng tử) và hộ 0 chiều (0D - chấm lượng tử). Khi dat một lớp mỏng bán dẫn có vùng cắm hẹp giữa hai lớp chất bán dẫn khác có vùng cắm rộng hơn thì sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị tạo nên một cầu trúc gọi là giếng lượng, tử.

Đó là các tỉnh thể nhân tạo gồm các vật liêu khác nhau được "nuôi" cấy trên bề mặt một dé tinh thể dày hơn. Bề dày của lớp tỉnh thể được "nuôi" cấy có thể điều chỉnh với độ chính xác cỡ nguyên tử. Khi đó ta có thể đạt được kích thước phù hợp để quan sát được hiệu ứng giam giữ lượng tử với electron. Hệ bán dẫn thông dụng nhất là hệ gồm hai chất bán dẫn GaAs/ AIGaAs được "nuôi" trên dé GaAs.

Khi d6 mot lép ban din GaAs có bề dầy cỡ 10 mm được đặt xen kẽ giữa hai lớp bán dẫn AIGaAs có bề dày. Độ rộng vùng cắm AIGaAs lớn hơn so voi GaAs, vi vay sinh ra các hàng rào thế tại các biên tiếp xúc, giữa các lớp bán dẫn hình thành một hồ thế gọi là giếng lượng tử. Do eleetron nằm trong chất bán dẫn. này không thể xuyên qua miễn phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên.

cạnh nên chúng bị "giam nhốt" trong các hồ thế nay Khi d6 electron có đặc điểm chung là chuyển động theo một phương nào đó bị giới hạn mạnh. Lúc này, chuyển động theo trục đó bị lượng tử hóa, electron chỉ còn chuyển động tự do trong mặt phẳng của hai trục còn lại. Vì vậy cấu trúc giếng lượng tử được gọi là các bán dẫn hai chiều và hệ electron trong cầu trúc này gọi là các hé electron hai chiều. Năng lượng và hàm sóng của electron trong giếng lượng.

tử thế tam giác Năng lượng và hàm sóng của electron trong giếng lượng tử có thể thu được bằng cách giải phương trinh Schrodinger cho eletron 2m" A00)+ Ta IE — U()|#Œ) =0. (ua) Để thuận lợi cho việc khảo sát ta giả sử electron chuyén dong tit do trong, mặt phẳng (z,y) và bị giam giữ theo phương z. Từ đó, thế năng (2) được phân thành hai thành phần: U() =UŒ,w) +U() trong d6 U(r, y) = 0 do eleetron tư do trong mặt phẳng (z, ). Vì chuyển dong ciia electron theo phương z đốc lập với chuyển động trong mặt phẳng (z,y), phương trình (??) có thể tách thành hai phương trình 2m" Aeyt(ey)+ Fa Exley) = 0, (1.u(2) (3) 1 với 0(œ,y) và E„y trong phương trình (??) lần lượt là năng lượng và hàm sóng cũa electron trong mặt phẳng (z,y); E; và (2) trong phương, trình (Ÿ?) lần lượt là năng lượng và hà 6ng ciia electron theo trục z.

Phương trình (??) có nghiệm là (x.y) lhe hyp) /1,E, Fy = Ei= 0P (2+2) (kệ + Kỹ) REhở am Ome? trong đó 1„„, Ly là chiều rộng của giếng theo phương z, F, =a? + yj voi i,j là veetơ đơn vị theo phương z, y. Để tìm năng lượng và hàm sóng của eleetron theo phương bị giam giữ, ta giải phuong trinh (22), electron chuyển động theo trục z chịu tác dụng của thế năng có dạng : oo, khiz<U; U() = (18) az, khiz>0; trong d6 a = eK), với Eụ là biên độ điện trường ngoài. Phương trình. (19) Để giải phương trình trên ta sử dụng hàm Airy, nghiệm của phương.

trình trên là: 0(s) = CrAi(s) + CrBi(s), (1.10) 1 trong đó Ai(s) = (1) Bi(s) = : 3(832)]J2- a9 Vì hàm sóng phải hữu hạn khi £ —› se nên C¿ = 0, ta chỉ nhận nghiệm. Suy ra nghiệm của phương trình (??) là: W(s) = CAi(s), (1.14) Hằng số C¡ được xác định nhờ chuẩn hóa hàm sóng: ieelte (115) 3 Theo cách đặt của s ta có thể viết lại như sau PS) = Ze (1. a Do đó, ta tìm được nghiệm của phương trình (??) có dạng, 1 2m*a\ 1⁄2 = (oa “ ea) (129) Phổ năng lượng được xác định bởi điều kiên biên.23) s„ có giá trị gần đúng là: 4 3/8 >=-[‡»-;)| n=1,2,3. Thừa số dạng.

“Thừa số dạng được xác định qua tích phân bao phủ bởi hệ thức sau [JP =I x buns, (1.28) trong đó tích phân bao phủ J được xác định bởi (vx, we We, a) (1.29) Thay biéu thị làm sóng vào ta được (sie) 1 _ (a) EL, A759) — AP 0) foal)" -) ("CB Sit dung tich phan: fows Odi = Lely X basa kys ta viết biểu thức của thừa số dạng như sau. Ly xa 22)" (-8@)|*#} (131) á trị của thừa số đạng I„„„ sẽ được xác định bằng cách tính số. Phép chiếu phụ thuộc trạng thái Kĩ thuật toán tử chiếu được Mori đưa ra năm 1965 khi nghiên cứu. chuyển tải hệ nhiều hạt.

Xét một biến động lực .4 của một hệ nhiều hạt 16 với Hamiltonian H sao cho [H, 4| = HA — AH # 0. Biến động lực A4 trong biểu diễn Heisenberg có dạng: A(t) = eth AetHt/h (1. Để thuận tiện cho vi nghiên cứu, A(2) được phân tích thành hai thanh phin ®(¢). Ta có thể viết +p A(0) =#®().f(s\ds, (133) a trong đó (t) được xác định bởi phép biến đổi Laplace, f(t) la hàm ngẫu nhiên mô tả tính ngẫu nhiên của tương tác.

Phép chiếu một veetơ Œ lên trục vectơ 4 được xác định bởi PG= (1.34) với A* là liên hợp Hermite của A. Phương trình này định nghĩa một toán tir Hermite P trong không gian Hilbert, thỏa mãn P(L~ P) = 0,1=P = Q là toán tử chiều lên phương vuông góc với phương chiếu của toán tử P. Ap dung định nghĩa toán tử chiếu trên cho vectơ A(t) dé chiéu vecta này lên trụ A va true kiavuông góc với trục .4 như biểu thức (?) với ®t) = (40).35) Phương pháp chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái được đưa ra đầu tiên năm 1987 bởi Badjou và Argyres khi tính toán công suất hấp thụ của eyelotron trong bán dẫn mà ta gọi là "phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trang thái loại I" [7]. Nhóm tác giả này định nghĩa phép chiều phụ thuộc trạng thái này như sau: POX = (X) gyIe/ Ie) — PD.86) trong d6 (X) Th{@,,|LX.a¿a;]}, J{ là thành phần thứ k của toán tử.

dòng của hộ. Phép chiều này phụ thuộc vào hai trang thái |a), |), toán 1 tử P# tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toan tit Ji. Choi đã định nghĩa "phương, pháp chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái loại #" như sau: PISX = (X) ,aTas/(dŸag)asi QRS ~ Ps (137) trong d6 (X), 5 = Trl PeqlX.a}a5]}- Phép chiếu này phụ thuộc vào 4 trạng thái |œ), |), |3), |ổ), toán tử P2 tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toán tử aÿa;. KhiX = ajay, ta có PiSatay =.

aesdrs Gia; = (L— Pgju‡a;) Phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại II cho phép ta xét các hệ mà khoảng cách giữa các mức năng lượng kế tiếp thay đổi. Như vậy, so với phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I, phạm vi áp dụng của nó ít bị giới hạn hơn. 18 Chương 2 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CUA CÔNG SUẤT HAP THU PHI TUYEN Chương này trình bàu biểu thức tính toán tenzơ độ dẫn tuyến tính và phi tuyén, từ đó áp dụng để suy ra biểu thức cụ thể của công suất hấp thụ tuyến tính uà phi tuyến trong bán giếng lượng tử thế lam giác. Biểu thức giải tích của tenxơ độ tổng quát Giả sử độ dẫn được suy ra từ biểu thức khai triển theo khai triển trung bình thống kê của toán tit mat độ đòng điện 7 thành tổng các số hạng từ bậc một đến bậc n.

Để thu được biểu thức khai triển này, chúng, ta xuất phát từ phương pháp thống kê lượng tử, theo đó giá trị trung, bình của một đại lượng 4 bắt kì bằng vết nhiều hạt của tích đại lượng, A này với toán tử ma trận mật độ ø(/). Ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động, toán tử mật độ cân bằng của hệ lúc này là ø,„ Khi có mặt trường ngoài phụ thuộc vào thời gian, toán tử tật độ thay đổi theo thời gian và được khai triển thành [?], [?] Pt) = Pog + mu), (21) trong đó /,„(£) là toán tử mật độ khi có nhiễu loạn. Phương trình Liou- ville cho toán tử mật độ có dạng (?] ¡i5 — (Hp, od) = LOO (22) trong 46 L(t) là toán tử Liouville toàn phần, được định nghia: L(t)X = [H(),X] = H(t)X ~ XH(), với X là toán tử tuyến tính bắt kỳ. Toán 19 tit Liouville Z(f) được tách thành hai thành phần 1(£) = L„„ + Luu(£) tương ứng với các thành phần #f(1) = H„+ H„„(1) [?] “Thay các b iu thite cia H(t) và p(t) trong (22) vao (??) ta được 9p nar +ih- „.3) Vì toán tử mật độ ở trạng thái cân bằng nhiệt động không phụ thuộc thời gian nên.

Do đó biểu thức (??) trở thành Dpine(t) ih = [Hg Pint(t)] + [Hina(t), Pea) + Hine(t), Pine(@)]- (2-4) Để tim pine(t), ta định nghĩa toán tử mật độ trong biểu diễn Dirac ữ 00) = c( P9,/„()eCSS9, (25) Lấy đạo hàm hai về của (??) theo f, ta được: SP) D, eC) He (Haat),pal + Hal pi ihe 9, (26) Đối với toán tử 4 không phụ thuộc tường mình vào thời gian ta có el (589 Ac(- 8!) = (8) 4, (27) Biểu thức (??) trở thành. (28) Lấy tích phân hai về phương trình (??) từ £ = —oe đến f với điều kiện đầu. \ Pl 20 ta được. 210) Day là biểu thức của toán tit mat độ nhiễu loạn khi có trường ngoài tại thời điểm t.

Phân tích toán tử mật độ thành hai thành phần: Thành phần chứa toán tử mật độ trung bình và thành phần chứa toán tử mật độ nhiễu loạn tại thời điểm £ — #¡ Biểu thức (??) được viết lại tại thời điểm £ — # ta có sttSn) = aynl,[dae Vaultth ~ tg tf mà te halt th — pial) “Thay biểu thức trên vào (??) rồi tiếp tục thay biểu thức của pine(t— tị — ty) cho đến pin(t — ty —. ~ th) ta được biểu thức Piu(t) = Se ‘af dts,eh dt ye *)Lin(t — t) = xe(~ #9) bu — bị — tạ) .eC“%) Lu(E — Bị — o .12) trong dé p)(¢) 1a ma tran thit ï trong khai triển, với i = 1,2,. 'Từ phương trình (??