Luận văn ThS. Vật lý: Tính chất phi cổ điển của photon trong hệ nguyên tử ba mức

Luận văn thạc sĩ vật lý nghiên cứu vật lý khảo sát các tính chất phi cổ điển của photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai, khảo sát thực trạng, phân tích nguyên nhân, đề

• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Vật Lý
• Đề tài: Luận Văn Thạc Sĩ Vật Lý Khảo Sát Các Tính Chất Phi Cổ Điển Của Photon Trong Hệ Tương Tác Nguyên Tử Ba Mức Với Hai Photon Ban Đầu Ở Trạng Thái Kết Hợp Và Kết Hợp Chẵn
• Loại tài liệu: Luận Văn
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• Danh mục các kí hiệu toán học
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TỔNG QUAN
• 1.1. Trạng thái kết hợp
• 1.1.1. Định nghĩa
• 1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp
• 1.2. Trạng thái kết hợp chẵn và lẻ
• 1.2.1. Định nghĩa
• 1.2.2. Tính chất của trạng thái kết hợp chẵn, lẻ
• 1.3. Giới thiệu nguyên tử ba mức với các cấu hình tương tác với các photon
• 1.4. Các tính chất nén, thống kê Sub-Poisson của photon
• 1.4.1. Tính chất nén
• 1.4.2. Thống kê Sub-Poisson
• 2. CHƯƠNG 2: HAMILTONIAN TƯƠNG TÁC CỦA HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA MỨC CẤU HÌNH V VỚI HAI PHOTON
• 2.1. Xây dựng Hamiltonian của hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu hình V với hai photon
• 2.2. Thiết lập ma trận mật độ của hệ tương tác và tìm biểu thức trung bình của các toán tử cần khảo sát
• 3. CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA PHOTON THEO HAI PHOTON BAN ĐẦU Ở TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP CHẴN
• 3.1. Khảo sát tính chất nén
• 3.1.1. Nén biên độ trực giao thông thường của photon
• 3.1.2. Nén Hillery bậc hai của photon
• 3.1.3. Khảo sát tham số nén biên độ trực giao S₁⁽¹⁾, S₂⁽¹⁾ tương tự của photon 1, 2
• 3.1.4. Khảo sát tham số nén S₁⁽²⁾, S₂⁽²⁾
• 3.2. Khảo sát tính thống kê Sub-Poisson
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• PHỤ LỤC

Tóm tắt

I. Khám phá tính chất phi cổ điển của photon trong hệ ba mức

Nghiên cứu về tính chất phi cổ điển của photon là một trụ cột trong lĩnh vực quang học lượng tử và thông tin lượng tử. Các trạng thái phi cổ điển, không giống như trạng thái cổ điển, thể hiện những đặc tính lượng tử thuần túy như tính chất nén và thống kê Sub-Poisson. Luận văn này tập trung khảo sát sâu các đặc tính này trong một hệ thống cụ thể: sự tương tác giữa nguyên tử ba mức cấu hình V với hai photon ban đầu. Hai photon này được chuẩn bị ở trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp chẵn, tạo ra một môi trường tương tác phức tạp nhưng giàu tiềm năng. Nền tảng của nghiên cứu này bắt nguồn từ khái niệm trạng thái kết hợp do Glauber và Sudarshan đưa ra vào năm 1963, vốn được xem là ranh giới giữa thế giới cổ điển và lượng tử. Từ đó, các trạng thái phi cổ điển như trạng thái nén (Stoler, 1970) và trạng thái kết hợp chẵn/lẻ (Dodonov, 1973) đã được phát triển. Việc hiểu rõ cách các photon tiến hóa và thay đổi tính chất trong hệ tương tác này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết. Nó còn mở đường cho các ứng dụng đột phá trong việc tăng độ chính xác của phép đo, phát triển máy tính lượng tử và các công nghệ nano tiên tiến. Luận văn sử dụng một phương pháp tiếp cận lý thuyết hoàn toàn lượng tử, dựa trên lý thuyết lượng tử hóa lần hai và toán tử mật độ để phân tích hệ thống một cách chi tiết.

1.1. Tổng quan về trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp chẵn

Trạng thái kết hợp |α⟩ được xem là trạng thái gần với trạng thái cổ điển nhất trong cơ học lượng tử. Nó là trạng thái riêng của toán tử hủy boson (â|α⟩ = α|α⟩) và có độ bất định tối thiểu theo nguyên lý Heisenberg. Phân bố số hạt photon trong trạng thái này tuân theo phân bố Poisson. Ngược lại, trạng thái kết hợp chẵn |α⟩ₑ và lẻ |α⟩ₒ là sự chồng chập lượng tử của hai trạng thái kết hợp |α⟩ và |-α⟩. Chúng là các trạng thái phi cổ điển thuần túy vì thể hiện các đặc tính không có trong vật lý cổ điển. Cụ thể, trạng thái kết hợp chẵn là tổ hợp của các trạng thái Fock với số hạt chẵn, trong khi trạng thái kết hợp lẻ là tổ hợp của các trạng thái Fock với số hạt lẻ. Một tính chất quan trọng là chúng là hàm riêng của toán tử bình phương hủy (â²), không phải toán tử hủy â.

1.2. Vai trò của nguyên tử ba mức trong quang học lượng tử

Mô hình nguyên tử ba mức là một hệ thống lý tưởng để nghiên cứu các quá trình tương tác nhiều photon. Không giống mô hình hai mức đơn giản, mô hình ba mức cho phép các hiện tượng như phát xạ kích thích, hiệu ứng Raman, và các quá trình phi tuyến khác. Luận văn này tập trung vào cấu hình V, nơi nguyên tử có một trạng thái cơ bản và hai trạng thái kích thích. Trong cấu hình này, các dịch chuyển từ trạng thái cơ bản lên hai trạng thái kích thích riêng biệt được thực hiện bởi hai mode photon khác nhau. Điều này tạo ra một sân chơi lý tưởng để khảo sát sự cạnh tranh và tương quan giữa các mode photon, từ đó làm nảy sinh các tính chất phi cổ điển phức tạp. Mô hình này được mô tả đầy đủ bởi Yoo và Eberly (1985), là nền tảng cho nhiều nghiên cứu hiện đại.

II. Thách thức trong mô hình hóa tương tác photon nguyên tử

Việc mô tả chính xác sự tiến hóa theo thời gian của một hệ lượng tử phức hợp là một thách thức lớn. Hệ tương tác giữa nguyên tử ba mức cấu hình V và hai mode photon đòi hỏi một bộ công cụ toán học mạnh mẽ. Thách thức đầu tiên là xây dựng một Hamiltonian tương tác chính xác, nắm bắt được tất cả các khía cạnh của sự tương tác lưỡng cực điện giữa nguyên tử và trường điện từ. Trong gần đúng sóng quay, Hamiltonian này mô tả sự trao đổi năng lượng giữa các mức nguyên tử và các mode photon. Thách thức thứ hai nằm ở việc giải phương trình Schrödinger cho hệ thống này. Do tính chất nhiều hạt và phi tuyến, việc tìm ra lời giải giải tích chính xác cho hàm sóng của toàn hệ là cực kỳ khó khăn. Các phương pháp gần đúng thường phải được sử dụng, nhưng chúng có thể làm mất đi các hiệu ứng lượng tử tinh tế. Để vượt qua điều này, luận văn áp dụng phương pháp ma trận mật độ. Phương pháp này cho phép tính toán giá trị trung bình của các đại lượng vật lý mà không cần biết hàm sóng tường minh của hệ, đặc biệt hữu ích khi hệ có tương quan với môi trường hoặc ở trạng thái hỗn hợp. Việc thiết lập và giải phương trình cho ma trận mật độ vẫn là một nhiệm vụ phức tạp, đòi hỏi các phép tính đại số toán tử cẩn thận và chính xác.

2.1. Khó khăn khi xây dựng Hamiltonian cho hệ nhiều mức

Hamiltonian của toàn hệ bao gồm ba phần: năng lượng tự do của nguyên tử, năng lượng tự do của hai mode photon, và Hamiltonian tương tác. Phần tương tác là phức tạp nhất, mô tả việc nguyên tử hấp thụ một photon từ mode 1 để chuyển từ trạng thái |3⟩ lên |1⟩, hoặc hấp thụ một photon từ mode 2 để chuyển từ |3⟩ lên |2⟩. Việc biểu diễn các trạng thái nguyên tử và các toán tử dịch chuyển bằng ma trận đòi hỏi một cơ sở toán học vững chắc. Luận văn này đã sử dụng biểu diễn của toán tử Spin-1 để đơn giản hóa việc xây dựng Hamiltonian, một kỹ thuật hiệu quả để xử lý các hệ ba mức.

2.2. Sự phức tạp trong việc giải bài toán động lực học lượng tử

Sau khi có Hamiltonian, bước tiếp theo là xác định toán tử tiến hóa thời gian Û(t) = exp(-iĤt/ħ). Việc tính toán toán tử này cho một Hamiltonian phức tạp là không tầm thường. Luận văn đã giải quyết vấn đề này bằng cách chia Hamiltonian thành các thành phần giao hoán và không giao hoán, sau đó sử dụng các công thức khai triển ma trận. Quá trình này dẫn đến các biểu thức cồng kềnh chứa các hàm sin, cos của các tần số phụ thuộc vào hằng số tương tác và số hạt. Sự chính xác của các biểu thức này là yếu tố quyết định đến độ tin cậy của kết quả cuối cùng.

III. Phương pháp xây dựng Hamiltonian tương tác cho hệ lượng tử

Để khảo sát các tính chất phi cổ điển của photon, bước nền tảng là xây dựng một mô hình toán học chính xác cho hệ thống. Trọng tâm của mô hình này là Hamiltonian tương tác (H_int). Luận văn đã tiếp cận vấn đề này một cách hệ thống. Đầu tiên, Hamiltonian tổng quát cho một nguyên tử ba mức tương tác với hai mode của trường điện từ được viết ra. Hamiltonian này bao gồm năng lượng của các mức nguyên tử (biểu diễn bởi các toán tử fermion b̂ᵢ) và năng lượng của các mode photon (biểu diễn bởi các toán tử sinh, hủy âᵢ†, âᵢ). Phần quan trọng nhất, H_int, được xây dựng dựa trên tương tác lưỡng cực điện. Đối với cấu hình V, tương tác này mô tả hai quá trình riêng biệt: dịch chuyển |1⟩ ↔ |3⟩ bởi mode 1 và dịch chuyển |2⟩ ↔ |3⟩ bởi mode 2. Một bước đột phá trong phương pháp luận của luận văn là việc sử dụng biểu diễn của toán tử Spin-1 (Ĵₓ, Ĵᵧ, Ĵ₂) để mô tả các trạng thái của nguyên tử ba mức. Các toán tử này, với các ma trận 3x3 xác định, cho phép viết lại các toán tử dịch chuyển của nguyên tử (ví dụ |1⟩⟨3|) dưới dạng các tổ hợp của Ĵ₊, Ĵ₋, và Ĵ₂. Cách tiếp cận này không chỉ làm cho Hamiltonian trở nên gọn gàng hơn về mặt toán học mà còn làm nổi bật sự đối xứng bên trong của hệ ba mức, giúp việc tính toán toán tử tiến hóa thời gian trở nên khả thi hơn.

3.1. Sử dụng toán tử Spin 1 để biểu diễn nguyên tử ba mức

Hệ nguyên tử ba mức có thể được ánh xạ vào một không gian của hạt có spin-1. Trong biểu diễn này, ba trạng thái |1⟩, |2⟩, |3⟩ tương ứng với các vectơ riêng của toán tử Ĵ₂ với các trị riêng +1, 0, -1. Các toán tử dịch chuyển giữa các mức năng lượng, ví dụ σ₁₃ = |1⟩⟨3|, có thể được viết lại dưới dạng các toán tử nâng và hạ bậc spin (Ĵ₊, Ĵ₋). Việc này cho phép biểu diễn Hamiltonian của nguyên tử và phần tương tác dưới dạng các đa thức của các toán tử spin, một formalis quen thuộc trong cơ học lượng tử, từ đó đơn giản hóa các phép tính đại số phức tạp.

3.2. Thiết lập Hamiltonian tương tác trong gần đúng sóng quay

Gần đúng sóng quay (Rotating Wave Approximation - RWA) là một công cụ thiết yếu trong quang học lượng tử. Nó giúp loại bỏ các số hạng dao động nhanh trong Hamiltonian, những số hạng này có đóng góp trung bình gần như bằng không vào động lực học của hệ. Trong luận văn, RWA được áp dụng để giữ lại chỉ các số hạng mô tả quá trình cộng hưởng: nguyên tử hấp thụ một photon và chuyển lên mức năng lượng cao hơn, hoặc phát ra một photon và trở về mức thấp hơn. Điều này giúp Hamiltonian tương tác có dạng đơn giản hơn rất nhiều: H_int ≈ λ₁(â₁†σ₃₁ + â₁σ₁₃) + λ₂(â₂†σ₃₂ + â₂σ₂₃), trong đó λᵢ là các hằng số kết đôi.

IV. Hướng dẫn tính toán ma trận mật độ và các giá trị trung bình

Phương pháp ma trận mật độ là chìa khóa để phân tích các tính chất phi cổ điển trong hệ tương tác phức tạp. Sau khi xác định được toán tử tiến hóa thời gian Û(t) từ Hamiltonian, ma trận mật độ của hệ tại thời điểm t, ρ(t), có thể được tính từ ma trận mật độ ban đầu ρ(0) thông qua biểu thức ρ(t) = Û(t)ρ(0)Û†(t). Luận văn giả định rằng tại thời điểm ban đầu (t=0), nguyên tử và hai mode photon không có tương quan với nhau. Do đó, ma trận mật độ ban đầu có thể được viết dưới dạng tích: ρ(0) = ρ_atom(0) ⊗ ρ_field(0). Nguyên tử được giả định ở trạng thái cơ bản |3⟩, trong khi hai mode photon lần lượt ở trạng thái kết hợp chẵn và trạng thái kết hợp. Từ đây, việc tính toán ρ(t) trở thành một bài toán nhân ma trận phức tạp. Mỗi phần tử của ma trận ρ(t) là một toán tử tác động lên không gian trạng thái của photon. Khi đã có ρ(t), giá trị trung bình của bất kỳ toán tử Ô nào (ví dụ, toán tử số hạt â†â) có thể được tính bằng công thức ⟨Ô⟩ = Tr[ρ(t)Ô]. Quá trình lấy vết (Trace) này bao gồm việc tính tổng các phần tử đường chéo của ma trận, đòi hỏi các phép tính tích phân hoặc tổng chuỗi trên các trạng thái Fock của photon.

4.1. Quy trình thiết lập ma trận mật độ ρ t của toàn hệ

Ma trận mật độ ban đầu ρ(0) được xác định rõ: ρ_atom(0) = |3⟩⟨3| và ρ_field(0) = |α₁⟩ₑₑ⟨α₁| ⊗ |α₂⟩⟨α₂|. Bằng cách thay biểu thức này vào công thức tiến hóa, ρ(t) được biểu diễn dưới dạng một ma trận 3x3, trong đó mỗi phần tử là một tổ hợp của các toán tử Uᵢⱼ và U†ₖₗ tác động lên ρ_field(0). Ví dụ, phần tử ρ₁₁(t) = U₁₃(t)ρ(0)U†₁₃(t). Mỗi toán tử Uᵢⱼ này chứa thông tin về động lực học phức tạp của hệ, bao gồm các dao động lượng tử và hiệu ứng tương tác.

4.2. Cách tính giá trị kỳ vọng của các toán tử photon

Để khảo sát tính chất nén hay thống kê Sub-Poisson, cần tính các giá trị kỳ vọng như ⟨âᵢ⟩, ⟨âᵢ²⟩, ⟨âᵢ†âᵢ⟩ và các moment bậc cao hơn. Ví dụ, để tính ⟨â₁†â₁⟩, ta sử dụng công thức ⟨â₁†â₁⟩ = Tr[ρ(t)â₁†â₁]. Việc này đòi hỏi tính toán các phần tử ma trận như ₑ⟨α₁|⟨α₂| [U†₃₁(t)â₁†â₁U₁₃(t)] |α₁⟩ₑ|α₂⟩. Các phép tính này rất phức tạp và thường được thực hiện bằng cách khai triển các trạng thái kết hợp và kết hợp chẵn theo cơ sở trạng thái Fock. Kết quả cuối cùng là các biểu thức giải tích phụ thuộc vào thời gian t, biên độ kết hợp r₁, r₂ và các hằng số tương tác λ₁, λ₂.

V. Kết quả khảo sát tính chất nén và thống kê Sub Poisson

Phần cốt lõi của luận văn là phân tích và thảo luận các kết quả số học thu được từ các biểu thức giải tích. Bằng cách sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị, các tính chất phi cổ điển của hai mode photon đã được khảo sát một cách trực quan. Cụ thể, nghiên cứu tập trung vào hai hiện tượng chính: tính chất nén và thống kê Sub-Poisson. Tính chất nén được khảo sát thông qua hai tham số: nén biên độ trực giao thông thường (S⁽¹⁾) và nén Hillery bậc hai (S⁽²⁾). Một trạng thái được gọi là nén nếu phương sai của một trong các thành phần biên độ trực giao nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn, dẫn đến S < 0. Kết quả đồ thị cho thấy cả hai mode photon đều thể hiện tính chất nén ở các khoảng thời gian và tham số khác nhau. Đặc biệt, mức độ nén phụ thuộc mạnh vào thời gian tương tác t và biên độ ban đầu của các trạng thái kết hợp (r₁, r₂). Tương tự, thống kê Sub-Poisson được đặc trưng bởi tham số Mandel Q. Một trường ánh sáng có Q < 0 được gọi là có thống kê Sub-Poisson, nghĩa là thăng giáng của số photon nhỏ hơn giá trị trung bình, một đặc điểm thuần túy lượng tử. Các đồ thị khảo sát tham số Q cho thấy sự xuất hiện của hiệu ứng này, chứng tỏ trạng thái của các photon sau tương tác là phi cổ điển.

5.1. Phân tích nén biên độ trực giao và nén Hillery bậc hai

Các đồ thị khảo sát tham số nén S cho thấy rằng tính chất nén không phải lúc nào cũng xuất hiện. Nó phụ thuộc vào sự cân bằng tinh tế giữa các tham số của hệ. Ví dụ, hình 3.1a trong luận văn cho thấy tham số S₁⁽¹⁾ của mode 1 (ban đầu ở trạng thái kết hợp chẵn) luôn âm, và độ nén tăng khi biên độ r₁ tăng. Ngược lại, hình 3.1b cho thấy S₂⁽¹⁾ của mode 2 (ban đầu ở trạng thái kết hợp) cũng thể hiện sự nén, nhưng sự phụ thuộc vào r₁ và r₂ có xu hướng khác. Thời gian tương tác cũng đóng vai trò quan trọng: khi t tăng, tính chất nén có thể trở nên mạnh hơn hoặc yếu đi, thể hiện động lực học dao động của hệ.

5.2. Đánh giá tính thống kê Sub Poisson qua tham số Mandel

Tham số Mandel Q được tính cho cả hai mode photon. Các kết quả (ví dụ, hình 3.8a và 3.8b) cho thấy các vùng mà Q < 0, xác nhận sự tồn tại của thống kê Sub-Poisson. Điều thú vị là các điều kiện để có tính chất nén và thống kê Sub-Poisson không nhất thiết phải trùng nhau. Một trạng thái có thể thể hiện tính chất này mà không có tính chất kia, và ngược lại. Sự phân tích này cung cấp một cái nhìn sâu sắc về bản chất phức tạp của các trạng thái phi cổ điển được tạo ra trong hệ tương tác, nhấn mạnh rằng mỗi đặc tính phi cổ điển có nguồn gốc và điều kiện xuất hiện riêng.

VI. Ý nghĩa và tương lai của nghiên cứu tính chất phi cổ điển

Nghiên cứu về tính chất phi cổ điển của photon trong hệ tương tác nguyên tử-trường không chỉ là một bài toán lý thuyết thuần túy. Nó mang lại những hiểu biết sâu sắc và có ý nghĩa thực tiễn to lớn. Kết quả của luận văn đã khẳng định rằng có thể tạo ra và kiểm soát các trạng thái lượng tử phi cổ điển, như trạng thái nén và trạng thái Sub-Poisson, thông qua việc điều chỉnh các tham số tương tác trong một hệ nguyên tử ba mức. Ý nghĩa lớn nhất của công trình này là việc cung cấp một mô hình lý thuyết chi tiết để dự đoán và giải thích các hiện tượng lượng tử. Mô hình này có thể được sử dụng làm cơ sở để thiết kế các thí nghiệm trong lĩnh vực quang học lượng tử. Các trạng thái nén có ứng dụng trực tiếp trong việc cải thiện độ nhạy của các phép đo giao thoa, ví dụ như trong các máy dò sóng hấp dẫn. Các trạng thái có thống kê Sub-Poisson là nguồn photon đơn lý tưởng, một thành phần không thể thiếu trong các giao thức mật mã lượng tử và tính toán lượng tử. Hướng phát triển trong tương lai có thể bao gồm việc mở rộng mô hình để tính đến các yếu tố thực tế hơn như sự suy giảm (decoherence) do tương tác với môi trường, hoặc khảo sát các cấu hình nguyên tử phức tạp hơn (bốn mức, năm mức) để tạo ra các trạng thái lượng tử đa mode với các đặc tính phi cổ điển thậm chí còn kỳ lạ hơn.

6.1. Ứng dụng tiềm năng trong thông tin và tính toán lượng tử

Các trạng thái phi cổ điển được tạo ra là tài nguyên quý giá cho thông tin lượng tử. Trạng thái nén có thể làm giảm nhiễu lượng tử, tăng cường độ chính xác trong viễn thông lượng tử. Các trạng thái vướng víu (entanglement) giữa các mode photon, một hệ quả tự nhiên của tương tác, là nền tảng cho các thuật toán lượng tử và dịch chuyển tức thời lượng tử. Việc hiểu rõ cách tạo ra chúng trong hệ ba mức là một bước tiến quan trọng.

6.2. Hướng nghiên cứu mở rộng trong tương lai

Công trình này mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Một hướng là khảo sát các loại trạng thái ban đầu khác, chẳng hạn như trạng thái nén hoặc trạng thái Fock, để xem chúng tạo ra những hiệu ứng phi cổ điển nào. Một hướng khác là xem xét các cấu hình nguyên tử khác như cấu hình Lambda (Λ) hoặc cấu hình thang (Ladder), mỗi cấu hình sẽ dẫn đến một động lực học và các tính chất phi cổ điển riêng biệt. Cuối cùng, việc kết hợp mô hình này với các hiệu ứng của môi trường sẽ giúp kết quả gần hơn với các hệ thống thực nghiệm, thúc đẩy sự liên kết giữa lý thuyết và thực tiễn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Một số kiến thức tổng quan. Chương 2: Xây dựng Hamiltonian tương tác của hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu hình V với hai photon và tìm lời giải bằng phương pháp ma trận mật độ với giả thiết nguyên tử và hai photon không có tương quan với nhau. Chương 3: Khảo sát tính chất nén, tính thống kê Sub-Poisson bậc một của hai photon ở thời đi mì # > 0 mà ban đầu (£ = 0) chúng ở trạng thái kết hợp và kết hop chin. Đồng thời tiến hành thảo luận, đánh giá kết quả đã tính toán được, * Phần kết luận: Trình bày tóm tất các kết quả đạt được, hạn chế của đề tài, đề xuất hướng phát triển của đề tài.

NOI DUNG CHUONG 1 MỘT SỐ KIÊN THUC TONG QUAN Trong chương nà, chúng tôi giới thiệu lại một số kiến thức tổng quan như định nghĩa va tính chất của trưng thái kết hợp, trang thai kết hợp chẵn; giới thiệu vé nguyén tit ba mức cấu hình V; tính chất nén, tính thống kê Sub-Poisson của pholon.1 Trạng thái kết hợp 1.11 Định nghĩa Cho hai toán tử Hermitic  và Ö theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B. Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không đo được đồng thời thì về mặt toán học hai toán tử Â, 8 cũng không giao. hoán với nhau, nghĩa là giao hoán tử [A, B] = AB - B #0. (12) trong đó đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được X quanh giá trị trung bình lượng tử ỆÄ) của đại lượng X = 4, Ö là phương.

sai VY được định nghĩa như sau: VX=(( - (Ä)Ÿ) (13) với giá trị kỳ vọng của đại lượng X ở trạng thai |v) €#)= @IÄI0) = ƒ#0Äe00,, (4) được lấy trên toàn bộ giá trị có thể có của các biến độc lập z của hệ lượng, tử Bay gid ta xót hệ hat boson có toán tử sinh hạt a! và toán tử hủy hạt â, chúng tuân theo các hộ thức giao hoán 0 (5) (1.6) trong đó (17) là vectơ trạng thái chứa n hat boson có toán tử sinh hat at va toán tử hủy hat a (còn gọi là trạng thái Fock) và |Ú) là vectơ trang thái chân không của hệ hạt. Kết hợp (16) với (L7) ta có (18) = exp (Fiat?) exp(aal)[) " “Theo đó, đễ dàng suy ra được trạng thái |a) 1a trang thai riêng của toán tử huỷ hạt boson â với trị riêng œ' (1.9) ta có ala) Sah =e (š fa?) So alo x nant exp (Hal) evan) =e (-Hial?) 8 ‘Vi không phải là toán tử Hermitic nên œ nói chung là một số phức, œ =rexp(i8) với 8 là số thực. lam ý rằng do, `. = oe Cre" a0)= (1- )I0) =l0) niên biểu thức (1.8) có thể viết dưới dang D, (a) |0), (1.10) trong đó (1) được gọi là toán tử dịch chuyển của ã với độ dịch chuyển a.

Trạng thái |a) được xác định bởi (1.11) được gọi là trang thát kết hợp có tham số kết hợp œ = r exp(i0), trong đó các số thực r và Ø theo thứ. tự được gọi là biên độ kết hợp và pha kết hợp.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp. Để làm sáng tỏ ý nghĩa "kết hợp" của trạng thái |a) ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của trạng thái này. a) Số hạt boson trung bình ở trạng thái kết hợp |a) (112) Tumý ala) = ala) = (a|ᆠ= (a|a" Xác suit p(n) để tìm n hat boson ở trạng thái |a) chính là phân bồ Poisson p(n) = (nja)(a|n)= _ JalPexp“al (-lal) _ (n)”“exp(~)) “al (1.13) b) Phương sai của toán tử số hạt trong trang théi |a) 1a Vn = (a| fa) — (œ |â | a)Ÿ = la ? (19) “Trong khi đó, đối với trạng thái Fock Vn |ñ®|n) — (n|â|n)? = 0.15) cho thấy rằng, trong trang thái Fock số hạt có thể đo được một cách chính xác nhưng trong trang thái |a) phép do này phải chịu một sai số tỷ lê với trung bình của số hạt.

Voi các hệ có số hạt lớn như hệ photon trong các chùm laser, hệ exciton ở mật độ cao,. việc xác định chính xác số hạt là không thể làm được. Bù vào đó, theo nguyên lý bất định, với độ bắt định tối thiểu trong trạng thái |a), sự thăng giáng theo pha của hệ hạt là rất nhỏ; các hạt trong trạng thái |a) hầu như có cùng một pha, trái ngược với sự hoàn toàn không xác định. tha của các hat trong trang thái Fock.

Voi ý nghĩa đó |a) được gọi là trang thái kết hợp. 13 ©) Tập hợp tất cả các trạng thái |a) là một tập hợp đủ: +1 / la) (ald*e (116) đ) Mặc dù các trạng thái kết hợp là chuẩn hoá (a|a) = 1, nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là với (a|đ) không triệt tiêu (17) =ep | (3=gi af? — Sa =exp +2) Hệ quả của sự không trực giao là bất kỳ một trang thái kết hợp nào cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác la) =ễ [la)(ala)# =‡1 I Pala) exp( (118) Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành hệ qué dii (overcomplete).2 Trạng thai két hgp chin va 1é 1.1 Dinh nghia m (KHC) và trạng thái kết hợp lẻ (KHI) đã được Dodonov va cong sit dita ra bing lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1973 và chúng đã được tạo ra bằng thực nghiệm năm 1992. Bất đầu từ biểu thức của trạng thái kết hgp |a) = D,(a)|0), v6i toán tử dịch chuyển đã được xác định trong (1.11) để định nghĩa trang thai KHC la)„ = Cai(la) +|—0)) = Cas [Dala) + Ba(-a)] Jo) (119) va trang thai KHL la), = Gi(la) =|) = (a) — By(—a)] 0).23) “Ta thấy rằng khi biéu dién sang trang thai Fock thi céc trang thai két hợp chẵn (lẻ) là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt là chẫn (lẻ). “Tiền hành chuẩn hóa các trạng thái kết hợp chẵn ta được Làm tương tự cho trang thái kết hợp lẻ, ta được = (1/2) Vexp (Ja?) -sinh([a/?) 1.2 Tính chất của trạng thái kết hợp chẵn, lẻ “Tính chất 1: Các trạng thái KHC và KHL không trực giao với nhau.

nhưng các trạng thái kết hợp chẫn lại trực giao với trạng thái kết hợp lẻ. “Thật vậy, 1 a{a| 8), = Cen(a)Crn(8) exp(—sla| 2) P)sp(-zl4) 1 gia ce 28 gem Liver (2n | 2m) = Tớ ar) gn >> = mm vey = (ag) =_Ca(a)Ca(Ø)exp(~; be ro = = Ca(a)Csa(8) exp(—: Tiap ' exp(~gI6|?)cosh(a"Z) “Tiền hành tương tự ta được. (a |B), = Ci(a)Ci(3) expl »P)exp(—Z192)sinh(a") va a(a | 8), Catone Pent ah =0 xế “anh | 2m +1) “Tổng quát Kala), = 6, ig =eh,t (129 “Tính chất 2: Các trạng thái KHC và KHI có thể được chuyển đổi qua lại lẫn nhau bằng cácht ác dụng toán hủy ä lên chúng. “Thực vậy, ta có â|a)„= Hoàn toàn tương tự, ta có ala), Điều này có nghĩa là toán tử hủy â có tác dụng như là một toán tử quay (rotation operator) giữa | a),„ và | a), ‘Tinh chất 8: Khác với các trạng thái kết hợp là hàm riêng của â, các trang thai KHC va KHL là hàm riêng của â2 ứng với các trị riêng a” That vay, ta có > 42a), Cá exp(— Ser” Caexp(—“— — On, oo hy ee vai a? Ja), lại “Tương tự.

(126) “Tính chất 4: Tập hợp tắt cả các trạng thái KHC và KHL tạo thành một hệ đủ, ng là ‡ƒ sont hộ, (el£a (12) 143 Giới thiệu nguyên tử ba mức với các cấu hình U tương tác với các photon Các mô hìnhJ xynes-Cummings (JC) [22] được mở rộng đến các nguyên tử ba mức để nghiên cứu các hiện tượng vật lý liên quan đến các quá trình hai photon. Các trường hợp khác nhau cũa nguyên tử ba mức đã được đề cập. đầy đủ bởi Yoo và Eberly(1985) [18] bao gồm: nguyên tử ba mức cấu hình Vˆ (Vee), nguyên tử ba mức e inh thang = (Ladder), nguyên tử ba n hinh A (Lamda).1: Mo td he thống nguyên tử ba mức cầu lành V. “Trong trường điện từ, giả sử hệ nguyên tử đang ở trạng thái có mức năng lượng thấp nhất |3), trạng thái |3) là trạng thái kích thích có năng lượng cao hơn mức năng lượng ở trạng thái |3) và trạng thái này có thời gian sống đài hơn.

Trạng thái |1) có mức năng lượng cao nhất. Ey > Ea > Ey 18 hhay wy > wy > wy. Khi hệ nhận được năng lượng phù hợp (như nguồn laser có tần số và cường độ thích hợp) sẽ kích thích nguyên tử từ trạng thái |3) lên trạng thái 8) hoặc từ |3) lên trang thai |1). Tuy nhiên dịch chuyển giữa |3) và |1} bị cấm vì vi phạm quy tắc dịch chuyển lưỡng cực (hay không có tương tác lưỡng cực điện giữa |2) với |I)), do đó À = 0.

Hàm sóng 0 (r,f) mô tả trạng thái của nguyên tử là một tổ hợp tuyến. tính của các hàm sóng thành phần.!), Ue (rt), va (rst) tương ứng với các trạng thái |1), |2), |3) là W (r,t) = Crs (r,t) + Cava (r,t) + Cavs (r,t), trong đó Cụ, Có, Cạ là các hệ số không phụ thuộc vào không gian. Xét một hệ nguyên tử ba mức trong tương tác với hai mode của trường, dien tit. Hamilton cho hệ thống này có thể được viết bằng các hình thức sau đây: ữ= ŠuÑlôi+ zB ala + Ha = fh + Hap.28) trong dé 4; ting voi hat boson, 6; tg véi céc hat fermion, va Hap biéu thi Hamiltonian tương tác.

Trong đó chúng tôi giả định các hiệu ứng chuyển tiếp. giữa |1) và |3) được thực hiện bởi mode 1, giữa |3) và |3) được thực hiện bởi mode 2, do đó lay trong gần đúng sóng quay có dạng.29) với À¿ gọi là hệ số kết đôi Đối với cầu hình V, vì Ày = 0 nên Har u(ânô‡ô; + B|ôuâ}) + ro(aobtins + Bhbrah).30) Hệ nguyên tử có ba trạng thái tham gia vào quá trình tương tác như trên là hệ nguyên tử ba mức cấu hình V”, 19 1.4 Các tính chất nén, thống kê Sub-Poisson của pho- ton 1.1 Tính chất nén Cho hai toán tử Hermitic A va Ø theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B. Theo cơ học lượng tử, u hai dai lượng vật lý này không đo được đồng thời thì về mặt toán học hai toán tử Â, Ÿ cũng không. giao hoán với nhan, nghĩa là [4.31) Với trường hợp này, ta có he thức bất định trong trạng thái lượng tử bất kỳ |0) của hệ , , VAVB> > |uaa) >0, (1.32) trong đó đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được X gần giá trị trung bình lượng tử (Ý) của đại lượng X = A,/Ø gọi là phương sai.

Phương sai VX duge định nghĩa như sau: vx=(Œ ~ @)J) = (#) - @?