Chương 1, mỗi thứ tự > đến từ một ma trận M , vì vậy nói riêng, để tìm các từ dẫn đầu ta so sánh trước tiên đơn thức theo hàng đầu tiên của w của ma trận.w với mọi β và ci,β 6= 0, thì vectơ w chọn được từ dẫn đầu trong gi. Tuy nhiên, ta có thể có một sự ngang bằng trong lần so sánh đầu tiên, khi đó ta phải so sánh tiếp bằng cách sử dụng các hàng khác của M. Điều này gợi ý rằng ta nên xem xét các tập hợp sau đây: CG = w ∈ (Rn )+ : α(i).w ≥ 0 với ci,β 6= 0 Dễ dàng thấy được CG là giao của các nửa không gian đóng trong Rn , do đó nó là hình nón đóng đa diện lồi đóng trong góc phần dương. Nón CG có tính chất là nếu >M là một thứ tự ma trận sao cho G là cơ sở Gröbner được đánh dấu của I đối với >M , thì hàng đầu tiên w của M nằm trong CG.
Tuy nhiên, ta có thể thấy bên dưới rằng ngược lại không đúng, vì vậy 2.2 Nón của một cơ sở Gröbner được đánh dấu 16 mối quan hệ giữa CG và các thứ tự đơn thức mà G là cơ sở Gröbner được đánh dấu thì khó thấy hơn. Trong ví dụ sau chúng ta xác định hình nón tương ứng với một cơ sở Gröbner được đánh dấu đã cho của một iđêan đã cho. Xét iđêan I = x2 − y, xz − y 2 + yz ⊂ Q[x, y, z].3) Cơ sở Gröbner được đánh dấu tương ứng với thứ tự grevlex với x > y > z là G(1) = {x2 − y, y 2 − xz − yz}, với từ dẫn đầu được gạch chân. Đặt w = (a, b, c) là một vectơ trong góc phần dương của R3.
Khi đó w thuộc CG(1) nếu và chỉ nếu các bất đẳng thức sau thỏa mãn: (2, 0, 0). Để hình dung CG(1) , cắt góc phần dương bằng mặt phẳng a + b + c = 1. Các bất đẳng thức ở trên được vẽ ở hình 2.1, khi đó các trục a, trục b, trục c được mô tả bằng các nét gạch và ta đang nhìn về phía gốc tọa độ từ một điểm nằm trên tia đi qua điểm (1, 1, 1). Trong hình này, bất đẳng thức 2a ≥ b cho vùng trong lát cắt bên trái ( được chỉ định bởi mũi tên) đoạn thẳng nối (0, 0, 1) tại đỉnh của tam giác đến ( 13 , 23 , 0) trên đáy.
Hai bất đẳng thức còn lại được biểu diễn tương tự, và giao điểm của chúng trong góc phần dương cho tứ giác trong phần lát cắt. Khi đó CG(1) bao gồm tất cả các tia bắt nguồn từ gốc đi qua các điểm của tứ giác. Bất kỳ w tương ứng với một điểm trong phần trong của CG(1) (bất đẳng thức trên là nghiêm ngặt) sẽ chọn từ dẫn đầu của các phần tử của 2.2 Nón của một cơ sở Gröbner được đánh dấu 17 Hình 2.1: Một lát cắt của nón CG(1) G(1) chính xác, một vectơ trên một trong những mặt phẳng biên trong phần trong của góc phần dương sẽ mang lại một sự ngang bằng giữa các từ trong một trong một hoặc nhiều phần tử của cơ sở Gröbner. Ví dụ, (a, b, c) = (1, 1, 1) thỏa mãn 2b = a + c và 2b = b + c, vì vậy nó ở trên biên của hình nón.
Vectơ này không đủ để xác định từ dẫn đầu của các đa thức. Bây giờ ta xét một thứ tự đơn thức khác, thứ tự grevlex với z > y > x. Với thứ tự này, cơ sở Gröbner thu gọn của I là G(2) = {x2 − y, yz + xz − y 2 } với từ dẫn đầu được gạch dưới. Tiến hành như trên, một lát của CG(2) trong mặt phẳng a + b + c = 1 là một tam giác được định nghĩa bởi các bất đẳng thức 2a ≥ b, b ≥ a, c ≥ b.
Vẽ tam giác này, rõ ràng rằng CG(1) ∩ CG(2) là một mặt chung của cả hai nón (xem hình (2.1) sử dụng thứ tự grevlex với x > y > z, là ma trận có hàng đầu tiên (1, 1, 1). Nhưng chúng có khác cơ sở Gröbner được đánh dấu. Như chúng ta sẽ thấy ở Định lý (2.5) bên dưới, điều này được cho phép bởi vì vectơ (1, 1, 1) nằm trên biên của nón. Dưới đây là một số tính chất của CG .2 Nón của một cơ sở Gröbner được đánh dấu 18 Định lý 2.
Cho I là một iđêan trong K[x1 , · · · , xn ], và giả sử G là cơ sở được đánh dấu của I. (i) Phần trong Int(CG ) của nón CG là tập con mở khác rỗng của Rn. Khi đó, G là cơ sở Gröbner được đánh dấu của I tương ứng với > M. (iii) Giả sử G0 là cơ sở được đánh dấu khác của I.
Khi đó giao của CG ∩CG0 được chứa trong một siêu phẳng của CG , và tương tự với CG0. (i) Để chứng minh phần (i), cố định một thứ tự ma trận >M sao cho G là một cơ sở Gröbner được đánh dấu của I với tương ứng trên >M và lấy w1 , w2 , · · · , wm là một hàng của M. Ta cần chứng minh rằng Int(CG ) là tập khác rỗng. Thật vậy w = w1 + εw2 + · · · + εm−1 wm ∈ Int(CG ) (2.
Ta chứng minh rằng với số mũ α, β đã cho, ta có xα >M xβ ⇒ α.w với ε > 0 đủ nhỏ, trong đó " tính đủ nhỏ" phụ thuộc vào α, β và M. Từ đó ta có thể sắp xếp các tập hữu hạn về cùng một loại có cùng số mũ.w, bất kỳ ci,β 6= 0. Hơn nữa, sử dụng ui >M 1 với mọi i, ta có thể chọn ε sao cho ei. Theo đó w là phần trong của góc phần dương.
Từ đó, w ∈ Int(CG ) theo một cách trực tiếp.3 Quạt Gröbner của một iđêan 19 (ii) Đặt >M là thứ tự ma trận sao cho hàng đầu tiên của M nằm trong Int(CG ). Một cách dễ dàng, dẫn đến với mỗi g ∈ G, LT>M (g) là số hạng được đánh dấu của g. Từ đó, dễ dàng để chứng minh G là cơ sở Gröbner được đánh dấu của I tương ứng với >M. nó chứa giao điểm của cả hai nón.
Nếu w là một điểm, ta lấy bất kỳ thứ tự đơn thức >M định nghĩa bởi một ma trận có hàng đầu tiên là w. Khi đó theo (ii), G và G0 là hai cơ sở Gröbner được đánh dấu của I với tương ứng đến >M. Điều này mâu thuẫn với giả thiết G 6= G0 .3 Quạt Gröbner của một iđêan Trong phần này ta sẽ trả lời cho câu hỏi " Có hay không một cấu trúc hình học với nền là tập hợp các sơ sở Gröbner của I ?" Trong phần (ii) của Định lý 2.5 chứng minh rằng CG ∩ CG0 là một mặt của nón. Theo đó, phạm vi của G trên cơ sở Gröbner được đánh dấu của I, tập hợp gồm nón CG và các mặt của nón là một quạt.
Đó gọi là "quạt Gröbner" của iđêan I. Sử dụng Ví dụ 2.3, ta có thể xác định quạt Gröbner của I từ (2. Để tìm kiếm cơ sở Gröbner thu gọn của I đối với thứ tự "tiêu chuẩn" nào đó (ví dụ thứ tự grevlex và lex với các thứ tự khác nhau) đầu tiên ta xác định hình nón tương ứng. Khi đó nếu hợp tất cả các hình nón đã cho là xác định dương, chọn một vài w trong phần bù, tính toán cơ sở Gröbner thu gọn với >w,grevlex , tìm hình nón tương ứng, và lặp lại quá trình này cho đến khi nón là xác định dương.
Với iđêan của (2.3), cả bảy hình nón, tương ứng với cơ sở Gröbner được 2.3 Quạt Gröbner của một iđêan 20 đánh dấu: G(1) = {x2 − y, y 2 − xz − yz}, G(2) = {x2 − y, yz + xz − y 2 }, G(3) = {x4 − x2 z − xz, y − x2 }, G(4) = {x2 − y, xz − y 2 + yz, y 2 z x y 2 − y 3 − yz}, G(5) = {y 4 − 2y 3 z + y 2 z 2 − yz 2 , xz − y 2 + yz, xy 2 − y 3 + y 2 z − yz, x2 − y}, G(6) = {y 2 z 2 − 2y 3 z + y 4 − yz 2 , xz − y 2 + yz, xy 2 − y 3 + y 2 z − yz, x2 − y}, G(7) = {y − x2 , x2 z − x4 + xz}. (Chú ý rằng G(5) là cơ sở Gröbner từ Ví dụ 1.2 bên dưới cho thấy một hình ảnh của một lát của quạt Gröbner trong mặt phẳng a + b + c = 1. Ví dụ, nếu cơ sở Gröbner G(1) ,. Sử dụng vectơ này, ta tìm G(7) , và tương ứng hình nón hình thành quạt Gröbner.
Khi số lượng biến này lớn hơn và hoặc các phần tử sinh của iđêan có nhiều hạng tử hơn, khi đó phương pháp này khó sử dụng hơn. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ thấy quạt Gröbner có thể được sử dụng như thế nào để phát triển thuật toán chuyển đổi cơ sở Gröbner chung, không giống như thuật toán FGLM, không phụ thuộc vào chiều của I.2: Một lát cắt của quạt Gröbner Chương 3 ĐƯỜNG ĐI GRÖBNER Một ứng dụng thú vị của quạt Gröbner là thuật toán chuyển đổi cơ sở Grobner tổng quát có tên là đường đi Gröbner. Đường đi Gröbner được đưa ra đầu tiên bởi Collart, Kalkbrener, và Mall năm 1997, nhằm chuyển đổi một cơ sở Gröbner của một iđêan I ⊂ K[x1 ,. , xn ] đối với một thứ tự đơn thức bất kỳ sang cơ sở Gröbner của I đối với một thứ tự khác.
Ý tưởng cơ sở của đường đi Gröbner là rất đơn giản. Cụ thể là, ta giả sử rằng ta có cơ sở Gröbner được đánh dấu G của I, tương ứng với một thứ tự đơn thức >s. Ta gọi >s là "thứ tự bắt đầu" của đường đi, và ta sẽ giả sử rằng ta có một ma trận Ms nào đó với hàng đầu tiên ws biểu diễn >s. Do kết quả của Chương 2, G tương ứng với một nón CG trong quạt Gröbner của I.
Mục tiêu là để tính toán một cơ sở Gröbner của I đối với "thứ tự đích" >t đã cho. Thứ tự đơn thức này có thể được biểu diễn bởi một ma trận Mt với hàng đầu tiên là wt. Xét một đường đi đi từ ws đến wt nằm hoàn toàn trong góc phần dương trong Rn .