I. Giới thiệu và mục tiêu nghiên cứu
Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng. Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế, và khoa học. Mục tiêu chính của luận văn là trình bày một cách hệ thống các kết quả từ công trình nghiên cứu trước đó, đồng thời mở rộng và làm sâu sắc hơn các lý thuyết liên quan đến tập nghiệm và tính liên thông của chúng.
1.1. Bối cảnh nghiên cứu
Bài toán cân bằng véctơ đã được nghiên cứu rộng rãi trong toán học ứng dụng, đặc biệt là trong lý thuyết tối ưu. Các nghiên cứu trước đây chủ yếu tập trung vào sự tồn tại của tập nghiệm dưới giả thiết hàm mục tiêu là tựa lồi hoặc tựa lồi theo nón. Năm 2015, Han và Huang đã nghiên cứu điều kiện tồn tại đối với tập nghiệm hữu hiệu yếu và tập nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng véctơ suy rộng. Năm 2016, các tác giả đã mở rộng kết quả này cho lớp bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng.
1.2. Mục tiêu cụ thể
Luận văn nhằm mục đích trình bày một cách hệ thống các kết quả từ công trình nghiên cứu trước đó, đồng thời mở rộng và làm sâu sắc hơn các lý thuyết liên quan đến tập nghiệm và tính liên thông của chúng. Cụ thể, luận văn sẽ tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm hữu hiệu mạnh, nghiệm hữu hiệu yếu, và nghiệm hữu hiệu của bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng. Ngoài ra, tính liên thông của tập nghiệm cũng sẽ được nghiên cứu và trình bày chi tiết.
II. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các công cụ từ giải tích hàm, lý thuyết tối ưu, và phân tích toán học để nghiên cứu sự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm. Các khái niệm cơ bản như tập lồi, không gian lồi địa phương, và ánh xạ đa trị được trình bày chi tiết trong chương đầu tiên. Các tính chất của ánh xạ đa trị, bao gồm tính liên tục theo nón và tính lồi theo nón, cũng được nghiên cứu và áp dụng trong việc phân tích bài toán.
2.1. Tập lồi và không gian lồi
Tập lồi là một khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết tối ưu. Một tập hợp được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm trong tập hợp, đoạn thẳng nối hai điểm đó cũng nằm hoàn toàn trong tập hợp. Không gian lồi địa phương là một không gian tôpô tuyến tính mà trong đó tồn tại một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn các tập lồi. Các không gian này có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu và cân bằng.
2.2. Ánh xạ đa trị và tính chất
Ánh xạ đa trị là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán cân bằng. Một ánh xạ đa trị từ tập hợp X vào tập hợp Y là một quy tắc mà mỗi phần tử của X được ánh xạ tới một tập con của Y. Các tính chất của ánh xạ đa trị, bao gồm tính liên tục theo nón và tính lồi theo nón, được sử dụng để nghiên cứu sự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng.
III. Kết quả chính và ứng dụng
Luận văn đã đạt được các kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu sự tồn tại và tính liên thông của tập nghiệm đối với bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng. Các điều kiện tồn tại nghiệm hữu hiệu mạnh, nghiệm hữu hiệu yếu, và nghiệm hữu hiệu đã được trình bày chi tiết. Ngoài ra, tính liên thông của tập nghiệm cũng được nghiên cứu và chứng minh dưới các giả thiết phù hợp. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng vào các bài toán thực tế trong kinh tế, vật lý, và khoa học.
3.1. Sự tồn tại của tập nghiệm
Các điều kiện tồn tại nghiệm hữu hiệu mạnh, nghiệm hữu hiệu yếu, và nghiệm hữu hiệu của bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng đã được trình bày chi tiết. Các kết quả này dựa trên các giả thiết về tính lồi và tính liên tục của ánh xạ đa trị. Các định lý và mệnh đề được chứng minh một cách chặt chẽ, đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy của các kết quả.
3.2. Tính liên thông của tập nghiệm
Tính liên thông của tập nghiệm là một tính chất quan trọng, đặc biệt là trong việc nghiên cứu các bài toán cân bằng. Luận văn đã chứng minh rằng tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ suy rộng là liên thông dưới các giả thiết phù hợp. Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng vào các bài toán thực tế, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế và khoa học.
