Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số Chứng minh Định lý Pythagoras - Đại học Khoa học Thái Nguyên

Khám phá các chứng minh định lý Pythagoras đa dạng và sâu sắc trong luận văn thạc sĩ. Nghiên cứu này cung cấp cái nhìn toàn diện về nền tảng toán học.

• Tác giả: Văn Thị Thu Hà
• Người hướng dẫn: PGS. Tạ Duy Phượng
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Một số chứng minh định lý Pythagoras
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Khám phá Định lý Pythagoras Tổng quan Tầm quan trọng trong Toán học

Định lý Pythagoras là một trong những viên gạch nền tảng của hình học Euclid, mô tả mối quan hệ đặc biệt giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Sự đơn giản trong công thức nhưng sâu sắc về ý nghĩa đã khiến định lý này trở thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học qua hàng thiên kỷ. Luận văn Thạc sĩ "Một số chứng minh Định lý Pythagoras" đóng vai trò quan trọng trong việc tổng hợp và phân tích các cách tiếp cận độc đáo, giúp mở rộng hiểu biết về một trong những quy luật toán học cơ bản nhất.

1.1. Định nghĩa và ý nghĩa cốt lõi của Định lý Pythagoras trong hình học

Định lý Pythagoras phát biểu rằng trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Công thức quen thuộc a² + b² = c² không chỉ là một phương trình toán học mà còn là biểu hiện của một quy luật tự nhiên, ảnh hưởng sâu rộng đến nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Từ thời cổ đại, định lý này đã được công nhận là một công cụ mạnh mẽ để đo đạc và xây dựng, tạo nên nền tảng cho sự phát triển của hình học và sau này là đại số. Ý nghĩa cốt lõi của định lý nằm ở khả năng kết nối không gian hai chiều với các đại lượng số học, mở đường cho hình học giải tích và nhiều khái niệm toán học hiện đại như chuẩn và không gian định chuẩn.

1.2. Tại sao nghiên cứu đa dạng các chứng minh Định lý Pythagoras lại thiết yếu

Việc nghiên cứu sâu rộng về các chứng minh Định lý Pythagoras không chỉ là một bài tập học thuật mà còn mang ý nghĩa thiết yếu trong việc đào sâu tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Định lý Pythagoras nổi tiếng với số lượng chứng minh khổng lồ, ước tính lên đến hơn 400 cách, mỗi cách lại phản ánh một góc nhìn, một phương pháp tư duy toán học riêng biệt. Sự đa dạng này cho thấy tính liên kết của định lý với nhiều nhánh toán học khác nhau, từ hình học thuần túy đến đại số và lượng giác. Một luận văn Thạc sĩ như nghiên cứu này không chỉ hệ thống hóa kiến thức mà còn giúp người đọc, đặc biệt là các nhà giáo dục và sinh viên, có cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về vẻ đẹp và sự phong phú của toán học, đồng thời lấp đầy khoảng trống về tài liệu tiếng Việt chuyên sâu.

II. Khám phá Các Phương pháp Chứng minh Định lý Pythagoras Bằng Hình học Độc đáo

Các chứng minh hình học của Định lý Pythagoras là những minh họa trực quan và thuyết phục nhất về mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác vuông. Từ những nền văn minh cổ đại đến các nhà toán học hiện đại, vô số cách tiếp cận độc đáo đã được phát triển, sử dụng các nguyên lý về diện tích, sự tương đồng và biến đổi hình học. Việc tìm hiểu những phương pháp chứng minh Định lý Pythagoras này không chỉ làm phong phú kiến thức toán học mà còn giúp phát triển tư duy không gian và khả năng sáng tạo.

2.1. Lịch sử ban đầu của chứng minh Định lý Pythagoras Từ Đông sang Tây

Lịch sử của chứng minh Định lý Pythagoras bắt nguồn từ các nền văn minh cổ đại. Các nhà toán học Ả Rập và Trung Quốc đã có những đóng góp đáng kể từ rất sớm. Cụ thể, trong cuốn "Cửu Chương Toán Thuật" của Trung Quốc, đã xuất hiện các hình vẽ minh họa cho định lý. Pythagoras, một nhà toán học Hy Lạp cổ đại, được cho là người đầu tiên đưa ra một chứng minh chặt chẽ, mặc dù bằng chứng lịch sử cụ thể vẫn còn gây tranh cãi. Tuy nhiên, phiên bản chứng minh nổi tiếng nhất được ghi nhận trong tác phẩm "Cơ sở" của Euclid, một cột mốc quan trọng trong lịch sử toán học, được biết đến với tên gọi "ghế cô dâu" do hình dạng đặc trưng của nó. Những chứng minh ban đầu này đã đặt nền móng vững chắc cho sự phát triển của hình học.

2.2. Những cách chứng minh hình học sáng tạo Ghép hình và Biến đổi diện tích độc đáo

Bên cạnh các chứng minh cổ điển, nhiều nhà toán học đã phát triển các phương pháp ghép hình và biến đổi diện tích vô cùng sáng tạo để minh họa Định lý Pythagoras. Chẳng hạn, Lưu Huy và Archimedus đã sử dụng kỹ thuật ghép hình vuông một cách tinh tế để biến đổi diện tích các hình vuông trên hai cạnh góc vuông thành diện tích hình vuông trên cạnh huyền. Phương pháp "ghế cô dâu" của Kurrah cũng là một ví dụ điển hình cho sự biến đổi hình học. Ngoài ra, Bhaskara, một nhà toán học Ấn Độ, đã trình bày một chứng minh nổi tiếng qua việc sắp xếp lại các tam giác vuông và một hình vuông nhỏ để tạo ra một hình vuông lớn hơn, trực quan hóa mối quan hệ a² + b² = c². Những cách chứng minh định lý Pythagoras này không chỉ đẹp mắt mà còn rất hiệu quả trong việc giúp người học dễ dàng nắm bắt bản chất của định lý.

III. Giải mã Chứng minh Định lý Pythagoras Qua Lăng kính Đại số Lượng giác Tinh tế

Không chỉ dừng lại ở hình học, Định lý Pythagoras còn có thể được chứng minh một cách thanh lịch thông qua các công cụ của đại số và lượng giác. Những phương pháp này không chỉ làm sâu sắc thêm sự hiểu biết về định lý mà còn minh họa tính thống nhất của toán học, nơi các nhánh khác nhau có thể cùng hội tụ để giải quyết một vấn đề. Các chứng minh Định lý Pythagoras này thường đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các công thức và biến đổi toán học.

3.1. Phương pháp chứng minh Định lý Pythagoras sử dụng công cụ Đại số

Các chứng minh đại số của Định lý Pythagoras thường dựa trên việc thiết lập các phương trình từ diện tích các hình hoặc từ các mối quan hệ khoảng cách trong hệ tọa độ. Một phương pháp chứng minh phổ biến là đặt bốn tam giác vuông giống hệt nhau xung quanh một hình vuông nhỏ để tạo thành một hình vuông lớn hơn. Bằng cách tính diện tích của hình vuông lớn theo hai cách (tổng diện tích các phần và bình phương cạnh của nó), ta có thể dễ dàng suy ra công thức a² + b² = c². Các phương pháp khác có thể liên quan đến việc sử dụng các công thức khai triển nhị thức hoặc các định lý về đường cao trong tam giác vuông, biến đổi các biểu thức để đến được kết quả cuối cùng. Sự thanh lịch của chứng minh đại số nằm ở khả năng quy giản một vấn đề hình học phức tạp về một bài toán tính toán đơn giản.

3.2. Vai trò của Lượng giác trong việc chứng minh Định lý Pythagoras

Ngành lượng giác cung cấp một góc nhìn khác để chứng minh Định lý Pythagoras, đặc biệt thông qua định lý cosin. Trong một tam giác bất kỳ với các cạnh a, b, c và góc C đối diện với cạnh c, định lý cosin phát biểu rằng c² = a² + b² - 2ab cos(C). Khi tam giác là tam giác vuông tại C, góc C bằng 90 độ, và cos(90°) = 0. Khi đó, biểu thức sẽ đơn giản hóa thành c² = a² + b², chính là Định lý Pythagoras. Ngoài ra, các mối quan hệ giữa các hàm số sin, cos và tan trong tam giác vuông cũng có thể được sử dụng để suy ra định lý này. Các chứng minh lượng giác không chỉ khẳng định tính đúng đắn của định lý mà còn thể hiện sự kết nối sâu sắc giữa hình học và các hàm số tuần hoàn, làm phong phú thêm các phương pháp chứng minh Định lý Pythagoras.

IV. Phân tích Các Chứng minh Định lý Pythagoras Dựa trên Định lý Hình học Khác Nâng cao

Sự phong phú của Định lý Pythagoras không chỉ giới hạn trong các phương pháp trực tiếp mà còn mở rộng đến việc suy luận từ các định lý hình học khác phức tạp hơn. Điều này cho thấy tính liên kết chặt chẽ giữa các khái niệm toán học và khả năng của một định lý cơ bản như Pythagoras có thể được tái khẳng định qua nhiều lăng kính khác nhau, làm sâu sắc thêm sự hiểu biết về cấu trúc của không gian.

4.1. Liên hệ giữa Định lý Pythagoras và Định lý dây cung gãy Định lý Bottema

Một số chứng minh Định lý Pythagoras có thể được xây dựng dựa trên các định lý hình học ít phổ biến hơn nhưng không kém phần thú vị. Chẳng hạn, việc ứng dụng Định lý dây cung gãy hoặc Định lý Bottema có thể dẫn đến kết quả của định lý này. Định lý dây cung gãy (hoặc định lý Ptolemy mở rộng cho tứ giác nội tiếp) mô tả mối quan hệ giữa các cạnh và đường chéo của một tứ giác. Khi áp dụng cho các cấu hình đặc biệt liên quan đến tam giác vuông, nó có thể được biến đổi để suy ra Định lý Pythagoras. Tương tự, Định lý Bottema liên quan đến các hình vuông được xây dựng trên các cạnh của một tam giác, cung cấp một cách tiếp cận khác để chứng minh Định lý Pythagoras thông qua các phép biến đổi hình học phức tạp hơn, thể hiện sự đa dạng trong tư duy toán học và làm nổi bật sự liên kết giữa các định lý hình học.

4.2. Khai thác Định lý những tấm thảm và các định lý khác để chứng minh hiệu quả

Ngoài các định lý đã đề cập, Định lý những tấm thảm (Tharp's Theorem, đôi khi được hiểu là một dạng của định lý cắt ghép diện tích) cũng là một nguồn cảm hứng để tạo ra các chứng minh Định lý Pythagoras độc đáo. Định lý này thường liên quan đến việc chia một hình thành các phần nhỏ hơn rồi sắp xếp lại chúng để tạo ra các hình khác có diện tích tương đương. Bằng cách khéo léo cắt và ghép các "tấm thảm" hình học liên quan đến tam giác vuông và các hình vuông trên cạnh của nó, có thể trực quan hóa mối quan hệ a² + b² = c². Những chứng minh này không chỉ thể hiện sự sáng tạo mà còn đòi hỏi khả năng nhìn nhận và phân tích hình học một cách sâu sắc, chứng minh rằng ngay cả một định lý cổ điển vẫn có thể được tiếp cận theo những cách mới mẻ thông qua việc khai thác các định lý hình học khác.

V. Ứng dụng Thực tiễn và Ý nghĩa Sư phạm của Các Chứng minh Định lý Pythagoras Đa dạng

Nghiên cứu về các chứng minh Định lý Pythagoras không chỉ là một hành trình khám phá lý thuyết mà còn mang lại những ứng dụng thực tiễn sâu rộng và ý nghĩa sư phạm quan trọng. Sự đa dạng trong các cách tiếp cận định lý này giúp củng cố tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề và là công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học.

5.1. Vai trò của Định lý Pythagoras trong khoa học kỹ thuật và đời sống hiện đại

Định lý Pythagoras giữ một vai trò cốt yếu trong nhiều ngành khoa học, kỹ thuật và đời sống hàng ngày. Trong kiến trúc và xây dựng, định lý này được dùng để đảm bảo các góc vuông, tính toán độ dài dầm, cầu thang, hoặc xác định độ ổn định của kết cấu. Trong kỹ thuật cơ khí, nó hỗ trợ thiết kế các bộ phận máy móc với độ chính xác cao. Vật lý ứng dụng định lý để tính toán các vector lực và chuyển động. Trong công nghệ thông tin, định lý giúp tính khoảng cách giữa các điểm trong không gian đa chiều, nền tảng cho đồ họa máy tính và các thuật toán định vị GPS. Ngay cả trong nghệ thuật, tỷ lệ vàng và các nguyên tắc thiết kế thường có mối liên hệ gián tiếp với các khái niệm hình học dựa trên Pythagoras.

5.2. Giá trị giáo dục từ việc tiếp cận đa dạng các chứng minh Định lý Pythagoras

Việc tiếp cận đa dạng các chứng minh Định lý Pythagoras mang lại giá trị giáo dục to lớn, đặc biệt trong chương trình toán phổ thông. Nó giúp học sinh, sinh viên không chỉ ghi nhớ công thức mà còn hiểu sâu sắc bản chất của vấn đề, phát triển khả năng tư duy phản biện và sáng tạo. Khi được giới thiệu nhiều cách chứng minh Định lý Pythagoras, người học sẽ rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp thông tin và tìm kiếm nhiều con đường khác nhau để giải quyết một bài toán. Điều này đặc biệt quan trọng trong việc khuyến khích tư duy toán học linh hoạt, khuyến khích sự tò mò và niềm yêu thích khám phá toán học. Các chứng minh này cũng là công cụ tuyệt vời để các nhà giáo dục minh họa sự liên kết giữa các khái niệm toán học, từ hình học đến đại số và lượng giác.

VI. Tổng kết Hướng phát triển Tương lai cho Nghiên cứu Chứng minh Định lý Pythagoras

Nghiên cứu về các chứng minh Định lý Pythagoras không chỉ dừng lại ở việc hệ thống hóa kiến thức mà còn mở ra những hướng phát triển tương lai đầy hứa hẹn. Luận văn Thạc sĩ đã tổng hợp một phần đáng kể các phương pháp chứng minh, nhưng kho tàng này vẫn còn rộng lớn. Việc tiếp tục khám phá không chỉ củng cố nền tảng toán học mà còn có thể tìm ra những kết nối mới mẻ giữa các lĩnh vực.

6.1. Tóm tắt những đóng góp chính từ việc tổng hợp các chứng minh Định lý Pythagoras

Luận văn này đã có những đóng góp chính quan trọng trong việc hệ thống hóa và trình bày hơn 60 cách chứng minh Định lý Pythagoras khác nhau, lấp đầy một phần khoảng trống trong tài liệu tiếng Việt chuyên sâu về chủ đề này. Việc phân loại các chứng minh theo phương pháp (hình học, đại số, lượng giác, và suy luận từ các định lý hình học khác) giúp người đọc dễ dàng tiếp cận và so sánh. Nghiên cứu này không chỉ là một tài liệu tham khảo quý giá cho sinh viên, giáo viên mà còn khẳng định sự đa dạng và vẻ đẹp vĩnh cửu của Định lý Pythagoras trong lòng toán học, kích thích tư duy sáng tạo và phân tích.

6.2. Triển vọng và thách thức trong việc khám phá thêm các chứng minh mới của Định lý Pythagoras

Mặc dù đã có hàng trăm chứng minh Định lý Pythagoras được biết đến, triển vọng về việc khám phá thêm các chứng minh mới vẫn tồn tại, đặc biệt là với sự phát triển của các công cụ tính toán và hình học phức tạp. Tuy nhiên, điều này cũng đặt ra những thách thức không nhỏ. Việc tìm kiếm một chứng minh hoàn toàn mới, độc đáo mà không chỉ là biến thể của cái đã có đòi hỏi sự sáng tạo vượt bậc và kiến thức toán học sâu rộng. Nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc áp dụng các công cụ từ hình học phi Euclid, tô pô hoặc các lĩnh vực toán học trừu tượng hơn để tìm ra những kết nối bất ngờ, tiếp tục làm phong phú thêm kho tàng các chứng minh Định lý Pythagoras.

Trích đoạn nội dung tài liệu

mở đầu cho việc áp dụng định lý Thales cho tam giác đồng dạng. Với kỹ thuật hạ đường cao xuống cạnh huyền quen thuộc, Legendre đã đưa ra một hướng tư duy mới để chứng minh định lý Pythagoras chỉ qua vài phép biến đổi đơn giản. Dựng ∆AEC với độ dài các cạnh là a, b, và c. Sau đó, dựng đường tròn (C, b).

Tiếp theo, dựng ∆BED với cạnh huyền độ dài 2b. Điểm E cũng nằm trên đường tròn này nên ∆BED là tam giác vuông. Ta có AEC d =B [ ED = 90◦ nên AEC d − BEC d =B [ d Suy ra AEB ED − BEC. [ = CDE, Mà CED [ do ∆CED cân nên AEB [ Do đó ta có ∆AEB ∼ ∆ADE d = CDE.g) nên AE AB =.

AD AE Từ đây a c−b = nên a2 = (c + b) (c − b) , c+b a hay là a2 = c2 − b2. Cách chứng minh này không có gì đặc biệt ở phần lời: sử dụng phép cộng trừ góc, cạnh đơn giản và xét cặp tam giác đồng dạng khá dễ hiểu. Tuy nhiên, phần hình lại tương đối khó để tư duy. Cách dựng hình độc đáo song lại có phần không tự nhiên và khó để có thể áp dụng lại.

Chứng minh này được minh họa đầy đủ hơn trong Hình 1. Các kí tự đại số đã được thêm vào để bạn đọc có thể rõ hơn. Tấm bia mộ Henry Perigal Hình 1. Chứng minh của Perigal Ý tưởng trung tâm của chứng minh của Perigal là việc tám tứ giác được dựng trong hình đều bằng nhau.

Diện tích hình vuông cạnh c bằng tổng diện tích của hình vuông cạnh b và diện tích bốn tứ giác. Diện tích hình vuông cạnh a bằng tổng diện tích bốn tứ giác. Do đó, ta có thể đưa đến c2 = a2 + b2. Garfield, Tổng thống Mỹ, 1876, xem [5], trang 106-107).

Diện tích hình thang bằng (a + b)(a + b). 2 Mặt khác, diện tích hình thang bằng tổng diện tích của ba tam giác. Do đó (a + b) (a + b) ab ab c2 = + +. Chứng minh của J.

Đây là một chứng minh thú vị khác với ứng dụng hình thang vuông. Tác giả chỉ sử dụng ba tam giác vuông đơn giản để ghép thành hình thang, từ đó vận dụng công thức tính diện tích để xây dựng lên định lý Pythagoras cần chứng minh. Đây có thể coi là cách chứng minh bằng lời ngắn gọn nhất, không hề cầu kì phức tạp nhưng lại mang đến cho người đọc cảm giác hứng thú, từ đó trở thành nền tảng cho sự sáng tạo các cách dựng hình khác. Chứng minh của Anna Condit Xét tam giác ABC.

Kẻ các hình vuông ACDE, BCFG và ABHI. Sau đó nối D và F (Hình 1. Đường thẳng CP là đường trung tuyến ứng với cạnh AB. Kéo dài cạnh 20 CP cắt DF ở điểm R.

  AB d = 90◦ , tam giác ABC nội tiếp đường tròn P; Do ACB nên suy ra 2 AB AP = PC =. 2 Ta có ∆ABC = ∆DFC (c.c) nên suy ra [ = α. d = CDF BAC d = CAP Tam giác ACP cân tại P suy ra ACP d = 90◦ − α. d = α , tức là DCR d + CDR Ta có DCR d = 90o nên PR⊥DF.

Từ P kẻ PM, PN và PL đến các trung điểm tương ứng của ED, FG và HI ta được PM k AE, PN k BG và PL k AI.FN S∆PFC = 2 FG FC mà FN = = nên 2 2 FC2 1 S∆PFC = = SBCFG. 4 4 Tương tự 1 1 S∆PDC = SACDE và S∆PAI = SABHI. 4 4 Do diện tích các tam giác có đáy bằng nhau thì tỉ lệ với đường cao, ta có S∆PDC + S∆PFC DR + RF DF AB = = = =1 S∆PAI AI AI AB suy ra 1 1 SACDE + SBCFG 4 4 = 1. 1 SABHI 4 Điều này kéo theo SACDE + SBCFG = SABHI.

Vậy, AC2 + BC2 = AB2. Hình vẽ trong cách chứng minh này khá phức tạp song gợi nhắc cho chúng ta đến cách Chứng minh 3: vẽ thêm các hình vuông với độ dài cạnh lần lượt là độ dài các cạnh tam giác. Một lần nữa các tính chất đặc biệt của hình vuông được sử dụng. 21 Song nếu như ở cách Chứng minh 3, Euclid chủ yếu sử dụng các biểu thức tính diện tích tam giác thì trong lời giải này, Condit đã sử dụng tính chất các cặp cạnh song song, biểu thức tỉ số diện tích.

Cách chứng minh của Condit có phần phức tạp và dài dòng hơn nhưng đã khai thác được nhiều hơn những khía cạnh hình học khác nhau. Từ hình chiếc ghế của cô dâu (gồm hai hình vuông AEDC diện tích a2 và DKHF diện tích b2 ). Ta dựng thêm ∆AEL và ∆LHK lần lượt vuông tại E và K. Hai tam giác này đều có cạnh bên là a, b và hai cạnh huyền c.

Đầu tiên, ta thấy hình vuông AEDC có thể bóp méo thành hình bình hành LKCA mà diện tích vẫn không đổi (một cạnh vẫn là a còn đường cao cũng vẫn là a). Chứng minh bóp méo hình sử dụng hình chiếc ghế của cô dâu Tương tự ta cũng có thể bóp méo hình vuông DKHF thành hình bình hành HKCB mà diện tích không đổi. Tiếp theo ta cũng có thể bóp méo các hình bình hành này thành các hình chữ nhật LMOA và HMOB mà diện tích vẫn giữ nguyên. Do đó SALHB = SLMOA + SHMOB = SACDE + SHKDF , hay là c2 = a2 + b2.

Chứng minh 16 được thực hiện bằng cách kéo dài đường cao. Xét ∆ABC vuông tại C có AB = c, BC = a, CA = b. Ta kéo dài đường cao CH của c2 ∆ABC đến D sao cho CD = AB. Do tứ giác ABCD có AB ⊥ CD nên SABCD =.

2 Mặt khác, SACBD = S∆ACD + S∆BCD. Kẻ DE ⊥ AC, DF ⊥ BC ta suy ra CEDF là hình chữ nhật. Chứng minh thứ nhất sử dụng kéo dài đường cao Ta có ∆CDE = ∆BAC (cạnh huyền - góc nhọn) nên DE = AC; DF = CE = BC.DF a2 S∆CDA = = , S∆CDB = =. 2 2 2 2 c2 a2 b2 Suy ra = + hay c2 = a2 + b2.

Chứng minh 17 cũng được thực hiện bằng cách kéo dài đường cao. Tuy nhiên, khác với Chứng minh 16, trong chứng minh này, đường cao lại được kéo dài theo hướng ngược lại sao cho CD = AB. Cách chứng minh thứ hai sử dụng đường cao kéo dài Trong chứng minh này, diện tích tứ giác ABCD cũng được tính theo hai cách như trong chứng minh trước. Có thể dễ dàng tự chứng minh trường hợp này.

Trong một hình vuông cạnh b, ta đặt vào góc của hình vuông này một hình vuông nhỏ hơn cạnh là a (hình vuông góc trái hình bên trái). Chứng minh của Al Buzjani Kẻ thêm hai đường như trong hình bên trái để tạo hai tam giác vuông có cạnh bên là a và b. Nếu ghép hình vuông cạnh b − a với bốn tam giác vuông cũng kích cỡ như vậy, ta được một hình vuông có cạnh c (cạnh huyền của tam giác). Có thể thấy, diện tích hình bên phải sẽ nhiều hơn diện tích hình bên trái một lượng bằng diện tích hình vuông cạnh a.

Mà diện tích hình vuông bên trái là b2 nên c2 = a2 + b2. Cách chứng minh của Christiaan Huygens Ta bắt đầu từ hình cối xay gió của Euclid. Trong hình vuông cạnh a, từ A kẻ một đường thẳng song song với BC. Từ S kẻ một đường thẳng song song với AC.

Hai đường này cắt nhau ở P. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC, trên đường này lấy BN = BC. Do ∆ASP = ∆ABC (cạnh huyền - góc nhọn) nên AP = AC = AG. 24 Mặt khác d (P; AB) = AL nên SABML = 2SABP = SACFG.

Do ∆KBN = ∆ABC (cạnh huyền- góc nhọn) nên BN = BC = BD. Ta có d (A; BN) = BC nên SKMLS = 2SKPS , SBCED = 2SANB. d = ABN Ta lại có KS = AB, PS = BN (do ∆ASP = ∆ABC), PSK d (do SP k BN và AB k SK) nên ∆KPS = ∆ANB. Từ các biểu thức trên, ta có: SABKS = SABML + SLMKS = SACFG + SBCED.

Đây tiếp tục là một cách chứng minh triển khai cách dựng hình tương tự Chứng minh 3 và Chứng minh 14. Nếu như hai cách chứng minh trước chủ yếu khai thác liên quan đến hai hình vuông nhỏ thì ở lời giải này, Huygens đã chuyển hướng sang hình vuông to. Huygens đã vẽ thêm các đường thẳng song song tạo điều kiện để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau một cách nhanh chóng. Điểm chung giữa những cách chứng minh này là đều hướng đến mục đích sử dụng biểu thức liên quan về diện tích cho bước chứng minh cuối cùng hay nói cách khác bản chất của nó là đi chứng minh các biểu thức diện tích.28, ta bắt đầu với ∆ABC và ∆AFE lần lượt vuông ở C và E.

Gọi A là giao điểm của BE và CF. Kéo dài AF một đoạn FG = a. Trên BA lấy một đoạn BD = a. Ở đây ta coi như a < b.

Do ∆BCD là tam giác cân nên d = π − α. BCD 2 2 Do Cb = 90◦ nên   d = π − π − α = α. ACD 2 2 2 2 Do AFE d là góc ngoài của ∆EFG nên AFE [ + FGE. d = FEG [ Nhưng ∆EFG là tam giác cân nên d = α.

d = EAG AGE 2 25 Hình 1. Chứng minh sử dụng hai tam giác vuông đồng dạng Ta có ∆ACD ∼ ∆AGE (g-g), nên AD AE c−a b = suy ra = , AC AG b c+a hay là c2 = a2 + b2. Xét ∆ABC vuông tại C với BC = a, AB = c, AC = b. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB như hình vẽ (r = c/2).

Trong hình vẽ DF là đường kính vuông với BC, và đồng thời là đường trung trực của BC. Các điểm E và H lần lượt là trung điểm của BC và AC. Khi đó EO = CH. Ta có ∆CEF ∼ ∆DEB (g.g) nên ta có CE EF = suy ra CE.EF, DE EB 26 mà a c b c b CE = EB = , DE = OD − OE = − , EF = OF + OE = + 2 2 2 2 2 nên     a 2 c b c b = − + ⇒ a2 = c2 − b2.

Xét tam giác vuông có cạnh góc vuông a và b, cạnh huyền c. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ba hình vuông có diện tích a2 , b2 và c2 .